Przekształcenia całkowe

Wykład 3

fragmenty

Całkowanie funkcji zmiennej zespolonej

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Twierdzenie 1:

Jeżeli funkcja jest ciągła

wzdłuż krzywej regularnej C, to całka istnieje i oblicza się ją

ze wzoru:

gdzie: jest równaniem krzywej

całkowania C.

( ) ( )

( )

,

,

f z

u x y

iv x y

=

+

( )

( ) ( )

d

d

C

f z

z

f z t

z t

t

β

α

′

⎡

⎤

=

⎣

⎦

∫

∫

( )

,

z

z t

t

=

α ≤ ≤ β

Całka krzywoliniowa funkcji zmiennej zespolonej

zachowuje wszystkie własności całki krzywoliniowej funkcji

zmiennej rzeczywistej:

1.

2.

3.

gdzie C - krzywa, w której zmieniono zwrot na przeciwny

.

( )

( )

( )

( )

1

2

1

2

d

d

d

C

C

C

f z

f

z

z

f z

z

f

z

z

⎡

⎤

±

=

±

⎣

⎦

∫

∫

∫

( )

( )

d

d ,

idem

C

C

k f z

z

k

f z

z

k

⋅

= ⋅

=

∫

∫

( )

( )

d

d

C

C

f z

z

f z

z

−

= −

∫

∫

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Definicja 1:

Mówimy, że funkcja jest funkcją pierwotną

funkcji w obszarze D, jeżeli w każdym punkcie tego

obszaru

( )

F z

( )

f z

'( )

( )

F z

f z

=

Twierdzenie 2:

Jeżeli funkcja jest ciągła w obszarze jednospójnym

D i ma w tym obszarze funkcję pierwotną , to całka

krzywoliniowa wzdłuż dowolnej drogi regularnej C zawartej w D

o początku z

1

i końcu z

2

nie zależy od drogi całkowania i wyraża się

wzorem

( )

f z

( )

F z

( )

2

1

d

( )

( )

C

f z

z

F z

F z

=

−

∫

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Wzór całkowy Cauchy’ego

Twierdzenie 3 (całkowe Cauchy’ego):

Jeżeli funkcja jest holomorficzna w obszarze

jednospójnym domkniętym D, to całka krzywoliniowa funkcji

wzdłuż każdej krzywej regularnej zamkniętej C

przebiegającej w D równa jest zeru, czyli:

( )

f z

( )

f z

( )

d

0

C

f z

z

=

∫

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Twierdzenie 4 (wzór całkowy Cauchy’ego):

Jeżeli funkcja jest holomorficzna w obszarze

jednospójnym domkniętym D, którego brzegiem jest kontur

C, to w każdym punkcie wewnętrznym z obszaru D wyraża

się ona wzorem:

( )

f z

( )

( )

1

d ,

2

C

f z

f

z

D

i

z

ξ =

ξ∈

π

− ξ

∫

Wniosek:

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

( )

( )

d

2

,

C

f z

z

i f

D

z

= π

ξ

ξ∈

− ξ

∫

Twierdzenie 5 (uogólniony wzór całkowy

Cauchy’ego):

Jeżeli funkcja jest holomorficzna w obszarze

jednospójnym domkniętym D, którego brzegiem jest kontur

C, to ma w każdym punkcie wewnętrznym z tego obszaru

pochodne wszystkich rzędów określone wzorami

( )

f z

( )

( )

( )

(

)

1

!

d ,

1, 2,

2

n

n

C

f z

n

f

z

n

i

z

+

ξ =

=

π

− ξ

∫

…

Wniosek:

( )

(

)

( )

( )

1

2

d

,

1, 2,

!

n

n

C

f z

i

z

f

n

n

z

+

π

=

ξ

=

− ξ

∫

…

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej