Wykład 1

Teoria popytu konsumpcyjnego

1.1

Podstawowe pojęcia teorii popytu konsumpcyjnego

Ekonomia jest studium racjonalnego wyboru (Economics is the study of rational choice.) Analiza ekonomiczna wy-
chodzi z założenia, że podmioty ekonomiii (economic agents) poszukują najlepszego elementu w odpowiednim zbiorze
dostępnych możliwości. Konsumenci wybierają najlepszy plan konsumpcji spośród tych, na które ich stać. Każdy
producent wybiera najbardziej zyskowny plan produkcji w obrębie swojej przestrzeni produkcyjnej. . . .

W konse-

kwencji analiza ekonomiczna wymaga, aby badacz był w stanie uszeregować alternatywy i wskazać najlepszy element
w rozmaitych zbiorach wyboru. (M. Carter, Mathematical Economics.)

1.1.1

Przestrzeń towarów i przestrzeń cen

W analizie i modelowaniu zjawiska popytu konsumenta zasadniczą rolę odgrywają następujace obiekty:

Dobra (towary) i przestrzeń towarów — tą ostatnią nazwą określa się zbiór X, którego elementy reprezentują plany

konsumpcji, lub inaczej wiązki (koszyki) dóbr (lub towarów). Zakładając, że mamy do czynienia ze skończoną liczbą
wzajemnie rozróżnialnych i ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi 1, . . . , n dóbr, przyjmujemy, że wektory
przestrzeni R

n

reprezentują wiązki (koszyki) dóbr (towarów) (ang. bundle of commodities). Przyjmuje się najczęściej,

że

X = R

n

+

= { (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) | x

i

­ 0 dla i = 1, . . . , n },

czasem, że jest to jakiś właściwy podzbiór wypukły zawarty w R

n

+

. Tutaj n oznacza liczbę rozważanych towarów —

w realnych warunkach n może być bardzo duże, więc dla uproszczenia operuje się wielkościami „zagregowanymi”,
reprezentującymi określone grupy towarów. Każda współrzędna x

i

, i = 1, . . . , n wyznacza zatem ilość towaru iden-

tyfikowanego numerem składowej. Dla porównywania wiązek towarów wyrażonych w postaci wektorów x, y ∈ R

n

stosujemy następującą konwencję notacyjną:

x ­ y ⇐⇒ x

j

­ y

j

,

∀ j ∈ {1, 2, . . .};

x > y ⇐⇒ x ­ y

i ∃ j

0

∈ {1, 2, . . .},

że x

j

0

> y

j

0

;

x ≫ y ⇐⇒ x

j

> y

j

,

∀ j ∈ {1, 2, . . .}.

Trzeba zauważyć, że dla przypadku n > 1, w odróżnieniu od przypadku n = 1 dotyczącego osi liczbowej, żadna z tych
relacji nie jest relacją porządkującą, bo nie jest zupełna (nie każde dwa elementy są w relacji).

1.1.2

Relacja preferencji konsumenta

Przyjmujemy, że w odniesieniu do wiązek towarów konsument wykazuje pewne preferencje — postrzegając te wiązki
towarów jako możliwe plany konsumpcji preferuje jeden z nich od drugiego (przedkłada jeden nad drugi), a wobec
innych jest „indyferentny” — jednakowo ceni każdy z danych dwóch planów konsumpcji.

Modelując tę sytuację w języku matematyki wygodnie wyjść od opisu sytuacji, w której preferencje są „nieostre”,

to jest gdy konsument ocenia jeden z planów konsumpcji jako „nie gorszy od drugiego”. W tym przypadku mówi się
o „słabej” relacji preferencji i wymaga się od niej spełnienia następujących naturalnych własności.

2

3

Definicja 1.1 (Relacja Preferencji Konsumenta) Relację x  y określoną w przestrzeni towarów X nazywamy
relacją preferencji, jeśli jest zwrotna, zupełna i przechodnia.

(a)

Zwrotność

∀

x ∈ X

x  x,

(b)

Zupełność

∀

x, y ∈ X

x  y

lub y  x,

(1.1)

(c)

Przechodniość ∀

x, y, z ∈ X

x  y

i y  z =⇒ x  y.

Jeśli dla dwóch elementów x, y ∈ X spełnione są oba warunki x  y i y  x, to mówimy, że te elementy są dla
konsumenta „indyferentne”, tj. konsument jest „indyferentny” wobec wyboru między jednym a drugim i tę sytuację
oznaczamy symbolicznie x ≅ y. A zatem

x  y

oraz

y  x

⇐⇒

x ≅ y

Natomiast jeśli zachodzi x  y i nie zachodzi y  x, to mówimy że x jest „ściśle” preferowany względem y, co
symbolicznie zapisujemy x ≻ y.

Zakładamy dalej, że relacja preferencji jest spójna (konsystentna), tzn. że ≻ spełnia zwykłe warunki relacji

słabego porządku:

x  y

oraz

y ≻ z

=⇒

x ≻ z

x ≻ y

oraz

y  z

=⇒

x ≻ z

.

Następne założenie o relacji preferencji wymaga, aby przestrzeń towarów X ⊂ R

n

+

była wypukłym podzbiorem zbioru

R

n

+

wektorów o nieujemnych współrzędnych. Przyjęcie założenia, że konsument „preferuje średnie w porównaniu ze

skrajnościami” prowadzi do żądania, aby relacja preferencji była wypukła w następującym sensie.
Wypukłość preferencji:

∀ x ∈ X

V (x) = { y ∈ X | y  x }

jest wypukły.

(1.2)

Jeśli towary w wiązce są przez konsumenta pożądane (są bardziej „dobrami” niż „szkodami”) relacja preferencji wiąże
się z wielkością zasobu towaru w wiązce:

x ­ y

=⇒

x  y

.

Zazwyczaj przyjmujemy silniejsze założenie („im więcej, tym lepiej”), znane jako
Postulat niedosytu:

x > y

=⇒

x ≻ y

,

(1.3)

przynajmniej wtedy, gdy y ≫ 0.
Ciągłość relacji preferencji:
Przyjmujemy, że przestrzeń towarów X jest wyposażona w topologię — jeśli nie będzie wyraźnie podana inna topologia,
będzie to topologia indukowana przez normę w R

n

. Ciągłość relacji preferencji oznacza, że dla każdego x ∈ X oba

zbiory { y ∈ X | x  y } i { y ∈ X | y  x } są domknięte. A zatem zbiory { y ∈ X | x ≻ y } i { y ∈ X | y ≻ x } są
otwarte.

Zadanie 1.1.1 (Pewne relacje preferencji)
W zbiorze X = R

2

+

reprezentującym koszyki dwóch dóbr rozważamy następujące relacje:

(a)

(x

1

, x

2

)  (y

1

, y

2

)

wtedy i tylko wtedy, gdy

min(x

1

, x

2

) ­ min(y

1

, y

2

);

(b)

(x

1

, x

2

)  (y

1

, y

2

)

wtedy i tylko wtedy, gdy

max(x

1

, x

2

) ­ max(y

1

, y

2

);

(c)

(x

1

, x

2

)  (y

1

, y

2

)

wtedy i tylko wtedy, gdy

x

1

> y

1

lub

(x

1

= y

1

i

x

2

­ y

2

).

Zbadać, które z własności wymienionych w tekście powyżej przysługują zdefiniowanym wyżej relacjom.

4

1.1.3

Funkcja użyteczności

Wygodny w użyciu, bo otwierający możliwość stosowania metod analitycznych sposób opisu preferencji opiera się o
koncepcję miernika preferencji konsumenta. Przyjmuje się, że porównując ze sobą dowolne dwa różne koszyki
towarów, konsument może określić przez odniesienie do pewnej liczbowej skali swój własny stopień użyteczności każdego
z nich. A zatem konsument przyporządkowuje każdemu koszykowi x pewną liczbę rzeczywistą u(x) w taki sposób, że

x  y

⇐⇒

u(x) ­ u(y).

(1.4)

A zatem konsument definiuje na swój własny użytek pewną funkcję określoną na przestrzeni towarów X odpowiadającą
używanej przez niego relacji  słabej preferencji. Tak określoną funkcję u : X → R nazywa się funkcją użyteczności
konsumenta odpowiadającą danej relacji preferencji (ang. utility function).

Zbiory punktów (koszyków towarów), które mają jednakową użyteczność nazywa się zbiorami (powierzchniami)

obojętności (indyferencji) konsumenta — w języku matematyki są to „poziomice funkcji użyteczności”, tj. zbiory
postaci

O(α) = { x ∈ X | u(x) = α }

dla ustalonego α ∈ R. Natomiast „przekrój” wykresu funkcji użyteczności u dwu-wymiarową płaszczyzną (u, x

i

), po-

wstającą przez ustalenie wartości wszystkich poza i-tą zmienną, jest wykresem funkcji x

i

7→ u

i

(x

i

) = u(x

0

1

, . . . , x

i

, . . . x

0

n

)

nazywanej krzywą użyteczności i-tego towaru.

Szczegółowe założenia o funkcji użyteczności. Dla umożliwienia stosowania metod analitycznych żąda się,

aby funkcja użyteczności była odpowiednio gładka — zazwyczaj wystarcza założenie ciągłości pierwszych i drugich
pochodnych cząstkowych funkcji u. To założenie ma charakter techniczny i nie wynika z przesłanek ekonomicznych. Na-
tomiast w oparciu o badania empiryczne żąda się od funkcji użyteczności szeregu innych własności, które odpowiadają
obserwowanym prawidłowościom ekonomicznym. Najważniejszymi są:

• Postulat niedosytu. Dla każdej ze zmiennych x

i

, przy wszystkich pozostałych zmiennych ustalonych, funkcja

x

i

7→ u(x

0

1

, . . . , x

i

, . . . x

0

n

) jest rosnąca. Stosując terminologię używaną w (mikro-)ekonomii można tę własność

(dzieki założonej gładkości funkcji u) wypowiedzieć w następujący sposób(

1

):

Dla dowolnego koszyka x

0

∈ X krańcowa stopa użyteczności i-tego towaru w koszyku x

0

jest dodatnia. Analitycznie

∂u

∂x

i

(x

0

) > 0,

dla każdego i = 1, . . . , n.

Czasem osłabia się to założenie dopuszczając, żeby krańcowa stopa użyteczności towaru była nieujemna.

• Postulat lokalnego niedosytu. Postulat niedosytu stanowi zbyt daleko idące uproszczenie rzeczywistości

— w stosunku do każdego dobra istnieją granice jego użyteczności czy możliwości wykorzystania (por. mit o
królu Midasie). Dlatego czasem używa się słabszego, lecz nieco bardziej złożonego matematycznie założenia o
następującej formie: w każdym otoczeniu dowolnego punktu x ∈ X istnieje taki punkt x

′

, że u(x

′

) > u(x). Inaczej

mówiąc, funkcja użyteczności nie ma lokalnych maksimów.

• Prawo Gossena:(

2

) Krańcowa użyteczność każdego towaru maleje w miarę jak wzrasta jego spożycie. Analitycz-

nym wyrażeniem tego prawa są nierówności

∂

2

u

∂x

2

i

(x) < 0,

dla każdego i = 1, . . . , n.

(1.5)

• Wypukłość zbioru preferowanych koszyków. Ustalmy koszyk x

0

i rozważmy zbiór V (x

0

) wszystkich ko-

szyków o niemniejszej od niego użyteczności, por. (1.2). Oznaczając przez α użyteczność referencyjnego koszyka
x

0

, α = u(x

0

), zbiór ten możemy zapisać jako zbiór nadpoziomicowy funkcji użyteczności

V (x

0

) = G(α) = { x ∈ X | u(x) ­ α } = u

−1

([ α, ∞ [).

(1.6)

A zatem relacja preferencji jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór (1.6) jest wypukły dla każdego x

0

∈ X,

lub, co mówi to samo, że dla każdej liczby α ∈ R zbiór koszyków o użyteczności niemniejszej niż α jest wypukły.
Pokażemy poniżej, jak własność tę opisać bezpośrednio za pomocą funkcji użyteczności.

1

W ekonomii termin „krańcowy” oznacza po prostu pochodną. (Varian, loc. cit. str. 98.)

2

Hermann Heinrich Gossen, niemiecki ekonomista XIX wieku.

Teoria popytu konsumpcyjnego

5

Zadanie 1.1.2 (Funkcje użyteczności dla wybranych relacji preferencji — c.d. Zadania 1.1.1)
(d) Dla podanych funkcji

(a)

u(x

1

, x

2

) = min(x

1

, x

2

)

(b)

u(x

1

, x

2

) = max(x

1

, x

2

)

naszkicować przebieg kilku poziomic (np. dla wartości u(x

1

, x

2

) = 1, 2, 5). Wykazać, że za pomocą wzoru (1.4)

odpowiadają one relacjom preferencji (a) i (b) z Zadania 1.1.1.
(e) Których z postulowanych własności funkcji użyteczności nie spełniają te funkcje?
(f ) Wykazać, że relacji (c) z Zadania 1.1.1 nie odpowiada żadna ciągła funkcja użyteczności.

Wykład 2

Teoria popytu II

2.1

Wypukłość funkcji i jej uogólnienia

Funkcje wypukłe, funkcje wklęsłe, . . . , i jakie jeszcze bywają funkcje?
Przypomnijmy pojęcie wypukłości funkcji.

Definicja 2.1 (Wypukłość funkcji) Funkcję f : K → R określoną na niepustym podzbiorze wypukłym K ⊂ R

n

nazywamy funkcją wypukłą, jeśli zbiór

E(f ) = { (x, t) ∈ K × R | f (x) ¬ t }

jest zbiorem wypukłym. Funkcję f : K → R nazywamy funkcją wklęsłą, jeśli funkcja (−f ) jest wypukła.

Stwierdzenie 2.1 Niech K ⊂ R

n

będzie jak wyżej. Funkcja f : K → R jest funkcją wypukłą wtedy i tylko wtedy, gdy

dla każdej pary x

1

, x

2

∈ K i każdej liczby λ ∈ [ 0, 1 ] zachodzi nierówność

f (λx

1

+ (1 − λ)x

2

) ¬ λf (x

1

) + (1 − λ)f (x

2

)

(2.1)

a jest funkcją wklęsłą wtedy i tylko wtedy, gdy w analogicznych warunkach zachodzi nierówność odwrotna.

Mówimy też, że f jest ściśle wypukła, jeśli w powyższym warunku spełniona jest nierówność ostra dla λ 6= 0 i λ 6= 1.
W analogiczny sposób określamy funkcje ściśle wklęsłe.

-3

-2

-1

1

2

3

2

4

6

8

Położenie siecznej względem wykresu funkcji: wypukłość po prawej, wklęsłość po lewej

Do badania wypukłości (wklęsłości) funkcji wielu zmiennych wykorzystuje się najczęściej następujący rezultat

znany z wykładów analizy matematycznej.

Stwierdzenie 2.2 Niech W ⊂ R

n

będzie otwarty i wypukły i niech f : W → R będzie funkcją klasy C

2

. Oznaczmy

przez Hf (x) (symetryczną) macierz jej drugich pochodnych cząstkowych w p-cie x, (macierz Hessego funkcji f ),

Hf (x) =

 ∂

2

f (x)

∂x

i

∂x

j



.

6

Teoria popytu konsumpcyjnego

7

(a) Na to, aby f była wypukła na W potrzeba i wystarcza, aby jej macierz Hessego Hf (x) była dodatnio półokreślona
w każdym punkcie x ∈ W . Jeśli Hf (x) jest w każdym punkcie dodatnio określona, to f jest ściśle wypukła.
(b) Na to, aby f była wklęsła na W potrzeba i wystarcza, aby jej macierz Hessego Hf (x) była ujemnie półokreślona
w każdym punkcie x ∈ W . Jeśli Hf (x) jest w każdym punkcie ujemnie określona, to f jest ściśle wklęsła.

Stąd jako natychmiastowy wniosek otrzymujemy prawo Gossena.

Wniosek 2.1 (Prawo Gossena) Jeśli funkcja użyteczności u jest ściśle wklęsła w wypukłym zbiorze X ⊂ R

n

+

, to

nierówności (1.5)

∂

2

u

∂x

2

i

(x) < 0,

dla każdego

i = 1, . . . , n.

są spełnione.

D o w ó d. Rzeczywiście, jeśli e

i

= (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)

t

oznacza jak zwykle i-ty wektor bazy standardowej w R

n

,

to

∂

2

u

∂x

2

i

(x) = e

t
i

·



∂

2

u

∂x

i

∂x

j

(x)



· e

i

=

=



0 . . . 0 1 0 . . . 0



·




















∂

2

u

∂x

2

1

(x)

. . .

