3. Skręcanie pręta
3. SKR
CANIE PR
TA
3.1. Stan czystego ścinania
ÃÄ…+Ä„
ÃÄ… Ä„
ÃÄ… Ä„/2
ÃÄ… Ä„
ÃÄ…
ÃÄ…
ÃÄ…
ÃÄ…
O
rozciÄ…ganie
ÃÄ…+Ä„
ÃÄ… Ä„
ÃÄ… Ä„/2
ÃÄ… Ä„
ÃÄ…+Ä„
ÃÄ… Ä„
ÃÄ… Ä„
ÃÄ… Ä„
ÃÄ…
ÃÄ…
ÃÄ…
ÃÄ…
ÃÄ…+3Ä„
ÃÄ… Ä„
ÃÄ… Ä„/2
ÃÄ… Ä„
ÄÄ…+Ä„
ÄÄ… Ä„
ÄÄ… Ä„/2
ÄÄ… Ä„
ÄÄ…
ÄÄ…
ÄÄ…
ÄÄ…
O
ÄÄ…+Ä„
ÄÄ… Ä„
ÄÄ… Ä„
ÄÄ… Ä„
ÄÄ…+3Ä„
ÄÄ… Ä„
ÄÄ… Ä„/2
ÄÄ… Ä„
ÃÄ…+Ä„
ÃÄ… Ä„
ÃÄ… Ä„
ÃÄ… Ä„
ÃÄ…+3Ä„
ÃÄ… Ä„
ÃÄ… Ä„/2
ÃÄ… Ä„
ÄÄ…+Ä„
ÄÄ… Ä„
ÄÄ… Ä„/2
ÄÄ… Ä„
ÄÄ… czyste
ÄÄ…
ÄÄ…
ÄÄ…
O
złożony stan naprężeń
ścinanie
ÄÄ…+Ä„
ÄÄ… Ä„
ÄÄ… Ä„
ÄÄ… Ä„
ÄÄ…+3Ä„
ÄÄ… Ä„
ÄÄ… Ä„/2
ÄÄ… Ä„
odkształcenie
spowodowane
O
działaniem
naprężeń
normalnych Ã
O
wydłużenie
(skrócenie)
odkształcenie
złożony stan
spowodowane
odkształceń
działaniem
O
naprężeń
stycznych Ä
odkształcenie
postaciowe
- 1/13 -
3. Skręcanie pręta
kąt odkształcenia postaciowego
Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
"a
Ä
Ä
Ä
Ä
A
B
A
Ä = Ã sinÄ… cosÄ…
B
0
TAB
2(1+½ )Ã sinÄ… cosÄ…
Å‚ =
0
E
a
Ä
Ä
Ä
Ä
2(1+½ )Ä = Ä
Ä Å‚ =
Ä
Ä
Ä
E
E
2(1+½ )
b
D
C
Ä
Ä
Ä
Ä
moduł sztywności
E
Ä prawo Hooke a
= G
postaciowej
Å‚ =
przy ścinaniu
2 (1+½ )
(moduł Kirchhoffa)
G
dla stali: EH"2.1Å"105MPa, ½H"0.3 Ò! H"0.81Å"
Ò! GH" Å"105MPa
Ò! H" Å"
Ò! H" Å"
przykÅ‚ad: Ä=200MPa, GH"0.81Å"105MPa Ò!
Ò! Å‚=2.47Å"10-3rad=0.14oH"8.5
Ò!
Ò!
3.2. Energia wewnętrzna w stanie czystego ścinania
TAB = bhÅ"Ä
- wypadkowa siła działająca na brzegu AB (h  grubość kostki)
Energia wewnętrzna U zgromadzona w kostce równa jest pracy siły TAB na
przemieszczeniu "a=Å‚a
1 1
U = TAB"a = bhÄÅ‚a [J ]
2 2
Energia wewnętrzna na jednostkę objętości
2 2
U 1 Ä Å‚ G
Uv = = ÄÅ‚ = = [J / m3]
abh 2 2G 2
- 2/13 -
3. Skręcanie pręta
3.3. Skręcanie rury cienkościennej
realizacja stanu czystego ścinania
Ms
z
Ms
Ä
Ä
Ä
Ä
y
O
Ms
elementarna
x
kostka
Ä
dF=Ä´ Rd²
d²
R
2Ä„ 2Ä„
2
²
M = RdF =
s
+" +"Ä´R d² = 2Ä„Ä´R2
O
0 0
´
Ms
Ä =
2Ä„´ R2
Ä stan czystego
ścinania
Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
z
Ms
Ms
x
Ä
Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
elementarna kostka
wycięta ze ścianki rury
ilustracja kąta odkształcenia postaciowego
na powierzchni skręcanej rury
- 3/13 -
3. Skręcanie pręta
Ä
Ä
Ä
Ä
Äe
Ä
Ä
Ä
Äp
Ä
Ä
Ä
granica plastyczności przy skręcaniu
granica proporcjonalności
(granica stosowalności prawa
Hooke a) przy skręcaniu
Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
Przykładowy wykres skręcania
Próbka do statycznej próby skręcania
(Zb.Brzoska, Wytrzymałość Materiałów, PWN Warszawa, 1979)
- 4/13 -
3. Skręcanie pręta
3.4. Skręcanie pręta o przekroju kołowym
Skręcanie  przypadek obciążenia konstrukcji, gdy w myślowym
przekroju istnieje moment skręcający Ms.
l
Ms
z
z
y
y
Õ
Õ
Õ
Õ
Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
A
A
Ms
x
x
przed obciążeniem
po obciążeniu pręta momentem
- na powierzchni pręta skręcającym Ms
narysowano prostokÄ…tnÄ… siatkÄ™
- siatka prostokÄ…tna zmienia siÄ™ na
o krawędziach równoległych do
ukośnokątną
osi pręta
- łuki kół pozostają nie zmienione
- linie równoległe do osi zmieniają
się na linie śrubowe nachylone
pod kÄ…tem Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
- przekroje końcowe odcinka pręta
skręcają się względem siebie o
kÄ…t Õ
Õ
Õ
Õ
Hipoteza płaskich przekrojów:
Przy skręcaniu pręta kołowego przekroje poprzeczne nie doznają
żadnych odkształceń, a jedynie obracają się wokół osi pręta.
- 5/13 -
w
w
d =2r
z
z
d =2r
3. Skręcanie pręta
Elementarna współśrodkowa rura o
z
promieniu r i grubości dr ulega skręceniu
dr
o ten sam kÄ…t Õ, co i caÅ‚y prÄ™t.
A
Õ
B
A
łr  kąt odkształcenia postaciowego
B r
Är
y
elementarnej rury
O
Õr
Å‚ =
BB' = Å‚ l = Õr
r
Ò!
r
l
elementarna
z prawa Hooke a dla ścinania
współśrodkowa
Õr
rura
Är = GÅ‚ = G
r
l
Elementarny moment dM, jaki naprężenia Är rozwijajÄ… wzglÄ™dem punktu O
wynosi
r3
dM = Är 2Ä„r2dr = 2Ä„GÕ dr
l
(patrz: skręcanie rury cienkościennej).
