Ruch ładunku w jednorodnym polu magnetycznym
×
×
×
×
×
×
q
B
v
ma
qv B
=
×
d v
m
qv B
dt
=
×
Zakładamy,
ż
e
(0, 0,
)
z
B
B
=
(
)
,
,
,
, 0
y
x
z
y
z
x
z
dv
dv
dv
m
m
m
q v B
v B
dt
dt
dt
=
−
1)
2)
3)
0
0
x
y
z
x
x
z
z
z
dv
m
qv B
dt
dv
m
qv B
dt
dv
m
v
konst
dt
=
= −
=
⇒
=
=
z 1)
x
y
z
dv
m
v
qB dt
=
i wstawiamy do 2)
2
2
2
2
x
z
x
z
z
d v
qB
m
qv B
qB
dt
m
= −
i
2
2
2
2
2
0
x
z
x
d v
q B
v
dt
m
+
=
Ruch ładunku w jednorodnym polu magnetycznym
je
ż
eli oznaczymy
2
2
0
0
2
0
x
z
x
d v
qB
v
m
dt
ω
ω
=
⇒
+
=
równanie to ma rozwi
ą
zanie
1
0
2
0
sin
cos
x
v
A
t
A
t
ω
ω
=
+
1
0
2
0
0
1
cos
sin
x
y
dv
v
A
t
A
t
dt
ω
ω
ω
=
=
−
współczynniki A
1
i A
2
wyznaczamy z warunków pocz
ą
tkowych,
np. je
ś
li dla t=0
0
0
0
0
(0)
( , 0, 0)
(cos
, sin
, 0)
v
v
v
v
t
t
ω
ω
=
⇒
=
−
czyli rozpatrywana cz
ą
stka porusza si
ę
ze stał
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
v
0
po le
żą
cym na
płaszczy
ź
nie xy okr
ę
gu o promieniu R=v
0
/
ω
0
Je
ż
eli cz
ą
stka ma niezerow
ą
składow
ą
v
z
to tor ruchu cz
ą
stki staje si
ę
lini
ą
ś
rubow
ą
Pole elektromagnetyczne
Poj
ę
cie pr
ą
du przesuni
ę
cia
( )
S V
j
j
j
j
pr
ą
d wypływaj
ą
cy z zamkni
ę
tej powierzchni S(V) wynosi:
( )
( )
( )
S V
S V
S V
dQ
d
D
j d s
D d s
d s
dt
dt
t
∂
= −
= −
= −
∂
∫
∫
∫
st
ą
d
( )
0
S V
V
D
D
j
d s
div j
dv
dt
dt
∂
∂
+
= =
+
∫
∫
Z dowolno
ś
ci V wynika
0
D
div j
dt
∂
+
=
Czyli, wektor
D
j
dt
∂
+
- jest bez
ź
ródłowy ( o wymiarze A/m
2
)
Całkuj
ą
c równanie po dowolnej powierzchni S
Pole elektromagnetyczne
Maxwell zaproponował rozszerzenie prawa przepływu dla pól zmiennych o
składow
ą
pr
ą
du przesuni
ę
cia
D
rot H
j
t
∂
= +
∂
co stanowi uogólnienie prawa przepływu dla magnetostatyki
D
t
∂
∂
- g
ę
sto
ść
pr
ą
du przesuni
ę
cia
D
j
t
∂
+
∂
- g
ę
sto
ść
pr
ą
du całkowitego
Jest to II równanie Maxwella dla pól elektromagnetycznych
Pole elektromagnetyczne
otrzymamy całkow
ą
posta
ć
II równania Maxwella
S
S
D
rot H d s
j
d s
czyli
t
∂
=
+
∂
∫
∫
( )
L S
S
S
D
H d l
j d s
d s
t
∂
=
+
∂
∫
∫
∫
Pr
ą
d transportu
Pr
ą
d przesuni
ę
cia
gdy
0
j
=
to przy
0
D
t
∂ ≠
∂
pole H jest wirowe
0
rot H
≠
Pr
ą
d polaryzacji i straty energii w dielektryku
Pr
ą
d przesuni
ę
cia składa si
ę
z dwóch cz
ęś
ci
0
D
E
P
t
t
t
ε
∂
∂
∂
=
+
∂
∂
∂
S
P
d s
t
∂
∂
∫
-pr
ą
d polaryzacji zwi
ą
zany z przemieszczaniem i obrotem dipoli
- w pró
ż
ni jest on zerowy
-ze wzrostem cz
ę
stotliwo
ś
ci ro
ś
nie składowa pr
ą
du polaryzacji
obroty dipoli zwi
ą
zane s
ą
ze stratami energii
Np. dla kondensatora płaskiego w jednostce obj
ę
to
ś
ci
1
1
D
uidt
El
j
Sdt
E
jdt
E d D
V
V
t
∂
=
+
=
+
∂
∫
∫
∫
∫
Ciepło Joule’a
Energia pobrana
przez pole w materii
Równania Maxwella
D
rot H
j
t
∂
= +
∂
( )
(
)
L S
S
D
H dl
j
d s
t
∂
=
+
∂
∫
∫
Posta
ć
całkowa
Posta
ć
ró
ż
niczkowa
I równanie Maxwella
( )
L S
S
d
E d l
B d s
dt
= −
∫
∫
B
rot E
t
∂
= −
∂
II równanie Maxwella
III równanie Maxwella
( )
v
S V
V
D d s
q dv
=
∫
∫
v
divD
q
=
IV równanie Maxwella
( )
0
S V
B d s
=
∫
0
divB
=
Równania materiałowe
0
0
0
v
D
E
P
B
H
M
j
E
q u
ε
µ
µ
γ
=
+
=
+
=
+
0
0
r
r
D
E
E
B
H
E
ε
ε ε
µ
µ µ
=
=
=
=
Warunki brzegowe
2
1
2
1
t
t
n
n
H
H
K
B
B
−
=
=
1
2
1
2
1
2
1
2
0
n
H
n
H
K
n
D
n
D
×
+ ×
=
+
=
1
2
2
1
t
t
s
n
n
E
E
q
j
j
t
=
∂
−
= −
∂
Pole elektryczne
1
2
2
1
t
t
n
n
s
E
E
D
D
q
=
−
=
1
2
1
2
1
2
1
2
0
s
n
E
n
E
n
D
n
D
q
×
+ ×
=
+
=
Pole magnetyczne
Pole przepływowe
1
2
1
2
1
2
1
2
0
s
n
E
n
E
q
n
j
n
j
t
×
+ ×
=
∂
+
= −
∂
Wektor Poyntinga
V
dV
Energia pobrana przez obszar dV
przez czas dt
(
)
dW
E
jdt
H d B
E d D dV
=
+
+
B
D
dW
E
j
H
E
dVdt
t
t
∂
∂
=
+
+
∂
∂
Moc pobierana przez element dV
dW
B
D
E
j
H
E
dV
dt
t
t
∂
∂
=
+
+
∂
∂
a przez cały obszar V
V
B
D
P
E
j
H
E
dV
t
t
∂
∂
=
+
+
∂
∂
∫
(
)
(
)
(
)
B
D
E
j
H
E
E
j
H
rot E
E
rot H
j
t
t
Erot H
Hrot E
div E H
∂
∂
+
+
=
+
−
+
− =
∂
∂
=
−
= −
×
Wektor Poyntinga
(
)
(
)
( )
V
S V
P
div E H dV
E H
d s
= −
×
= −
×
∫
∫
Moc wyprowadzenia energii poza obszar V
(
)
( )
S V
P
E H
d s
− =
×
∫
Strumie
ń
wektora
(
)
E H
×
Jest moc
ą
wypromieniowan
ą
z obszaru V
Wektor
(
)
E H
Π =
×
- wektor Poyntinga - wektor g
ę
sto
ś
ci mocy [ W/m
2
]
V
dV
Transport mocy w kablu jedno
ż
yłowym
koncentrycznym
×
I
⊗
E
H
Π
2
1
sin 90
2
ln
o
U
I
E H
EH
EH
R
r
r
R
Π = ×
=
=
=
Π
(
)
2
2
1
1
2
2
2
2
0
1
1
2
ln
ln
R
R
S
R
R
UI
UI
dr
E H
d s
rdrd
UI
P
moc
R
R
r
r
R
R
ϕ
Π
×
=
=
=
= =
Π
∫
∫ ∫
∫
2
2
2
3
1
1
1
1
1
1
2
2
2
I
I
I
I
EH
j
R
R
R
R
γ
γ
γ
=
=
=
Π
Π
Π
Π
2
2
2
1
1
2
3
2
1
1
2
2
2
S
I
l
EHds
EH
R l
R l
I
RI
R
R
γ
γ
=
Π
=
Π
=
=
Π
Π
∫
j
E
H
l
Π
Energia płynie do odbiornika przez przestrze
ń
otaczaj
ą
c
ą
przewody
i cz
ęś
ciowo dopływa ( jest tracona na ciepło ) do wn
ę
trza przewodu
Linia 2 przewodowa
×
•
⊗
E
H
Π
⊗
H
Π
E
Fale elektromagnetyczne
Równania Maxwell’a opisuj
ą
wzajemny zwi
ą
zek pola
elektrycznego i magnetycznego. Dowolne zaburzenie jednego
z pól powoduje reakcj
ę
drugiego pola.
Maxwell w 1864 roku przewidział teoretycznie istnienie
fal elektromagnetycznych.
Dopiero 20 lat pó
ź
niej H. Hertz potwierdził eksperymentalnie
istnienie fal elektromagnetycznych.
Hertz po raz pierwszy wytworzył fale elektromagnetyczne posługuj
ą
c
si
ę
skonstruowanym przez siebie oscylatorem elektrycznym
(oscylator Hertza). Stwierdził to
ż
samo
ść
fizyczn
ą
fal
elektromagnetycznych i fal
ś
wietlnych oraz ich jednakow
ą
pr
ę
dko
ść
rozchodzenia si
ę
. Hertz stworzył podstawy rozwoju radiokomunikacji.
a) Oscylator Hertz’a
b) rezonator Hertz’a
Równania Maxwella
D
rot H
j
t
∂
= +
∂
( )
(
)
L S
S
D
H dl
j
d s
t
∂
=
+
∂
∫
∫
( )
0
S V
B d s
=
∫
Posta
ć
całkowa
Posta
ć
ró
ż
niczkowa
I równanie Maxwella
( )
L S
S
d
E d l
B d s
dt
= −
∫
∫
B
rot E
t
∂
= −
∂
II równanie Maxwella
III równanie Maxwella
( )
v
S V
V
D d s
q dv
=
∫
∫
v
divD
q
=
IV równanie Maxwella
0
divB
=
Równania materiałowe
0
0
0
v
D
E
P
B
H
M
j
E
q u
ε
µ
µ
γ
=
+
=
+
=
+
0
0
r
r
D
E
E
B
H
E
ε
ε ε
µ
µ µ
=
=
=
=
Fale elektromagnetyczne
.
Opis matematyczny tego zjawiska otrzymamy poprzez poł
ą
czenie dwóch pierwszych
równa
ń
Maxwell’a.
