Skrypt Podstawy automatyki
ćwiczenia
Na podstawie notatek z wykładu dr inż. Krzysztofa Tomczuka
mgr inż. Jakub Niechciał
June 6, 2014
Politechnika Wrocławska, Instytut I-22, Zakład Automatyki i Kriogeniki
1
1
Zawartość
Spis treści
1
Zawartość
1
2
Wprowadzenie
2
3
Część teoretyczna
3
3.1
Część 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3.1.1
Transmitacja, rodzaje połączeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3.1.2
Algebra schematów blokowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2
Część 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.2.1
Podstawowy opis obiektów i układów automatyki . . . . . . . . . .
8
3.2.2
Linearyzacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.3
Część 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.3.1
Człony podstawowe, regulatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.4
Część 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.4.1
Wskaźniki jakości regulacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.5
Część 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.5.1
Charakterystyki częstotliwościowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.5.2
Kryteria stabilności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.6
Część 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.6.1
Algebra Boole’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.6.2
Postacie funkcji logicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.6.3
Minimalizacja funkcji logicznej z użyciem tablicy Karnaugha . . . .
25
4
Część obliczeniowa
26
4.1
Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.2
Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.3
Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.4
Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.5
Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.6
Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5
Zadania dodatkowe
37
1
2
Wprowadzenie
Udział człowieka w procesie produkcyjnym może być dwojaki: fizyczny bądź umy-
słowy. Palenisko z obsługą ręczną wymaga od palacza okresowego otwierania dzwiczek,
wrzucania paliwa, przegarniania żużla, usuwania popiołu itp. Urządzenie mechaniczne
składające się z zasobnika zasilanego przenośnikiem, zsypu i rusztu mechanicznego zastę-
puję pracę fizyczną człowieka. Urządzenie zastępujące pracę fizyczną człowieka nazywa
się urządzeniem zmechanizowanym, a wprowadzenie takich urządzeń do praktyki przemy-
słowej nazywa się mechanizacją produkcji. Innym przykładem automatyzacji może być
automatyczna blokada. Przy uruchamianiu dowolnego pieca ogrzewanego palnikiem ga-
zowym z zapłonem elektrycznym istnieje niebezpieczeństwo otwarcia dopływu gazu bez
uruchomienia urządzenia zapłonowego. Wtedy gaz z powietrza tworzy mieszaninę wy-
buchową a uruchomienie zapłonu dopiero wówczas powoduje wybuch. Aby wykluczyć
taką ewentualność, stosuje się urządzenia, które uniemożliwiają otwarcie dopływu gazu
bez uprzedniego uruchomienia urządzenia zapłonowego, wówczas gaz zapala się od razu
po wyjściu z palnika. Urządzenie automatyczne uniemożliwiające wykonanie określonych
czynności w niewłaściwej kolejności spałenia rolę automatycznego blokowania, ma ono na
celu zastąpienie działaności człowieka w zakresie przestrzegania określonej kolejności jego
postępowania. Podstawowe pojęcia:
*
Automatyka - dziedzina wiedzy obejmująca teorię i budowę urządzeń sterujących,
*
Cybernetyka - nauka o sterowaniu w systemach technicznych (zwana również teorią
systemów),
*
System - zbiór elementów tworzących funkcjonalną całość,
*
Sterowanie - celowe oddziaływanie na przegieg procesów (ręcznie lub automatycznie),
zespół czynników zapewniające korzystniejsze stany systemu ze względu na założony
cel).
2
3
Część teoretyczna
3.1
Część 1
3.1.1
Transmitacja, rodzaje połączeń
Przekształcenie Laplace’a to przyporządkowanie funkcji u(t) zmiennej rzeczywistej
t, funkcji U(s) zmiennej zespolonej s według wzoru zwanego całką Lapace’a.
U (s) =
∞
Z
0
u(t)e
−st
dt.
(1)
gdzie:
u(t) - oryginał
U(s) -transformata
W uproszczeniu zapisu:
L{u(t)} = U (s),
(2)
L
−1
{U (s)} = u(t).
(3)
Twierdzenie o liniowości:
L{ax
1
(t) + bx
2
(t)} = aX
1
(s) + bX
2
(s).
(4)
Twierdzenie o transformacji pochodnych (przy zerowych warunkach początkowych):
L{
d
n
x(t)
dt
n
} = s
n
X(s).
(5)
Twierdzenie o transformacji całki:
L{
t
Z
0
x(t)dt} =
1
s
X(s).
(6)
3
Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej rzeczywistej:
L{x(t − T
0
} = X(s)e
−sT
0
.
(7)
Przykłady:
x(t)
X(s)
δ(t)
1
1(t)
1
s
e
αt
1
s+α
Transmitancja operatorowa to iloraz transformaty sygnału wyjściowego do transformaty
sygnału wejściowego przy zerowych warunkach początkowych:
G(s) =
L{y(t)}
L{u(t)}
=
Y (s)
U (s)
.
(8)
Transformata odpowiedzi:
Y (s) = G(s) · U (s) = L{y(t)}.
(9)
4
3.1.2
Algebra schematów blokowych
Symbole pomocnicze:
Rysunek 1: węzeł sumacyjny - doprowadza wiele sygnałów.
Rysunek 2: węzeł informacyjny - doprowadza jeden sygnał, wyprowadza wiele.
Podstawowe połączenia bloków:
Połączenie szeregowe:
G = G
1
· G
2
· G
3
· · · · G
n
.
(10)
Połączenie równoległe:
G = ±G
1
± G
2
± G
3
· · · ± G
n
.
(11)
Połączenie ze sprzężeniem zwrotnym:
G =
G
1
1±G
1
·G
2
.
(12)
Zasady przekształceń schematów blokowych:
5
Rysunek 3: połączenie równoległe
Rysunek 4: połączenie szeregowe
Rysunek 5: sprzężenie zwrotne
6
Rysunek 6: zmiana kolejności węzłów informacyjnych.
Rysunek 7: zmiana kolejności węzłów sumacyjnych.
Rysunek 8: przesunięcie węzła sumacyjnego przed blok.
Rysunek 9: przesunięcie węzła sumacyjnego za blok.
7
Rysunek 10: przesunięcie węzła informacyjnego przed blok.
Rysunek 11: przesunięcie węzła informacyjnego za blok.
3.2
Część 2
3.2.1
Podstawowy opis obiektów i układów automatyki
Opis obiektów można przedstawić na 3 sposoby:
1. Równania różniczkowe,
2. Transmitancja operatorowa,
3. Przestrzeń stanu.
Równania różniczkowe:
a
n
·
d
n
y(t)
dt
n
+a
n−1
·
d
n−1
y(t)
dt
n−1
+· · ·+a
0
·y(t) = b
m
·
d
m
u(t)
dt
m
+b
m−1
·
d
m−1
u(t)
dt
m−1
+· · ·+b
0
·u(t). (13)
gdzie:
a
i
, b
i
- stałe współczynniki,
u(t) - sygnał wejściowy,
8
y(t) - sygnał wyjściowy.
Jeżeli współczynniki równania różniczkowego (a
i
, b
i
) nie zmieniają się w czasie to
obiekt bądź układ taki nazywamy stacjonarmym w przeciwnym razie jest to układ
niestacjonarnym.
Jeżeli w wyniku analizy zjawisk zachodzących w obiekcie lub układzie otrzymamy
równanie różniczkowe (dynamiki) ruchu nie zawierające pochodnych to obiekt lub układ
nazywać będziemy statycznym w przeciwnym razie będzie to układ dynamiczny.
Wyznaczenie funkcji w postaci transmitancji z równania różniczkowego:
a
n
·
d
n
y(t)
dt
n
+a
n−1
·
d
n−1
y(t)
dt
n−1
+· · ·+a
0
·y(t) = b
m
·
d
m
u(t)
dt
m
+b
m−1
·
d
m−1
u(t)
dt
m−1
+· · ·+b
0
·u(t). (14)
Przekształcenie Laplace’a:
L
a
n
·
d
n
y(t)
dt
n
+ a
n−1
·
d
n−1
y(t)
dt
n−1
+ · · · + a
0
· y(t)
=
= L
b
m
·
d
m
u(t)
dt
m
+ b
m−1
·
d
m−1
u(t)
dt
m−1
+ · · · + b
0
· u(t)
,
(15)
a
n
S
n
· Y (s) + a
n−1
· S
n−1
Y (s) + · · · + a
0
· Y (s) =
=b
m
· S
m
U (s) + b
m−1
· S
m−1
U (s) + · · · + b
0
· U (s).
(16)
Stąd:
Y (s) =a
n
S
n
· +a
n−1
· S
n−1
+ · · · + a
0
· =
= U (s) =b
m
· S
m
+ b
m−1
· S
m−1
· · · + b
0
.
(17)
Ostatecznie:
G(s) =
Y (s)
U (s)
=
b
m
· S
m
+ b
m−1
· S
m−1
· · · + b
0
a
n
S
n
· +a
n−1
· S
n−1
+ · · · + a
0
.
(18)
Wielomian charakterystyczny:
ϕ(s) = a
n
S
n
+ a
n−1
S
n−1
+ · · · + a
0
.
(19)
9
Przykład
Mając dane równanie różniczkowe obiektu znaleźć jej opis w postaci transmitancji
operatorowej.
T
dy(t)
dt
+ y(t) = ku(t).
(20)
L
T
dy(t)
dt
+ y(t)
= L {ku(t)} .
(21)
T · s · Y (s) + Y (s) = kU (s).
(22)
G(s) =
Y (s)
U (s)
=
k
T s + 1
.
(23)
Opis obiektów i układów za pomocą przestrzeni stanu.
Zmienne stany - minimalny zestaw zmiennych, tak zdefiniowanych dla danego układu,
że znajomość zależności tych zmiennych od czasu określa jednozacznie własności układu.
Przestrzeń stanu - zbiór wszystkich możliwych wartości wszystkich zmiennych stanu
układu.
x
1
(t), x
2
(t), · · · , x
n
(t)
- zmienne stanu.
Zmienne te można przedstawić w postaci macierzy:
X =
x
1
(t)
..
.
x
n
(t)
.
(24)
Pierwsza pochodna tych zmiennych również może być przedstawiona w postaci ma-
cierzy:
˙
X =
dx
1
(t)
dt
..
