Politechnika Warszawska

Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych

Instytut Maszyn Roboczych Ciężkich

Laboratorium Konstrukcji Nośnych

Koncentracja naprężeń w elementach konstrukcji nośnych

Wersja robocza

Tylko dla użytku wewnętrznego SiMR PW

Opracowanie:

Hieronim Jakubczak

Roman Król

Warszawa 2014

Wszelkie prawa zastrzeżone

2

Ćwiczenie 4

Koncentracja naprężeń w elementach konstrukcji nośnych

4.1 CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskiem koncentracji naprężeń w elementach

konstrukcyjnych, przyczynami występowania koncentracji, podstawami teoretycznymi oraz

praktycznymi metodami określania miejsc i wartości występujących naprężeń rzeczywistych

w elementach konstrukcyjnych.

4.2 PODSTAWY TEORII KONCENTRACJI NAPRĘŻEŃ

W teorii koncentracji naprężeń posługujemy się pojęciami: „linia sił” i „potok sił”. Są to

umowne linie poprowadzone wewnątrz ciała sprężystego w przewidywanym kierunku

przekazywania oddziaływania sił (rys. 4.1). Przy wejściu i wyjściu z ciała linie sił pokrywają

się z kierunkami oddziaływania sił zewnętrznych, a miejsce ich zagęszczenia oznacza

koncentrację naprężeń.

Koncentracja

naprężeń

Rys. 4.1 Przykłady koncentracji naprężeń w konstrukcjach nośnych

Całokształt linii sił, zwany „potokiem sił” rozkłada się w ciele sprężystym, w miejscach

odpowiednio oddalonych od miejsc przyłożenia obciążeń skupionych, równomiernie w całym

przekroju prostopadłym do osi. Tę niezwykle istotną dla celów praktycznych prawidłowość

określa zasada de Saint Venanta: „Jeżeli na pewien niewielki obszar ciała sprężystego w

równowadze działają kolejno rozmaicie umieszczone, ale statycznie równoważne obciążenia,

to w odległości od tego obszaru, przewyższającej wyraźnie jego rozmiary, powstają

jednakowe stany naprężenia i odkształcenia.”

3

P

P

σ

nG

σ

LN

M

σ

LG

M

σ

n

σ

nG

σ

nN

σ

nN

P

P

σ

nG

σ

LN

M

σ

LG

M

σ

n

σ

nG

σ

nN

σ

nN

Rys. 4.2 Koncentracja naprężeń w ciele sprężystym

Podstawowe rodzaje koncentracji naprężeń to:

• Koncentracja pierwotna – występująca w miejscach przyłożenia obciążenia zewnętrznego
• Koncentracja wtórna – występuje w rezultacie przeciwstawiania się ciała sprężystego

oddziaływaniom zewnętrznym.

Wszelkie szczegóły kształtu elementu, wywołujące zmianę „potoku sił”, stają się

przyczyną powstawania koncentracji naprężeń wewnątrz elementu. Przy gwałtownych

(skokowych) zmianach przekroju elementu występują rozszerzenia lub zwężenia „potoku sił”,

a przy załamanej osi belki, występują skrzywienia osi „potoku sił” (przypadek analizowany w

niniejszym ćwiczeniu) – (rys.4.1). Przyczyną koncentracji naprężeń, poza szczegółami

kształtu, mogą być również niejednorodne własności sprężyste materiałów, wynikające z

niejednorodności jego struktury, wad lub uszkodzeń materiału w rodzaju porowatości czy

pęknięć.

Miarą koncentracji naprężeń jest stosunek największego rzeczywistego naprężenia

σ

L

w

danym przekroju do naprężenia średniego (nominalnego)

σ

n

, wyznaczanego teoretycznie za

pomocą metod wytrzymałości materiałów (rys. 4.2). Wielkość ta nazywana jest

współczynnikiem koncentracji naprężeń

α

K

(K

T

) i odnosi się do koncentracji wtórnej,

nazywanej po prostu koncentracją naprężeń.

n

L

T

K

K

σ

σ

α

=

=

(4.1)

Należy tu zwrócić uwagę na dwa aspekty koncentracji naprężeń:

1. Zależność (4.1) jest ważna tylko wówczas, gdy naprężenia lokalne

σ

L

, nie przekraczają

granicy plastyczności materiału.