∂

2

u

∂x

1

∂x

i

−1

(x)

∂

2

u

∂x

1

∂x

i

(x)

∂

2

u

∂x

1

∂x

i

+1

(x)

. . .

∂

2

u

∂x

1

∂x

n

(x)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∂

2

u

∂x

i

∂x

1

(x)

. . .

∂

2

u

∂x

i

∂x

i

−1

(x)

∂

2

u

∂x

2

i

(x)

∂

2

u

∂x

i

∂x

i

+1

(x)

. . .

∂

2

u

∂x

i

∂x

n

(x)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∂

2

u

∂x

n

∂x

1

(x)

. . .

∂

2

u

∂x

n

∂x

i

−1

(x)

∂

2

u

∂x

n

∂x

i

(x)

∂

2

u

∂x

n

∂x

i

+1

(x)

. . .

∂

2

u

∂x

2

n

(x)




















·

















0

..

.

0
1
0

..

.

0

















< 0

2

2.1.1

PRZYPOMNIENIE — Formy kwadratowe określone lub półokreślone

Definicja 2.2 (Określoność form kwadratowych) Formę kwadratową Q

A

(x) nazywamy formą dodatnio (odpo-

wiednio, ujemnie) określoną, jeśli dla każdego wektora R

n

∋ x 6= 0 mamy Q

A

(x) > 0 (odpowiednio Q

A

(x) < 0).

Jeśli forma kwadratowa Q

A

(x) przyjmuje na każdym wektorze wartości nieujemne, tzn. dla każdego wektora x ∈ R

n

mamy Q

A

(x) ­ 0, to nazywamy ją formą dodatnio półokreśloną. Analogicznie określamy formy ujemnie półokreślone.

Formy, nie będące określonymi ani półokreślonymi nazywają się formami nieokreślonymi.
Macierz symetryczną A ∈ M

s

n

(R) będziemy nazywać macierzą dodatnio (odpowiednio, ujemnie) określoną (pół-

określoną), jeśli odpowiadająca jej forma kwadratowa Q

A

(x) ma tę własność.

Zgodnie z powyższymi określeniemi forma określona dodatnio (odpow. ujemnie) jest także formą półokreśloną

dodatnio (odpow. ujemnie). Jednakże forma półokreślona może przyjmować wartość równą 0 dla różnych od zera
wektorów przestrzeni R

n

, co nie może mieć miejsca w przypadku formy określonej.

Można nietrudno wykazać, że forma nieokreślona przyjmuje na niezerowych wektorach wartości różnych znaków,

tj. istnieją takie niezerowe x, y ∈ R

n

, że Q

A

(x) > 0 i Q

A

(y) < 0, a z ciągłości wynika, że musi przyjmować też wartość

0 dla jakiegoś niezerowego wektora.

Jest jasne, że forma kwadratowa Q

A

(x) o macierzy A ∈ M

s

n

(R) jest dodatnio (odpowiednio, ujemnie) określona

wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne macierzy A są dodatnie (odpowiednio, ujemne). Półokreślona
forma może mieć 0 jako wartość własną, ale jej różne od zera wartości własne muszą mieć ten sam znak.

W algebrze dowodzi się następującego ogólnego kryterium określoności form kwadratowych.

Stwierdzenie 2.3 Niech Q

A

(x) =

n

P

i,j

=1

a

ij

x

i

x

j

będzie formą kwadratową o macierzy A ∈ M

s

n

(R). Dla j = 1, . . . , n

oznaczmy przez d

j

= det[a

kl

]

1¬k, l¬j

minor główny stopnia j macierzy A.

Forma Q

A

(x) jest:

dodatnio określona ⇐⇒ d

j

> 0 dla j = 1, . . . , n;

ujemnie określona ⇐⇒ (−1)

j

d

j

> 0 dla j = 1, . . . , n.

Teoria popytu konsumpcyjnego

8

Przypomnijmy, że minorem głównym stopnia j macierzy kwadratowej A (niekoniecznie symetrycznej) nazywamy

wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia j powstającej z macierzy A przez wykreślenie z niej ostatnich n − j wierszy
i n − j kolumn.

Na przykład, minorami głównymi stopni 1, 2 i 3 macierzy A = [a

ij

] ∈ M

n

(R) są:

d

1

= a

11

,

(2.2)

d

2

=







a

11

a

12

a

21

a

22







= a

11

a

22

− a

12

a

21

,

(2.3)

d

3

=









a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33









= a

11

a

22

a

33

+ . . . − a

13

a

22

a

31

− . . .

(2.4)

2.1.2

Formy kwadratowe półokreślone

Przedstawimy przykład pokazujący, że podanego w Stwierdzeniu 2.3 kryterium określoności macierzy (dodatniej lub
ujemnej) nie można rozszerzyć na przypadek form półokreślonych przez prostą zamianę nierówności ostrej na nieostrą.

Przykłady 2.1.1 (Znaki form kwadratowych dla n = 3)

Wszystkie poniższe macierze spełniają ten sam warunek (−1)

j

d

j

­

0 dla j = 1, 2, 3:

macierz ujemnie półokreślona :

A

=





−

1

0

0

0

−

1

0

0

0

0





,

d

1

¬

0, d

2

­

0, d

3

¬

0,

(2.5)

macierz nieokreślona :

A

=





−

1

0

0

0

0

0

0

0

1





,

d

1

¬

0, d

2

­

0, d

3

¬

0,

(2.6)

macierz dodatnio półokreślona :

A

=





0

0

0

0

1

0

0

0

1





,

d

1

¬

0, d

2

­

0, d

3

¬

0.

(2.7)

(2.8)

2.1.3

Półokreśloność form kwadratowych dwóch zmiennych

Dla przypadku n = 2 można sformułować prostą i pełną charakteryzację półokreśloności form kwadratowych w
następującej postaci.

Niech A będzie niezerową macierzą symetryczną stopnia 2 o współczynnikach rzeczywistych, A = (

a

11

a

12

a

12

a

22

). Przy-

pomnijmy, że wyznacznik i ślad macierzy A są dane wzorami det A = a

11

a

22

− (a

12

)

2

, tr A = a

11

+ a

22

.

Stwierdzenie 2.4 Na to by forma kwadratowa

Q

A

(x) = a

11

x

2

1

+ 2a

12

x

1

x

2

+ a

22

x

2

2

(2.9)

o macierzy A = (

a

11

a

12

a

12

a

22

) była półokreślona potrzeba i wystarcza, by det A ­ 0. W takim przypadku forma Q

A

(x) jest

dodatnio półokreślona, gdy tr A > 0, a ujemnie półokreślona, gdy tr A < 0.

Zbierając razem powyższe warunki dostajemy następującą pełną charakteryzację form kwadratowych dwóch
zmiennych:

Stwierdzenie 2.5 Forma kwadratowa Q

A

(x) zadana wzorem (2.9) jest:

Określona wtedy i tylko wtedy, gdy det A > 0,
a przy tym określona dodatnio, gdy tr A > 0 — określona ujemnie, gdy tr A < 0.
Półokreślona, ale nie określona, wtedy i tylko wtedy, gdy det A = 0,
a przy tym półokreślona dodatnio, gdy tr A > 0 — półokreślona ujemnie, gdy tr A < 0.

W zastosowaniach ekonomicznych często wykorzystywane są poniższe funkcje.

Teoria popytu konsumpcyjnego

9

Wniosek 2.2 Następujące funkcje określone na R

n

+

są wklęsłe:

(a)

u(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = ax

α

1

1

x

α

2

2

. . . x

α

n

n

,

0 < a, 0 < α

j

,

n

X

j

=1

α

j

< 1,

Funkcja Cobba-Douglasa

(2.10)

(b)

u(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = a

n

X

j

=1

α

j

ln x

j

,

0 < a, 0 < α

j

,

n

X

j

=1

α

j

< 1,

(2.11)

(c)

u(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) =

n

X

j

=1

α

j

x

β

j

j

,

0 < α

j

, 0 < β

j

< 1.