.
dx
n
(t)
dt
.
(25)
Układ równań różniczkowych pierwszego rzędu:
10
(
˙
X
=
AX + BU
Y
= CX + DU.
(26)
gdzie:
A- macierz układu (n x n),
B- macierz wejść (n x p); p-liczba wejść,
C- macierz wyjść (r x n); r-liczba wyjść,
D- macierz transmisyjna (r x p).
Przejście od opisu przestrzeni stanu do transmitancji.
(
˙
X
= AX + BU
Y
= CX + DU
(27) =i
(
s · X(s) = AX(s) + BU (s)
Y (s) = CX(s) + DU (s)
(28)
Wyznaczamy z pierwszego równania X(s).
X(s) = [sI − A] = BU (s)
(29)
gdzie: I- macierz jednostkowa.
X(s) = [sI − A]
−1
· BU (s)
(30)
Wstawiamy to do drugiego równania.
Y (s) = C [sI − A]
−1
· BU (s) + DU (s)
(31)
Transmitancja ostatecznie przybiera postać:
G(s) =
Y (s)
U (s)
= C [sI − A]
−1
· B + D.
(32)
Przykład. Znaleźć opis w przestrzeni stanu układu danego transmitancją.
G(s) =
2s + 1
s
2
+ 2 · s + 3
,
(33)
G(s) =
2s + 1
s
2
+ 2 · s + 3
| :
s
2
s
2
,
(34)
G(s) =
2s
−1
+ s
−2
1 + 2s
−1
+ 3s
−2
=
E(s)
U (s)
·
Y (s)
E(s)
.
(35)
11
Pierwsze równanie:
E(s)
U (s)
=
1
1 + 2
−1
+ 3s
−2
=> U (s) = E(s) + 2s
−1
E(s) + 3s
−2
E(s).
(36)
Drugie równanie
Y (s)
E(s)
= 2s
−1
+ s
−2
=> Y (s) = 2s
−1
E(s) + s
−2
E(s).
(37)
Schemat równań wygląda następująco:
Pamiętając, że:
˙x
1
= x
2
˙x
2
= x
3
..
.
˙x
n−1
= x
n
˙x
n
= x
1
(−b
n
) − b
1
x
2
+ · · · + −b
n−1
x
n
+ u
(38)
oraz
A =
0
1
0
0
· · ·
0
0
0
0
1
0
· · ·
0
0
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
0
0
0
0
· · ·
0
1
−b
0
−b
1
−b
2
−b
3
· · · −b
m−2
−b
n−1
(39)
B =
0
0
..
.
0
1
(40)
C =
h
a
0
, a
1
, · · · , a
n
, 0, · · · , 0
i
(41)
y = a
0
X
1
+ a
1
X
2
+ · · · + a
n
X
n+1
(42)
otrzymujemy:
˙
x
1
= x
2
(43)
12
˙
x
2
= −2x
2
− 3
1
+ u
(44)
y = x
1
+ 2x
2
(45)
Co w ostateczności pozwala zapisać:
˙
X =
"
˙
x
1
˙
x
2
#
= Ax + BU =
"
0
1
−3 −2
# "
x
1
x
2
#
+
"
0
1
#
h
U
i
,
(46)
Y = Cx + DU =
h
1 2
i
"
x
1
x
2
#
+
h
0
i h
U
i
.
(47)
3.2.2
Linearyzacja
Linearyzacja to przybliżenie do punktu pracy, zastąpienie funkcji nieliniowej styczną do
punktu pracy (prostą). Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora:
F y
(n)
, y
(n−1)
, · · · , y, u
(m)
, u
(m−1)
, · · · , u
= 0,
(48)
a
n
· ∆y
n
+ a
n−1
· + · · · + a
0
· ∆y + b
m
∆u
m
+ b
m−1
∆u
m−1
+ · · · + b
0
∆u = 0.
(49)
gdzie:
a
n
=
∂F (· · · )
∂y
n
|
pp
.
(50)
Postać rozwiązania:
∆y
n
= y
n
− y
n
0
.
(51)
Równanie charakterystyki statycznej:
F (0, 0, · · · , y, 0, 0, · · · , u) = 0.
(52)
Równanie dla punktu pracy (pp):
F (0, 0, · · · , y
0
, 0, 0, · · · , u
0
) = 0.
(53)
13
Przykład. Zlinearyzować równanie punktu pracy P
p
= (1, 2) = (u
0
, y
0
).
5
dy(t)
dt
+ y(t) = 2u
2
(t)
(54)
Stosując poznane już wzory:
F ( ˙
y, y, u) = 5 ˙
y + y − 2u
2
= 0,
(55)
F ( ˙
y, y, u) =
∂F (· · · )
∂ ˙
y
|
pp
·( ˙y− ˙
y
0
)+
∂F (· · · )
∂y
|
pp
·(y−y
0
)+
∂F (· · · )
∂u
|
pp
·(u−u
0
)+F ( ˙
y
0
, y
0
, u
0
) = 0.
(56)
Postać rozwiązania:
a
1
∆ ˙
y + a
0
∆y + b
0
∆u = 0.
(57)
gdzie:
a
1
= 5,
a
0
= 1,
b
0
= −4u
0
= −4.
Ostatecznie:
5∆ ˙
y + 1∆y − 4∆u = 0.
(58)
3.3
Część 3
3.3.1
Człony podstawowe, regulatory
Człon proporcjonalny
Równanie różniczkowe:
y(t) = k · x(t).
(59)
k-współczynnik wzmocnienia.
Transmitancja operatorowa:
14
G(s)=k.
(60)
Charakterystyka skokowa:
y(t) = k · 1(t).
(61)
Człon całkujący
Równanie różniczkowe:
dy(t)
dt
= k · x(t).
(62)
lub można zapisać:
y(t) =
Z
x(t)dt.
(63)
Transmitancja operatorowa:
G(s) =
k
s
.
(64)
Charakterystyka skokowa:
y(t) = k · t.
(65)
Człon całkujący rzeczywisty
Równanie różniczkowe:
T
dy(t)
dt
+ y(t) = k ·
dx(t)
dt
.
(66)
T- stała czasowa, k- współczynnik wzmocnienia.
Transmitancja operatorowa:
G(s) =
ks
T s+1
.
(67)
Charakterystyka skokowa:
y(t) =
k
T
· e
t
T
· 1(t).
(68)
Człon różniczkujący idealny
Równanie różniczkowe:
15
k
dx(t)
dt
= y(t).
(69)
Transmitancja operatorowa:
G(s) = k · s.
(70)
Charakterystyka skokowa:
y(t) = k · δ(t).
(71)
Człon inercyjny pierwszego rzędu
Równanie różniczkowe:
T
dy(t)
dt
+ y(t) = k · x(t).
(72)
Transmitancja operatorowa:
G(s) =
k
T s+1
.
(73)
Charakterystyka skokowa:
y(t) = k ·
1 − e
−
1
T
.
(74)
Człon oscylacyjny
Równanie różniczkowe:
T
2
dy(t)
2
dt
2
+ T
1
dy(t)
dt
+ y(t) = k · x(t).
(75)
Transmitancja operatorowa:
G(s) =
k
T
2
2
s
2
+T
1
s+1
,
(76)
przy założeniu, że ∆ < 0,
G(s) =
k
T
2
2
s
2
+ 2 · ζs + 1
.
(77)
gdzie:
16
ζ =
T
1
2 · T
2
< 1,
(78)
Gdy ∆ = 0 lub ∆ > 0 to jest to człon inercyjny II-rzedu.
Charakterystyka skokowa:
y(t) = k
h
1 − e
γ·t
cosλt +
γ
λ
sinλt
i
.
(79)
gdzie:
γ =
ζ
T
,
(80)
λ =
p1 − ζ
2
T
.
(81)
Człon opóźniający
Równanie różniczkowe
y(t) = k · x (t − T
0
) .
(82)
gdzie: T
0
- czas opóźnienia.
Transmitancja operatorowa:
G(s) = k · e
−sT
0
.
(83)
Charakterystyka skokowa:
y(t) = k · 1||| (t − T
0
) .
(84)
Regulatory
Układ regulacji składa się z następujących elementów:
1) y(t) - wielkość regulowana,
2) y
z
(t) - wartość zadana,
3) e(t) - odchyłka regulacji,
4) u(t) - wielkość sterująca,
5) z(t) - zakłócenia.
17
Rysunek 12: Schemat regulatora.
Regulator typu P (proporcjonalny)
Transmitancja operatorowa:
G(s) =
U (s)
E(s)
= k
p
.
(85)
Regulator typu PI (proporcjonalno- całkujący)
Transmitancja operatorowa:
G(s) =
U (s)
E(s)
= k
p
1 +
1
T
i
s
.
(86)
T
i
- czas zdwojenia [s].
Czas zdwojenia - czas od momentu zaistnienia skokowej zmiany odchyłki e(t) do
chwili, gdy sygnał wyjściowy z regulatora PI osiągnie dwukrtoną wartość w porówna-
niu z odpowiednim sygnałem wyjściowym regulatora typu P.
Regulator typu PD (proporcjonalno- różniczkujący)
Transmitancja operatorowa:
G(s) =
U (s)
E(s)
= k
p
[1 + T
d
s] .
(87)
T
d
- czas wyprzedzenia [s].
18
Czas wyprzedzenia to czas po jakim sygnał wyjściowy z regulatora PD wyprzedza
sygnał wyjściowy z regulatora P przy liniowo narastającej zmianie odchyłki e(t)
Nastawawami regulatora nazywamy współczynniki transmitancji k
p
, T
i
, T
d
.
Regulator typu PID idealnego (proporcjonalno- całkujący- różniczkujący)
Transmitancja operatorowa:
G(s) =
U (s)
E(s)
= k
p
1 +
1
T
i
s
+ T
d
s
.
(88)
Regulator typu PID rzeczywisty
Transmitancja operatorowa:
G(s) =
U (s)
E(s)
= k
p
1 +
1
T
i
s
+
T
d
T s
.
(89)
Regulator typu PD rzeczywisty.
Transmitancja operatorowa:
G(s) =
U (s)
E(s)
= k
p
1 +
T
d
s
T s + 1
/
(90)
3.4
Część 4
3.4.1
Wskaźniki jakości regulacji
Wskaźniki jakości regulacji:
a) odchyłka statyczna e
s
= lim
n→∞
(y
z
− y(t)),
b) maksymalna odchyłka dynamiczna,
e
dmax
= A
1
dla układów z regulacją astatyczną,
e
dmax
= A
1
+ e
s
dla układów z regulacją statyczną,
c) czas regulacji t
r
,
Okres jaki upływa od chwili wystąpienia skokowego zakłócenia wymuszającego do
chwili, kiedy odchyłka regulacji osiągnie wartość ustaloną.
19
d) przeregulowanie k =
A
2
A
1
· 100%.
Charakteryzuje skłonność układu regulacji do oscylacji.
3.5
Część 5
3.5.1
Charakterystyki częstotliwościowe
Jeżeli na wejście obiektu liniowego wprowadzi się sygnał sinusoidalny to po dostatecznie
długim czasie na wyjściu ustalają się drgania w postaci sygnału sinusoidalnego o tej samej
częstotliwości, lecz o innej amplitudzie i fazie.
Transmitancja widmowa:
G(jω) = G(s)|s− > jω,
(91)
G(jω) =
Y (jω)
U (jω)
.
(92)
Charakterystyka amplitudowo-fazowa:
G(jω) = P (ω) + jQ(ω),
(93)
P (ω)- część rzeczywista G(jω),
Q(ω)- część urojona G(jω).
w układzie biegunowym:
G(jω) = M (ω) [cosϕ(ω) + jsinϕ(ω)] = M (ω) · e
jϕ(ω)
.
(94)
Charakterystyka amplitudowo- częstotliwościowa:
M (ω) =
p
P
2
(ω) + Q
2
(ω).
(95)
Charakterysta fazowo - częstotliwościowa:
ϕ(ω) = arctg
Q(ω)
P (ω)
.
(96)
20
Przykład. Wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe widmowe pierwszego rzędu
członu inercyjnego:
G(s) =
k
T s + 1
.
(97)
Procedura jest następująca:
1. Wyznaczamy charakterystykę amplitudowo-fazową.
G(jω) =
k
T jω + 1
(98)
2. Sprowadzamy do części rzeczywistej i urojonej.
G(jω) =
k
T jω + 1
·
(−T jω + 1)
(−T jω + 1)
=
k − kT jω
T
2
ω
2
+ 1
=
k
T
2
ω
2
+ 1
− j
kT ω
T
2
ω
2
+ 1
(99)
gdzie:
P (ω) =
k
T
2
ω
2
+1
Q(ω) = −j
kT ω
T
2
ω
2
+1
3. Sporządzamy tabelkę.
ω
0
1
∞
P(ω)
k
0,5
0
Q(ω)
0
-0,5
0
4. Charakterystyka amplitudowo- częstotliwościowa (dla k=1 i T=1s).
M (ω) =
s
1
(ω
2
+ 1)
2
+
ω
2
(ω
2
+ 1)
2
.
(100)
5. Kolejna tabelka.
ω
0
0,01
0,1
1
10
100
M(ω)
1
≈ 0, 39
≈ 0, 8
0,71
≈ 0, 1
→ 0
6. Charakterystyka fazowo - częstotliwościowa.
ϕ(ω) = arctg
Q(ω)
P (ω)
= arctg(−T ω) = −arctg(ω)
(101)
21
3.5.2
Kryteria stabilności
Warunkiem niezbędnym (dostatecznym) stabilności układu regulacji jest, aby pierwiastki
jego równania charakterystycznego (bieguny transmitancji) leżały na lewo od osi urojonej
płaszczyzny zmiennej zespolonej s (nazywanej płaszczyzną pierwiastków).
Stabilność
układu można wyznaczyć:
• analitycznie (
kryterium Hurwitza
, Routha),
• grafo-analitycznie (kryterium Michajłowa),
• graficznie (
Nyqusta
).
Analityczne kryterium Hurwitza jest następujące:
Niech równanie (wielomian) charakterystyczne ma postać:
ϕ(s) = a
n
S
n
+ a
n−1
S
n−1
+ · · · + a
0
.
(102)
Wszystkie pierwiastki tego równania będą leżec w lewej półpłaszczyźnie w płaszczyźnie
pierwiastków tylko wówczas, gdy spełnione zostaną dwa warunki:
1. wszystkie a
i
tego równania muszą istnieć i mieć ten sam znak (warunek wystarcza-
jący, ale nie konieczny),
2. wszystkie podwyznaczniki wyznacznika głównego Hurwitza są dodatnie.
Podwyznaczniki Hurwitza:
∆
1
· · · ∆
n
> 0.
(103)
Główny wyznacznik Hurwitza:
∆
n
=
a
n−1
a
n
0
0
0
0
0
0
a
n−3
a
n−2
a
n−1
a
n
0
0
0
0
a
n−5
a
n−4
a
n−3
a
n−2
a
n−1
a
n
0
0
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
0
0
0
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
0
0
0
0
0
a
0
a
1
a
2
0
0
0
0
0
0
0
a
0
.
(104)
22
gdzie:
∆
1
= a
n−1
,
(105)
∆
2
=
a
n−1
a
n
a
n−3
a
n−2
,
(106)
∆
3
=
a
n−1
a
n
0
a
n−3
a
n−2
a
n−1
a
n−5
a
n−4
a
n−3
.
(107)
Kryterium graficzne Nyquisty
Układ zamknięty w automatycznej regulacji jest stabilny, jeżeli charakterystyka
amplitudowo-fazowa układu otwartego nie obejmuje punktu (-1, j 0 ) dla ω ∈
(0, ∞+) zmieniającej się pulsacji.
3.6
Część 6
3.6.1
Algebra Boole’a
1. Prawo przemienności
x
1
+ x
2
= x
2
+ x
1
,
(108)
x
1
· x
2
= x
2
· x
1
.
(109)
2. Prawo łączności
(x
1
+ x
2
) + x
3
= (x
2
+ x
3
) + x
1
,
(110)
(x
1
· x
2
) · x
3
= (x
2
· x
3
) · x
1
.
(111)
3. Prawo rozdzielności
(x
1
+ x
2
) · x
3
= x
1
· x
3
+ x
2
· x
3
,
(112)
x
1
· x
2
+ x
3
= (x
1
+ x3) (x
2
+ x3) .
(113)
23
4. Prawo dopełnienia (prawa de Morgana)
x
1
+ x
2
= x
1
· x
2
,
(114)
x
1
· x
2
= x
1
+ x
2
.
(115)
5. Prawo powtórzenia
x + x + x + x + · · · + x = x,
(116)
x · x · x · x · · · · · x = x.
(117)
6. Prawo pochłaniania
x
1
+ x
1
· x
2
= x
1
,
(118)
x
1
+ x
1
· x
2
= x
1
+ x
2
.
(119)
7. Prawo sklejania
(x
1
+ x
2
) · (x
1
+ x
2
) = x
1
,
(120)
x
1
· x
2
+ x
1
· x
2
= x
1
.
(121)
Własności:
x · 0 = 0,
(122)
x · 1 = x,
(123)
x · x = 0,
(124)
x = x.
(125)
3.6.2
Postacie funkcji logicznych
a) normalna postać alternatywna- NPA.
f (x
1
, x
2
, · · · , x
n
) = f (1, 1, · · · , 1) · x
1
· x
2
+ ·x
n
+ f (1, 1, · · · , 0) · x
1
· x
2
·
· · · x
n−1
· x
n
+ · · · + f (0, 0, 0, · · · , 0) · x
1
· x
2
· · · · · x
n−1
· x
n
(126)
b) normalna postać koniunkcyjna- NPK.
f (x
1
, x
2
, · · · , x
n
) = [f (1, 1, · · · , 1) + x
1
+ x
2
+ · · · + x
n−1
+ x
n
]
· [f (1, 1, · · · , 0) + x
1
+ x
2
+ · · · + x
n−1
+ x
n
] ·
· · · · [f (0, 0, · · · , 0) + x
1
+ x
2
+ · · · + x
n−1
+ x
n
]
(127)
24
3.6.3
Minimalizacja funkcji logicznej z użyciem tablicy Karnaugha
Zasady sklejania (łączenia kratek tablicy Karnaugha):
I. Sklejamy albo 1 albo 0.
II. Każdą kratkę zawierającą 1 lub 0 należy uwzględnić co najmniej raz.
III. Nie należy pomijać 1 lub 0.
IV. Należy sklejać 2,4,8,16 itd. kratek.
V. Należy sklejac jak największą liczbę kratek.
VI. Sklejamy kratki w grupy i zapisujemy w postaci kanonicznej.
VII. W składniku tym występują tylko takie argumenty, które mają takie same wartości.
VIII. Zasady tworzenia NPA i NPK są takie same jak dla zwykłej tabeli funkcji logicznych.
25
4
Część obliczeniowa
4.1
Lista 1
Zadanie 4.1. Wyznaczyć transmitancje wypadkowe:
G
w
=
Y (s)
X(s)
,
(128)
dla układów przedstawionych poniżej:
26
Zadanie 4.2. Obiekt przetwarza sygnał u(t) na sygnał y(t). Sygnał u(t) ma postać:
Narysować sygnały y(t), jeżeli obiekt:
* mnoży sygnał u(t) przez 7,
* mnoży sygnał u(t) przez -5,
* różniczkuje sygnał u(t),
* całkuje sygnał u(t).
27
4.2
Lista 2
Zadanie 4.3. Wyznaczyć transmitancje i charakterystyki statyczne obiektów opisanych
następującymi równaniami różniczkowymi (x- sygnał wejściowy, y- sygnał wyjściowy):
T
dy(t)
dt
+ y(t) = k · x(t),
(129)
Ax(t) = B
dy
2
(t)
dt
2
+ C
dy(t)
dt
+ Dy(t),
(130)
A
dy(t)
dt
+ y(t) = k · x
2
(t).
(131)
gdzie: A,B,C,D,T,k- stałe.
Zadanie 4.4. Wyznaczyć równanie różniczkowe obiektów opisanych transmitancjami:
28
G
1
(s) =
1
4s+1
,
(132)
G
2
=
3s
8s
2
+2s+1
,
(133)
G
3
=
1
8s
3
.
(134)
Zadanie 4.5. Poniższe równania stanu zapisać w postaci macierzowej:
dx
1
dt
= 4x
2
,
(135)
dx
2
dt
= u − 5x
2
− 3x
1
,
(136)
y = 10x
1
.
(137)
Zadanie 4.6. Dla obiektu opisanego w przestrzeni stanów wyznaczyć
dx
2
dx
:
x=
"
x
1
x
2
#
, u=
"
u
1
u
2
#
, y=
"
y
1
y
2
#
,
A=
"
12
34
#
, B=
"
8 3
2 1
#
, C=
"
5 2
2 6
#
, D=
"
1 0
0 1
#
.
Zadanie 4.7. Na podstawie równań stanu z zadania 4.6 wyznaczyć wielomian charakte-
rystyczny.
Zadanie 4.8. Zlinearyzowac poniższe równanie wokół punktu pracy o współrzędnych
x
0
=
1
5
, y
0
= 1.
4(
dx(t)
dt
)
2
+ 5x(t) =
dy
2
(t)
dt
2
+ y
3
(t).
(138)
Zadanie 4.9. Wyznaczyć punkty pracy (x
0
=?, y
0
= 2), (ω
0
, h
0
=?) oraz zlinearyzować
równania:
(a) elementu statycznego opisanego równaniem,
2 −
√
x = y
2
(139)
(b) układu dynamicznego opisanego równaniem (patrz rysunek).
I
dω
dt
= M
n
− M
h
(140)
29
Rysunek 13: schemat układu do pudpunktu (b)
gdzie:
M
n
= k
1
h,
M
h
= k
2
ω
2
,
ω - prędkość kątowa (sygnał wejściowy),
h- wznios grzyba (sygnał wyjściowy).
I - obrotowy moment bezwładności.
30
4.3
Lista 3
Zadanie 4.10. Wyznaczyć odpowiedzi na skok jednostkowy e(t) = 1(t) układu z poniż-
szego rysunku jeżeli:
a) k=2, T
i
→ ∞, T
d
= 0,
b) k=2, T
i
= 10, T
d
= 0,
c) k=2, T
i
= 10, T
d
= 5.
gdzie:
G
1
(s) = k,
G
2
(s) =
1
T
i
s
,
G
3
(s) = T
d
s.
Zadanie 4.11. Wyznaczyć odpowiedź na sygnał liniowo- narastający x(t)=2t układu
przedstawionego na rysunku: gdzie:
G
1
(s) = 2
G
2
(s) =
1
4s
G
3
(s) = 5s
Zadanie 4.12. Dwa człony o transmitancjach:
G
1
(s) =
1
4s
,
G
2
(s) = 4s.
31
połączono w sprzężeniu zwrotnym ujemnym (G
1
(s) w torze głównym). Jaą wartość osią-
gnie odpowiedź czasowa układu na sygnał wejściowy x(t) = tpo upływie 4 sekund?
Zadanie 4.13. Wyznaczyć odpowiedzi na skok jednostkowy x(t) = 1(t)członów o trans-
mitancjach:
a) G(s) =
k
T s+1
· e
s·T
0
,
b) G(s) =
1
(T s+1)
2
,
c) G(s) =
1
(T
1
s+1)·(T
2
s+1)
,
d) G(s) =
1
T
c
s(T s+1)
.
Określić aymptoty i punkty przegięcia charakterystyk.
Zadanie 4.14. Wyznaczyć odpowiedzi na skok jednostkowy x(t) = 1(t)członów opisa-
nych równaniami różniczkowymi:
a) 4
d
2
y
dt
2
+ 2
dy
dt
+ y = 3 · x,
b) 4
d
2
y
dt
2
+ 8
dy
dt
+ y = 3 · x,
i porównać ich własności. Jakie to człony?
Zadanie 4.15. Wyznaczyć odpowiedź na impuls Dirac’a δ(t) układu opisanegeo trans-
mitacją:
G(s) =
5
s(1+2s)
.
32
4.4
Lista 4
Zadanie 4.16. Wyznaczyć odpowiedź na sygnał liniowo- narastający x(t)=2t regulatora
PI o transmitancji:
G(s) = 3(1 +
1
10s
).
Zadanie 4.17. Wejście regulatora PD o transmitancji G(s) = k
p
(1 +
T
d
s
1+sT
r
) pobudzono
sygnałem skokowym- na wyjściu uzyskano przebier o następujących wartościach odpowie-
dzi y(t):
t[s]
y(t)
0
4
1
2,736
2
2,271
3
2,099
4
2,037
10 000
2,000
Obliczyć wartości parametrów: k
p
, T
d
, T
r
.
Zadanie 4.18. Jakie mają być transmitancje G
1
(s), · · · , G
3
(s), aby uzyskać regulator:
a) P, k
p
= 3,
b) PI,k
p
= 3, T
i
= 6,
c) PD, k
p
= 3, T
d
= 1,
d) PID, k
p
= 3, T
i
= 6, T
d
= 9.
33
Zadanie 4.19. Wyznaczyć odchyłkę statyczną dla układu regulcacji przedstawionego na
rysunku, jeśli:
a) G
1
(s) =
k
T s+1
, G
2
(s) = 0,
b) G
1
(s) =
k
T s+1
, G
2
(s) = k
p
,
c) G
1
(s) =
k
T s+1
, G
2
(s) = k
p
(1 +
1
T
i
s
).
