Metoda podstawiania - darmowy e-book (opracowanie) pdf. Download.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 1

Opracowanie to omawia rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania. To jest opracowanie (darmowy e-book pdf) do gimnazjum. Nauczysz się z nim jak rozwiązywać układ równań liniowych (stopnia pierwszego). Download go.

Rozwiązywanie układów równań stopnia pierwszego

metodą podstawiania

Przedmowa

To opracowanie jest napisane z myślą o gimnazjalistach, ale mogą z niego korzystać wszyscy którzy chcą się do-
wiedzieć lub przypomnieć sobie jak rozwiązuje się układy równań liniowych (stopnia pierwszego) metodą pod-
stawiania. Wszystko co tu znajdziesz jest wyjaśnione od podstaw. Nie musisz być orłem z matematyki by zrozu-
mieć o co tu chodzi. Zamieściłem tu bardzo dużo rozwiązanych zadań wraz z opisem wszystkich wykonywanych
czynności.

Spis tematów

Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań? .................................................................. 2

Rozwiązywanie układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi metodą podstawiania. .......... 4

— sprawdzanie otrzymanego wyniku ............................................................................................................ 6

— zadania tekstowe ....................................................................................................................................... 6

Przydatne linki. ............................................................................................................................................... 15

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 2

Temat: Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań?

Układ równań

to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamerką np.

൜ݔ

ݕ = 10

ݔ − ݕ = 4

Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną zmienną (niewiadomą) np.

ݔ lub ݕ. Zmienne mogą być podnie-

sione do jakiejś potęgi, ale różnej od 0. Przykłady układów równań:

൜

ଶ

− 7

ଶ

= 10

−5

ݔ − 4ݕ = 4

൝

ݔ + 4ݕ + 5ݖ = 8

−5

ݔ − 2ݕ + 3ݖ = 7

ݔ + 5ݕ − 3ݖ = −10

Równania tworzące układ równań powinno się podpisywać tak, by znaki równości były idealnie jeden nad drugim.

W matematyce układy równań stosuje się w celu szybszego otrzymania wyniku z zadania tekstowego. Zasada jest
taka, że na podstawie treści zadania układasz przynajmniej dwa równania z dwiema niewiadomymi, spinasz je
z lewej strony klamerką i przystępujesz do znalezienia rozwiązania. Co jest rozwiązaniem układu równań napiszę
później.

Ponieważ w gimnazjum omawiane są tylko układy złożone z dwóch równań o dwóch zmiennych podniesionych do
potęgi pierwszej (wówczas potęgi się nie pisze), więc od tej pory wszystko co będę pisać, będzie się tyczyć wyłącznie
tego typu układów równań.

Znalezienie rozwiązania

danego układu równań polega na tym, by znaleźć takie liczby które wstawione za-

miast zmiennych sprawią, że w obu równaniach strona lewa będzie równa stronie prawej. Zobacz to na
przykładzie już wcześniej napisanego układu równań:

൜ݔ

ݕ = 10

ݔ − ݕ = 4

Jeśli w równaniu pierwszym zamiast

ݔ napiszesz liczbę przypuśćmy 8 i zamiast ݕ np. liczbę 2, to strona lewa będzie

równa stronie prawej. Wstawiając jednak te same liczby do równania drugiego, sprawisz, że jego strona lewa nie
będzie równa stronie prawej. Wnioskujesz więc, że liczby te nie spełniają tego układu równań (nie są jego rozwiąza-
niem), bo w równaniu drugim lewa strona nie wyszła równa stronie prawej.

Skoro powyższe liczby tj.

ݔ = 8 i ݕ = 2 nie były rozwiązaniem powyższego układu równań, więc szukasz innych liczb

i robisz to tak długo, aż znajdziesz dwie takie liczby, które spełniają oba równania jednocześnie. Wybierasz więc
przykładowo

ݔ =

ݕ =

i sprawdzasz czy spełniają one dany układ równań. Jeśli zamiast

ݔ w obu równaniach na-

piszesz liczbę

i w obu równaniach zamiast

ݕ napiszesz liczbę

, to w drugim równaniu strona lewa będzie w praw-

dzie równa stronie prawej, ale w pierwszym równaniu nie. Zatem

ݔ = 5 i ݕ = 1 nie spełniają tego układu równań,

bo tylko w jednym równaniu strona lewa wyszła równa stronie prawej. Szukasz więc innych liczb. Niech tym razem
będą nimi:

ݔ = −10 i ݕ = 15. Jeśli zamiast ݔ w obu równaniach napiszesz liczbę −10 i w obu równaniach zamiast

ݕ napiszesz liczbę 15, to ani w pierwszym ani w drugim równaniu strona lewa nie będzie równa stronie prawej. Za-

tem te liczby również nie spełniają tego układu równań. Wybierasz więc jeszcze inne liczby — takie które wydają Ci
się że mogą spełniać ten układ równań, choć nie masz pewności czy tak w rzeczywistości będzie. Sprawdzasz więc
liczby

ݔ = 7 i ݕ = 3. Jeśli zamiast ݔ w obu równaniach napiszesz liczbę 7 i w obu równaniach zamiast ݕ napiszesz

liczbę 3, to w pierwszym równaniu strona lewa będzie równa stronie prawej i w równaniu drugim również strona
lewa będzie równa stronie prawej. Nareszcie metodą prób i błędów udało się znaleźć takie dwie liczby które spełnia-
ją oba te równania jednocześnie. Zatem rozwiązaniem rozpatrywanego układu równań jest

࢞ = ૠ

࢟ = ૜

lub krócej

— jest nim para liczb

(

;

)

— zauważ, że liczby są ujęte w nawias zwykły i rozdzielone średnikiem (tak jakby to były

współrzędne punktu w układzie współrzędnych).

W rozwiązywaniu układów równań chodzi o to, by nie znajdować rozwiązania (wspólnej pary dla podanych równań)
w taki sposób jak to robiliśmy powyżej (chybił-trafił), lecz dokładnie je wyliczyć w oparciu o jakąś metodę.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 3

No dobra. Masz już rozwiązanie powyższego układu równań i mogłoby się wydawać, że to już koniec. Tymczasem
tak nie jest.

Sformułowanie

rozwiązać układ równań

oznacza, że trzeba znaleźć wszystkie wspólne pary (

ݔ; ݕ) dla poda-

nych równań, a nie tylko jedną z nich. Zobacz:

równanie pierwsze tj.

ݔ + ݕ = 10 jest spełnione m.in. przez pary (ݔ; ݕ):

(0; 10), (1; 9), (2; 8), (3; 7),

(7; 3)

, (8; 2), (9; 1), (11; –1), (12; –2)

a równanie drugie:

ݔ − ݕ = 4 m.in. przez pary (ݔ; ݕ):

(0; –4), (1; –3), (2; –2), (5; 1),

(7; 3)

, (8; 4), (9; 5), (10; 6), (13; 9).