4

2. Współczynnik koncentracji naprężeń określa się oddzielnie dla każdego rodzaju obciążenia

elementu z karbem. Wynika to z faktu, że ten sam kształt elementu konstrukcyjnego

(karb) wywołuje inną koncentrację naprężeń przy różnych obciążeniach. Tak więc

współczynnik koncentracji naprężeń normalnych wywołanych siłą osiową na rys. 4.2,

α

KN

, jest inny niż współczynnik koncentracji naprężeń normalnych wywołanych

momentem gnącym,

α

KG

. Przy złożonym obciążeniu elementu (rys. 4.3a) naprężenia

lokalne

σ

L

należy obliczać korzystając z metody superpozycji, jako sumę naprężeń

lokalnych od rozciągania

σ

LN

oraz od zginania

σ

LG

. W tym celu najpierw należy rozłożyć

naprężenia w przekroju na naprężenia

σ

nN

wywołane siłą normalną oraz naprężenia

σ

nG

wywołane momentem gnącym (rys. 4.3b). Uwzględniając zależności podane na rys. 4.3,

naprężenia lokalne można obliczyć z zależności:

KG

nG

KN

nN

LG

LN

L

α

σ

α

σ

σ

σ

σ

⋅

+

⋅

=

+

=

(4.2)

P

P

σ

n1

=

σ

nN

+

σ

nG

σ

L

M

σ

nG

M

σ

nN

σ

n

σ

n2

=

σ

nN

–

σ

nG

a)

b)

P

P

σ

n1

=

σ

nN

+

σ

nG

σ

L

M

σ

nG

M

σ

nN

σ

n

σ

n2

=

σ

nN

–

σ

nG

a)

b)

Rys. 4.3 Koncentracja naprężeń w ciele sprężystym

4.3 METODY STOSOWANE W BADANIACH KONCENTRACJI NAPRĘŻEŃ

Koncentracja naprężeń jest zjawiskiem niepożądanym, bowiem powoduje ona lokalny

wzrost naprężeń w elemencie konstrukcyjnym, którego efektem może być szybsza inicjacja

pęknięć zmęczeniowych pod wpływem cyklicznie zmiennych obciążeń eksploatacyjnych,

prowadząca do znacznego zmniejszenia trwałości elementu.

Z tego względu znajomość koncentracji naprężeń jest bardzo istotna na etapie

projektowania elementów maszyn i konstrukcji nośnych. Wyznaczając naprężenia nominalne

metodami wytrzymałości materiałów można, znając wartości współczynników koncentracji

5

naprężeń dla danego kształtu elementu oraz jego obciążenia [3], obliczyć wartości naprężeń

skoncentrowanych.

Znajomość koncentracji naprężeń w elementach konstrukcyjnych jest również bardzo

przydatna na etapie badania prototypów, bowiem umożliwia to określenie potencjalnych

miejsc obserwacji ewentualnych pęknięć zmęczeniowych. Z tego względu poniżej

przedstawiono krótko metody wyznaczania naprężeń rzeczywistych w miejscach koncentracji

elementów konstrukcyjnych.

Badania modelowe

Badania koncentracji naprężeń można przeprowadzać na modelach elementów

konstrukcyjnych, gdzie wyniki pomiarów na modelach są podstawą określenia wartości

odpowiednich wielkości dotyczących rzeczywistego elementu konstrukcyjnego (obiektu). Do

interpretacji wyników badań modelowych stosuje się kryteria podobieństwa modelowego,

wynikające z zasad teorii podobieństwa modelowego. W badaniach modeli mechanicznych

stosuje się na ogół modele geometrycznie podobne do obiektu rzeczywistego, zachowując

określoną skalę

K

l

wymiarów liniowych i skalę

K

P

obciążeń:

m

l

l

l

K

=

oraz

m

P

P

P

K

=

(4.3)

gdzie:

l, l

m

– odpowiadające sobie wymiary liniowe obiektu i modelu,

P, P

m

– odpowiadające sobie wartości obciążeń obiektu i modelu.

W badaniach w zakresie odkształceń liniowo–sprężystych jednym z warunków, tak

zwanego, ścisłego podobieństwa jest równość współczynnika Poissona dla modelu i obiektu.