D
rot H
j
rot
t
∂
= +
∂
korzystamy z to
ż
samo
ś
ci
(
)
2
rotrot H
graddivH
lapH
H
H
H
=
−
∇×∇ = ∇ ∇
− ∇
Zakładamy,
ż
e
ś
rodowisko jest:
- jednorodne
- izotropowe
- liniowe
(
)
D
rot j
rot E
rot E
t
t
γ
ε
∂
∂
+
=
+
∂
∂
0
divB
divH
µ
=
=
zatem
H
rot E
t
µ
∂
= −
∂
2
2
2
H
H
H
t
t
µγ
µε
∂
∂
∇
=
+
∂
∂
Fale elektromagnetyczne
B
rot E
rot
t
∂
= −
∂
( )
2
rotrot E
graddivE
lapE
E
E
E
=
−
∇×∇ = ∇ ∇
− ∇
Podobnie post
ę
pujemy dla pola elektrycznego
zakładamy,
ż
e w rozpatrywanym obszarze nie ma ładunków swobodnych i wtedy
0
divD
divE
ε
=
=
2
2
(
)
B
E
E
rot
rot H
t
t
t
t
µ
µγ
µε
∂
∂
∂
∂
−
= −
= −
−
∂
∂
∂
∂
2
2
2
E
E
E
t
t
µγ
µε
∂
∂
∇
=
+
∂
∂
Fale elektromagnetyczne
(
)
0
0
0,
,
r
r
i
γ
ε ε ε µ µ µ
γ
ωε
=
=
=
≪
(
)
0
0
0,
,
γ
ε ε µ µ
≠
=
=
Mo
ż
emy rozpatrywa
ć
propagacj
ę
fali w nast
ę
puj
ą
cych o
ś
rodkach:
-wolna przestrze
ń
-bezstratne dielektryki
-stratne dielektryki
-„dobre” przewodniki
(
)
0
0
0,
,
γ
ε ε µ µ
=
=
=
(
)
0
0
,
,
r
r
i
γ
ε ε ε µ µ µ
γ
ωε
= ∞ =
=
≫
rozpatrzmy idealne
ś
rodowisko dielektryczne (
γ
=0), wówczas otrzymamy
2
2
2
2
2
2
0
0
H
H
H
t
E
E
E
t
µε
µε
∂
∇
=
=
∂
∂
∇
=
=
∂
□
□
wprowadzamy operator:
2
2
2
2
1
v
t
∂
=
∇ −
∂
□
Fale elektromagnetyczne
W teorii równa
ń
ró
ż
niczkowych równanie typu
0
u
=
□
Nosi nazw
ę
równania falowego ,w którym wielko
ść
„u” zmienia si
ę
falowo z
pr
ę
dko
ś
ci
ą
rozchodzenia si
ę
fali „V”.
Rozpatrzmy funkcj
ę
f(x)
Ruchem falowym b
ę
dziemy nazywa
ć
taki ruch gdy
pewne zaburzenie stanu fizycznego
ś
rodowiska
opisane funkcj
ą
f(x), przemieszcza si
ę
w przestrzeni
ze stał
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
„v”.
-v jest pr
ę
dko
ś
ci
ą
fali
- a=vt okre
ś
la drog
ę
jak
ą
przebywa fala w czasie t
Fala jest funkcj
ą
czasu i przestrzeni.
Ruch falowy wyst
ę
puje wtedy, kiedy zaburzenie w punkcie A w czasie t
o
determinuje
to co zdarzy si
ę
w punkcie B w czasie t>t
o
.
Tak wi
ę
c ruch falowy opisuje dowolna funkcja, której argumentem jest wyra
ż
enie
ω
1,2
=x±vt
x
( )
f x
(
)
f x a
−
(
)
f x a
+
a
a
−
0
Fale elektromagnetyczne
-f(x-vt) fala biegn
ą
ca w kierunku + osi x ( fala pierwotna )
-f(x+vt) fala biegn
ą
ca w kierunku - osi x ( fala odbita, powrotna )
Sprawdzimy,
ż
e funkcja u=f(
ω
1,2
)=f(x±vt) spełnia równanie
2
2
2
2
2
1
0
u
u
u
x
v
t
∂
∂
=
⇒
=
∂
∂
□
1,2
1,2
1,2
2
2
2
1,2
2
2
2
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
2
2
1,2
2
2
1,2
1,2
2
2
2
2
2
1,2
1,2
2
2
2
2
2
2
1,2
1,2
(
)
(
)
(
)
(
)
1
u
f
f
x
x
u
f
f
f
x
x
x
u
f
f
v
t
t
u
f
f
v
v
t
t
t
f
f
v
v
v
f
f
v
v
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
∂
∂
∂
∂
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
=
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
= ±
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
±
= ±
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= ± ±
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
cbdo
Fale elektromagnetyczne
Poniewa
ż
takie równanie opisuje zarówno pole elektryczne jak i magnetyczne to
Wnioskujemy,
ż
e pola te rozprzestrzeniaj
ą
si
ę
ruchem falowym z pr
ę
dko
ś
ci
ą
1
r
r
c
v
µε
µ ε
=
=
Je
ż
eli fala elektromagnetyczna rozprzestrzenia si
ę
w pró
ż
ni to
9
0
7
0
8
1
10
36
4
10
3 10
F
m
H
m
m
v
c
s
ε
µ
−
−
=
Π
= Π ⋅
= ⋅
=
Fale elektromagnetyczne
Fala elektromagnetyczna w
ś
rodowisku nieprzewodz
ą
cym (
γ
=0)
2
2
2
2
2
2
0
0
H
H
H
t
E
E
E
t
µε
µε
∂
∇
=
=
∂
∂
∇
=
=
∂
□
□
Układ ten jest układem 6 równa
ń
dla funkcji skalarnych
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
x
x
x
x
H
H
H
H
x
y
z
v
t
∂
∂
∂
∂
+
+
=
∂
∂
∂
∂
Równanie te s
ą
w ogólnym przypadku trudne do rozwi
ą
zania zarówno metodami
analitycznymi jak i numerycznymi.
Przyjmujemy pewne uproszczenia.
Fala płaska spolaryzowana liniowo ( TEM )
Fala płaska – fala w której wektory drgaj
ą
w płaszczy
ź
nie prostopadłej do kierunku
rozchodzenia si
ę
fali ( nie wyst
ę
puj
ą
drgania w kierunku rozchodzenia si
ę
fali ).
E
i
H
Fale elektromagnetyczne
E
i
H
Załó
ż
my,
ż
e fala rozchodzi si
ę
wzdłu
ż
osi „z”, to wówczas składowe H
z
=E
z
=0
Mo
ż
na pokaza
ć
,
ż
e w fali płaskiej wektory s
ą
wzajemnie prostopadłe.
Fala spolaryzowana liniowo - taka fala dla, której mo
ż
liwy jest wybór osi x i y taki,
ż
e
wektor pala elektrycznego drga wzdłu
ż
osi x a wektor pola magnetycznego drga
wzdłu
ż
osi y i wówczas:
z
x
y
x
y
E
E i
H
H j
=
=
Fale elektromagnetyczne
Wówczas równania falowe redukuj
ą
si
ę
do układu dwóch równa
ń
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
0
1
0
y
y
x
x
H
H
z
v
t
E
E
z
v
t
∂
∂
−
=
∂
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
a równania Maxwell’a redukuj
ą
si
ę
do równa
ń
:
,
0
y
x
x
x
y
x
H
E
E
E
zalożylismy że
z
t
t
H
E
z
t
γ
ε
ε
γ
µ
∂
∂
∂
−
=
+
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
Fale elektromagnetyczne
Przyj
ę
cie zało
ż
enia fali TEM upraszcza w znacznym stopniu równania falowe jak i równania
Maxwell’a.
Kiedy takie zało
ż
enie jest dopuszczalne ?
Ź
ródłem fali elektromagnetycznej s
ą
najcz
ęś
ciej przewody z pr
ą
dem lub anteny.
Przewód prostoliniowy:
⊕
E
H
x
y
z
W przypadku promieniowania z odległego
ź
ródła, fala ma charakter kulisty.
Mały wycinek kuli mo
ż
na potraktowa
ć
jako płaski je
ż
eli r jest du
ż
e
Fala wnika do przewodu
Fale elektromagnetyczne
Fala pierwotna i powrotna
Analiz
ę
przeprowadza si
ę
w ten sposób,
ż
e jedno z pól znajduje si
ę
z równania falowego
a drugie pola z równania Maxwell’a.