Ponieważ oba równania są spełnione przez nieskończenie wiele różnych par, więc może się zdarzyć, że oprócz znale-
zionej wspólnej pary

(7; 3)

istnieją jeszcze inne wspólne pary które spełniają ten układ równań. Tych wspólnych par

może być nawet nieskończenie wiele, a szukać ich należy także pośród ułamków, pierwiastków, liczb mieszanych
oraz liczb ujemnych. Nie można więc poszukiwać rozwiązania układu równań metodą na chybił-trafił jak to było ro-
bione powyżej. Co by było gdybym zamiast

ݔ nie wstawił liczby 7 i zamiast ݕ liczby 3? Powstałoby wrażenie, że po-

wyższy układ równań nie ma rozwiązania — a tak nie jest.

By znaleźć wszystkie rozwiązania danego układu równań, należy posłużyć się jakąś metodą która pozwoli w sposób
rachunkowy (bez zgadywania), wyznaczyć wszystkie wspólne pary. W przypadku układu równań składającego się
z dwóch równań stopnia pierwszego (zmienne są podniesione do potęgi pierwszej), metody pozwalające wyznaczyć
wszystkie rozwiązania nazywają się tak:

— podstawiania (algebraiczna)

— przeciwnych współczynników (algebraiczna)

— graficzna

— wyznacznikowa (algebraiczna)

— eliminacji Gaussa

— Kroneckera-Cappellego

i zostaną one pojedynczo omówione w następnych tematach (oprócz dwóch ostatnich — zakres studiów).

Zauważ, że sposób zapisywania par spełniających dane równanie jest dokładnie taki sam jak sposób zapisywania
współrzędnych punktów w układzie współrzędnych. Nie jest to zbieg okoliczności. Każdą parę spełniającą dane rów-
nanie możesz zaznaczyć w układzie współrzędnych jako punkt. Jeśli w jednym układzie współrzędnych zaznaczysz
wszystkie pary spełniające równanie pierwsze (na ogół będzie ich nieskończenie wiele), to otrzymasz jakąś linię (wy-
kres funkcji) — w zadaniach z zakresu gimnazjum na ogół będzie to prosta. Gdy zrobisz to samo z drugim równa-
niem, to otrzymasz drugą linię (następny wykres funkcji). Rozwiązaniem danego układu równań będą współrzędne
tych punktów które należą jednocześnie do obu narysowanych wykresów.

Ćwiczenie:

Sprawdź czy para (5; 3) spełnia układ równań:

൜

ݔ − 2ݕ = 29

ݔ + ݕ = 23

[Podpowiedź. W obu równaniach zamiast

ݔ napisz liczbę

5 (pierwsza podana współrzędna) a zamiast

ݕ liczbę 3. Sprawdź, czy w każdym równaniu strona lewa jest równa stronie prawej. Odp. Tak, spełnia.]

Ćwiczenie:

Wypisz 8 par (

ݔ; ݕ) spełniających równanie pierwsze, a następnie 8 par (ݔ; ݕ) spełniających równanie

drugie układu równań:

൜

ݔ − ݕ = 12

ݔ + 2ݕ = 6

. Jaka para liczb (ݔ;ݕ) jest wspólna dla obu tych równań?

[Odp. (

ݔ; ݕ) = (6; 0).]

Ćwiczenie:

Wypisz po 10 par (

ݔ; ݕ) spełniających równania układu równań: ൜

ݔ − 3ݕ = 12

ݔ + 2ݕ = 5

. Jaka para liczb (ݔ;ݕ)

jest wspólna dla obu tych równań?

[Odp. (

ݔ; ݕ) = (3; −2).]

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 4

Temat: Rozwiązywanie układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

metodą podstawiania.

Sformułowanie

rozwiązać układ równań

o zmiennych

ݔ i ݕ

oznacza, że trzeba znaleźć takie liczby, które po

napisaniu zamiast

ݔ i zamiast ݕ sprawią, że we wszystkich równaniach strona lewa będzie równa jej stronie

prawej. Przypuśćmy, że dany jest układ równań:

൜

ݔ + 3 = 7ݕ

ݕ − 4ݔ = 9

Jego rozwiązaniem są liczby

ݔ = −

ଽହ

଺

ݕ = −

ଷଷ

ଵ଼

, bo wstawiając je do obu równań dostaniesz w obu równaniach

równość strony lewej i prawej. Znalezienie ich metodą prób i błędów nie jest łatwe. By je wyliczyć musiałem zasto-
sować jakąś metodę która to umożliwia. Nazwy tych metod oraz na czym one polegają omówię za chwilę. Szukanie
rozwiązania na chybił trafił jest dozwolone, ale w praktyce się go nie stosuje.

Do rozwiązywania układów dwóch równań liniowych (stopnia pierwszego) o dwóch niewiadomych, wystarczy zasto-
sować np. metodę:

—

podstawiania

(algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Z jednego równania wyliczasz np.

ݔ i to co otrzymasz wstawiasz do innego równania z którego wyliczasz drugą

zmienną.

—

przeciwnych

współczynników

(algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Przekształcasz równania układu równań w taki sposób, by po dodaniu równań stronami otrzymać 0

ݔ lub 0ݕ.

Wyliczasz tę zmienną która się nie wyzerowała i stosując metodę podstawiania obliczasz drugą zmienną z do-
wolnego równania.

—

graficzną

(rysunkowa)

Z obu równań wyliczasz zmienną

ݕ i oba równania które otrzymasz traktujesz jako wzory funkcji liniowych. Ry-

sujesz wykresy tychże funkcji liniowych w jednym układzie współrzędnych i z rysunku (na oko) odczytujesz
współrzędne punktu przecięcia tych wykresów. Jeśli takiego punktu nie ma, to układ równań jest sprzeczny,
a jeśli punktów tych jest nieskończenie wiele (proste pokrywają się), to układ równań jest nieoznaczony.

—

wyznacznikową

(algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Wyliczasz 3 tzw. wyznaczniki i na ich podstawie prawie od razu dostajesz poszukiwane rozwiązania. Szczegóły są
opisane w osobnym temacie.

—

eliminacji Gaussa

(algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Zapisujesz liczby występujące w obu równaniach w postaci tzw. macierzy i ją przekształcasz do tzw. macierzy schodkowej. Jest to zakres studiów, więc tekst ten napisa-
łem małym drukiem i nie będę go omawiać.

—

Kroneckera-Capellego

(algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Wypisujesz liczby ze wszystkich równań i układasz je tak by utworzyły tzw. macierz. Następnie wykreślasz jedną kolumnę i jeden wiersz napisanej macierzy koniecznie z
pierwszego wiersza lub pierwszej kolumny, dzięki czemu z niewykreślonych liczb powstanie Ci mniejsza macierz. Obliczasz wyznacznik tej mniejszej macierzy i mnożysz
go przez liczbę która była na przecięciu wykreślonej kolumny i wiersza oraz dodatkowo otrzymany wynik mnożysz przez liczbę −1 lub 1 w zależności którym miejscu
macierzy znajdowało się przecięcie wykreślonego wiersza i kolumny. Czynności te powtarzasz tyle razy ile masz kolumn lub wierszy w danej macierzy. Dla układów
dwóch równań metoda ta jest równoważna metodzie wyznacznikowej. Tą metodą można rozwiązywać nawet układy mające 100 równań o 100 niewiadomych. Metody
tej nie poznają gimnazjaliści ani licealiści ze względu na dość skomplikowane obliczenia.