W przypadku ogólnym badania układów liniowo–sprężystych, do obliczania wartości

naprężeń

σ w obiekcie na podstawie naprężeń σ

m

określonych w modelu, stosuje się wzór:

m

l

P

K

K

σ

σ

⋅

=

2

(4.4)

Metoda kruchych pokryć

Powierzchnię elementu konstrukcyjnego lub jego modelu pokrywa się warstwą kruchej

substancji, ściśle przylegającej do powierzchni. W wyniku obciążenia elementu w warstwie

kruchej pokrycia pojawiają się układy pęknięć w kierunkach prostopadłych do kierunków

naprężeń głównych (rys. 4.4). Możliwe miejsca lub strefy występowania koncentracji

6

naprężeń określa się wstępnie na podstawie analizy „potoku sił” i jego zakłóceń

spowodowanych zmianą kształtu elementu konstrukcyjnego. Dzięki tym ustaleniom badania

eksperymentalne przeprowadza się tylko dla określonego przekroju (strefy), gdzie należy

spodziewać się wystąpienia koncentracji naprężeń, co umożliwia skrócenie badań.

1

σ

1

σ

2

σ

2

σ

1

σ

1

σ

2

σ

2

σ

1

σ

1

σ

2

σ

2

σ

1

σ

1

σ

2

σ

2

σ

1

σ

1

σ

2

σ

2

σ

1

σ

1

σ

2

σ

2

σ

Rys. 4.4 Pękanie kruchego pokrycia pod wpływem naprężeń głównych

Zasadnicze typy pęknięć kruchego pokrycia: a) pęknięcia prostopadłe do kierunku

naprężenia

σ

1

przy obciążeniu elementu, b) pęknięcia prostopadłe do kierunku naprężenia

σ

2

przy obciążaniu elementu po uprzednim uzyskaniu pęknięć typu ‘

a’, c) pęknięcia prostopadłe

do kierunku naprężenia, uzyskane przy odciążeniu elementu

Przy rozciąganiu prętów o stałym przekroju, obserwuje się wzrost liczby pęknięć,

przypadających na jednostkę długości pręta. Można zatem określić związek empiryczny

między gęstością pęknięć a odkształceniem. Związek ten jest podstawą oszacowania wartości

odkształceń głównych na powierzchni obiektu pokrytego układami pęknięć kruchego

pokrycia. Znając odkształcenia główne oraz stałe

E, ν danego materiału, wyznacza się

odpowiednie wartości naprężeń głównych. Ze względu na pewien rozrzut wyników pomiarów

gęstości pęknięć, wartości naprężeń wyznaczone tą metodą mają charakter orientacyjny.

Bezpośrednia obserwacja kolejności pojawiania się pęknięć kruchego pokrycia, w miarę

obciążania elementu oraz końcowej gęstości pęknięć, umożliwia ustalenie miejsc spiętrzeń

naprężeń. Na podstawie tych badań można również wybrać najwłaściwsze miejsca i kierunki

do naklejania czujników tensometrycznych do dalszych badań.

Metoda elastooptyczna

Przy metodzie elastooptycznej badania przeprowadza się na modelach mechanicznych

rzeczywistych elementów konstrukcyjnych. Modele te wykonywane są z przezroczystych,

optycznie czułych materiałów (żywice poliestrowe, epoksydowe, fenolowo-formaldehydowe,

7

polimetakrynowe, rzadziej szkło, celuloid, żelatyna). Wymienione materiały w stanie wolnym

od naprężeń i odkształceń są optycznie izotropowe. W stanie naprężenia materiały te przestają

być izotropowe i wykazują dwójłomność wymuszoną, która umożliwia badanie tego stanu

metodą optyczną w świetle spolaryzowanym.

W wyniku wystąpienia dwójłomności, przechodzący przez model promień

spolaryzowanego światła ulega rozproszeniu na dwa promienie składowe, których

płaszczyzny drgań pokrywają się z kierunkami naprężeń (odkształceń) głównych, a wzajemne

przesunięcie (opóźnienie) w fazie jest proporcjonalne do różnicy naprężeń (odkształceń)

głównych modelu. Po przejściu tych promieni przez filtr polaryzacyjny, można uzyskać

interferencję odpowiednich składowych promieni, a w rezultacie – obraz pokryty układem

ciemnych prążków interferencyjnych. Rozkład tych prążków umożliwia wyznaczenie

składowych stanu naprężenia w modelu.

Metoda tensometryczna

Metoda tensometryczna jest uniwersalną metodą elektryczną do pomiaru parametrów

mechanicznych. Z uwagi na jej szereg zalet jest obecnie szeroko stosowaną zarówno do

pomiarów statycznych jak i dynamicznych. Często jest poprzedzana badaniem za pomocą

kruchych pokryć. Zasady metody tensometrycznej są opisane w Załączniku A.

Metody numeryczne

W ostatnich latach coraz większą popularność w analizie naprężeń w konstrukcjach

zdobywają metody numeryczne: metoda elementów skończonych (MES) i metoda elementów

brzegowych (MEB). Dzieje się tak ze względu na coraz większą dostępność programów

komputerowych, umożliwiających zarówno łatwe modelowanie rzeczywistego obiektu, jak

i przeprowadzenie na nim obliczeń.

W metodzie MES model ciągły elementu konstrukcyjnego zastępuje się modelem

dyskretnym. Ważne jest, aby w miejscach spodziewanej koncentracji naprężeń elementy

modelu dyskretnego były odpowiednio małe. MEB jest metodą alternatywną, której główną

zaletą jest zmniejszenie o jeden rząd, w porównaniu z MES, wymiaru geometrycznego

rozwiązywanego zagadnienia, dzięki czemu dyskretyzacji podlega tylko powierzchnia

elementu przestrzennego lub tylko konturu elementu płaskiego, bez ingerencji w obszar

wewnętrzny (rys. 4.5). Jednak uzyskane rozwiązanie ważne jest również wewnątrz

modelowanego obszaru. Metoda ta przy tym samym stopniu dyskretyzacji daje zwykle

8

równie dokładne wyniki jak metoda MES. Warto zauważyć, że metody numeryczne

pozwalają na obliczenie naprężeń lokalnych, natomiast trudniej na ich podstawie wyznaczyć

naprężenia nominalne.

a)

b)

Rys. 4.5 Dyskretyzacja elementu w metodach MES (a) oraz MEB (b)

4.4 OPIS STANOWISKA

Stanowisko badawcze

Podstawowe zespoły stanowiska przedstawionego na rys. 4.6 to: rama (

1), element

badany (

2) z naklejoną siatką tensometrów, układ napinający (3), w skład którego wchodzi

element pomiarowy – dynamometr tensometryczny,

Rys. 4.6 Widok ogólny stanowiska

Układ napinający

Schemat układu napinającego przedstawia rys 4.7. Pokręcając pokrętłem (

5) powodujemy

przesuw tulei (

6) w ucho (2). Tuleja pociąga pręt połączony z drugiej strony

z dynamometrem, zaś dynamometr (

1) połączony jest z drugim uchem (3).

9

Rys. 4.7 Układ napinający stanowiska badawczego

Na dynamometrze, zaprojektowanym jako element zginany dla uzyskania większych

odkształceń, naklejone są dwa tensometry połączone w układzie pół-mostka. Jest to układ,

który eliminujący wpływ rozciągania a jednocześnie kompensujący wpływ temperatury.

Dynamometr ma liniową charakterystykę określoną stałą A = 2400 [

N

/

‰

] przy stałej mostka

k

m

= 2. Zatem siła w układzie napinającym określona jest liniową zależnością:

d

A

P

ε

⋅

=

[N] (4.5)

gdzie

ε

d

= b – a [‰] jest różnicą odczytów dla dynamometru w stanie obciążonym (b)

i nieobciążonym (

a). Dla uzyskania żądanej siły P należy wyznaczyć ze wzoru (4.5)

odkształcenie

ε

d

i układem napinającym uzyskać wskazanie mostka dla dynamometru (

b),

odpowiadające tej sile.

Element badany

Parametry belki dwuteowej stanowiącej element badany są następujące:

• kąt załamania belki – 90

o

• kierunek siły obciążającej belkę – 45

o

• wysokość belki dwuteownika h = 100 mm
• szerokość półki dwuteownika a = 50 mm
• grubość ścianki środnika belki g = 4.5 mm
• powierzchnia przekroju belki A = 1060 mm

2

• moment bezwładności przekroju I

y

= 171 cm

4

• moment statyczny połowy przekroju S

y

= 19.9 cm

3

10

Rys. 4.8 Rozmieszczenie tensometrów

Siatka tensometrów na elemencie badanym (rys. 4.8) pozwala na określenie

następujących przebiegów naprężeń:

11

• rozkład naprężeń wzdłużnych σ

x

(normalnych do przekroju) na półkach w miarę

zbliżania się do strefy koncentracji (naroża),

• rozkład naprężeń wzdłużnych σ

x

na półkach w przekrojach prostopadłych do osi

wzdłużnej

A, C, E, G,

• rozkład naprężeń σ

x

,

σ

z

i

τ

xz

oraz naprężeń głównych na środniku w przekrojach

A, E i H.

Na półce górnej i dolnej naklejone są tensometry jednoosiowe, zaś na środniku rozety

tensometryczne. Końcówki wyprowadzeń tensometrów znajdują się na oznakowanej tabliczce

(rys. 4.9), zamocowanej na badanym elemencie.

A

C

B

D
E

F

G

H

8

9

17

K

1

2

3

4

5

6

7

10 11 12 13 14 15 16

18 19 20 21 22 23 24 25

0

26 27

A

C

B

D
E

F

G

H

8

9

17

K

1

2

3

4

5

6

7

10 11 12 13 14 15 16

18 19 20 21 22 23 24 25

0

26 27

Rys. 4.9 Tablica połączeń tensometrów

Aparatura pomiarowa

Zarówno pomiaru odkształceń w dynamometrze tensometrycznym, jak też we

wskazanych punktach konstrukcji nośnej dokonuje się za pomocą dostępnej aparatury.

W Załączniku A opisano zasadę pomiaru odkształceń za pomocą mostka tensometrycznego,

umożliwiające zrozumienie ogólnych zagadnień pomiaru odkształceń.

4.5 WYKONANIE ĆWICZENIA

Doświadczalna część niniejszego ćwiczenia ma na celu określenie naprężeń

rzeczywistych, występujących w strefie załamania belki (stanowiącej model kątowego

wysięgnika żurawia) oraz określenie wartości współczynnika koncentracji naprężeń przez

porównanie wartości naprężeń rzeczywistych z teoretycznymi.

Należy zwrócić uwagę, że wartość współczynnika koncentracji naprężeń nie jest tu

jednoznacznie określona, bowiem zależeć ona będzie od rodzaju naprężeń. Zwykle

współczynnik koncentracji określa się oddzielnie dla naprężeń normalnych i stycznych, a jak

wspomniano we wprowadzeniu, oddzielnie dla naprężeń normalnych od rozciągania i od

zginania. W złożonym stanie naprężeń współczynnik koncentracji naprężeń może być

12

również określany dla naprężeń głównych, które jako naprężenia normalne są porównywane

z nominalnymi naprężeniami normalnymi. Wykonując ćwiczenie należy rozważyć ten

problem i sprawdzić, jaki jest wpływ zagięcia belki na koncentrację naprężeń normalnych

i stycznych.

Teoretyczne określenie naprężeń

Układ tensometrów pozwala na wyznaczenie rzeczywistych wartości naprężeń w

wybranych punkach konstrukcji, zatem dla wyznaczenia współczynnika koncentracji

naprężeń potrzebna jest znajomość wartości nominalnych, które można wyznaczyć

z zależności teoretycznych (bez uwzględnienia spiętrzenia naprężeń).

Przy obciążeniu belki na stanowisku badawczym w jej dowolnym przekroju

α

występują

trzy siły wewnętrzne: siła normalna,

N

x

, siła tnąca

T

z

oraz moment gnący

M

y

. Efektem tych sił

będą naprężenia normalne

σ

x

oraz styczne

τ

xz

. Naprężenia normalne

σ

z

od ściskania

międzypasowego przy zginaniu są pomijalnie małe. Warto natomiast oszacować proporcje

naprężeń normalnych, wywołanych momentem gnącym oraz siły normalnej.