Niech równanie falowe opisuje pole elektryczne
2
2
2
2
2
1
x
x
E
E
z
v
t
∂
∂
=
∂
∂
Równanie to ma ogólne rozwi
ą
zanie w postaci
( , )
(
)
(
)
x
E z t
f z
vt
g z
vt
=
−
+
+
gdzie funkcje f i g s
ą
w badanym obszarze ci
ą
głe i dwukrotnie ró
ż
niczkowalne
f(z-vt) – fala pierwotna, padaj
ą
ca
g(z+vt) – fala powrotna, odbita ( wyst
ę
puje wtedy kiedy fala pierwotna napotyka na
przeszkod
ę
i nast
ę
puje cz
ęś
ciowe lub całkowite odbicie – np. granica dwóch o
ś
rodków
Fale elektromagnetyczne
Pole magnetyczne obliczamy z równania Maxwell’a
,
0
y
x
x
x
H
E
E
E
zalożylismy że
z
t
t
γ
ε
ε
γ
∂
∂
∂
−
=
+
=
=
∂
∂
∂
1
2
1
2
1
2
x
E
f
g
f
g
v
v
t
t
t
ω
ω
ω
ω
ω
ω
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
+
= −
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
1
2
1
2
y
H
f
g
f
g
v
z
ε
ε
ω
ω
µ ω
ω
∂
∂
∂
∂
∂
=
−
=
−
∂
∂
∂
∂
∂
zatem
[
]
1
1
1
2
2
2
y
f
f
f
z
z
g
g
g
z
z
H
f
g
z
z
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ε
µ
∂
∂
∂
∂
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
−
∂
∂
z uwagi na fakt,
ż
e
[
]
( , )
(
)
(
)
y
H
z t
f z
vt
g z
vt
ε
µ
=
−
−
+
Fale elektromagnetyczne
Pole magnetyczne jest tak
ż
e kombinacj
ą
liniow
ą
fali pierwotnej i powrotnej.
Przyjmuj
ą
c oznaczenie:
1
1
( , )
(
)
( , )
(
)
x
y
E
z t
f z
vt
fala
pierwotna
H
z t
f z
vt
ε
µ
=
−
=
−
2
2
( , )
(
)
( , )
(
)
x
y
E
z t
g z
vt
fala
powrotna
H
z t
g z
vt
ε
µ
=
+
= −
+
1
2
1
2
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
x
x
x
y
y
y
E z t
E
z t
E
z t
H
z t
H
z t
H
z t
=
+
=
+
zatem
Impedancj
ą
falow
ą
ś
rodowiska b
ę
dziemy nazywa
ć
stosunek nat
ęż
enia pola elektrycznego fali padaj
ą
cej do
nat
ęż
enia pola magnetycznego fali pierwotnej.
1
2
1
2
E
E
Z
dla
srodowiska
dielektrycznego
H
H
µ
ε
=
= −
=
dla pró
ż
ni Z
0
=120
ΠΩ
=377
Ω
Fale elektromagnetyczne
Fala okresowa
Ze wszystkich mo
ż
liwych funkcji opisuj
ą
cych fal
ę
elektromagnetyczn
ą
szczególne znaczenie maj
ą
funkcje
okresowe, czyli spełniaj
ą
ce warunek:
[
]
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
f z
vt
f z
v t T
g z
vt
g z
v t T
−
=
−
+
+
=
+
+
gdzie T – okres funkcji
Poniewa
ż
zarówno zmienna przestrzenna z jak i zmienna czasowa t s
ą
argumentami tej samej
funkcji to wykres
f(z
0
-vt)
i
f(z-vt
0
)
maj
ą
ten sam kształt. Okresowo
ść
wi
ę
c dotyczy tak
ż
e
zmiennej przestrzennej
f [z-v(t+T)]=f [(z-
λ
)-vt].
Po przyrównaniu argumentów otrzymamy :
1
2
2
v T
T
f
v
v
f
λ
ω
λ
ω
= ⋅
Π
=
=
=
= Π
Fale elektromagnetyczne
Fale harmoniczne – podklasa fal okresowych opisanych funkcj
ą
sinus lub cosinus
Fale okresowe mog
ą
by
ć
traktowane jako superpozycja fal harmonicznych je
ż
eli
spełniaj
ą
nast
ę
puj
ą
ce warunki:
- funkcja okresowa musi spełnia
ć
warunki Dirichleta
Twierdzenie
Przypu
ść
my,
ż
e f : R
→
R jest funkcj
ą
okresow
ą
o okresie T.
Je
ś
li f spełnia nast
ę
puj
ą
ce trzy warunki (zwane warunkami Dirichleta):
1.funkcja f jest bezwzgl
ę
dnie całkowalna, tzn.:
,
2.funkcja f w przedziale jednego okresu ma sko
ń
czon
ą
liczb
ę
maksimów lokalnych
i minimów lokalnych,
3.funkcja f w przedziale jednego okresu posiada sko
ń
czon
ą
liczb
ę
punktów
nieci
ą
gło
ś
ci 1 rodzaju,
to f ma reprezentacj
ę
w postaci szeregu Fouriera.