Moment względem punktu O od wszystkich myślowo wyciętych, współśrodko-
wych rur, pokrywających całe pole powierzchni S przekroju pręta, musi być
równoważny momentowi skręcającemu Ms
rz rz
r3 Õ
s
+"dM = +"2Ä„GÕ l dr = G +"2Ä„r3dr = M
l
S rw rw
rz
4 4 4
Ä„(r4 - rw )= Ä„(dz - dw)
3
z
J0 =
+"2Ä„r dr =
2 32
rw
biegunowy moment bezwładności
przekroju kołowego [m4]
- 6/13 -
3. Skręcanie pręta
M l Õ M
s s
Õ = Åš = =
GJ0 l GJ0
kąt skręcenia jednostkowy kąt skręcenia
[rad] (skręcenie względne) [rad/m]
GJ0 [Nm2]  sztywność pręta na skręcanie
Fl "l F
analogia do "l = oraz µ = = przy rozciÄ…ganiu prÄ™ta
ES l ES
M
s
Ä = r
r
J0
naprężenia styczne
przy skręcaniu przekroju kołowego
z
z
Ämax Är
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ämax C Är
Ä
Ä
Ä
r
Ämin
Ä
Ä
Ä
r
y
y
O
O
dw=2rw
dw=0
dz=2rz dz=2rz
rozkład naprężeń stycznych
w przekroju skręcanego pręta kołowego
- 7/13 -
3. Skręcanie pręta
M M M
s s s
Ä = rmax = =
max
J0 W0
J0
rmax
maksymalne naprężenia styczne
4 4 4 4 3
J0 Ä„(r - rw ) Ä„(dz - dw) J0 Ä„r3 Ä„dz
z z
W0 = = = W0 = = =
rmax 2r 16dz rmax 2 16
z
dla przekroju drążonego dla przekroju pełnego
wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie
3.5. Energia wewnętrzna w skręcanym pręcie
Jeśli zachowane jest prawo Hooke'a przy skręcaniu,
Ms
to energia wewnetrzna U zgromadzona w pręcie
równa jest pracy zewnętrznej wykonanej przez
moment skrÄ™cajÄ…cy Ms na przemieszczeniu Õ
Õ
Õ
Õ
W
2
Õ
1 Ms l
U = W = MsÕ = [J]
2 2GJ0
Energia wewnętrzna na jednostkę długości pręta
2
U Ms MsÅš
Ul = = = [J/m]
l 2GJ0 2
- 8/13 -
3. Skręcanie pręta
3.6. Skręcanie prętów o przekrojach niekołowych
Obraz odkształceń przy skręcaniu pręta prostokątnego
(Zb.Brzoska, Wytrzymałość Materiałów, PWN Warszawa, 1979)
przed obciążeniem po obciążeniu momentem
- prostokątna siatka skręcającym
naniesiona na bocznej - siatka odkształca się
powierzchni pręta niejednakowo
- linie proste i prostopadłe do osi
pręta stają się zakrzywione
(pierwotnie płaski przekrój nie
pozostaje płaski)
z Teorii Sprężystości:
1. przy skręcaniu pryzmatycznego pręta w jego przekroju poprzecz-
nym istniejÄ… tylko naprężenia styczne Ä
Ä,
Ä
Ä
2. kierunki naprężeń stycznych wykazują analogię do kierunku ruchu
cząstek cieczy krążącej w płaskim naczyniu o kształcie przekroju
danego pręta (analogia hydrodynamiczna),
Ms
linie prądu krążącej
cieczy (tory czÄ…stek)
prędkość cząstki
Ä
Ä
Ä
Ä
płaskie
przekrój
naczynie
pręta
3. skręcenie względne Ś pręta zależy od kształtu i wymiarów prze-
Åš
Åš
Åš
kroju i jest proporcjonalne do momentu skręcającego Ms, a odwrot-
nie proporcjonalne do modułu G.