(2.12)

Wykresy funkcji Cobba-Douglasa z różnych punktów widzenia

2.1.4

Uzupełnienie — uogólnienia wypukłości

Definicja 2.3 (Funkcje quasi-wypukłe lub quasi-wklęsłe) Funkcję f : X → R określoną na zbiorze wypukłym
X ⊂ R

n

będziemy nazywać funkcją quasi-wypukłą na X, jeśli dla każdych x, y ∈ X i każdego λ ∈ [ 0, 1 ] zachodzi

f (λx + (1 − λ)y) ¬ max{f (x), f (y)},

i odpowiednio funkcją quasi-wklęsłą na X, jeśli przy tych samych założeniach spełniona jest nierówność

f (λx + (1 − λ)y) ­ min{f (x), f (y)},

Innymi słowy, funkcja jest quasi-wklęsła, jeśli na odcinku łączącym punkty x, y przyjmuje wartości nie mniejsze od

mniejszej z wartości na krańcach tego odcinka (tj. minimum funkcji jest przyjmowane na jednym z krańców odcinka),
a quasi-wypukła, jeśli na odcinku łączącym punkty x, y przyjmuje wartości nie większe od większej z wartości na
krańcach tego odcinka.

Teoria popytu konsumpcyjnego

10

Pozostawiamy do samodzielnego sprawdzenia, że funkcje wypukłe (odpowiednio, wklęsłe) są quasi-wypukłe, (odpo-
wiednio, quasi-wklęsłe).

Stwierdzenie 2.6 Funkcja f : X → R określona na zbiorze wypukłym X ⊂ R

n

jest quasi-wypukła na X wtedy i tylko

wtedy, gdy dla każdej liczby α ∈ R zbiór { x ∈ X | f (x) ¬ α } jest wypukły.

Analogicznie, f jest funkcją quasi-wklęsłą na X wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór { x ∈ X | f (x) ­ α } jest wypukły

dla każdej liczby α ∈ R.

D o w ó d. Wykażemy tylko podaną charakteryzację funkcji quasi-wklęsłosłych — dowód w drugim przypadku jest
w pełni analogiczny. Niech α ∈ R będzie dowolne. Załóżymy najpierw, że f jest quasi wklęsła i niech x, y ∈ G(α) =
{ x ∈ X | f (x) ­ α }. Dla dowolnego λ ∈ [ 0, 1 ] mamy zatem

f (λx + (1 − λ)y) ­ min{f (x), f (y)} ­ α

gdyż obie wartości f (x), f (y) funkcji f są nie mniejsze niż α. A zatem λx+(1−λ)y ∈ G(α). Odwrotnie, jeśli zbiór G(α)
jest wypukły dla każdego za ∈ R, to obrawszy dowolnie punkty x, y ∈ X przyjmiemy α = min{f (x), f (y)} i utworzymy
zbiór G(α). Jest on wypukły i oczywiście x, y ∈ G(α), więc także λx + (1 − λ)y ∈ G(α), czyli f (λx + (1 − λ)y) ­
min{f (x), f (y)}, co trzeba było wykazać.

2

A więc, zgodnie z określemiem wypukłości relacji preferencji konsumenta (por. (1.6)), relacja preferencji jest wypukła
wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja użyteczności odpowiadająca tej relacji jest quasi wklęsła.
Do uzupełnienia:

Przykłady — funkcje quasi-wklęsłe i nie wklęsłe, i tp.

Podamy jeszcze jedną definicję.

Definicja 2.4 (Funkcje pseudo-wypukłe lub pseudo-wklęsłe) Funkcja różniczkowalna f : X → R nazywa się
funkcją pseudo-wypukłą, gdy dla każdego x

0

∈ X i dowolnego h ∈ R

n

, takiego że x

0

+ h ∈ X spełniona jest implikacja

∇

h

f (x

0

) = h · grad f (x

0

) ­ 0 =⇒ f (x

0

+ h) ­ f (x

0

).

Jeśli spełniona jest implikacja z odwróconymi nierównościami po obu stronach, to mówimy, że funkcja jest pseudo-
wklęsła.

Podobnie jak poprzednia, powyższa definicja jest rozszerzeniem definicji wypukłości, gdyż różniczkowalne funkcje

wypukłe są pseudo-wypukłe (ale nie na odwrót), a nadto funkcje pseudo-wypukłe są quasi-wypukłe.

Hiperpłaszczyzna podpierająca wykres funkcji wypukłej

Przypomnijmy, że hiperpłaszczyzną podpierającą zbiór wypukły F jest taka hiperpłaszczyzna, która ma przynaj-

mniej jeden punkt wspólny z F oraz F jest zawarty w półprzestrzeni wyznaczonej przez tę hiperpłaszczyznę — inaczej
mówiąc F leży po jednej stronie tej hiperpłaszczyzny.

Stwierdzenie 2.7 Niech D ⊂ R

n

będzie otwartym zbiorem wypukłym i f : D → R różniczkowalną funkcją wypukłą. W

każdym punkcie (x, f (x)) ∈ R

n

+1

wykresu płaszczyzna styczna do wykresu jest hiperpłaszczyzną podpierającą nadwykres

funkcji f .

Ponieważ równanie hiperpłaszczyzny stycznej do wykresu f w punkcie x

0

∈ D ma postać

y − f (x

0

) = grad f (x

0

) · (x − x

0

) = 0

więc dla każdego x ∈ D zachodzą nierówności

f (x) ­ f (x

0

) + grad f (x

0

) · (x − x

0

),

f wypukła

(2.13)

f (x) ¬ f (x

0

) + grad f (x

0

) · (x − x

0

),

f wklęsła

(2.14)

Teoria popytu konsumpcyjnego

11

2.2

Zagadnienie wyboru optymalnego planu konsumpcji

2.2.1

Ceny i zbiór budżetowy

Definicja 2.5 (Zbiór budżetowy) Przypisując i-temu towarowi jednostkową cenę p

i

wyrażoną liczbą dodatnią mo-

żemy zbiór R

n

+

traktować jako zbiór wektorów cen. Wartością koszyka x ∈ X nazywamy liczbę p · x =

n

P

i

=1

p

i

x

i

. Jeśli I

jest liczbą nieujemną, to zbiór koszyków o wartości nie przekraczającej I nazywamy zbiorem dopuszczalnych planów
konsumpcji przy dochodzie I, lub krótko — zbiorem budżetowym i oznaczamy

B(p, I) = { x ∈ X | p · x ¬ I }.

Zauważmy, że B(p, I) jest zwartym podzbiorem wypukłym w R

n

.

Przyjmujemy(

1

), że każdy konsument dysponuje ustalonym dochodem I, którego nie może przekraczać (wliczamy

więc w to rozsądnej wielkości kredyty) i jego postępowanie jest podporządkowane następującemu celowi: jak przy
danym wektorze cen p wybrać plan konsumpcji o maksymalnej użyteczności w zbiorze budżetowym B(p, I). Mamy
więc:
Zagadnienie Maksymalizacji Użyteczności Konsumenta — ZMUK :
Tak nazywa się zagadnienie wyznaczenia punktu x

∗

∈ X, dla którego zachodzi

u(x

∗

) = max u(x),

przy warunku p · x ¬ I.

(2.15)

Prosty argument pokazuje, że dla funkcji użyteczności, która ma własność lokalnego niedosytu, nierówność w (2.15)
musi być „wysycona” w punkcie optymalnym, tj. jeśli x jest rozwiązaniem „ZMUK”, to

p · x = I.

(2.16)

Dla wyznaczenie maksimum funkcji użyteczności możemy zatem użyć klasycznej metody poszukiwania ekstremum
warunkowego z „więzami w formie równości”, czyli metody opartej na użyciu funkcji Lagrange’a. Funkcję L(x, λ) =
u(x) − λ(I − p · x) nazywamy funkcją Lagrange’a problemu 2.15.

Przykład (O.Z.) Piwo i kebab.

Zakładamy, że konsument (student) jest racjonalny, a jego preferencje są gładkie i spełniają postulat lokalnego niedosytu
(na przykład są dane przez funkcję C–D). Szukana jest „maksymalna użyteczność” wiązki (x

1

, x

2

), gdzie x

1

, x

2

są ilościami

skonsumowanego dobra (x

1

— piwa, x

2

—kebabu)

max u(x

1

, x

2

)

pod warunkiem

p

1

x

1

+ p

2

x

2

6

I

a p

1

, p

2

są cenami jednostkowymi piwa i kebabu, zaś I — wysokość stypendium.

Badania są w toku, czy są to dobra substytucyjne, czy komplementarne — prawdopodobnie ten podział ma charakter lokalny

(jak w postulacie niedosytu).

