Przekształcenia całkowe

Wykład 2

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

1. Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

Definicja:

Jeżeli każdej liczbie rzeczywistej

t

należącej do

pewnego przedziału przyporządkowano liczbę zespoloną

:

a

t

b

≤ ≤

( )

( )

( )

z

z t

x t

iy t

=

=

+

to mówimy, że została określona funkcja zespolona

zmiennej rzeczywistej

t

.

( )

z t

Uwaga:

Równanie powyższe jest równoważne parze równań

rzeczywistych tzn.:

( )

( )

,

x

x t

a

t

b

y

y t

=

⎧

≤ ≤

⎨

=

⎩

Twierdzenie:

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

t

:

1. ma w punkcie

granicę

:

,

2. jest ciągła w punkcie

,

3. ma w punkcie

pochodną :

,

( )

z t

0

t

0

0

0

( )

( )

( )

z t

x t

iy t

=

+

0

t

0

t

0

0

0

'( )

'( )

'( )

z t

x t

iy t

=

+

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

4. jest całkowalna w przedziale [a, b]:

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

( )

( )

( )

d

d

d

b

b

b

a

a

a

z t

t

x t

t

i y t

t

=

+

∫

∫

∫

wtedy i tylko wtedy, jeżeli

obie funkcje rzeczywiste

spełniają warunki:

( ) ( )

,

x t

y t

1. mają granice w punkcie

:

i ,

2. są ciągłe w punkcie

,

3. mają pochodne w punkcie

:

i ,

4. są całkowalne w przedziale [a, b].

0

t

( )

0

x t

( )

0

y t

0

t

0

t

( )

0

'

x t

( )

0

'

y t

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

Uwaga:

Różniczkowanie i całkowanie funkcji zespolonej

zmiennej rzeczywistej przeprowadzamy stosując te same

reguły różniczkowania i całkowania jak dla funkcji
rzeczywistych pamiętając o tym, że

i

jest stałą.

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

2. Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Definicja:

Jeżeli każdej liczbie

z

należącej do pewnego obszaru

płaskiego D przyporządkowujemy pewną liczbę zespoloną

to mówimy, że w zbiorze D została określona

funkcja zespolona

zmiennej zespolonej

z

. Zbiór D

nazywamy dziedziną funkcji.

( )

w

f z

=

( )

f z

Dla funkcji zespolonej zmiennej zespolonej stosuje się zapis:

(

)

(

)

(

)

,

,

w

f x

iy

u x y

iv x y

=

+

=

+

gdzie:

- część rzeczywista funkcji

,

- część urojona funkcji

.

(

)

,

u x y

(

)

,

v x y

( )

w

f z

=

( )

w

f z

=

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Pochodna funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Definicja 1:

Pochodną funkcji

w punkcie

nazywamy

granicę skończoną

(o ile istnieje) następującego wyrażenia

( )

w

f z

=

0

z

(

)

( )

0

0

f z

z

f z

w

z

z

+ ∆ −

∆

=

∆

∆

przy założeniu, że przyrost zmiennej niezależnej dąży do zera

przez dowolne wartości zespolone

.

0

z

x

i y

∆ = ∆ + ∆ ≠

Pochodną funkcji w

punkcie

obliczamy

następująco:

( )

f z

0

z

( )

(

)

( )

0

0

0

0

lim

z

f z

z

f z

f

z

z

∆ →

+ ∆ −

′

=

∆

Uwaga:

Definicja jest formalnie identyczna z definicją pochodnej

funkcji zmiennej rzeczywistej, różnica polega na tym, że

przyrost

dążąc do zera, może przebiegać dowolne

wartości zespolone.

Słuszne są również twierdzenia o pochodnej sumy,

różnicy, iloczynu oraz ilorazu funkcji, przy założeniu, że

odpowiednie funkcje są różniczkowalne.

z

∆

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Twierdzenie 1 (warunek konieczny różniczkowalności):

Jeśli funkcja

ma w punkcie

pochodną

, to:

1. istnieją w tym punkcie pochodne cząstkowe części

rzeczywistej

oraz urojonej

,

2. pochodne te spełniają w tym punkcie równania

Powyższe równania nazywamy

warunkami Cauchy’ego –

Riemanna.

( )

( )

( )

,

,

f z

u x y

iv x y

=

+

z

x iy

= +

( )

,

u x y

( )

,

v x y

u

v

u

v

x

y

y

x

∂

∂

∂

∂

=

= −

∂

∂

∂

∂

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Twierdzenie 2 (warunek dostateczny różniczkowalności):

Jeżeli część rzeczywista

i urojona

funkcji zespolonej

spełniają

warunki Cauchy’ego–Riemanna w pewnym obszarze D i jeżeli

ponadto pochodne cząstkowe tych funkcji są ciągłe w tym

obszarze, to funkcja

ma w każdym punkcie

tego obszaru pochodną:

( )

,

u x y

( )

,

v x y

( )

( )

( )

,

,

f z

u x y

iv x y

=

+

( )

f z

u

iv

= +

z

x iy

= +

( )

1

u

v

u

v

f

z

i

i

x

x

i

y

y

⎛

⎞

∂

∂

∂

∂

′

=

+

=

+

⎜

⎟

∂

∂

∂

∂

⎝

⎠

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Definicja 2:

Mówimy, że funkcja

jest

holomorficzna

w pewnym

obszarze D, jeżeli jest

holomorficzna

w

każdym

punkcie tego

obszaru.

( )

f z

Definicja 3:

Funkcja

jest

holomorficzna

w punkcie

, jeżeli

jest różniczkowalna w danym punkcie

i w pewnym jego

otoczeniu.

( )

f z

0

z

0

z