2
2
( )
T
T
f x
−
< ∞
∫
- warunki rozchodzenia si
ę
fal musz
ą
by
ć
niezale
ż
ne od cz
ę
stotliwo
ś
ci
Fale elektromagnetyczne
k
N
j
N
i
N
t
z
y
x
N
z
y
x
+
+
=
)
,
,
,
(
)
sin(
)
,
,
,
(
p
xm
x
t
N
t
z
y
x
N
ψ
ω
+
=
p
j
xm
xm
e
N
z
y
x
N
ψ
=
)
,
,
(
Wektory zespolone
niech
zakładamy,
ż
e
Takiej funkcji mo
ż
emy jednoznacznie przyporz
ą
dkowa
ć
warto
ść
zespolon
ą
oraz funkcj
ę
zespolon
ą
)
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
,
(
p
t
j
xm
t
j
xm
xm
e
z
y
x
N
e
z
y
x
N
t
z
y
x
N
ψ
ω
ω
+
=
=
sk
ą
d
{
}
)
,
,
,
(
Im
)
,
,
,
(
t
z
y
x
N
t
z
y
x
N
xm
x
=
Oznaczenia:
2
2
2
ln
,
zm
ym
xm
m
m
p
j
m
m
m
t
j
m
N
N
N
N
czasie
w
a
maksyma
wartośa
wektora
a
rzeczywist
amplituda
N
począocząt
faza
e
N
N
wektora
zespolona
wartośa
N
e
N
N
zespolony
wektor
N
wektor
N
p
+
+
=
−
−
=
=
ψ
ψ
ω
Fale elektromagnetyczne
j t
j t
j t
m
m
m
j t
j t
j t
m
m
m
H
H e
B
B e
H
H e
E
E e
D
D e
E
E e
ω
ω
ω
ω
ω
ω
µ
µ
ε
ε
=
=
=
=
=
=
=
=
Dla fali harmonicznej, wektory nat
ęż
e
ń
pól i wektory indukcji mo
ż
emy zapisa
ć
w postaci zespolonej
Wykorzystuj
ą
c wektory zespolone równania Maxwell’a przyjm
ą
posta
ć
H
j
t
B
E
rot
E
j
t
D
j
H
rot
ωµ
ωε
γ
−
=
∂
∂
−
=
+
=
∂
∂
+
=
)
(
Co daje równania
(
)
m
m
m
m
rot H
j
E
rot E
j
H
γ
ωε
ωµ
= +
= −
Je
ż
eli fala harmoniczna jest fal
ą
płask
ą
i spolaryzowan
ą
liniowo, to
( )
( )
m
my
m
mx
H
H
z
E
E
z
=
=
Fale elektromagnetyczne
Wówczas równania przyjmuj
ą
posta
ć
(
)
(
)
my
mx
mx
my
H
j
E
z
E
j
H
z
γ
ωε
ωµ
∂
−
=
+
∂
∂
−
= −
∂
Równanie falowe dla wektorów zespolonych
2
2
2
2
2
(
)
m
m
H
H
H
t
t
H
j
H
µγ
µε
ωµγ ω µε
∂
∂
∇
=
+
∂
∂
∇
=
−
Dla fali płaskiej , spolaryzowanej liniowo równanie falowe ma posta
ć
2
2
2
(
)
my
my
H
j
H
z
ωµγ ω µε
∂
=
−
∂
Wprowadzamy oznaczenie
2
1
j
m
stala
propagacji
ωµγ ω µε
−
Γ =
−
Fale elektromagnetyczne
2
2
m
m
H
H
∇
= Γ
Dla fali płaskiej spolaryzowanej liniowo
2
2
2
0
my
my
H
H
z
∂
− Γ
=
∂
Fala harmoniczna w
ś
rodowisku nieprzewodz
ą
cym
Rozwi
ą
zanie ogólne równania zapisujemy w postaci sumy funkcji hiperbolicznych
1
2
( )
my
H
z
C ch z
C sh z
=
Γ +
Γ
gdzie C
1
i C
2
stałe
je
ż
eli
2
0
j
γ
ω µε
ω µε
=
⇒
Γ = −
=
Wielko
ść
v
ω
β ω µε
=
=
nazywamy stał
ą
fazow
ą
[ ]
1
1
rad
m
β
=
Poniewa
ż
wówczas
cos
sin
ch z
chj z