Aby pokazać, że każda z powyższych metod daje ten sam wynik, rozwiążmy ponownie układ równań:

൜ݔ

ݕ = 10

ݔ − ݕ = 4

ale tym razem nie na chybił trafił, lecz metodą podstawiania.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 5

Metoda podstawiania

Metoda ta polega na tym, że z dowolnego równania wyliczasz jedną ze zmiennych i to co otrzymasz wstawiasz do
równania z którego ta zmienna nie była wyliczana. Weźmy ponownie układ równań:

II: ൜

ݔ + ݕ = 10

ݔ − ݕ = 4

Zmienną

ݔ możesz wyliczyć albo z równania pierwszego, albo z równania drugiego. Nie ma znaczenia z którego ją

wyliczysz. Wynik końcowy wyjdzie ten sam. Zobacz:

Wyliczasz ile jest równy

ݔ w równaniu pierwszym:

ݔ =

10 −

i wstawiasz otrzymane

10 −

zamiast

ݔ do równania

drugiego tj. do:

−

= 4. Masz zatem:

10 −

ᇩᇭᇪᇭᇫ

௫

−

= 4

10 − 2

ݕ = 4

10 − 4 = 2

6 = 2

ݕ/: 2

Wyliczasz ile jest równy

ݔ w równaniu drugim:

II:

ݔ =

4 +

i wstawiasz otrzymane

4 +

zamiast

ݔ do równania

pierwszego tj. do:

= 10. Masz zatem:

4 +

ᇩᇪᇫ

௫

= 10

4 + 2

ݕ = 10

ݕ = 10 − 4

ݕ = 6/: 2

ݕ =

Aby wyliczyć

ݔ patrzysz na to co masz w ramce na samej

górze i zamiast niewiadomej

ݕ piszesz liczbę 3, bo tak

przed chwilą zostało to wyliczone. Zatem:

ݔ = 10 −

= 7

Aby wyliczyć

ݔ patrzysz na to co masz w ramce na samej

górze i zamiast niewiadomej

ݕ piszesz liczbę 3, bo tak

przed chwilą zostało to wyliczone. Zatem:

ݔ = 4 +

= 7

Odp. Rozwiązaniem danego układu równań jest

ݔ = 7

ݕ = 3.

Odp. Rozwiązaniem danego układu równań jest

ݔ = 7

ݕ = 3.

W metodzie podstawiania nie musisz najpierw wyliczać zmiennej

ݔ jak to zostało pokazane wyżej. Możesz najpierw

wyliczyć zmienną

ݕ z dowolnego równania, a dopiero potem ݔ. Nie ma to znaczenia. Wynik i tak wyjdzie taki sam

o ile nie popełnisz gdzieś błędu rachunkowego.

Metodę tę najlepiej stosować gdy przynajmniej w jednym równaniu jest już wyliczona zmienna. Przykładowe układy
równań, które warto rozwiązywać metodą podstawiania:

൜ ݔ

= 3

ݕ + 5

ݔ − 7ݕ = 6

൜ ݕ

= 4

ݔ − 2

ݔ + 3ݕ = −8

൜

−

ݔ − ݕ = 11

ݔ = 6ݕ

൜

ݔ + 4ݕ = −3

ݕ = 2ݔ + 1

Zaletą tej metody jest prostota — stosują ją nawet uczniowie szkół podstawowych do rozwiązywania zadań
w których występują dwa równania z dwiema niewiadomymi. Oczywiście nie spinają oni równań klamerką i nie wie-
dzą, że stosowany przez nich sposób ma swoją nazwę, ale go znają.

Ćwiczenie:

Stosując metodę podstawiania, rozwiąż poniższe układy równań.

൜ ݔ

= 3

ݕ + 5

ݔ − 7ݕ = 6

൜ ݕ

= 4

ݔ − 2

ݔ + 3ݕ = −8

൜

−

ݔ − ݕ = 14

ݔ = 6ݕ

൜

ݔ + 4ݕ = −3

ݕ = 2ݔ + 1

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 6

[Podpowiedź: a) W równaniu drugim zamiast

ݔ napisz (3ݕ + 5) bo tak masz w równaniu pierwszym. b) W równaniu drugim zamiast ݕ napisz (4ݔ − 2) bo

tak masz w równaniu pierwszym. c) W równaniu pierwszym zamiast

ݔ napisz 6ݕ bo tak masz w równaniu drugim. d) W równaniu pierwszym zmiast ݕ na-

pisz (2

ݔ + 1) bo tak masz w równaniu drugim. Odp. a) (17; 4) b) ൫−

మ

భళ

; −

రమ

భళ

൯ c) (−12; −2) d) (−3; −5).]

Sprawdzanie wyniku w metodzie podstawiania

Przypuśćmy, że robiąc obliczenia tą metodą, najpierw z równania drugiego wyliczyłaś

ݕ, otrzymując postać:

൜ݔ

+ 2

ݕ = 33

ݕ = 4ݔ − 24

i że wyliczony

ݕ wstawiłaś do równania pierwszego. Gdy otrzymasz, że rozwiązaniem tego układu równań jest

ݔ = 9 i ݕ = 12, to sprawdzenie musisz przymusowo wykonać poprzez wstawienie tych liczb do równania pierw-

szego w pierwotnym (nie przekształconym) układzie równań. Nie możesz ich wstawiać do równania drugiego, bo
z niego wyliczane było

ݕ.

Zadania tekstowe

Znając już metody rozwiązywania układów dwóch równań liniowych (stopnia pierwszego) z dwiema niewiadomymi,
przystąpmy do rozwiązywania zadań tekstowych. Nim jednak to zrobisz, pamiętaj o tym by:

— treść zadania czytać fragmentami (do najbliższego znaku interpunkcyjnego lub najbliższego spójnika)

— na podstawie pytania zadanego w treści zadania, odgadywać co należy oznaczyć zmiennymi

— na podstawie przeczytanych fragmentów od razu układać stosowne równania (lub nierówności)

— weryfikować na bieżąco poprawność ułożonych równań (nierówności) z treścią zadania

— dobierać w sposób intuicyjny oznaczenia zmiennych, np.

ܿ — liczba chłopców, ݀ — liczba dziewczyn,

ܾ — objętość beczki, ݓ — liczba większa, ݉ — liczba mniejsza, ܣ — wiek Agnieszki, ܤ — wiek Beaty, itp.

— w miarę możliwości robić założenia, nawet jeśli są oczywiste np. b ≥ 0, gdzie b oznacza długość boku, A > 0,

gdzie A oznacza wiek Agnieszki, w > m, gdzie w oznacza liczbę większą, zaś m liczbę mniejszą, itp.

— otrzymane wyniki oraz ważniejsze fragmenty obliczeń brać od razu w ramki

— sprawdzać zgodność otrzymanych wyników z poczynionymi wcześniej założeniami

— udzielać odpowiedzi jeśli w treści zadania było zadane pytanie

— wykonywać sprawdzenia otrzymanych wyników.

Poniżej przedstawiam najczęściej spotykane w gimnazjum typy zadań na wykorzystanie układów równań.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 7

Zadanie:

Różnica dwóch liczb wynosi 7. Znajdź te liczby, jeżeli wiesz, że jedna z nich stanowi 2/3 drugiej.

Zauważ, że w tym zadaniu różnica dwóch liczb jest liczbą dodatnią, co oznacza, że od liczby większej odję-
to liczbę mniejszą a nie odwrotnie. Jest to bardzo ważne, gdyż odejmowanie (w przeciwieństwie do do-
dawania) nie jest przemienne. Innymi słowy, rozwiązując zadania w których występuje różnica dwóch
liczb, warto zamiast zmiennych

ݔ i ݕ stosować zmienne ݓ i ݉, oznaczające odpowiednio liczbę większą

i mniejszą. Dzięki temu, że masz informację o stosunku poszukiwanych liczb, wiesz dodatkowo, że podzie-
lono liczbę mniejszą przez większą, bo 2 < 3.

Oznaczenia:

ݓ — liczba większa
݉ — liczba mniejsza

Założenia:

ݓ > ݉

Rozwiązanie:

൝

ݓ − ݉ = 7

Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania.
W równaniu drugim wykonujesz mnożenie po skosie, bo to proporcja.

ቄݓ − ݉ = 7

݉ =

Zastanawiasz się nad tym jaką metodą rozwiązać ten układ równań. Przypuśćmy, że wybierasz metodę podstawiania. Z
równania pierwszego wyliczasz jedną zmienną np.

ݓ.

൜ ݓ = 7 + ݉

݉ = 2ݓ

Do równania drugiego zamiast literki

ݓ wstawiasz (7 + ݉) bo tak masz w równaniu pierwszym.

݉ = 2(7 + ݉)

݉ = 14 + 2݉

݉ − 2݉ = 14

݉ = 14

Obliczoną liczbę 14 wstawiasz do powyższego równania które jest w ramce i wyliczasz

ݓ.

ݓ = 7 + 14

ݓ = 21

Sprawdzasz czy otrzymane w ramkach liczby spełniają poczynione na początku założenie. Jeśli tak, to piszesz odpo-
wiedź, jeśli nie to szukasz błędu (lub błędów) w obliczeniach.

Odp. Szukane liczby to 14 i 21.

Ćwiczenie:

Różnica dwóch liczb jest równa 12. Co to za liczby, jeśli stosunek jednej liczby do drugiej jest równy

9:15?

[Podpowiedź. Stosunek dwóch liczb to wynik z podzielenia jednej z liczb przez drugą. Jeśli w danym stosunku liczba przed dwukropkiem jest

mniejsza od liczby za dwukropkiem, to trzeba podzielić liczbę mniejszą przez większą. Odp. 18 i 30.]

Ćwiczenie:

Różnica dwóch liczb jest równa 18. Znajdź te liczby, jeśli ich stosunek wynosi 4:1.

[Podpowiedź. Stosunek dwóch

liczb to wynik z podzielenia jednej z liczb przez drugą. Jeśli w danym stosunku liczba przed dwukropkiem jest mniejsza od liczby za dwukropkiem, to trzeba
podzielić liczbę mniejszą przez większą.Odp. 6 i 24.]

Ćwiczenie:

Różnica dwóch liczb jest równa 20. Jakie to liczby, jeśli jedna z nich jest mniejsza od drugiej 2,1 razy?

[Odp. 20 i 42.]

Ćwiczenie:

Różnica dwóch liczb jest podwojoną odwrotnością liczby 5, zaś ich suma jest dziesiątą częścią liczby 52.

Co to za liczby?

[Podpowiedź. 5 =

ହ

ଵ

. Odwrotność liczby tworzy się zamieniając jej licznik z mianownikiem. Odp. 2,8 i 2,4.]

Ćwiczenie:

Różnica dwóch liczb naturalnych jest równa 5. Iloraz liczby większej i liczby 4 jest o 4,99 mniejszy od

iloczynu liczby mniejszej i liczby 10. Jakie to liczby?

[Odp.

ݓ = 5,64, ݉ = 0,64.]

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 8

Zadanie:

Pani Genowefa zebrała jajka od swoich kur i chce je zapakować w wytłaczanki transportowe mieszczące

albo dwa tuziny albo dwa mendle jajek. Niezależnie od tego które wytłaczanki wybierze, zostaną jej 4 jaj-
ka. Gdyby wybrała tylko wytłaczanki mieszczące mniejszą liczbę jajek to zużyłaby o 2 wytłaczanki więcej
niż gdyby wybrała wytłaczanki mieszczące większą liczbę jajek. Ile pani Genowefa zebrała jajek od swoich
kur?

Oznaczenia:

ݐ — liczba wytłaczanek (o pojemności 24 sztuk) potrzebna do zapakowania zebra-

nych jajek oprócz 4 sztuk

݉ — liczba wytłaczanek (o pojemności 30 sztuk) potrzebna do zapakowania zebra-

nych jajek oprócz 4 sztuk

24ݐ

— największa liczba jajek jaką można zapakować w wytłaczanki o pojemności

24 sztuk

30݉

— największa liczba jajek jaką można zapakować w wytłaczanki o pojemności

30 sztuk

Objaśnienia:

Tuzin to 12 sztuk, zaś
mendel to 15 sztuk.

Założenia:

ݐ > ݉

Analiza zadania:

Z treści zadania wiesz, że

+ 4 =

+ 4 oraz, że

ݐ = ݉ + 2

Rozwiązanie:

ቄ

+ 4 =

+ 4

/−4

ݐ = ݉ + 2

Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania.
Ponieważ w równaniu drugim jest już wyznaczona zmienna

ݐ, więc ten układ równań naj-

szybciej da się rozwiązać metodą podstawiania. W tym celu wystarczy w równaniu pierw-
szym zamiast literki

ݐ napisać (݉ + 2) bo tak masz w równaniu drugim i dodatkowo od obu

stron odjąć liczbę 4.

ሺ

݉ + 2

ሻ = 30݉

Wymnażasz liczbę 24 przez każdą liczbę z nawiasu.

݉ + 48 = 30݉

Przenosisz 24

݉ na stronę prawą, jak zawsze ze zmienionym znakiem na przeciwny.

48 = 30

݉ − 24݉

48 = 6

/: 6

Dzielisz obie strony równania przez liczbę stojącą przy zmiennej

݉.