- 9/13 -
3. Skręcanie pręta
Maksymalne naprężenia styczne Ämax oraz jednostkowy kat skrÄ™cenia ¸
Ä ¸
Ä ¸
Ä ¸
oblicza się ze wzorów:
M Ms
s
Ä = Åš =
max
Ws GJs
maksymalne naprężenia jednostkowy
styczne kąt skręcenia
Ws [m3], Js [m4]  wielkości czysto geometryczne zależne od kształtu i wymia-
rów przekroju (odpowiadają parametrom W0 i J0 przy skręcaniu przekroju kołowego)
GJs [Nm2]  sztywność na skręcanie
Energia wewnętrzna na jednostkę długości pręta
2
M M Åš
s s
Ul = =
[J/m]
2GJ 2
s
PROSTOK
T
b
B h/b c1 c2 c3
0.208 0.141 1.000
1.0
h e"
e" b
e"
e"
0.231 0.196 0.858
1.5
0.246 0.229 0.796
A A
2.0
h
0.267 0.263 0.753
3.0
0.299 0.298 0.743
6.0
0.333 0.333 0.743
"
B
h
0.35
0.333
Ws = c1ëÅ‚ öÅ‚b3
ìÅ‚ ÷Å‚
b
0.30
íÅ‚ Å‚Å‚
c
1
0.25
h
Js = c2ëÅ‚ öÅ‚b4
ìÅ‚ ÷Å‚
0.20
b
íÅ‚ Å‚Å‚
c
2
0.15
ÄA=Ämax ÄB=c3Ämax
0.10
Ä=0 w narożach
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
h/b
- 10/13 -
3. Skręcanie pręta
TRÓJK
T RÓWNOBOCZNY
a3 a4
Ws = Js =
A A
20 46.2
A
ÄA=Ämax Ä=0 w narożach
a
SZEÅšCIOK
T FOREMNY
A
A
A
Ws = 0.189a3 Js = 0.115a4
a
A
A
ÄA=Ämax Ä=0 w narożach
A
CIENKOÅšCIENNY PROFIL OTWARTY
n n
1 1
Ws = si´i3 Js = si´i3
" "
3´ 3
i=1 i =1
max
´1
s1
´n
sn
´i
Ämax  w Å›rodku dlugich boków odcinka
o gruboÅ›ci ´max
si
CIENKOÅšCIENNA DOWOLNA RURA
n
s
2
Js = 4F
Ws = 2F´ "´i
min
i=1
i
´1
s1 F
´n
sn
´i
Ämax  w miejscu, gdzie grubość Å›cianki jest
najmniejsza
si
F  pole ograniczone linią środkową
- 11/13 -
3. Skręcanie pręta
3.7. Naprężenia i odkształcenia sprężyny śrubowej
P
D=2R  średnica sprężyny
d=2r  średnica drutu
n  liczba zwojów
ą  kąt nachylenia zwojów (mały)
Ä…
P  siła rozciągająca sprężynę
O
d=2r
(rysunki sprężyn zaczerpnięto z:
Niezgodziński M.E., Niezgodziński T.:
Wytrzymałość materiałów, PWN Warszawa 2002)
R
PsinÄ… P
P
PcosÄ…
Ms=PR
McosÄ…
O
O
M=PR
MsinÄ…
O
W myślowym przekroju Dla małych kątów ą
Ä…
Ä…
Ä…
drutu sprężyny działają: można przyjąć:
- siła normalna Psiną, 0
- siłą tnąca Pcosą, P
- moment skręcający Mcosą, Ms
- moment gnÄ…cy MsinÄ…, 0
- 12/13 -
3. Skręcanie pręta
Naprężenia istniejące w myślowym przekroju drutu sprężyny są sumą naprężeń
od ścinania siłą P i skręcania momentem Ms
P
P
Ms
Ms
Ämax
Ä
Ä
Ä
ÄM
Ä
Ä
Ä
ÄP
Ä
Ä
Ä
d=2r
Ms 16Ms
ÄM = = =
Ämax = Ä + Ä =
P M
W0
Ä„d3
4 P 4 4P
Ä = = 4P 4 D
ëÅ‚ öÅ‚
P
2
8PD = + 2
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3
Ä„r2 Ä„d
2
=
3 d
Ä„d
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„d3
jeśli D>>d to
8PD
Ä E"
max
3
Ä„d
Odkształcenie sprężyny śrubowej
M M
s s
dÕ = ds d = RdÕ = R ds
Ms
GJ0 GJ0
A
dÕ
d
A O 2Ä„Rn
M 2Ä„PR3n 8PD3n
s
 = R ds = =
+"
4
ds
GJ0
Ä„r4 Gd
0
G
2
P
sprężyna śrubowa
o małym skoku jest
sztywność sprężyny
sprężyną liniową
P Gd4
k = = = const


8D3n
- 13/13 -