sh z
shj z
j
β
β
β
β
Γ =
=
Γ =
=
2
2
x
x
x
x
e
e
shx
e
e
chx
−
−
−
=
+
=
Fale elektromagnetyczne
1
2
( )
cos
sin
my
H
z
C
z
jC
z
β
β
=
+
poniewa
ż
{
}
( , )
Im
( )
j t
my
y
H
z t
H
z e
ω
=
to
1
2
( , )
cos
sin
sin
cos
y
H
z t
C
z
t
C
z
t
β
ω
β
ω
=
+
wykorzystuj
ą
c to
ż
samo
ść
trygonometryczn
ą
[
]
[
]
1
sin cos
sin(
) sin(
)
2
1
cos sin
sin(
) sin(
)
2
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
=
+ +
−
=
+ −
−
1
2
( , )
sin(
)
sin(
)
y
H
z t
A
z
t
A
z
t
β
ω
β
ω
=
−
+
+
zapisuj
ą
c
[
]
z
t
z
t
z
vt
ω
β
ω β
β
β
=
=
∓
∓
∓
1
2
( , )
sin[ (
)]
sin[ (
)]
y
H
z t
A
z
vt
A
z
vt
β
β
=
−
+
+
Fale elektromagnetyczne
Pole elektryczne wyznaczamy korzystaj
ą
c z poj
ę
cia impedancji falowej
1
2
( , )
{
sin[ (
)]
sin[ (
)]}
x
E z t
A
z
vt
A
z
vt
µ
β
β
ε
=
−
−
+
Najwa
ż
niejsze cechy fali harmonicznej płaskiej i spolaryzowanej liniowo:
-zachowuje stał
ą
amplitud
ę
pola elektrycznego i magnetycznego ( brak tłumienia )
- pole elektryczne i magnetyczne s
ą
w fazie
Fale elektromagnetyczne
••••
Fale radiowe:
- cz
ę
stotliwo
ś
ci rz
ę
du kiloherców i megaherców;
- długo
ś
ci rz
ę
du kilometrów i metrów;
••••
Mikrofale:
- cz
ę
stotliwo
ś
ci rz
ę
du gigaherców (10
9
Hz);
- długo
ś
ci rz
ę
du centymetrów i milimetrów;
•
Podczerwie
ń
:
- cz
ę
stotliwo
ś
ci 10
11
do 10
14
Hz;
- długo
ś
ci milimetrowe do mikrometrowych;
•
Ś
wiatło widzialne:
- 400
÷
800 nm
•
Ultrafiolet:
- 10
÷
400 nm
(nadfiolet)
•
Promieniowanie rentgenowskie (X):
- 0,005
÷
10 nm
•
Promieniowanie gamma (
γ
):
- długo
ś
ci poni
ż
ej 10-12 nm
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
PE w2 id 353181 Nieznany
PodstEle w8 id 369046 Nieznany
Automatyka ulog w8 id 629066 Nieznany (2)
29 PE Events id 32202 Nieznany (2)
PE opracowanie id 353179 Nieznany
pe wyklad 4 id 353188 Nieznany
pe wyklad 3 3 id 353187 Nieznany
PE i FP id 353177 Nieznany
4OS 2011 w8 id 39387 Nieznany
PE w2 id 353181 Nieznany
PodstEle w8 id 369046 Nieznany
PKM w8 osie waly II id 360039 Nieznany
Zlacza pe stal do gazu id 59094 Nieznany
po w8 utf8 id 557616 Nieznany
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
katechezy MB id 233498 Nieznany
metro sciaga id 296943 Nieznany
perf id 354744 Nieznany
więcej podobnych podstron