⋅

+ 4

= 240 + 4 = 244

W tym zadaniu nie ma potrzeby dodatkowego wyliczania zmiennej

ݐ. Skoro już wiesz, że do

zapakowania wszystkich zebranych jaj wystarczy

wytłaczanek transportowych o pojemno-

ści dwóch mendli (

30 sztuk

) i jeszcze zostaną

jajka, to znaczy, że obliczoną liczbę

݉ wystar-

czy pomnożyć przez pojemność tej wytłaczanki i do otrzymanego wyniku dodać 4.

Odp. Pani Genowefa od swoich kur zebrała 244 jajka.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 9

Zadanie:

Pan Zbigniew przywiózł samochodem o ładowności 2 tony towar do swojego sklepu. Były to lodówki wa-

żące po 62 kg oraz żelazka ważące po 1 kg. Lodówek było 2 razy więcej niż żelazek. Ile Pan Zbigniew przy-
wiózł lodówek a ile żelazek jeśli w pełni wykorzystał ładowność swego samochodu?

Oznaczenia:

— liczba przywiezionych lodówek

— liczba przywiezionych żelazek

— waga wszystkich przywiezionych lodówek

— waga wszystkich przywiezionych żelazek

Założenia:

ܮ > 0
ܼ > 0

Analiza zadania:

Z treści zadania wiesz, że

oraz, że

= 2000 kg.

Rozwiązanie:

ቄ

ܮ = 2ܼ

ܮ + ܼ = 2000

Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania.
Ponieważ w równaniu pierwszym jest już wyznaczona zmienna

ܮ, więc ten układ równań

najszybciej da się rozwiązać metodą podstawiania. W tym celu wystarczy w równaniu dru-
gim zamiast literki

ܮ napisać 2ܼ bo tak masz w równaniu pierwszym.

62 ⋅ 2

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ଵଶସ௓

ܼ = 2000

Wykonujesz najpierw mnożenie a potem dodawanie, bo tak orzeka o tym kolejność wyko-
nywania działań.

125

ܼ = 2000

/: 125

By wyliczyć

ܼ dzielisz obie strony tego równania przez liczbę stojącą przy ܼ czyli przez 125.

ܼ = 16

Wiesz już że przywieziono 16 żelazek. Wracasz się do równania pierwszego w wyjściowym
układzie równań i zamiast literki

ܼ piszesz 16. Obliczasz ܮ.

ܮ = 2 ⋅ 16 = 32

Masz już że przywieziono 32 lodówki. Sprawdzasz czy otrzymane wyniki są zgodne z poczy-
nionymi na początku założeniami. Jeśli tak, to udzielasz odpowiedź, bo w treści zadania było
zadane pytanie. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach.

Odp. Pan Zbigniew przywiózł do swojego sklepu 16 żelazek i 32 lodówki.

Ćwiczenie:

Trzy psy rasy rottweiller ważą tyle, co pięć psów rasy pitt bull. Ile waży pies rasy pitt bull jeśli rottweil-

ler jest od niego o 20 kg cięższy.

[Odp. 30 kg.]

Ćwiczenie:

Suma minimalnych wynagrodzeń brutto z lat 1998 i 2003 wynosiła 1300 zł brutto. Ile wynosiło mini-

malne wynagrodzenie brutto w roku 2003 jeśli było ono o 300 zł wyższe od minimalnego wynagrodze-
nia w roku 1998?

[Odp. 800 zł.]

Ćwiczenie:

Bilet do teatru dla osoby dorosłej jest o 12 zł droższy od biletu dla dziecka. Pan Zbyszek poszedł do te-

atru z trojgiem swoich dzieci i za wszystkie bilety zapłacił 100 zł. Ile kosztował bilet dla osoby dorosłej,
a ile dla dziecka?

[Odp. 34 zł i 22 zł.]

Ćwiczenie:

Za podręcznik do matematyki i 3 zeszyty ćwiczeń mama Ani zapłaciła 60 zł. Gdyby kupiła tylko podręcz-

nik i jeden zeszyt ćwiczeń to za zaoszczędzone pieniądze mogła by kupić jeszcze jeden taki sam pod-
ręcznik. Ile kosztował podręcznik oraz jeden zeszyt ćwiczeń zakupiony przez mamę Ani?

[Odp.

݌ = 24 zł,

ć = 12 zł.]

Ćwiczenie:

Na egzaminie wstępnym do renomowanego gimnazjum były 23 zadania. Za każde poprawne rozwiąza-

nie zadania uczeń dostawał 6 punktów, a za każde błędne tracił 3 punkty. Ile poprawnych i ile błędnych
rozwiązań udzielił zdający, jeżeli zdobył w sumie 66 punktów?

[Odp.

݌ = 15, ܾ = 8.]

Ćwiczenie:

Tomek na dużej kartce narysował czworokąty i pięciokąty które razem mają 62 boki. Ile Tomek nary-

sował czworokątów a ile pięciokątów, jeśli stosunek liczby pięciokątów do liczby czworokątów wyniósł
3 : 4?

[Odp.

ܿ = 8, ݌ = 6.]

Ćwiczenie:

Do szafki w sali matematycznej nauczycielka wstawiła sześciany i czworościany. Wszystkie one razem

miały 38 ścian i 72 krawędzie. Ile sześcianów i ile czworościanów nauczycielka wstawiła do szafki?

[Odp.

ݏ = 5, ܿ = 2.]

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 10

Ćwiczenie:

10 jednakowych szklanek i 3 jednakowe kubki ważą razem 2,9 kg. Stosunek wagi 20 szklanek do 2 kub-

ków wynosi 43 : 5. Ile waży jedna szklanka i jeden kubek?

[Podpowiedź. Stosunek dwóch liczb to wynik z podzielenia jednej

z liczb przez drugą. Ułóż m.in. równanie:

ଶ଴௦

ଶ௞

ସଷ

ହ

i zauważ, że to tzw. proporcja. Odp.

ݏ = 215 g, ݇ = 250 g.]

Ćwiczenie:

W dwóch słoikach jest mleko. Stosunek objętości mleka w słoiku pierwszym do objętości mleka w sło-

iku drugim jest równy 2 : 3. Ile mililitrów mleka jest w każdym słoiku, jeśli w obu słoikach jest w sumie
1,5 litra mleka?

[Podpowiedź. Stosunek dwóch liczb (objętości) to wynik z podzielenia jednej z liczb przez drugą. 1 litr = 1000 ml. Odp.

݌ = 600 ml,

݀ = 900 ml.]

Ćwiczenie:

Iloczyn dwóch liczb jest równy 432, a ich stosunek 3 : 4. O jakich liczbach mowa?

[Odp. 18 i 24.]

Ćwiczenie:

Iloraz dwóch liczb, których różnica wynosi 6, jest równy 0,75. O jakich liczbach mowa?

[Odp. 18 i 24.]

Zadanie:

W 1990 roku, pewna grupa osób chciała wyjechać na wycieczkę. Jeśli każdy z uczestników wpłaciłby po

125 000 zł, to do pokrycia kosztów zabrakłoby 1 000 000 zł, jeśli zaś każdy zapłaciłby po 160 000 zł, to zo-
stałoby 120 000 zł. Ile osób chciało wyjechać na wycieczkę?

