3. Funkce
153
3.9. Logaritmická funkce
Logaritmická funkce o základu
a
je funkce inverzní k exponenciální funkci
x
a
y
=
, kde
{ }
1
R
−
∈
+
a
. Ozn.
x
y
a
log
=
, čteme logaritmus
x
o základu
a
.
Je-li základ
10
=
a
, pak logaritmus nazýváme dekadický a značíme
x
y log
=
.
Je-li základ
e
a
=
, pak logaritmus nazýváme přirozený a značíme
x
y ln
=
.
Vzorce pro počítání s logaritmy:
( )
y
x
y
x
a
a
a
log
log
.
log
+
=
( )
y
x
y
x
log
log
.
log
+
=
( )
y
x
y
x
ln
ln
.
ln
+
=
y
x
y
x
a
a
a
log
log
log
−
=
y
x
y
x
log
log
log
−
=
y
x
y
x
ln
ln
ln
−
=
x
n
x
a
n
a
log
.
log
=
x
n
x
n
log
.
log
=
x
n
x
n
ln
.
ln
=
1
log
=
a
a
1
10
log
=
1
ln
=
e
0
1
log
=
a
0
1
log
=
0
1
ln
=
Řešený příklad
• Nakreslete graf funkce
a)
x
y
2
log
=
Graf sestrojíme souměrně podle osy I. a III. kvadrantu ke grafu funkce
x
y 2
=
.
b)
x
y log
=
c)
x
y ln
=
d)
x
y
2
/
1
log
=
e)
x
y
1
,
0
log
=
3. Funkce
154
Řešení
a)
b)
Srovnání průběhu ostatních funkcí:
-1
-2
-3
1
2
3
4
-1
-2
1
2
3
4
0
x
y
-1
-2
-3
1
2
3
4
-1
-2
1
2
3
4
0
x
y
y=log
2
x
y=2
x
1
1
y=x
-1
-2
-3
-4
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
0
x
y
-1
-2
-3
-4
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
0
x
y
y=logx
y=10
x
1
1
y=x
-2
2
4
6
8
10
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
0
x
y
-2
2
4
6
8
10
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
0
x
y
y=lnx
y=logx
y=log
1/2
x
1
y=log
0 .1
x
3. Funkce
155
Srovnáme průběhy funkcí
{ }
1
,
log
−
∈
=
+
R
a
x
y
a
pro různá
a
.
1
>
a
1
0
<
< a
( )
R
H
D
f
f
=
∞
=
,
,
0
Je zdola i shora neomezená.
Nemá v žádném bodě ani maximum ani minimum.
Funkční hodnota v bodě
1
je rovna
0
.
Funkce je rostoucí, tedy prostá.
Funkce je klesající, tedy prostá.
-2
2
4
6
8
10
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
0
x
y
-2
2
4
6
8
10
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
0
x
y
y=lnx
1
-2
2
4
6
8
10
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0
x
y
-2
2
4
6
8
10
-1
-2
-3
-4
1
2
3
0
x
y
y=log
1/2
x
1
3. Funkce
156
Řešený příklad
• Sestrojte graf funkce
a)
b)
)
1
ln(
+
=
x
y
c)
x
y
2
log
=
d)
x
y
2
1
log
.
3
=
e)
2
log
1
,
0
−
=
x
y
Řešení
a) Určíme definiční obor funkce:
1
;
0
1
−
>
>
+
x
x
Posuneme tedy graf funkce
x
y
ln
=
doleva o jedničku.
V ostatních
příkladech
budeme
postupovat obdobně:
b) dvojnásobný argument „zrychlí“
průběh funkce
x
5
,
0
1
2
4
x
log
301
,
0
−
0
301
,
0
602
,
0
x
2
log
0
301
,
0
602
,
0
903
,
0
c) funkční hodnota se ztrojnásobí
d) od každé funkční hodnoty odečteme dvojku,graf se posune o
2
dolů
-1
-2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
-2
-3
1
2
0
x
y
-1
-2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
-2
-3
1
2
0
x
y
y=ln(x+1)
1
-1
-2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
0
x
y
-1
-2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
0
x
y
y=log2x
y=3log
1/2
x
1
y=log
0.1
x-2