3. Funkce

153

3.9. Logaritmická funkce

Logaritmická funkce o základu

a

je funkce inverzní k exponenciální funkci

x

a

y

=

, kde

{ }

1

R

−

∈

+

a

. Ozn.

x

y

a

log

=

, čteme logaritmus

x

o základu

a

.

Je-li základ

10

=

a

, pak logaritmus nazýváme dekadický a značíme

x

y log

=

.

Je-li základ

e

a

=

, pak logaritmus nazýváme přirozený a značíme

x

y ln

=

.

Vzorce pro počítání s logaritmy:

( )

y

x

y

x

a

a

a

log

log

.

log

+

=

( )

y

x

y

x

log

log

.

log

+

=

( )

y

x

y

x

ln

ln

.

ln

+

=

y

x

y

x

a

a

a

log

log

log

−

=

y

x

y

x

log

log

log

−

=

y

x

y

x

ln

ln

ln

−

=

x

n

x

a

n

a

log

.

log

=

x

n

x

n

log

.

log

=

x

n

x

n

ln

.

ln

=

1

log

=

a

a

1

10

log

=

1

ln

=

e

0

1

log

=

a

0

1

log

=

0

1

ln

=

Řešený příklad

• Nakreslete graf funkce

a)

x

y

2

log

=

Graf sestrojíme souměrně podle osy I. a III. kvadrantu ke grafu funkce

x

y 2

=

.

b)

x

y log

=

c)

x

y ln

=

d)

x

y

2

/

1

log

=

e)

x

y

1

,

0

log

=

3. Funkce

154

Řešení

a)

b)

Srovnání průběhu ostatních funkcí:

-1

-2

-3

1

2

3

4

-1

-2

1

2

3

4

0

x

y

-1

-2

-3

1

2

3

4

-1

-2

1

2

3

4

0

x

y

y=log

2

x

y=2

x

1

1

y=x

-1

-2

-3

-4

1

2

3

-1

-2

-3

1

2

0

x

y

-1

-2

-3

-4

1

2

3

-1

-2

-3

1

2

0

x

y

y=logx

y=10

x

1

1

y=x

-2

2

4

6

8

10

-1

-2

-3

-4

-5

1

2

3

4

0

x

y

-2

2

4

6

8

10

-1

-2

-3

-4

-5

1

2

3

4

0

x

y

y=lnx

y=logx

y=log

1/2

x

1

y=log

0 .1

x

3. Funkce

155

Srovnáme průběhy funkcí

{ }

1

,

log

−

∈

=

+

R

a

x

y

a

pro různá

a

.

1

>

a

1

0

<

< a

( )

R

H

D

f

f

=

∞

=

,

,

0

Je zdola i shora neomezená.

Nemá v žádném bodě ani maximum ani minimum.

Funkční hodnota v bodě

1

je rovna

0

.

Funkce je rostoucí, tedy prostá.

Funkce je klesající, tedy prostá.

-2

2

4

6

8

10

-1

-2

-3

-4

-5

1

2

3

4

0

x

y

-2

2

4

6

8

10

-1

-2

-3

-4

-5

1

2

3

4

0

x

y

y=lnx

1

-2

2

4

6

8

10

-1

-2

-3

-4

1

2

3

0

x

y

-2

2

4

6

8

10

-1

-2

-3

-4

1

2

3

0

x

y

y=log

1/2

x

1

3. Funkce

156

Řešený příklad

• Sestrojte graf funkce

a)

b)

)

1

ln(

+

=

x

y

c)

x

y

2

log

=

d)

x

y

2

1

log

.

3

=

e)

2

log

1

,

0

−

=

x

y

Řešení

a) Určíme definiční obor funkce:

1

;

0

1

−

>

>

+

x

x

Posuneme tedy graf funkce

x

y

ln

=

doleva o jedničku.

V ostatních

příkladech

budeme

postupovat obdobně:

b) dvojnásobný argument „zrychlí“

průběh funkce

x

5

,

0

1

2

4

x

log

301

,

0

−

0

301

,

0

602

,

0

x

2

log

0

301

,

0

602

,

0

903

,

0

c) funkční hodnota se ztrojnásobí

d) od každé funkční hodnoty odečteme dvojku,graf se posune o

2

dolů

-1

-2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1

-2

-3

1

2

0

x

y

-1

-2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1

-2

-3

1

2

0

x

y

y=ln(x+1)

1

-1

-2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-1

-2

-3

-4

-5

1

2

3

4

0

x

y

-1

-2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-1

-2

-3

-4

-5

1

2

3

4

0

x

y

y=log2x

y=3log

1/2

x

1

y=log

0.1

x-2