Przekształcenia całkowe
Wykład 3
fragmenty
Przekształcenia całkowe
Wykład 3
fragmenty
Całkowanie funkcji zmiennej zespolonej
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Twierdzenie 1:
Jeżeli funkcja jest ciągła
wzdłuż krzywej regularnej C, to całka istnieje i oblicza się ją
ze wzoru:
gdzie: jest równaniem krzywej
całkowania C.
( ) ( )
( )
,
,
f z
u x y
iv x y
=
+
( )
( ) ( )
d
d
C
f z
z
f z t
z t
t
β
α
′
⎡
⎤
=
⎣
⎦
∫
∫
( )
,
z
z t
t
=
α ≤ ≤ β
Całka krzywoliniowa funkcji zmiennej zespolonej
zachowuje wszystkie własności całki krzywoliniowej funkcji
zmiennej rzeczywistej:
1.
2.
3.
gdzie C - krzywa, w której zmieniono zwrot na przeciwny
.
( )
( )
( )
( )
1
2
1
2
d
d
d
C
C
C
f z
f
z
z
f z
z
f
z
z
⎡
⎤
±
=
±
⎣
⎦
∫
∫
∫
( )
( )
d
d ,
idem
C
C
k f z
z
k
f z
z
k
⋅
= ⋅
=
∫
∫
( )
( )
d
d
C
C
f z
z
f z
z
−
= −
∫
∫
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Definicja 1:
Mówimy, że funkcja jest funkcją pierwotną
funkcji w obszarze D, jeżeli w każdym punkcie tego
obszaru
( )
F z
( )
f z
'( )
( )
F z
f z
=
Twierdzenie 2:
Jeżeli funkcja jest ciągła w obszarze jednospójnym
D i ma w tym obszarze funkcję pierwotną , to całka
krzywoliniowa wzdłuż dowolnej drogi regularnej C zawartej w D
o początku z
1
i końcu z
2
nie zależy od drogi całkowania i wyraża się
wzorem
( )
f z
( )
F z
( )
2
1
d
( )
( )
C
f z
z
F z
F z
=
−
∫
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Wzór całkowy Cauchy’ego
Twierdzenie 3 (całkowe Cauchy’ego):
Jeżeli funkcja jest holomorficzna w obszarze
jednospójnym domkniętym D, to całka krzywoliniowa funkcji
wzdłuż każdej krzywej regularnej zamkniętej C
przebiegającej w D równa jest zeru, czyli:
( )
f z
( )
f z
( )
d
0
C
f z
z
=
∫
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Twierdzenie 4 (wzór całkowy Cauchy’ego):
Jeżeli funkcja jest holomorficzna w obszarze
jednospójnym domkniętym D, którego brzegiem jest kontur
C, to w każdym punkcie wewnętrznym z obszaru D wyraża
się ona wzorem:
( )
f z
( )
( )
1
d ,
2
C
f z
f
z
D
i
z
ξ =
ξ∈
π
− ξ
∫
Wniosek:
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
( )
( )
d
2
,
C
f z
z
i f
D
z
= π
ξ
ξ∈
− ξ
∫
Twierdzenie 5 (uogólniony wzór całkowy
Cauchy’ego):
Jeżeli funkcja jest holomorficzna w obszarze
jednospójnym domkniętym D, którego brzegiem jest kontur
C, to ma w każdym punkcie wewnętrznym z tego obszaru
pochodne wszystkich rzędów określone wzorami
( )
f z
( )
( )
( )
(
)
1
!
d ,
1, 2,
2
n
n
C
f z
n
f
z
n
i
z
+
ξ =
=
π
− ξ
∫
…
Wniosek:
( )
(
)
( )
( )
1
2
d
,
1, 2,
!
n
n
C
f z
i
z
f
n
n
z
+
π
=
ξ
=
− ξ
∫
…
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej