Przekształcenia całkowe
Wykład 7
Przekształcenia całkowe
Wykład 7
Szeregi Fouriera
Definicja:
Mówimy, że ciąg funkcji całkowalnych z kwadratem
w przedziale jest ciągiem ortogonalnym, jeżeli
{
}
( )
n
X
x
[ , ]
a b
0
dla
,
( )
( ) d
0 dla
.
b
n
m
a
n
m
X
x X
x
x
A
n
m
≠
⎧
= ⎨
>
=
⎩
∫
Szeregi Fouriera
Zadanie
:
Sprawdzić, że ciąg funkcji
Jest ciągiem ortogonalnym w .
{
}
1, sin , cos , sin 2 , cos 2 ,
x
x
x
x …
[
, ]
−π π
Szeregi Fouriera
Rozwiązanie:
Należy sprawdzić (zakładając )
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
n
m
≠
sin
d
0
n x x
π
−π
=
∫
cos
d
0
n x x
π
−π
=
∫
sin
sin
d
0
n x
m x x
π
−π
=
∫
cos
cos
d
0
n x
m x x
π
−π
=
∫
sin
cos
d
0
n x
m x x
π
−π
=
∫
2
sin
d
0
n x x
A
π
−π
= >
∫
2
cos
d
0
n x x
A
π
−π
= >
∫
d
0
x
A
π
−π
= >
∫
Szeregi Fouriera
Zadanie 1
:
Szeregi Fouriera
[
]
[
]
1
1
sin
d
sin d
cos
d
d
1
cos
cos
0
n
n
n
n
u
n x
n x x
u u
u
u
n x
n
n
n
n
n
π
π
π
− π
−π
− π
⎫
=
⎧
=
=
= −
=
⎨
⎬
=
⎩
⎭
= −
π −
π =
∫
∫
Zadanie 2
:
[
]
1
1
cos
d
cos d
sin
0
d
d
n
n
n
n
u
n x
n x x
u u
u
u
n x
n
n
π
π
π
− π
−π
− π
⎫
=
⎧
=
=
=
=
⎨
⎬
=
⎩
⎭
∫
∫
Wzory
Szeregi Fouriera
cos(
)
cos cos
sin sin
cos(
)
cos cos
sin sin
α + β =
α
β −
α
β
α − β =
α
β +
α
β
Po odjęciu stronami
[
]
cos(
)
cos(
)
2sin sin
1
sin sin
cos(
)
cos(
)
2
α − β −
α + β =
α
β
α
β =
α − β −
α + β
Zadanie 3
:
1
2
1
2
(
)
(
)
2
2
1
1
(
)
(
)
1
1
sin
sin
d
cos (
) d
cos (
) d
2
2
(
)
(
)
d
(
) d
d
(
) d
1
1
cos
d
cos
d
2(
)
2(
)
n m
n m
n m
n m
n x
m x x
n m x x
n
m x x
u
n
m x
u
n m x
u
n
m
x
u
n m
x
u
u
u
u
n m
n
m
π
π
π
−π
−π
−π
−
π
+
π
− −
π
− +
π
=
−
−
+
=
⎧
⎫
=
+
=
−
⎪
⎪
=
=
⎨
⎬
=
+
=
−
⎪
⎪
⎩
⎭
=
−
=
−
+
∫
∫
∫
∫
∫
Szeregi Fouriera
1
1
sin (
)
sin (
)
0
n m
n
m
n m
n
m
=
−
π −
+
π =
−
+
Wzory
Szeregi Fouriera
cos(
)
cos cos
sin sin
cos(
)
cos cos
sin sin
α + β =
α
β −
α
β
α − β =
α
β +
α
β
Po dodaniu stronami
[
]
cos(
) cos(
)
2cos cos
1
cos cos
cos(
) cos(
)
2
α + β +
α − β =
α
β
α
β =
α + β +
α − β
Zadanie 4
:
Szeregi Fouriera
1
2
1
2
(
)
(
)
1
1
2
2
(
)
(
)
1
1
cos
cos
d
cos (
) d
cos (
) d
2
2
(
)
(
)
d
(
) d
d
(
) d
1
1
cos
d
cos
d
2(
)
2(
)
1
1
sin (
)
sin (
)
0
n m
n m
n m
n m
n x
m x x
n
m x x
n m x x
u
n
m x
u
n m x
u
n
m
x
u
n m
x
u
u
u
u
n
m
n m
n
m
n m
n
m
n m
π
π
π
−π
−π
−π
+
π
−
π
− +
π
− −
π
=
+
+
−
=
⎧
⎫
=
+
=
−
⎪
⎪
=
=
⎨
⎬
=
+
=
−
⎪
⎪
⎩
⎭
=
+
=
+
−
=
+
π −
−
π =
+
−
∫
∫
∫
∫
∫
Wzory
Szeregi Fouriera
sin(
)
sin cos
cos sin
sin(
)
sin cos
cos sin