Naprężenia normalne od momentu gnącego oraz siły normalnej w przekroju ‘

α

’

odległym o

L

α

od punktu przyłożenia siły oblicza się z zależności:

A

N

I

z

M

x

y

y

x

−

⋅

±

=

σ

(4.6)

gdzie:

M

y

=

L

α

P sin

45

ο

− moment gnący względem osi y przekroju

α

(normalnego do osi

x)

N

x

=

P cos

45

ο

− siła normalna w przekroju

α

A

– powierzchnia przekroju rozciąganego / zginanego

I

y

– moment bezwładności przekroju względem osi y

a naprężenia styczne od siły tnącej oblicza się z zależności:

)

z

(

b

I

)

z

(

S

T

y

y

z

xz

⋅

⋅

=

τ

(4.7)

gdzie:

T

z

=

P sin

45

ο

− siła tnąca w przekroju

α

S

y

(z) – statyczny moment odciętej części przekroju, względem osi y

b(z) – szerokość ścianki na wysokości z

Należy zwrócić uwagę, że zgodnie ze wzorem (4.7) naprężenia styczne w punktach

z

max

i

z

min

są zerowe, przyjmując wartość maksymalną w osi obojętnej przekroju.

13

Rys. 4.11 Widok badanej belki

Powyższe wzory umożliwiają wyznaczenie teoretycznych rozkładów naprężeń

w wyznaczonych przekrojach badanego elementu. Będą one następnie porównywane

z rozkładami doświadczalnymi naprężeń rzeczywistych, umożliwiając oszacowanie

koncentracji naprężeń. Stosunek naprężeń rzeczywistych do naprężeń nominalnych w danym

punkcie określi wartość współczynnika koncentracji naprężeń.

Doświadczalne określenie wartości naprężeń

Zgodnie z zasadą pomiaru tensometrycznego uzyskane wyniki są względnymi

wydłużeniami, czyli odkształceniami

ε w danym punkcie przekroju. Dla obliczenia

odpowiednich naprężeń należy skorzystać z prawa Hooke`a dla jednoosiowego lub płaskiego

stanu naprężeń (patrz Załącznik A). W ten sposób można wyznaczyć naprężenia normalne

w kierunku osiowym,

σ

x

. Naprężenia styczne

τ

xz

można wyznaczyć z pomiaru odkształceń

w trzech kierunkach, dokonanego za pomocą układu trzech tensometrów – rozety

tensometrycznej, której oznaczenia podano na rys. 4.12.

y

x

45

ε

B

ε

A

ε

C

1

2

45

Θ

o

y

x

45

ε

B

ε

A

ε

C

1

2

45

Θ

o

Rys. 4.12 Układ rozety tensometrycznej

14

Na podstawie wzorów podanych w Załączniku A można, z odkształceń pomierzonych za

pomocą rozet, wyznaczyć odkształcenia główne i ich kierunki, a następnie naprężenia

główne.

Naprężenia wyznaczone z pomiarów należy porównać z naprężeniami teoretycznymi

i odnieść się zwłaszcza do zmienności tych naprężeń w badanych przekrojach. Ważną

obserwacją będzie wyznaczenie położenia przekroju o największych naprężeniach

rzeczywistych. Dla poszczególnych rodzajów naprężeń należy wyznaczyć współczynniki

koncentracji naprężeń, odnosząc wartości naprężeń maksymalnych w konstrukcji do naprężeń

nominalnych. Należy określić również wartość współczynnika koncentracji naprężeń

głównych, odnosząc ich największą wartość do nominalnych naprężeń normalnych.

We wnioskach należy porównać wartości wyznaczonych w ten sposób współczynników

koncentracji naprężeń dla różnych rodzajów naprężeń.

4.6 LITERATURA

1. Z. Dyląg, A. Jakubowicz, Z. Orłoś:

Wytrzymałość materiałów, WNT Warszawa, 1996

2. J. Rutecki:

Cienkościenne konstrukcje nośne, WNT 1966

3. W.D. Pilkey, D.F. Pilkey:

Peterson’s Stress Concentration Factors, John Wiley & Sons,

2008 (dostęp z komputerów PW: app.knovel.com)

4. W. Tyburski:

Przetworniki tensometryczne, WNT 1971

5. Z. Orłoś:

Doświadczalna analiza odkształceń i naprężeń, PWN, 1977