2

Techniki Obliczeniowe i Symulacyjne
Układy równań liniowych, macierz odwrotna, aproksymacja
prof. dr hab. inż. Tomasz Zieliński

2011.02.28

Ćwiczenie 1 (0.5 – max 2 pkt)

Wyznacz analitycznie rozwiązanie układu równań (na papierze):

[

3 4 1
2 3 0
3 2 1

]

[

x

1

x

2

x

3

]

=

[

1
0

−

2

]

,

Ax=b

(1)

jedną z metod: Cramera (0.5 pkt), eliminacji Gaussa-Jordana (1 pkt), eliminacji Gaussa (1 pkt),

dekompozycji LU (2 pkt) oraz napisz program w Matlabie, który rozwiązuje tą metodą dowolne
równanie z N niewiadomymi, a nie z trzema. Zamień miejscami kolumny 2 i 3 oraz rozwiąż

zmodyfikowane równanie za pomocą twojego programu. Jeśli wystąpił problem, to jak go można
rozwiązać?

Ćwiczenie 2 (1 pkt)

Napisz program w Matlabie rozwiązujący równanie (1) jedną z metod iteracyjnych: Jacobiego lub
Gaussa-Seidela. Sprawdź czy metoda zbiega się do poprawnego rozwiązania (narysuj jak się

zmieniało rozwiązanie w kolejnych iteracjach). Czy procedura iteracyjna jest zawsze zbieżna?

Ćwiczenie 3 (1 pkt)

Wyznacz rozwiązanie równania (1)

-1

x = A b

za pomocą funkcji Matlaba:

xm1 = inv(A)*b; xm2 = A\b (2)

Porównaj otrzymane wyniki xm1 i xm2 ze sobą oraz z rozwiązaniami otrzymanymi w ćw. 1 i 2.
Potem wygeneruj macierz A i werktor b za pomocą funkcji randn():

N=100; A = randn(N,N); r=randn(N,1)

oraz porównaj ze sobą rozwiązania xm1 i xm2 (2), i czas trwania obliczeń w obu przypadkach (stosując

funkcje tic i toc.)
Na koniec zastosuj programy z ćw. 1 i 2 oraz program (2) do źle uwarunkowanego układu równań

[

eps

eps

−

1

eps −eps eps
−

1

eps

eps

]

[

x

1

x

2

x

3

]

=

[

−

1

0
1

]

, Ax=b

(3)

Ćwiczenie 4 (1 pkt)

Oblicz macierz autokorelacji

R

(symetryczna względem głównej przekątnej!!!) dla tego samego sygnału

i w taki sam sposób jak w programie T19_4.m, umieszczonym na stronie:

http://www.kt.agh.edu.pl/pl/edu/wydaw/cps,k.html

Mamy rozwiązać równanie macierzowe

Ra = -r

gdzie

a

wektorem współczynników cyfrowego filtra

rekursywnego, wykorzystywanego w algorytmach kompresji mowy do modelowania charakterystyki
częstotliwościowej traktu głosowego (formanty). Wyznacz

a

tak jak w programie T19_4:

1

−

a = -R r

oraz szybką metodą Durbina-Levinsona (Tabela 20-1, str. 581), wykorzystywaną w telefonach
komórkowych, w której unika się odwracania macierzy o wymiarach 10

×

10.

Dla dociekliwych

Czy zawsze trzeba wyznaczać macierz odwrotną? Prosta i odwrotna transformacja Fouriera,

analiza i synteza sygnału, są opisane parą następujących równań (n – indeks czasu, k – indeks
częstotliwości, k

↔

f

k

=kf

0

=k(f

pr

/N)):

(

)

,

,

( , ) exp

2

/

/

,

,

0,1,2,3,...,

1

F k n

j

kn N

N

k n

N

π

=

−

=

−

-1

X = Fx

x = F X

(4)

Ponieważ macierz

F

jest ortonormalna (jej wiersze są ortonormalne), to macierz do niej odwrotna jest

macierzą sprzężoną, transponowaną:

( )

1

* T

−

=

F

F

czyli nie trzeba jej czasochłonnie obliczać. Wektor

X

reprezentuje sobą współczynniki rozwinięcia

(aproksymacji, przybliżenia) sygnału

x

względem sygnałów bazowych (wzorcowych), których

sprzężenia zespolone są umieszczone w wierszach macierzy

F

. Patrz wykład z CPS.