Podstawy Elektrotechniki

MSN0750W

MSN0750W

ESN0750W

ESN0750W

w2

w2

Podstawy Elektrotechniki

Zasada zachowania ładunku elektrycznego stwierdza,

ż

e całkowity

ładunek układu odosobnionego nie ulega zmianie.

Układ odosobniony to taki przez którego granice nie przenikaj

ą

ładunki

elektryczne.

Ś

rodowisko fizyczne dzielimy na:

-

przewodniki ( I i II rodzaju )- metale, elektrolity

-

półprzewodniki

-

dielektryki

-

Pró

ż

ni

ę

Metale: pasmo przewodnictwa nie jest całkowicie zapełnione.

elektrony swobodne

V~10

5

m/s w T

R

Podstawy Elektrotechniki

Półprzewodniki:

pasmo przewodnictwa puste, przerwa zabroniona, pułapki, rodzaj

półprzewodnika, elektrony, dziury

Dielektryki:

przerwa zabroniona bardzo du

ż

a

Ze wzgl

ę

du na struktur

ę

rozró

ż

nia si

ę

ś

rodowiska:

-

jednorodne i niejednorodne

-

Izotropowe i anizotropowe

-

liniowe i nieliniowe

Opis makroskopowy zjawisk

Podstawy Elektrotechniki

W sensie makroskopowym obszar

∆

V

→

0 zajmuje bardzo du

ż

a liczba

cz

ą

stek

Wielko

ś

ci makroskopowe - s

ą

to warto

ś

ci

ś

rednie wielko

ś

ci fizycznych

0

1

lim

mikro

makro

V

mikro

V

dV

V

∆ →

∆

Ψ

= Ψ

=

Ψ

∆

∫

U

ś

redniaj

ą

c zast

ę

pujemy rozkład ziarnisty ( dyskretny ) wielko

ś

ci

mikroskopowych – rozkładem ci

ą

głym

W elektrostatyce bada si

ę

oddziaływanie ładunków nieruchomych ( w

sensie makroskopowym ) w danym inercyjnym układzie współrz

ę

dnych.

W zale

ż

no

ś

ci od rozmieszczenia ładunku elektrycznego rozró

ż

nia si

ę

:

- rozkład obj

ę

to

ś

ciowy q

v

- rozkład powierzchniowy q

s

- rozkład liniowy q

l

- rozkład punktowy

Podstawy Elektrotechniki

g

ę

sto

ść

obj

ę

to

ś

ciowa q

v

[ ]

0

2

lim

S

S

S

Q

C

q

q

S

m

∆ →

∆

=

=

∆

[ ]

0

3

lim

V

V

V

Q

C

q

q

V

m

∆ →

∆

=

=

∆

q

v

(x,y,z) jest funkcj

ą

ci

ą

gł

ą

współrz

ę

dnych przestrzennych

g

ę

sto

ść

powierzchniowa q

s

g

ę

sto

ść

liniowa q

l

[ ]

0

lim

l

l

l

Q

C

q

q

l

m

∆ →

∆

=

=

∆

Podstawy Elektrotechniki

Wektor nat

ęż

enia pola elektrycznego

E

[ ]

0

0

0

lim

q

F

V

E

E

q

m

+ →

=

=

(

)

, ,

x y z

0

q

F

Wymaga si

ę

aby ładunek próbny był mały –

aby nie zakłócał obrazu

ź

ródeł pola

Podstawy Elektrotechniki

Pole pojedynczego ładunku punktowego Q

(

)

, ,

x y z

0

q

E

(

)

0

0

0

,

,

x y z

Q

r

3

2

0

0

1

4

4

r

Q

r

Q

E

r

r

ε

ε

=

=

Π

Π

Pole ładunku punktowego jest polem promieniowym

Zasada superpozycji

Nat

ęż

enie pola od układu ładunków punktowych

3

3

1

1

0

0

1

;

4

4

n

n

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

Q

Q r

r

E

E

E

E

r

r

ε

ε

=

=

=

=

⇒

=

Π

Π

∑

∑

Działania elektrostatyczne s

ą

addytywne

Ogólnie dla ró

ż

nych rozkładów

3

3

3

3

0

1

4

j

j

V

S

l

j

j

V

S

L

Q r

q r

q r

q r

E

dV

ds

dl

r

r

r

r

ε









=

+

+

+





Π









∑

∫

∫

∫

Linie pola elektrycznego

Linie do których s

ą

styczne wektory nat

ęż

enia pola elektrycznego

nazywamy liniami pola

x

y

z

x

y

z

E

E i

E j

E k

dl

dxi

dy j

dzk

dl E

stąd

dx

dy

dz

E

E

E

=

+

+

=

+

+

=

=

Linie sił pola zaczynaj

ą

si

ę

na ładunku „+” a ko

ń

cz

ą

na ładunku „-”

Strumie

ń

wektora nat

ęż

enia

Elementem strumienia wektora E przez element powierzchni ds.

nazywamy

cos

E

n

yz

xz

xy

E

x

yz

y

xz

z

xy

d

E d s

Eds

E ds

d s

nds

d s

ds i

ds j

ds i

d

E ds

E ds

E d

α

Ψ =

=

=

=
=

+

+

Ψ =

+

+



E

E

S

S

d

E d s

Ψ =

Ψ =

∫

∫



Strumie

ń

wektora E przez dowoln

ą

powierzchni

ę

S

Prawo Gauss’a

Dla ładunku punktowego

1

0

( )

1

j

n

E

j

j

S V

Q

V

E d s

Q

ε

=

∈

Ψ =

=

∑

∫





0

( )

Q V

E

S V

Q

E d s

ε

∈

Ψ =

=

∫





Je

ż

eli ładunek punktowy znajduje si

ę

poza obszarem ograniczonym

powierzchni

ą

zamkni

ę

t

ą

S to wtedy strumie

ń

jest równy zero.

