Przekształcenia całkowe
Wykład 2
Przekształcenia całkowe
Wykład 2
Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej
1. Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej
Definicja:
Jeżeli każdej liczbie rzeczywistej
t
należącej do
pewnego przedziału przyporządkowano liczbę zespoloną
:
a
t
b
≤ ≤
( )
( )
( )
z
z t
x t
iy t
=
=
+
to mówimy, że została określona funkcja zespolona
zmiennej rzeczywistej
t
.
( )
z t
Uwaga:
Równanie powyższe jest równoważne parze równań
rzeczywistych tzn.:
( )
( )
,
x
x t
a
t
b
y
y t
=
⎧
≤ ≤
⎨
=
⎩
Twierdzenie:
Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej
t
:
1. ma w punkcie
granicę
:
,
2. jest ciągła w punkcie
,
3. ma w punkcie
pochodną :
,
( )
z t
0
t
0
0
0
( )
( )
( )
z t
x t
iy t
=
+
0
t
0
t
0
0
0
'( )
'( )
'( )
z t
x t
iy t
=
+
Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej
4. jest całkowalna w przedziale [a, b]:
Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej
( )
( )
( )
d
d
d
b
b
b
a
a
a
z t
t
x t
t
i y t
t
=
+
∫
∫
∫
wtedy i tylko wtedy, jeżeli
obie funkcje rzeczywiste
spełniają warunki:
( ) ( )
,
x t
y t
1. mają granice w punkcie
:
i ,
2. są ciągłe w punkcie
,
3. mają pochodne w punkcie
:
i ,
4. są całkowalne w przedziale [a, b].
0
t
( )
0
x t
( )
0
y t
0
t
0
t
( )
0
'
x t
( )
0
'
y t
Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej
Uwaga:
Różniczkowanie i całkowanie funkcji zespolonej
zmiennej rzeczywistej przeprowadzamy stosując te same
reguły różniczkowania i całkowania jak dla funkcji
rzeczywistych pamiętając o tym, że
i
jest stałą.
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
2. Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Definicja:
Jeżeli każdej liczbie
z
należącej do pewnego obszaru
płaskiego D przyporządkowujemy pewną liczbę zespoloną
to mówimy, że w zbiorze D została określona
funkcja zespolona
zmiennej zespolonej
z
. Zbiór D
nazywamy dziedziną funkcji.
( )
w
f z
=
( )
f z
Dla funkcji zespolonej zmiennej zespolonej stosuje się zapis:
(
)
(
)
(
)
,
,
w
f x
iy
u x y
iv x y
=
+
=
+
gdzie:
- część rzeczywista funkcji
,
- część urojona funkcji
.
(
)
,
u x y
(
)
,
v x y
( )
w
f z
=
( )
w
f z
=
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Pochodna funkcji zespolonej zmiennej zespolonej
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Definicja 1:
Pochodną funkcji
w punkcie
nazywamy
granicę skończoną
(o ile istnieje) następującego wyrażenia
( )
w
f z
=
0
z
(
)
( )
0
0
f z
z
f z
w
z
z
+ ∆ −
∆
=
∆
∆
przy założeniu, że przyrost zmiennej niezależnej dąży do zera
przez dowolne wartości zespolone
.
0
z
x
i y
∆ = ∆ + ∆ ≠
Pochodną funkcji w
punkcie
obliczamy
następująco:
( )
f z
0
z
( )
(
)
( )
0
0
0
0
lim
z
f z
z
f z
f
z
z
∆ →
+ ∆ −
′
=
∆
Uwaga:
Definicja jest formalnie identyczna z definicją pochodnej
funkcji zmiennej rzeczywistej, różnica polega na tym, że
przyrost
dążąc do zera, może przebiegać dowolne
wartości zespolone.
Słuszne są również twierdzenia o pochodnej sumy,
różnicy, iloczynu oraz ilorazu funkcji, przy założeniu, że
odpowiednie funkcje są różniczkowalne.
z
∆
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Twierdzenie 1 (warunek konieczny różniczkowalności):
Jeśli funkcja
ma w punkcie
pochodną
, to:
1. istnieją w tym punkcie pochodne cząstkowe części
rzeczywistej
oraz urojonej
,
2. pochodne te spełniają w tym punkcie równania
Powyższe równania nazywamy
warunkami Cauchy’ego –
Riemanna.
( )
( )
( )
,
,
f z
u x y
iv x y
=
+
z
x iy
= +
( )
,
u x y
( )
,
v x y
u
v
u
v
x
y
y
x
∂
∂
∂
∂
=
= −
∂
∂
∂
∂
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Twierdzenie 2 (warunek dostateczny różniczkowalności):
Jeżeli część rzeczywista
i urojona
funkcji zespolonej
spełniają
warunki Cauchy’ego–Riemanna w pewnym obszarze D i jeżeli
ponadto pochodne cząstkowe tych funkcji są ciągłe w tym
obszarze, to funkcja
ma w każdym punkcie
tego obszaru pochodną:
( )
,
u x y
( )
,
v x y
( )
( )
( )
,
,
f z
u x y
iv x y
=
+
( )
f z
u
iv
= +
z
x iy
= +
( )
1
u
v
u
v
f
z
i
i
x
x
i
y
y
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
′
=
+
=
+
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
Definicja 2:
Mówimy, że funkcja
jest
holomorficzna
w pewnym
obszarze D, jeżeli jest
holomorficzna
w
każdym
punkcie tego
obszaru.
( )
f z
Definicja 3:
Funkcja
jest
holomorficzna
w punkcie
, jeżeli
jest różniczkowalna w danym punkcie
i w pewnym jego
otoczeniu.
( )
f z
0
z
0
z