Oznaczenia:

ݑ — liczba uczestników która chciała wyjechać na wycieczkę
݇ — koszt wycieczki

Założenia:

ݑ > 0
݇ > 0

Analiza treści zadania:

Wiesz, że wpłacając po 125 000 zł, do pokrycia kosztów wycieczki zabraknie 1 000 000 zł. Zatem:

125 000 ⋅

ݑ = ݇ − 1 000 000

Dodatkowo wiesz, że:

160 000 ⋅

ݑ = ݇ + 120 000

Rozwiązanie:

ቄ125000ݑ = ݇ − 1000000

160000

ݑ = ݇ + 120000

Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania. Przykładowo z równa-

nia pierwszego wyliczasz

݇. Przenosisz więc liczbę −1 000 000 ze strony prawej

równania na stronę lewą (oczywiście ze zmienionym znakiem na przeciwny).

ቄ

125000

ݑ + 1000000

160000

+ 120000

W równaniu drugim zamiast niewiadomej

݇ piszesz 125000ݑ + 1000000 bo tak

masz w równaniu pierwszym.

160000

125000

ݑ + 1000000

+ 120000

Wyrażenie 125000u przenosisz ze strony prawej równania na stronę lewą ze
zmienionym znakiem na przeciwny.

160000

ݑ − 125000ݑ = 1000000 + 120000

35000

ݑ = 1120000

/: 35000

ݑ = 32

Sprawdzasz czy otrzymany wynik jest zgodny z poczynionym na początku założe-
niem. Jeśli tak, to udzielasz odpowiedź, bo w treści zadania było zadane pytanie.
Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach.

Odp. Na wycieczkę chciały jechać 32 osoby.

Ćwiczenie:

W dniu rozdawania świadectw, w sali gimnastycznej ustawiono kilkanaście długich ławek. Jeśli na każ-

dej z nich usiądzie po 8 uczniów, to zabraknie 6 ławek do usadzenia wszystkich. Gdyby zaś dostawić
jedną ławkę i na każdej ławce posadzić po 10 uczniów, to wszyscy uczniowie będą mieli gdzie siedzieć
i żadne miejsce wolne nie zostanie. Ilu uczniów liczy ta szkoła? Ile przyniesiono ławek na salę gimna-
styczną?

[Odp.

ݑ = 200, ł = 19.]

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 11

Zadanie:

Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 98. Iloraz pierwszej z nich przez drugą daje 2 i resztę 20. Jakie to

liczby?

Oznaczenia:

݌ — pierwsza poszukiwana liczba
݀ — druga poszukiwana liczba

Założenia:

݌ > 2݀

bo dzieląc liczbę pierwszą przez drugą dosta-
jemy liczbę 2 i jakąś tam resztę

Analiza treści zadania:

Na początek wróćmy się do klasy drugiej szkoły podstawowej. Mieliśmy tam przykładowo, że:

∶

czyli

⋅

W naszym zadaniu mamy dwie liczby:

݌ i ݀, oraz wiemy o nich m.in. to, że:

∶

czyli

⋅

ถ

ଶௗ

Rozwiązanie:

൜ ݌

݀ = 98

݀ + 20

Równanie pierwsze wynika z pierwszego zdania w treści zadania, a drugie z powyższych przemyśleń wy-
konanych w analizie treści zadania. Ponieważ w równaniu drugim jest już wyliczona niewiadoma

݌, więc

ten układ równań szybciej będzie się liczyć metodą podstawiania niż metodą przeciwnych współczynni-
ków.

݀ + 20

ᇣᇧᇤᇧᇥ

௣

݀ = 98

W równaniu pierwszym zamiast niewiadomej

݌ zostało napisane wyrażenie 2݀ + 20 bo tak było w rów-

naniu drugim, a równanie drugie zniknęło (bo została zastosowana metoda podstawiania).

݀ = 98 − 20

Wyrażenia zawierające niewiadomą

݀ zostały do siebie dodane. Liczba 20 została przeniesiona ze strony

lewej na stronę prawą ze zmienionym znakiem na przeciwny.

݀ = 78

/: 3

Przypominam, że czerwona skośna kreska oznacza, że działanie które jest za nią (w tym przypadku dzie-
lenie) należy wykonać na obu stronach równania, a nie tylko na stronie lewej.

݀ =

݌ +

= 98

݌ = 98

− 26

݌ = 72

Mając już wyliczoną drugą liczbę wracasz się do równania pierwszego w pierwszym układzie równań
i zamiast niewiadomej

݀ piszesz wyliczoną przed chwilą liczbę 26.

Mając już wyliczone obie liczby, sprawdzasz, czy założenie poczynione na początku zadania jest prawdzi-
we. Ponieważ tam było napisane, że liczba pierwsza musi być co najmniej 2 razy większa od liczby drugiej
(i tak nam wyszło), więc założenie jest spełnione. Pozostaje już tylko udzielić odpowiedź, bo w treści za-
dania było zadane pytanie.

Odp. Poszukiwane liczby to 72 i 26.

Ćwiczenie:

Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 99. Iloraz pierwszej z nich przez drugą daje 1 i resztę 29. Jakie to

liczby?

[Podpowiedź: Iloraz to wynik z dzielenia dwóch liczb. Odp. 64 i 35.]

Ćwiczenie:

Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 100. Iloraz pierwszej z nich przez drugą daje 32 i resztę 1. Jakie

to liczby?

[

Podpowiedź: Iloraz to wynik z dzielenia dwóch liczb.

Odp.: 97 i 3.]

Ćwiczenie:

Różnica dwóch liczb naturalnych wynosi 65. Iloraz większej z nich przez mniejszą daje 22 i resztę 2. Ja-

kie to liczby?

[Podpowiedź: Różnica to wynik odejmowania dwóch liczb. Odp.: 68 i 3.]

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 12

Zadanie:

Liczba trzycyfrowa jest podzielna przez 10, a suma jej cyfr jest równa 12. O jakiej liczbie mowa, jeśli jej cy-

fra setek jest o 2 większa od cyfry dziesiątek?

Oznaczenia:

݆ — cyfra jedności
݀ — cyfra dziesiątek
ݏ — cyfra setek

Założenia:

݀ ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
ݏ ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Założenia na

݆ nie trzeba robić, bo nie będzie

ono wyliczane → patrz: analiza treści zadania.

Analiza treści zadania:

Jeśli liczba jest podzielna przez 10, to zawsze jej ostatnią cyfrą jest 0. Zatem w tym zadaniu

݆ = 0 .

Rozwiązanie:

൝

݀ +

= 12

ݏ =

݀ + 2

Równanie pierwsze wynika z pierwszej części pierwszego zdania w treści zadania (czyli z podzielności
liczby przez 10). Równanie drugie wynika z drugiej części pierwszego zdania (suma cyfr jest równa 12).
Równanie trzecie wynika z drugiej części drugiego zdania w treści zadania.