Dla sformułowania warunku optymalności (pierwszego rzędu) używamy funkcji Lagrange’a

L

= u(x

1

, x

2

) − λ(I − p

1

x

1

− p

2

x

2

)

(2.17)

Z wykładu analizy matematycznej wiadomo, że warunkiem koniecznym ekstremum jest spełnienie równań

∂L

∂x

1

=

∂u

∂x

1

(x) − λp

1

= 0

∂L

∂x

2

=

∂u

∂x

2

(x) − λp

2

= 0,

∂L

∂λ

= I − p

1

x

1

− p

2

x

2

= 0.

1

Jak się wydaje, koncepcja ta pochodzi od Alfreda Marshalla, (Principles of economics, 1898)

Teoria popytu konsumpcyjnego

12

Z pierwszych dwóch równań wyprowadzamy równości

∂u

∂x

1

(x

∗

) :

∂u

∂x

2

(x

∗

) = p

1

: p

2

oraz

1

p

i

∂u

∂x

i

(x

∗

) = λ,

i

= 1, 2.

Mnożnik Lagrange’a — „cena cień” mówi o tym, co się stanie, jeśli ograniczenie zmieni się o jedną jednostkę pieniężną, czyli
jaki jest wzrost użyteczności z dodatkowej złotówki w budżecie.

2.2.2

Interpretacje ekonomiczne

Podamy ogólne rozwiązanie zagadnienia maksymalizacji użyteczności konsumenta.

Stwierdzenie 2.8 Przy odpowiednich założeniach o funkcji użyteczności u rozwiązania zagadnienia optymalizacji pla-
nu konsumpcji (2.15) są rozwiązaniami układu równań w postaci warunku z mnożnikiem Lagrange’a λ > 0,

grad L = grad u(x) − λp = 0;

∂L

∂λ

= I − p · x = 0.

(2.18)

Zastępując wektorową postać równania (2.18) przez układ równań skalarnych otrzymujemy równoważne sformułowanie

∂L

∂x

i

=

∂u

∂x

i

(x) − λp

i

= 0,

dla

i = 1, 2, . . . n,

(2.19)

z warunkiem

p · x = I.

(2.20)

Rozwiązanie takie jest jedyne, na przykład wtedy, gdy funkcja użyteczności u jest ściśle wklęsła lub nawet quasi-wklęsła.
Jest ono nazywane optymalnym planem konsumpcji.

Użyteczność optymalnego planu konsumpcji (zależna od układu cen p i wielkości budżetu I) jest wartością maksymalną
funkcji użyteczności w zbiorze budżetowym B(p, I), inaczej

v(p, I) = max u(x),

pod warunkiem p · x ¬ I.

(2.21)

W ten sposób powstaje jedna z podstawowych funkcji teorii — nazywana pośrednią funkcją użyteczności funkcja
(p, I) 7→ v(p, I) ∈ R, której wartość jest równa użyteczności optymalnego planu konsumpcji.

2.2.3

Sformułowania i wnioski ekonomiczne

Geometryczna interpretacja równań (2.18) określających optymalny plan konsumpcji pozwoli nam również na wy-
ciągnięcie pewnych wniosków o charakterze ekonomicznym. Najpierw wprowadzimy definicję o charakterze czysto
matematycznym

Definicja 2.6 (Płaszczyzna styczna do poziomicy funkcji) Jeśli x 7→ u(x) jest funkcją różniczkowalną w sposób
ciągły w otwartym obszarze Ω ⊂ R

n

i ξ ∈ Ω, to zbiór punktów spełniających równanie

∂u

∂x

1

(ξ)(x

1

− ξ

1

) +

∂u

∂x

2

(ξ)(x

2

− ξ

2

) + . . . +

∂u

∂x

n

(ξ)(x

n

− ξ

n

) = 0

(2.22)

nazywa się płaszczyzną styczną w punkcie ξ do poziomicy u(x) = u(ξ).

Przykład 2.2.1 (Poziomice funkcji Cobba-Douglasa)

Optymalny plan konsumpcji x leży na płaszczyźnie budżetowej w punkcie styczności tej płaszczyzny do powierzchni
obojętności. A zatem z zależności I − p · x = 0 wynika, że nie ma możliwości oszczędzania (cały dochód zostaje zużyty
do konsumpcji). Płaszczyzna budżetowa jest płaszczyzną podpierającą dla zbioru { x ∈ X | u(x) ­ u(x) } w punkcie
x, a w przypadku, gdy funkcja użyteczności jest gładka, styczną do powierzchni obojętności przechodzącej przez ten
punkt. Czasami tę obserwację formułuje się następująco:
Budżet należy tak rozkładać, aby płaszczyzna budżetu była styczna do powierzchni obojętności.
Ponadto wektor grad u(x), który, jak wiemy, jest prostopadły do powierzchni obojętności w tym punkcie i wskazuje

Teoria popytu konsumpcyjnego

13

w kierunku najszybszego wzrostu użyteczności, ma kierunek i zwrot wektora cen p (grad u(x) = λp, dla λ > 0). A to
oznacza, że spełnione są następujące warunki

∂u

∂x

i

(x) :

∂u

∂x

j

(x) = p

i

: p

j

dla i 6= j.

(2.23)

O lewej stronie tego równania, która jest znana jako krańcowa stopa substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w
optymalnym koszyku, więcej powiemy w dalszym ciągu. W tym miejscu zauważymy tylko, że warunki (2.23) stwierdzają,
że przy realizacji optymalnego planu konsumpcji podział budżetu między poszczególne towary jest taki, że
dla każdego dobra proporcja między jego użytecznością krańcową a ceną jest taka sama.
Wartość tej proporcji jest mierzona wartością mnożnika Lagrange’a λ:

1

p

i

∂u

∂x

i

(x) = λ,

dla i = 1, . . . , n.

(2.24)

Na koniec zauważmy, że otrzymane rozwiązanie zagadnienia optymalizacji nie zmienia się przy zmianie cen i dochodu
w jednakowych proporcjach, tzn. gdy wszystkie ceny oraz dochód pomnożyć przez stały czynnik dodatni. Ekonomiści
nazywają to zachowanie brakiem iluzji pieniądza ze strony konsumenta.

Przykład 2.2.2 (Funkcja użyteczności Rubina–Kleina)
Przyjmijmy

u(x

1

, x

2

) = α

1

ln(x

1

− q

1

) + α

2

ln(x

2

− q

2

),

dla

x

1

­ q

1

, x

2

­ q

2

i α

1

, α

2

są dodatnie. Można założyć, że α

1

+ α

2

= 1 — wskaźniki podziału konsumpcji. Natomiast q

1

, q

2

są „mini-

malnymi poziomami konsumpcji” danego dobra. Równania (2.19) mają postać

∂L

∂x

1

=

∂u

∂x

1

(x) − λp

1

=

α

1

x

1

− q

1

− λp

1

= 0

∂L

∂x

2

=

∂u

∂x

2

(x) − λp

2

=

α

2

x

2

− q

2

− λp

2

= 0,

∂L

∂λ

= I − p

1

x

1

− p

2

x

2

= 0.

Po rozwiązaniu otrzymujemy funkcję popytu

x

1

= q

1

+

α

1

p

1

(I − p

1

q

1

− p

2

q

2

)

(2.25)

x

2

= q

2

+

α

2

p

2

(I − p

1

q

1

− p

2

q

2

)

(2.26)

z oczywistą interpretacją — nadwyżka ponad minimalny poziom powstaje z podziału reszty dochodu ponad wydatek
na minimum. Wydatki konsumenta na poszczególne dobra przy zakupie optymalnego koszyka wyrażają wzory

p

1

x

1

= p

1

q

1

+ α

1

(I − p

1

q

1

− p

2

q

2

)

p

2

x

2

= p

2

q

2

+ α

2

(I − p

1

q

1

− p

2

q

2

)

2.3

Minimalizacja wydatków na uzyskanie oczekiwanej użyteczności

Wykorzystywane jest również inne spojrzenie na kształtowanie się popytu, wiązane z nazwiskiem Johna Hicksa(

2

), a

mianowicie jako wynik dążenia konsumenta do minimalizacji wydatków na zakup koszyka o pożądanej użyteczności
(lepiej, użyteczności nie mniejszej niż pożądany jej poziom). Koszt koszyka x = (x

1

, . . . , x

n

) przedstawia liczba

n

P

j

=1

p

j

x

j

= p · x, a zatem funkcję

X ∋ x 7→ k(x) = p · x ∈ R

+

możemy nazwać funkcją kosztu koszyka. To prowadzi do następującego sformułowania.
Zagadnienie Minimalizacji Wydatków na Zakup Koszyka — ZMWZK
Szukane jest minimum funkcji kosztu koszyka

k(x) = p · x → min ,

przy warunku u(x) ­ u

0

,

(2.27)

2

John Hicks, Sir, 8.04.1904 -– 20.05.1989. Nagroda im. A. Nobla w dziedzinie ekonomii w 1972

Teoria popytu konsumpcyjnego

14

to jest minimalny wydatek na zakup koszyka o użyteczności nie mniejszej od zadanej wartości u

0

.