Zadanie 4.20. Wyznaczyć odpowiedź skokową regulatora PID dla wybranych nastaw.
Zadanie 4.21. W układzie regulacji (patrz rysunek) obiekt jest członem proporcjonal-
nym o transmitancji:
G
1
(s) = 2.
Natomiast regulator jest typu I o transmitancji:
G
2
(s) =
1
5s
.
34
Wyznaczyć współczynnik wzmocnienia k
p
, regulatora PI o czasie zdwojenia T
i
= 5
sekund, tak aby maksymalna odchyłka dynamiczna była trzykrotnie mniejsza niż w ukła-
dzie z regulatorem I. Jak zmienią się inne wskaźniki jakości regulacji np. czas regulacji,
przeregulowanie?
4.5
Lista 5
Zadanie 4.22. Moduł M (ω)i argument ϕ(ω) transmitancji widomowej obiektu są okre-
ślone wzorami:
M (ω) =
k
√
T
2
ω
2
+1
,
ϕ(ω) = arctg(−T · ω).
Wyznaczyć część rzeczywistą i urojoną transmitancji widmowej oraz transmitancję ope-
ratorową jak również równanie różniczkowe opisujące własności dynamiczne tego obiektu.
Zadanie 4.23. Narysowac charakterystki amplitudowo-fazowe i asymptotyczne charak-
terystyki amplitudowo-częstotliwościowe obiektów o następujących transmitancjach:
G(s) =
4
s+1
,
G(s) =
1
6s+1
,
G(s) = 1 + s.
Zadanie 4.24. Korzystając z wyników z poprzedniego zadania, naszkicować asympto-
tyczne charakterystyki amplitudowo- częstostliwościowe obiektów o transmitancjach:
G
1
(s) =
4
(6s+1)(s+1)
,
G
2
(s) =
1+s
(6s+1)
.
35
Zadanie 4.25. Korzystając z kryterium Hurwitza, wyznaczyć dla jakich wartości współ-
czynnika wzmocnienia k
p
regulatora, układ regulacji przedstawiony na rysunku jest sta-
bilny.
Zadanie 4.26. Korzystając z kryterium Nyquista określić dla jakich k
p
układ z pętlą
sprzężenia zwrotnego, przedstawionego na rysunku będzie niestabilny.
Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu opisanego transmitancją G(s) ma kształt
jak na rysunku poniżej:
4.6
Lista 5
Zadanie 4.27. Wykazać, że prawdziwe są reguły sklejania: (wskazówka- przekształcić
prawą stronę równania tak, aby otrzymać lewą).
(x
1
+ x
2
)(x
1
+ x
2
) = x
1
,x
1
x
2
+ x
1
x
2
= x
1
.
Zadanie 4.28. Na podstawie tabelki wartości funkcji logicznej:
a) napisać kanoniczną postać alternatywną i koniunkcyjną,
b) przeprowadzić minimalizacją metodą przekształceń formalnych,
c) narysować schematy: stykowy i na funktorach realizujace otrzymana funkcję.
Zadanie 4.29. Przeprowadzić minimalizację funkcji logicznych y1, y2 ,y3 metodą Kar-
naugha.
36
x1
x2
x3
x4
y1
y2
y3
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
Zadanie 4.30. W warsztacie zamontowano 4 silniki o mocach odpowiednio 5,7,10 i 15
kW. Każdy z nich może być oddzielnie załączany. Zaprojektowac układ sygnalizujący,
że łączny pobór mocy przez silniki jest większy lub równy 20 kW. Przyjać, że załączenie
silnika oraz sygnalizacja oznaczane są stanem „1”.
Zadanie 4.31. W hali maszyn zmierzono temperaturę w trzech jej punktach przy użyciu
termometrów stykowych. Zaprojektowac układ logiczny uruchamiające wentylator, jeżeli:
a) we wszystkich punktach hali temperatura przekroczy 20
o
C,
b) w dwóch punktach hali temperatura przekroczy 20
o
C,
c) tylko w jednym punkcie temperatura hali przekroczy 20
o
C.
5
Zadania dodatkowe
37
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Ćwiczenie 7,automaty
klasa-6-przekroje---cwiczenia, Automatyka i Robotyka, Semestr 3, Zapis konstrukcji, Inne
lista na ćwiczenia automatyka, grupa operacyjna
ĆWICZENIE 1 AUTOMATY
Poprawkowe kolokwium zaliczeniowe z ćwiczeń Automatyka 03 02 2012 P
ĆWICZENIE 2 AUTOMATY
kolos z ćwiczen z automatów 2
Podstawy organizacji i zarzdzania cwiczenia (Automatycznie zapisany)
ĆWICZENIA AUTOMATY II KOŁO doc
ĆWICZENIE 2 AUTOMATY
ĆWICZENIA AUTOMATY POPRAWA LO5, L04, AUTOPILOT doc
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 4b
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 4c
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 5b
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 3c
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 4d
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 4d
AUTOMATYKA Ćwiczenie 1
Automaty laboratorium ćwiczenie I
więcej podobnych podstron