W równaniu drugim zamiast niewiadomej

ݏ piszesz ݀ + 1 bo tak masz w równaniu trzecim. Dodatkowo

w równaniu drugim zamiast

݆ piszesz 0, bo tak masz w równaniu pierwszym. Równania 1 i 3 wymazujesz

(została zastosowana metoda podstawiania).

݀ + 2

ᇣᇤᇥ

௦

݀ +

ณ

௝

= 12

Mając taką postać równania drugiego dodajesz do siebie wyrazy podobne z niewiadomą d, a pozostałe
przenosisz na prawą stronę ze zmienionymi znakami na przeciwne.

݀ = 12 − 2

Wyrażenia zawierające niewiadomą

݀ zostały do siebie dodane. Liczba 2 została przeniesiona ze strony

lewej na stronę prawą ze zmienionym znakiem na przeciwny.

݀ = 10

/: 2

݀ =

ݏ = ݀ + 2
ݏ =

+ 2

ݏ = 7

Mając już wyliczoną cyfrę dziesiątek sprawdzasz czy spełnia ono poczynione na początku zadania założe-
nie. Jeśli tak to wracasz się do równania trzeciego w pierwszym układzie równań i zamiast niewiadomej

piszesz wyliczoną przed chwilą liczbę 5. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach.

Mając już wyliczoną cyfrę setek, sprawdzasz czy spełnia ona poczynione założenie na początku zadania.
Jeśli tak, to zapisujesz odpowiedź, bo w treści zadania było zadane pytanie. Jeśli nie, to szukasz błędu
w obliczeniach.

Odp. Poszukiwana liczba to 750.

Ćwiczenie:

Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 16. Jaka to liczba, jeśli wiadomo, że jej cyfra dziesiątek jest o 2

większa o cyfry jedności?

[Odp. 97.]

Ćwiczenie:

W liczbie dwucyfrowej, cyfra dziesiątek jest o 3 większa od jej cyfry jedności. Cyfra jedności jest zaś 17

razy mniejsza od danej liczby dwucyfrowej. O jakiej liczbie mowa?

[Odp. 85.]

Ćwiczenie:

Zmniejszając cyfrę dziesiątek w liczbie dwucyfrowej o 1 oraz zwiększając cyfrę dziesiątek w tejże liczbie

o 2 dostaniemy nową liczbę dwucyfrową w której cyfra dziesiątek jest równa cyfrze jedności. Zwiększa-
jąc zaś liczbę dziesiątek o 1, a cyfrę jedności zmniejszając o 2, dostaniemy nową liczbę w której cyfra
dziesiątek jest 4 razy większa od cyfry jedności. Co to za liczba?

[Podpowiedź: Z pierwszej części zadania wywnioskuj, że

݀ − 1 = ݆ + 2. Odp.: 74.]

Ćwiczenie:

Jeśli w liczbie dwucyfrowej zmniejszymy cyfrę dziesiątek o 4, a cyfrę jedności zwiększymy o 5, to

otrzymamy liczbę dwucyfrową mniejszą od 50. Jeśli zaś cyfrę dziesiątek zwiększymy o 1, a cyfrę jedno-
ści zmniejszymy o 2, to otrzymamy liczbę dwucyfrową większą od 91. Co to za liczba?

[Podpowiedź: Ułóż 2 nie-

równości. Rozwiązaniem będą te liczby dwucyfrowe które jednocześnie spełniają obie te nierówności. Odp.: 84.]

Ćwiczenie:

W liczbie dwucyfrowej, suma kwadratów cyfr dziesiątek i jedności wynosi 73, a różnica kwadratów

tychże cyfr jest równa −55. Jaka to liczba?

[Odp. 38.]

Ćwiczenie:

W liczbie dwucyfrowej różnica kwadratów cyfr dziesiątek i jedności wynosi 11. O jakiej liczbie mowa,

jeśli cyfra jedności jest o 1 mniejsza od cyfry dziesiątek?

[Odp. 65.]

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 13

Zadanie:

Jakub jest o 8 lat starszy od Ani. 4 lata temu był on dokładnie

razy od niej starszy. Ile lat mają oni obec-

nie?

Oznaczenia:

ܬ — obecny wiek Jakuba

ܬ − 4

— wiek Jakuba

4 lata temu

ܣ— obecny wiek Ani

ܣ − 4

— wiek Ani

4 lata temu

Założenia:

ܬ > 0
ܣ > 0

Analiza treści zadania:

Wiesz, że obecnie

ܬ = ܣ + 8 (na podstawie pierwszego zdania w treści zadania), zaś 4 lata temu oboje

mieli o 4 lata mniej, czyli Jakub miał

ܬ − 4

lat, zaś Ania miała

ܣ − 4

lat. Dodatkowo wiesz, że wtedy Ja-

kub był 2 razy starszy od Ani, czyli, że zachodziło równanie:

ܬ − 4

(

ܣ − 4

Rozwiązanie:

ቊ

ܬ =

ܣ + 8

ܬ − 4

ሺ

ܣ − 4

ሻ

Ponieważ w równaniu pierwszym jest już wyliczona niewiadoma

ܬ, więc ten układ równań szybciej będzie się

rozwiązywać metodą podstawiania niż przeciwnych współczynników. Tak więc, w równaniu drugim zamiast

trzeba napisać

ܣ + 8 bo tak jest w równaniu pierwszym i dodatkowo skasować równanie pierwsze. W równa-

niu drugim trzeba także wykonać mnożenie liczby 2 przez wszystko co jest w nawiasie.

ܣ + 8

ᇣᇤᇥ

௃

− 4

= 2

− 8

Mając taką postać równania drugiego, przenosisz wyrażenia zawierające niewiadomą

ܣ na prawą stronę rów-

nania, a wszystkie pozostałe na stronę lewą. Gdyby wyrażenia zawierające

ܣ przenieść na stronę lewą, to

później trzeba było by jeszcze obie strony równania mnożyć lub dzielić przez liczbę −1.

− 4

+ 8

= 2

−

12 =

Sprawdzasz czy wyliczony wiek Ani jest zgodny z poczynionym na początku zadania założeniem. Jeśli nie, to
szukasz błędu w obliczeniach. Jeśli tak, to przechodzisz do wyliczenia wieku Jakuba.

ܬ = 12 + 8

ܬ = 20

Wracasz się do równania pierwszego w głównym układzie równań i zamiast niewiadomej

ܣ wpisujesz przed

chwilą obliczoną liczbę 12.

Sprawdzasz czy wyliczony wiek Jakuba jest zgodny z poczynionym na początku zadania założeniem. Jeśli nie,
to szukasz błędu w obliczeniach. Jeśli tak, to przechodzisz do udzielenia odpowiedzi, bo w treści zadania było
zadane pytanie.

Odp. Obecnie Jakub ma 20 lat, a Ania 12 lat.

Ćwiczenie:

4 lata temu tata był 2 razy starszy od swego syna. Za 20 lat oboje będą mieć razem 90 lat. Ile lat obec-

nie ma każde z nich?