α + β =
α
β +
α
β
α − β =
α
β −
α
β
Po dodaniu stronami
[
]
sin(
)
sin(
)
2sin cos
1
sin cos
sin(
)
sin(
)
2
α + β +
α − β =
α
β
α
β =
α + β +
α − β
Zadanie 5
:
Szeregi Fouriera
[
]
1
2
1
2
(
)
(
)
1
1
2
2
(
)
(
)
(
)
1
(
)
1
1
sin
cos
d
sin (
) d
sin (
) d
2
2
(
)
(
)
d
(
) d
d
(
) d
1
1
sin
d
sin
d
2(
)
2(
)
1
1
cos
2(
)
2(
)
n m
n m
n m
n m
n m
n m
n x
m x x
n
m x x
n
m x x
u
n
m x
u
n
m x
u
n
m
x
u
n
m
x
u
u
u
u
n
m
n
m
u
n
m
n
m
π
π
π
−π
−π
−π
+
π
−
π
− +
π
− −
π
+
π
− +
π
=
+
+
−
=
⎧
⎫
=
+
=
−
⎪
⎪
=
=
⎨
⎬
=
+
=
−
⎪
⎪
⎩
⎭
=
+
=
+
−
=
+
+
−
∫
∫
∫
∫
∫
[
]
(
)
2
(
)
cos
0
n m
n m
u
+
π
− +
π
=
Wzory
Szeregi Fouriera
2
2
2
2
2
2
2
2
cos 2
cos
sin
2 cos
1
1
1
cos
cos 2
2
2
cos 2
cos
sin
1 2sin
1
1
sin
cos 2
2
2
α =
α −
α =
α −
α = +
α
α =
α −
α = −
α
α = −
α
Zadanie 6
:
Szeregi Fouriera
[ ]
[
]
2
2
2
2
2
2
1
1
sin
d
d
cos 2
d
d
2 d
2
2
1
1
1
cos d
sin
0
2
2
2
n
n
n
n
u
n x
n x x
x
n x x
u
n x
x
u x
u
π
π
π
−π
−π
−π
π
π
π
−π
−
π
−
π
=
⎧
⎫
=
−
=
=
⎨
⎬
=
⎩
⎭
=
−
= π −
= π − = π
∫
∫
∫
∫
Zadanie 7
:
Szeregi Fouriera
[ ]
[
]
2
2
2
2
2
2
1
1
cos
d
d
cos 2
d
d
2 d
2
2
1
1
1
cos d
sin
0
2
2
2
n
n
n
n
u
n x
n x x
x
n x x
u
n x
x
u x
u
π
π
π
−π
−π
−π
π
π
π
−π
−
π
−
π
=
⎧
⎫
=
+
=
=
⎨
⎬
=
⎩
⎭
=
+
= π +
= π + = π
∫
∫
∫
∫
Sprawdziliśmy, że dany ciąg jest ortogonalny w przedziale
, przy czym
.
[
, ]
−π π
A
= π
Rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera
Definicja:
Niech będzie funkcją o okresie mającą w przedziale
co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości
i całkowalną w tym przedziale.
Szeregiem Fouriera tej funkcji nazywamy szereg:
gdzie – współczynniki.
( )
f x
2
π
[
, ]
−π π
0
1
( )
(
cos
sin
),
2
n
n
n
a
f x
a
n x b
n x
∞
=
=
+
+
∑
0
,
,
n
n
a a b
Szeregi Fouriera
Czyli
Wyznaczanie współczynników
Wiemy, że ciąg
jest ciągiem ortogonalnym w przedziale . Obie strony
wzoru na szereg Fouriera całkujemy od do .
0
1
1
2
2
1
( )
cos
sin
cos 2
sin 2
2
f x
a
a
x
b
x
a
x
b
x
=
+
+
+
+
+…
{
}
1, sin , cos , sin 2 , cos 2 ,
x
x
x
x …
[
, ]
−π π
−π
π
Szeregi Fouriera
Otrzymujemy:
Szeregi Fouriera
[ ]
0
1
0
0
0
0
0
( ) d
d
cos
d
sin
d
2
( ) d
2
1
( ) d
n
n
n
a
f x
x
x
a
n x x b
n x x
a
f x
x
x
a
a
f x
x
π
π
π
π
∞
=
−π
−π
−π
−π
π
π
−π
−π
π
−π
⎛
⎞
⎜
⎟
=
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
=
=
π
=
π
∑
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Obie strony równania wyjściowego mnożymy
przez i całkujemy od do .