Dla układu ładunków

Dla rozkładu przestrzennego

0

( )

1

E

V

S V

V

E d s

q dV

ε

Ψ =

=

∫

∫





Twierdzenia analizy wektorowej

•

Twierdzenie Ostrogradskiego-
Gauss’a

• Twierdzenie Stokes’a

(

)

S V

V

E d s

divEdV

∫

∫

=





(

)

L S

S

E d l

rot E d s

∫

∫

=







Rachunek operatorowy pola wektorowego

• Dywergencja lub rozbie

ż

no

ść

• Rotacja lub cyrkulacja

• kierunek wyznacza wektor normalny do

∆

S

• zwrot definiuje prawoskr

ę

tno

ść

brzegu

∆

S

0

0

(

)

(

)

1

1

lim

lim

n

V

V

S

V

S

V

divE

E d s

E ds

V

V

∆ →

∆ →

∆

∆

∫

∫

=

=

∆

∆







0

(

)

1

lim

S

L

S

rot E

E d l

S

∆ →

∆

∫

=

∆





Prawo Gauss’a

W postaci całkowej

0

0

( )

1

1

E

V

V

S V

V

E d s

q dV

Q

ε

ε

Ψ =

=

=

∫

∫





W postaci ró

ż

niczkowej

0

1

V

divE

q

ε

=

Potencjalno

ść

pola elektrycznego

dl

F

α

2

P

1

P

Praca jak

ą

wykona pole

2

2

2

1

1

1

1,2

cos

P

P

P

P

P

P

W

F d l

q E d l

q Edl

α

=

=

=

∫

∫

∫





Praca ta unormowana do jednostkowego ładunku nazywa si

ę

napi

ę

ciem

Elektrycznym U

1,2

[ ]

2

1

1,2

;

1

P

P

U

E d l

U

V

=

=

∫



Pole w którym napi

ę

cie nie zale

ż

y od drogi całkowania nazywa si

ę

potencjalnym

Potencjał

Pole ładunku punktowego, jak równie

ż

pole dowolnego rozkładu

nieruchomych ładunków jest polem potencjalnym czyli tzw.
bezwirowym.

( )

0

lub

0

L S

E d l

rot E

=

=

∫





Potencjałem danego punktu P(x,y,z) pola potencjalnego nazywamy napi

ę

cie

pomi

ę

dzy tym punktem a niesko

ń

czono

ś

ci

ą

.

P

P

V

E d l

∞

=

∫



Potencjał

Potencjał od ładunku punktowego

0

4

P

Q

V

r

ε

=

Π

Napi

ę

cie w polu potencjalnym jest ró

ż

nic

ą

potencjałów

12

1

2

U

V

V

= −

W polu elektrostatycznym obowi

ą

zuje superpozycja potencjałów

0

1

4

j

V

s

l

P

j

j

V

S

L

Q

q

q

q

V

dV

ds

dl

r

r

r

r

ε









=

+

+

+





Π









∑

∫

∫

∫

Potencjał

Powierzchnie dla których spełniony jest warunek V(x,y,z) =const.

nazywamy powierzchniami ekwipotencjalnymi.

Linie pola s

ą

prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych

12

0

U

E d l

E

d l

= =

⇒

⊥



Dla bardzo bliskich punktów

2

12

12

( , , )

(

,

,

)

;

;

P

x

y

z

P

x

y

z

U

E d l

E d l

E dx

E dy

E dz

oraz

V

V

V

U

x y z

V x

dx y

dy z

dz

dx

dy

dz

x

y

z

to

V

V

V

E

E

E

x

y

z

czyli

V

V

V

E

i

j

k

gradV

V

x

y

z

=

≅

=

+

+

∂

∂

∂

=

−

+

+

+

≅ −

−

−

∂

∂

∂

∂

∂

∂

= −

= −

= −

∂

∂

∂





∂

∂

∂

= −

+

+

= −

= −∇





∂

∂

∂





∫





Równanie Poissona i Laplace’a

0

2

0

1

v

v

z

równania

divE

q

oraz

E

gradV

wynika

q

V

V

ε

ε

=

= −

∇ = ∆ = −

Równanie Poissona

Równanie Poissona i Laplace’a

W obszarach w których nie ma ładunków ( q

v

=0) równanie Poissona

przechodzi w równanie Laplace’a.

2

0

V

V

∆ = ∇ =

Ładunek w dowolnej obj

ę

to

ś

ci mo

ż

na wyrazi

ć

za pomoc

ą

potencjału.