Podobnie jak przy wyznaczaniu rozwiązania Zagadnienia Maksymalizacji Użyteczności Konsumenta (ZMUK) pro-

sty argument wykorzystujący monotoniczność funkcji kosztu i własność lokalnego niedosytu funkcji użyteczności
pozwala ograniczyć poszukiwanie rozwiązania zagadnienia (2.27) do punktów leżących na powierzchni obojętności
u(x) = u

0

. Możemy zatem posłużyć się standardową metodą wyznaczenia ekstremum warunkowego z warunkiem w

postaci równości — metodą mnożników Lagrange’a.

Przy odpowiednich założeniach na funkcję użyteczności, rozwiązanie tego zagadnienia przy danych cenach wyra-

żonych wektorem p i zadanym poziomie użyteczności u = u

0

jest jedyne. Będziemy je oznaczać symbolem h(p, u)

i nazywać Hicksowską funkcją popytu konsumenta. Rozwiązanie to konstruowane jest w analogii do konstrukcji funkcji
popytu Marshalla.

Rozwiązaniem zagadnienia (2.27) jest punkt stacjonarny funkcji Lagrange’a

L

H

(x, λ) = p · x − λ(u

0

− u(x)),

wyznaczony jako rozwiązanie równań (pierwszego rzędu)

∂L

H

∂x

i

= p

i

− λ

∂u

∂x

i

(x) = 0,

dla

i = 1, . . . , n,

(2.28)

∂L

H

∂λ

= u

0

− u(x) = 0,

czyli warunek u

0

− u(x) = 0.

(2.29)

Można zauważyć, że znaczenie tych równań jest analogiczne do równań wyprowadzonych dla Marshallowskiej funkcji
popytu. W szczególności w punkcie x będącym rozwiązaniem tych równań mamy, podobnie jak poprzednio,

∂u

∂x

i

(x) :

∂u

∂x

j

(x) = p

i

: p

j

dla i 6= j.

Znaczenie mnożnika Lagrange’a jest inne

1

p

i

∂u

∂x

i

(x) =

1

λ

,

dla i = 1, . . . , n.

(2.30)

Podanie jawnego rozwiązania dla funkcji popytu zależy od możliwości rozwiązania równania odpowiadającego wa-
runkowi (2.29). Na szczęście, jak to pokażemy poniżej, przy dość ogólnych założeniach o funkcji użyteczności oba te
podejścia prowadzą do tych samych rezultatów.

Przykład 2.3.1 (Hicksowska funkcja popytu dla funkcji użyteczności Rubina–Kleina)
Przypomnijmy, że ta funkcja określona jest wzorem

u(x

1

, x

2

) = α

1

ln(x

1

− q

1

) + α

2

ln(x

2

− q

2

),

dla

x

1

­ q

1

, x

2

­ q

2

,

przy czym współczynniki α

1

, α

2

spełniają α

1

+ α

2

= 1. Równania (2.28) mają postać

∂L

∂x

1

= p

1

− λ

∂u

∂x

1

(x) = p

1

−

λα

1

x

1

− q

1

= 0

∂L

∂x

2

= p

2

− λ

∂u

∂x

2

(x) = p

2

−

λα

2

x

2

− q

2

= 0,

∂L

∂λ

= u

0

− α

1

ln(x

1

− q

1

) − α

2

ln(x

2

− q

2

) = 0.

Z dwóch pierwszych równań otrzymujemy

α

1

p

2

α

2

p

1

=

x

1

− q

1

x

2

− q

2

,

(2.31)

a ostatnie, po uwzględnieniu własności logarytmów naturalnych i zależności α

1

+ α

2

= 1, prowadzi do wyrażenia

e

u

0

=



x

1

− q

1

x

2

− q

2



α

1

(x

2

− q

2

).

Stąd

x

2

− q

2

=



α

2

p

1

α

1

p

2



α

1

e

u

0

Teoria popytu konsumpcyjnego

15

Z równania (2.31) dostajemy

x

1

− q

1

=

α

1

p

2

α

2

p

1

(x

2

− q

2

) =

α

1

p

2

α

2

p

1



α

2

p

1

α

1

p

2



α

1

e

u

0

Stąd ostatecznie otrzymujemy wzór dla Hicksowskiej funkcji popytu

x

1

= q

1

+



α

1

p

2

α

2

p

1



α

2

e

u

0

(2.32)

x

2

= q

2

+



α

2

p

1

α

1

p

2



α

1

e

u

0

.

(2.33)

W ogólności zależność między funkcjami popytu otrzymanymi na wskazanych drogach daje następujące Twierdze-

nie.

Stwierdzenie 2.9 (a) Jeśli funkcja użyteczności u spełnia „postulat lokalnego niedosytu”, to przy dowolnych p

0

­

0, I

0

­ 0 z p

0

6= 0 punkt x

0

maksymalizujący u w zbiorze budżetowym B(p

0

, I

0

) jest jednocześnie punktem minimali-

zującym wydatki w zbiorze G(u(x

0

)).

(b) Jeśli funkcja użyteczności u jest ciągła, p

0

­ 0, p

0

6= 0, punkt x

0

minimalizuje koszt koszyka w zbiorze G(u(x

0

)) i

jeśli I

0

= p

0

· x

0

­ 0 spełnia warunek I

0

> inf{ p

0

· x | x ∈ X }, to x

0

maksymalizuje funkcję u w zbiorze budżetowym

B(p

0

, I

0

).

Warunek sformułowany w punkcie (b) powyższego twierdzenia nazywamy założeniem o istnieniu tańszego koszyka.

D o w ó d. Dowód obu punktów przeprowadzimy przez sprowadzenie do niedorzeczności.

Dla dowodu punktu (a) zauważmy najpierw, że zbiór koszyków x o mniejszym koszcie niż koszt koszyka x

0

, tj.

zbiór { x ∈ X | p

0

· x < p

0

· x

0

}, jest otwarty. Jeśli więc w zbiorze G(u(x

0

)) znalazłby się punkt x

′

o mniejszym od x

0

koszcie, to korzystając z warunku lokalnego niedosytu możemy również wybrać taki punkt x

′′

, dla którego spełnione

są obie nierówności p

0

· x

′′

< p

0

· x

0

i u(x

′′

) > u(x

′

). A zatem x

′′

ma ściśle większą użyteczność niż x

0

i należy do zbioru

budżetowego, więc x

0

nie byłby elementem maksymalizującym użyteczność w tym zbiorze. Ta sprzeczność dowodzi,

że zbiór G(u(x

0

)) nie zawiera koszyków o koszcie mniejszym niż koszt x

0

.

Dla dowodu (b) załóżmy, że w zbiorze budżetowym znajdziemy punkt x

′

∈ B(p

0

, I

0

) o większej użyteczności od

x

0

, tj. u(x

′

) > u(x

0

). Wykorzystując założenie o istnieniu tańszego koszyka obierzmy taki x

′′

, że p

0

· x

′′

< I

0

= p

0

· x

0

.

Gdyby zachodziła nierówność u(x

′′

) ­ u(x

0

), to x

′′

byłby punktem o mniejszym od x

0

koszcie należącym do zbioru

G(u(x

0

)), wbrew założeniu. Z kolei jeśli u(x

′′

) < u(x

0

), to dla ciągłej funkcji u znaleźliśmy punkty x

0

, x

′

, x

′′

, dla

których u(x

′′

) < u(x

0

) < u(x

′

), a wtedy na odcinku łączącym x

′

z x

′′

będzie leżał punkt o tej samej użyteczności co

x

0

i mniejszym od niego koszcie, a to również przeczy założeniu.

2

Zadanie 2.3.1 (Funkcje popytu dla modelu Rubina–Kleina) Wykorzystując obliczenia z Przykładów 2.2.2 i
2.3.1 sprawdzić tezę powyższego Stwierdzenia dla funkcji użyteczności Rubina–Kleina.