[Odp. 32 lata, 18 lat.]

Ćwiczenie:

Klaudia i Wincenty mają razem 20 lat. Za 18 lat wiek Klaudii będzie stanowić ¾ wieku Wincentego. Ile

lat ma teraz Klaudia oraz Wincenty?

[Odp. K = 6 lat, W = 14 lat.]

Ćwiczenie:

Marek i Janek mają razem 44 lata. 6 lat temu Marek miał tyle lat, ile Janek będzie mieć za 2 lata. Ile lat
mają obecnie Marek i Janek?

[Odp. M = 26 lat, J = 18 lat.]

Ćwiczenie:

Lech Kaczyński (prezydent Polski) w momencie swojej śmierci, sprawował prezydenturę przez

భ

భమ

czasu

swojego życia. Gdyby zmarł on 2 lata wcześniej, to prezydenturę sprawowałby przez

య

ఱఴ

długości swoje-

go życia. Ile lat żył oraz ile lat sprawował prezydenturę Lech Kaczyński?

[Odp. Lecz Kaczyński żył 60 pełnych lat, a prezy-

denturę sprawował przez 5 lat. Zginął w katastrofie samolotu pod Smoleńskiem 10 kwietnia 2010 lecąc na obchody 70-tej rocznicy mordu w Katyniu.]

Ćwiczenie*:

Ktoś zapytał znajomego, ile ma lat. Otrzymał następującą odpowiedź: „Teraz mam dwa razy więcej lat,
niż ty miałeś, gdy ja byłem w twoim wieku; gdy zaś ty będziesz w moim wieku, razem będziemy mieć
63 lata. Ile lat ma każdy ze znajomych?

[Podpowiedź: Aby dowiedzieć się ile młodszy ze znajomych miał lat gdy starszy ze znajomych

miał tyle lat co młodszy ma teraz, należy ułożyć równanie: m – (s – m). Aby dowiedzieć się ile lat znajomi będą mieć, gdy młodszy z nich osiągnie wiek star-
szego, należy do ich lat dodać (s – m). Odp. m = 21 lat, s = 28 lat.]

Źródło: Z Pitagorasem przez gimnazjum, W. Łęska, S. Łęski, Oficyna Wydawniczo-Poligraficzna „Adam”, Warszawa 2006, strona 35.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 14

Zadanie:

Ola i Piotrek są rodzeństwem. Ola ma o 50% więcej braci niż sióstr, a Piotrek ma tyle samo braci co sióstr.

Ile dzieci mają rodzice Oli i Piotrka?

Oznaczenia:

ܿ — liczba chłopców w tej rodzinie (

liczba braci Oli

)

݀— liczba dziewczynek w tej rodzinie (

liczba sióstr Piotrka

)

Założenia:

ܿ > 1
݀ > 1

Analiza treści zadania:

— Każdy chłopak w tej rodzinie jest bratem Oli.

— Liczba sióstr Oli, to liczba dziewczyn w tej rodzinie pomniejszona o 1 (pomniejszona o Olę), czyli

݀ − 1

— Skoro Ola ma o 50% więcej braci niż sióstr, więc:

ሺ

݀ − 1

ሻ

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ଵ଴଴%(ௗିଵ)

+ 50%

ሺ

݀ − 1

ሻ

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

ଵହ଴%

ᇣᇤᇥ

భ

ఱ

(

ௗିଵ)

= 1,5(݀ − 1)

— Każda dziewczyna w tej rodzinie to siostra Piotrka.

— Liczba braci Piotrka, to liczba chłopaków w tej rodzinie pomniejszona o 1, czyli

ܿ − 1

. Zatem:

ܿ − 1

Rozwiązanie:

ቄ

1,5(

݀ − 1)

݀ =

− 1

Oba równania zostały ułożone na podstawie powyżej przeprowadzonej analizy zadania. Przypominam, że

ܿ to

nie tylko liczba chłopców, ale także liczba braci Oli, zaś

݀ to nie tylko liczba dziewczynek, lecz także liczba

sióstr Piotrka. Natomiast

ሺ݀ − 1ሻ to liczba sióstr Oli, a ሺܿ − 1ሻ to liczba braci Piotrka.

݀ =

1,5(

݀ − 1)

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

௖

− 1

Ponieważ w równaniu pierwszym jest już wyliczona niewiadoma

ܿ, wiec w równaniu drugim zamiast niewia-

domej

ܿ piszesz wyrażenie które było w równaniu pierwszym po prawej stronie znaku równości.

= 1,5

− 1,5 − 1

Zostało wykonane mnożenie liczby która stała przed nawiasem, przez wszystko co było w nawiasie.

1,5 + 1

= 1,5

−

Wyrażenia zawierające niewiadomą

݀ zostały przeniesione na stronę prawą tego równania, a wszystkie pozo-

stałe wyrażenia na stronę lewą.

2,5 = 0,5

/⋅ 2

Ponieważ ułamek dziesiętny 0,5 to inaczej połowa, więc by się go pozbyć, wystarczyło obie strony tego rów-
nania pomnożyć przez 2.

5 =

Sprawdzasz czy wyliczona liczba dziewczynek (sióstr Piotrka) jest zgodna z poczynionym na początku zadania
założeniem. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach. Jeśli tak, to przechodzisz do wyliczenia liczby chłopców.

5 =

ܿ − 1

5 + 1 =

6 =

ܿ + ݀ = 11

Wracasz się do równania drugiego w głównym układzie równań i zamiast niewiadomej

݀ wpisujesz przed

chwilą obliczoną liczbę 5.

Sprawdzasz czy wyliczona liczba chłopców (braci Oli) w tej rodzinie jest zgodna z poczynionym na początku
zadania założeniem. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach. Jeśli tak, to zliczasz ile jest dzieci w tej rodzinie,
bo tego dotyczyło pytanie w tym zadaniu.

Odp. Rodzice Oli i Piotrka mają 11-ścioro dzieci.

Ćwiczenie:

Maciek ma dwa razy mniej sióstr niż braci, a jego siostra Magda ma o trzech braci więcej niż sióstr. Ile

dzieci jest w tej rodzinie?

[Odp. 4.]

Ćwiczenie:

Punktualnie na zebranie klasowe stawiło się o 7 mam więcej niż tatusiów. Kilka minut po rozpoczęciu

zebrania przyszło jeszcze dwóch tatusiów i pięć mam. Wówczas nauczyciel prowadzący zebranie za-
uważył, że mam jest dwa razy więcej niż tatusiów. Ilu rodziców przyszło na zebranie klasowe?

[Odp.: 20.]

Ćwiczenie:

Pani Henia w swojej szklarni hodowała tulipany i róże. W pewnym dniu tulipanów zakwitło o 150 wię-

cej niż róż. Dzień później rozkwitło jeszcze 20 tulipanów i 10 róż w wyniku czego rozkwitniętych tulipa-
nów było dokładnie dwa razy więcej niż rozkwitniętych róż. Ile kwiatów rozkwitło w pierwszym dniu?

[Odp. 450]