Wówczas otrzymujemy:
cos m x
−π
π
Szeregi Fouriera
0
0
1
0
cos
( ) d
cos
d
2
cos
cos
d
sin
cos
d
n
n
n
dla n m
a
m x f x
x
m x x
a
n x
m x x b
n x
m x x
π
π
−π
−π
π
π
∞
=
−π
−π
π
=
=
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
+
+
⎟
⎜
⎟⎟
⎜
⎠
⎝
∫
∫
∑ ∫
∫
cos
( ) d
1
( ) cos
d
m
m
m x f x
x
a
a
f x
m x x
π
−π
π
−π
=
π
=
π
∫
∫
Szeregi Fouriera
Obie strony równania wyjściowego mnożymy przez
i całkujemy od do :
sin m x
−π
π
0
0
1
0
sin
( ) d
sin
d
2
cos
sin
d
sin
sin
d
sin
( ) d
1
( )sin
d
n
n
n
dla n m
m
m
a
m x f x
x
m x x
a
n x
m x x b
n x
m x x
m x f x
x
b
b
f x
m x x
π
π
−π
−π
π
π
∞
=
−π
−π
π
=
π
−π
π
−π
=
+
⎞
⎛
⎟
⎜
⎟
+
+
⎜
⎟
⎜⎜
⎟
⎝
⎠
=
π
=
π
∫
∫
∑ ∫
∫
∫
∫
Szeregi Fouriera
Szereg Fouriera
Szeregi Fouriera
0
1
0
( )
(
cos
sin
)
2
1
( ) d
1
( ) cos
d
1
( )sin
d
n
n
n
n
n
a
f x
a
n x b
n x
a
f x
x
a
f x
n x x
b
f x
n x x
∞
=
π
−π
π
−π
π
−π
=
+
+
=
π
=
π
=
π
∑
∫
∫
∫
Jeżeli jest funkcją nieparzystą:
( )
f x
Szeregi Fouriera
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
=
−
−
−
−
−
−
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
0
0
0
0
0
0
0
0
sin
2
sin
sin
1
sin
1
0
cos
cos
1
cos
1
0
1
1
nxdx
x
f
nxdx
x
f
nxdx
x
f
nxdx
x
f
b
nxdx
x
f
nxdx
x
f
nxdx
x
f
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
a
n
n
Szeregi Fouriera
Jeżeli jest funkcją parzystą:
( )
f x
Szeregi Fouriera
0
0
0
0
0
1
2
( ) d
( ) d
1
2
( ) cos
d
( ) cos
d
1
( )sin
d
1
( )sin
d
( )sin
d
0
n
n
a
f x
x
f x
x
a
f x
n x x
f x
n x x
b
f x
n x x
f x
n x x
f x
n x x
π
π
−π
π
π
−π
π
−π
π
−π
=
=
π
π
=
=
π
π
=
=
π
⎡
⎤
=
+
=
⎢
⎥
π ⎣
⎦
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Szeregi Fouriera
jest funkcją nieparzystą
( )
f x
Szeregi Fouriera
0
0
0
0
2
( )sin
d
n
n
a
a
b
f x
n x x
π
=
=
=
π
∫
jest funkcją parzystą
( )
f x
Szeregi Fouriera
0
0
0
2
( ) d
2
( ) cos
d
0
n
n
a
f x
x
a
f x
n x x
b
π
π
=
π
=
π
=
∫
∫
Rozwinięcie funkcji o okresie 2L w szereg Fouriera
Definicja:
Niech będzie funkcją o okresie mającą w przedziale
co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości i
całkowalną w tym przedziale.
( )
f x
[
, ]
L L
−
2L
Szeregi Fouriera
Szeregiem Fouriera tej funkcji nazywamy szereg:
gdzie – współczynniki.
0
1
( )
(
cos
sin
),
2
n
n
n
a
n x
n x
f x
a
b
L
L
∞
=
π
π
=
+
+
∑
0
,
,
n
n
a a b
Szeregi Fouriera
0
1
( ) d
1
( ) cos
d
1
( )sin
d
L
L
n
L
n
L
a
f x
x
L
n x
a
f x
x
L
L
n x
b
f x
x
L
L
−
π
−π
−
=
π
=
π
=
∫
∫
∫
jest funkcją nieparzystą
( )
f x
Szeregi Fouriera
0
0
0
0
2
( )sin
d
n
L
n
a
a
n x
b
f x
x
L
L
=
=
π
=
∫
jest funkcją parzystą
( )
f x
Szeregi Fouriera
0
0
0
2
( ) d
2
( ) cos
d
0
L
L
n
n
a
f x
x
n x
a
f x
x
L
b
=
π
π
=
π
=
∫
∫