2.4

Funkcja popytu konsumpcyjnego i jej własności

Powyżej wyznaczyliśmy optymalny plan konsumpcji dla danych cen reprezentowanych wektorem p i danego dochodu
I, a teraz przechodzimy do badania zależności planu optymalnego od wielkości cen i dochodu.

Definicja 2.7 (Funkcja popytu konsumpcyjnego i pośrednia funkcja użyteczności)
Niech dla danego układu cen p ∈ R

n

+

i dochodu I ∈ R

+

wektor x ∈ R

n

+

reprezentuje optymalny plan konsumpcji

w zbiorze budżetowym B(p, I) wyznaczony jako rozwiązanie zagadnienia optymalizacji planu konsumpcji danego
równaniami (2.15).

Funkcję ϕ : R

n

+

× R

+

→ R

n

+

,

R

n

+

× R

+

∋ (p, I) 7→ ϕ(p, I) = x ∈ R

n

(2.34)

przedstawiającą zależność planu optymalnego od poziomu cen i dochodu konsumenta nazywa się funkcją popytu kon-
sumpcyjnego. Złożenie funkcji użyteczności z funkcją popytu konsumpcyjnego, tj. funkcję

R

n

+

× R

+

∋ (p, I) 7→ ν(p, I) = u(ϕ(p, I)) ∈ R

(2.35)

Teoria popytu konsumpcyjnego

16

nazywa się pośrednią funkcją użyteczności.

Inaczej mówiąc,

ν(p, I) =

max

x

∈B(p, I)

u(x).

(2.36)

Zgodnie z tą definicją funkcja popytu konsumpcyjnego spełnia tożsamościowo (względem p, I) następujące równości

(grad u)(ϕ(p, I)) − λp = 0;

I − p · ϕ(p, I) = 0.

(2.37)

Odnotujmy, że na mocy obserwacji odnotowanej powyżej funkcja popytu konsumpcyjnego jest dodatnio jednorodna
stopnia 0, tj. spełnia tożsamość

ϕ(αp, αI) = ϕ(p, I),

dla wszystkich α > 0, (p, I) ∈ R

n

+

× R

+

.

(2.38)

Jest to wyrażenie faktu, że popyt zależy od struktury cen i dochodów, a nie od ich bezwzględnego poziomu.

Zauważmy dalej, że przez różniczkowanie drugiej z tożsamości (2.37) otrzymujemy

1 =

n

X

j

=1

p

j

∂ϕ

j

∂I

(p, I)

skąd dalej przez zastosowanie równań (2.24) dochodzimy do nowej interpretacji mnożnika Lagrange’a λ, a mianowicie

∂ν

∂I

(p, I) =

n

X

j

=1

∂u

∂x

j

(ϕ(p, I))

∂ϕ

j

∂I

(p, I) = λ

(2.39)

λ jest równy krańcowej użyteczności dochodu.

Jedną z ważniejszych własności pośredniej funkcji użyteczności jest możliwość wyrażenia funkcji popytu w termi-

nach pośredniej funkcji użyteczności.

Stwierdzenie 2.10 (Tożsamość Roya) Funkcja popytu (p, I) 7→ ϕ(p, I) wyraża się wzorami;

ϕ

j

(p, I) = −

∂ν

∂p

j

(p, I)

∂ν

j

∂I

(p, I)

,

j = 1, . . . , n

Blisko związana z poprzednimi jest funkcja wydatków (expenditure function), która podaje minimalny koszt osiągnięcia
zadanego poziomu użyteczności. Jest ona dana wzorem

Definicja 2.8 (Funkcja wydatków konsumenta)
Funkcją wydatków (kosztów) konsumenta nazywa się funkcję (p, u) 7→ e(p, u) określoną wzorem

e(p, u) = min

x

p · x ,

przy warunku u(x) ­ u

(2.40)

krócej

e(p, u) =

min

{ x|u(x)­u }

p · x .

(2.40’)

Mamy

Stwierdzenie 2.11 (Lemat Shepharda) Jeśli e(p, u) jest funkcją wydatków konsumenta, to (Hicksowska) funkcja
popytu (p, u) 7→ h(p, u) określona jako wiązka minimalizująca wydatek na uzyskanie poziomu użyteczności u przy
zadanym poziomie cen p jest dana wzorem

h

i

(p, u) =

∂e

∂p

i

(p, u),

i = 1, . . . , n.

Teoria popytu konsumpcyjnego

17

2.4.1

Elastyczność popytu — cenowa i dochodowa

Ważnymi wskaźnikami własności funkcji popytu są tak zwane elastyczności. Elastyczności cenowe funkcji popytu defi-
niujemy wzorami:

ǫ

11

=

p

1

x

1

∂ϕ

1

∂p

1

(p, I);

elastyczność prosta (popytu na dobro 1 względem jego ceny)

(2.41)

ǫ

21

=

p

1

x

2

∂ϕ

2

∂p

1

(p, I);

elastyczność krzyżowa (popytu na dobro 1 względem ceny dobra 2)

(2.42)

Analogicznie definiujemy ǫ

22

i ǫ

12

. Czasem, dla odróżnienia od elastyczności dochodowych, które zdefiniujemy poniżej,

dodaje się indeks c pisząc ǫ

c

11

, ǫ

c

21

i td.

Jest to różniczkowy (infinitezymalny) odpowiednik stosunku względnego przyrostu popytu przy zmianie ceny p

1

o ∆

1

p, określonego jako stosunek przyrostu ∆(ϕ

1

) = ϕ

1

(p + ∆

1

p, I) − ϕ

1

(p, I) do wartości ϕ

1

(p, I) do względnego

przyrostu ceny ∆

1

p/p

1

, tj.

ϕ

1

(p + ∆

1

p, I) − ϕ

1

(p, I)

ϕ

1

(p, I)

:

∆

1

p

p

1

=

∆(ϕ

1

) p

1

∆

1

p ϕ

1

(p, I)

.

Jest to ważny wskaźnik przy analizie zmiany wydatków na skutek zmiany cen. Wydatki na zakup towaru 1 w opty-
malnym koszyku wynoszą p

1

ϕ

1

(p, I), a po zmianie ceny p na p + ∆

1

p (notacja ∆

1

p wskazuje, ze w wektorze cen p

zmienia się tylko pierwsza współrzędna) możemy je szacować za pomocą elastyczności funkcji popytu

∆(p

1

ϕ

1

(p, I))

∆

1

p

−→

∂(p

1

ϕ

1

)

∂p

1

= ϕ

1

+ p

1

∂ϕ

1

∂p

1

= ϕ

1

(1 + ǫ

11

).

A zatem wydatki na pierwszy towar:

• wzrosną ze wzrostem p

1

, gdy ǫ

11

> −1,

• pozostaną na tym samym poziomie, gdy ǫ

11

= −1

• zmaleją, gdy ǫ

11

< −1.

Podobną interpretację ma krzyżowa elastyczność funkcji popytu.

Rozważa się także elastyczność dochodową popytu, zdefiniowaną dla każdego z dóbr wzorem:

ε

d
i

(p, I) =

∂φ

i

(p, I)

∂I

I

φ

i

(p, I)

,

i = 1, . . . , n.

(2.43)

Interpretacja tej wielkości jest analogiczna do interpretacji elastyczności cenowej popytu (na i-te dobro).

Do uzupełnienia:

Klasyfikacja towarów — towary wyższego i niższego rzędu, dobra normalne i dobra Giffena

Klasyfikacja towarów ze względu na elastyczność cenową i dochodową popytu

Elastyczność

Towary normalne

ε

c

jj

< 0

Towary Giffena

ε

c

jj

> 0

Towary wyższego rzędu

ε

d

j

> 0

Towary niższego rzędu

ε

d

j

< 0

Teoria popytu konsumpcyjnego

18

2.5

Substytucja towarów

2.5.1

Dobra substytucyjne i dobra komplementarne

W ogólności terminem substytucja towarów określamy możliwość zastępowania w planie konsumpcji jednego z towarów
przez inny bez zmiany użyteczności tego planu. Podstawowym zagadnieniem przy badaniu tego zjawiska jest określenie,
kiedy i które towary podlegają substytucji i w jakim ilościowym stosunku taka substytucja może zachodzić. Podkreślmy,
że podstawą substytucji nie musi być wcale ten sam zakres zastosowania danych towarów (jak na przykład w przypadku
zastępowania margaryny przez masło), ale niezmienność użyteczności koszyka — pojęciem substytucji posłużymy
się opisując na przykład zachowanie studenta, który postanawia ograniczyć ilość jedzonych lodów, aby kupić nowy
podręcznik do ekonomii matematycznej.

Dla objaśnienia i korespondencji z wykładem mikroekonomii podamy parę przykładów stosując terminologię za-

czerpniętą z podręcznika mikroekonomii H. Variana.

Przykłady 2.5.1 (Substytuty doskonałe i towary doskonale komplementarne.)

(a) Wg. Variana dwa dobra są substytutami doskonałymi, jeśli konsument chce zastępować jedno dobro drugim wg. stałej
stopy, niezależnej od ilości towarów w koszyku. Odpowiada to żądaniu, aby ich funkcja użyteczności była funkcją postaci
u

(x

1

, x

2

) = ϕ(ax

1

+ bx

2

), gdzie a, b 6= 0 i ϕ jest rosnącą (i różniczkowalną) funkcją na R

+

. Mamy wówczas

S

12

=

∂u

∂x

1

(x) :

∂u

∂x

2

(x) =

a

b

(b) Dobra, które zawsze konsumowane są razem w stałej proporcji, Varian nazywa towarami doskonale komplementarnymi.
W takiej sytuacji substytucja nie jest możliwa — zwiększenie ilości tylko jednego z komplementarnych towarów zachowuje
niezmienioną użyteczność wyjściowej wiązki towarów, nie prowadząc do zmiany drugiego z nich. Tutaj jako funkcją użyteczności
można przyjąć

u

(x

1

, x

2

) = min



x

1

a

,

x

2

b



a, b >

0

dla której krzywe obojętności mają postać łamanej o dwóch ramionach równoległych do osi współrzędnych i wierzchołku w
punkcie (as, bs), gdzie s > 0. Na poniższym rysunku pokazane są krzywe obojętności dla przypadku a = 1, b = 2 wraz z prostą
łączącą wierzchołki krzywych.

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

Odpowiada to sytuacji, w której konsument wykorzystuje towary w proporcji dwóch jednostek drugiego towaru na jedną jed-
nostkę pierwszego i wszelkie zachwianie tej proporcji w wiązce towarów nie zmienia jej użyteczności.

Miarą ilościową możliwości substytucji towarów jest wspomniana powyżej krańcowa stopa substytucji jednego towaru
przez drugi, która wskazuje, jak zmiany ilości jednego towaru w koszyku „sterują” zmianami drugiego towaru dzięki
zachowaniu stałej użyteczności koszyka. Dla kompletności wykładu przytoczymy definicję tej wielkości in extenso.

Definicja 2.9 (Krańcowa stopa substytucji) Jeśli u jest zadana funkcją użyteczności i x ∈ X ustalonym planem
konsumpcji, to krańcową stopą substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w odniesieniu do planu x nazywa się wielkość

S

ij

=

∂u

∂x

i

(x) :

∂u

∂x

j

(x),

i 6= j.

(2.44)

Teoria popytu konsumpcyjnego

19

Elastycznością substytucji i-tego towaru przez j-ty towar względem planu x nazywa się

ǫ

ij

= S

ij

x

i

x

j

=

 ∂u

∂x

i

(x) :

∂u

∂x

j

(x)

 x

i

x

j

,

i 6= j.

(2.45)

2.5.2

Twierdzenie o substytucji dóbr w optymalnym koszyku

Rozważmy związaną z funkcją użyteczności powierzchnię obojętności postaci O(α) = { x ∈ X | u(x) = α }. Przy
wskazanych powyżej założeniach dla każdego wektora cen istnieje jedyny punkt na powierzchni obojętności, dla którego
koszt koszyka osiąga minimum. Obierzmy zatem dwa wektory cen p

0

6= p

∗

, a odpowiadające tym wektorom cen

koszyki o minimalnej cenie oznaczymy przez z

0

i z

∗

. Własność minimalności oznacza, że dla każdego z ∈ O(α) mamy

p

0

· z ­ p

0

· z

0

i analogicznie, p

∗

· z ­ p

∗

· z

∗

. Podstawiając do pierwszej z nich z = z

∗

, a do drugiej z = z

0

otrzymamy

p

0

· z

∗

­ p

0

· z

0

,

p

∗

· z

0

­ p

∗

· z

∗

Po przeniesieniu na jedną stronę i dodaniu stronami otrzymujemy następujące

Stwierdzenie 2.12 (Twierdzenie o substytucji) Przy wprowadzonych powyżej oznaczeniach spełniona jest nie-
równość

(p

0

− p

∗

)(z

0

− z

∗

) ¬ 0.

W szczególności, popyt na dany towar jest malejącą funkcją jego ceny

∂ϕ

∂p

i

(p, I) < 0,

i = 1, . . . , n.

Rzeczywiście, jeśli wektory cen różnią się tylko ceną jednego towaru i zachodzi p

0

1

> p

∗

1

, p

0

j

= p

∗

j

dla j > 1, to musi być

spełniona nierówność z

0

1

¬ z

∗

1

. Oznacza to, że wzrost (ogólniej, zmiana) ceny jednego towaru przy ustalonych cenach

pozostałych wymaga dla zachowania niezmienionej użyteczności koszyka zmniejszenia ilości tego towaru w koszyku
(ogólniej, zmiany ilości towaru w przeciwnym kierunku do zmiany ceny).

2.5.3

Substytucja — raz jeszcze

Rozważamy problem rozkładu towarów w różnych koszykach, w szczególności zagadnienie, jak (ew. czym) można
zrekompensować stratę (ogólniej — zmianę) ilości jednego z towarów w koszyku, aby zachować niezmieniony po-
ziom satysfakcji konsumenta. Odwołując się do pojęcia funkcji użyteczności możemy nasz problem wypowiedzieć jako
badanie zależności ilości jednego wybranego towaru od ilości innych towarów dla punktów powierzchni obojętności
określonej równaniem

O(α) = { x ∈ X | u(x) = α },

gdzie α ∈ R jest ustalone.

A zatem pytamy, jak związane są ilości dwóch wybranych towarów, powiedzmy i-tego i j-tego, (przy utrzymaniu
niezmiennych ilości pozostałych towarów) jeśli użyteczność koszyków pozostaje niezmieniona. Z powyższych rozważań
wynika następujący wniosek:

Jeśli krańcowa stopa użyteczności j-tego towaru względem planu konsumpcji x jest różna od zera,

∂u

∂x

j

(x) 6= 0, to dla

planów konsumpcji niewiele różniących się od planu x zmianę ilości tego towaru można kompensować zmianą ilości
każdego z pozostałych towarów bez zmiany użyteczności, w stosunku

1

S

ij

=

∂u

∂x

j

(x) :

∂u

∂x

i

(x)

jednostek i-tego towaru na jednostkę j-tego. Innymi słowy, dla takiego towaru substytutem jest każdy z pozostałych
towarów.

Zarys zagadnień teorii produkcji

20

Funkcje teorii popytu i ich liczbowe charakterystyki:

Funkcja użyteczności

u : R

n

+

∋ x = (x

1

, . . . , x

n

) 7→ u(x) ∈ R

Funkcja popytu

φ : R

n

+

× R

+

∋ (p, I) 7→ φ(p, I) = (φ

1

(p, I), . . . , φ

n

(p, I)) ∈ R

n

+

Funkcja pośredniej użyteczności ν = u ◦ φ; ν : R

n

+

× R

+

∋ (p, I) 7→ ν(p, I) ∈ R

Krańcowa użyteczność i-tego towaru w koszyku x

∂u(x)

∂x

i

Krańcowa stopa substytucji towaru i-tego przez j-ty

s

ij

(x) =

∂u(x)

∂x

i

:

∂u(x)

∂x

j

Elastyczność substytucji towaru i-tego przez j-ty

ε

ij

(x) = s

ij

(x)

x

i

x

j

Krańcowa użyteczność dochodu dla zadanych (p, I)

∂ν(p, I)

∂I

Popyt krańcowy na i-ty towar względem ceny j-tego

P

c

ij

(p, I) =

∂φ

i

(p, I)

∂p

j

Elastyczność popytu na i-ty towar względem ceny j-tego

ε

c
ij

(p, I) =

∂φ

i

(p, I)

∂p

j

p

j

φ

i

(p, I)

Popyt krańcowy na i-ty towar względem dochodu

P

d

i

(p, I) =

∂φ

i

(p, I)

∂I

Elastyczność popytu na i-ty towar względem dochodu

ε

d
i

(p, I) =

∂φ

i

(p, I)

∂I

I

φ

i

(p, I)