B. Oleś

Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

1

3.5. Względność równoczesności zdarzeń oddalonych



2

1

2

)

(

c

u

x

x







Zdarzenie 1

Zdarzenie 2

x

1

x

2

S

t

1

=

t

2

jednoczesne











2

1

'

'

t

t

t

S’

układ

promu

u

Zjawiska zachodzące jednocześnie (t

1

= t

2

) w

dwóch różnych miejscach (x

1



x

2

) w układzie S,

nie są jednoczesne (t

1

’



t

2’

) z punktu widzenia

obserwatora w układzie S’ poruszającego się

względem S.

B. Oleś

Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

2

Jednocześnie !

Jedno po drugim

3

Ze statku kosmicznego lecącego w kierunku
Marsa z szybkością u=0,99c wysłano impuls
świetlny. Jaką prędkość impulsu zarejestruje
obserwator na Marsie?

http://www.bisbos.com/rocketscience/spacecraft/nerva
/missionpics/3.jpg

.

1

2

x

x

x

v

v

v













c

u

u

c

c

c

c

c

c

,

c













99

,

1

99

,

1

99

,

0

1

99

0

2

x

v

Szybkość światła w układzie S’ statku wynosiła c,
i taki sam wynik dostaliśmy w układzie S Marsa
zastosowawszy transformacje Lorentza!

3.6.

Transformacja prędkości

B. Oleś

emii PK,

2009/10

Transformacja Galileusza dałaby wynik

sprzeczny z postulatem Einsteina, że c=const.

Dla składowej

v

x

wyrażenie otrzymane z transformacji Lorentza ma postać:

,

1

2

x

x

x

v

v

v











c

u

u

lub

Sprawdźmy, co otrzymamy jeśli zastosujmy transformację Lorentza :

B. Oleś

Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

4

0,90c

0,70c

przykład

Korzystamy ze wzoru na transformację prędkości:

Szybkość sondy 0,70c jest zmierzona w układzie

S’

statku kosmicznego,

czyli jest to v’

x

.

Szybkość

u

układu

S’

jest równa 0,90

c.

Mamy

wyznaczyć v

x

w układzie

S

Ziemi.

x

x

x

v

v

v













2

1

c

u

u

c

c

c

,

c

c

c

c

,

98

,

0

63

,

1

60

,

1

70

0

90

,

0

1

90

,

0

70

0

2













x

v

Statek kosmiczny oddalający się od Ziemi z prędkością 0,90

c

wysyła sondę w kierunku swojego ruchu, której prędkość względem

statku wynosi 0,70

c

. Jaka jest prędkość sondy względem Ziemi?

A jaki otrzymalibyśmy wynik, gdyby sonda została

wysłana w kierunku prostopadłym do ruchu statku?

B. Oleś

Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

5

Przekonaliśmy się, że wszystkie wzory
szczególnej teorii względności w granicy
małych prędkości przechodzą we wzory
klasyczne, a transformacja Lorentza w
transformację Galileusza.

Klasyczna dynamika oparta na zasadach Newtona jest

teorią przybliżoną, która daje dobre wyniki dla

szybkości małych w porównaniu z szybkością światła c.

Podsumowanie

Nasuwa się zatem wniosek, że

B. Oleś Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

6

4. Nieinercjalne układy odniesienia

Nieinercjalne układy odniesienia

to układy poruszające się z przys-

pieszeniem

względem pewnego referencyjnego układu inercjalnego S.

0

a



Każdy z was jechał kiedyś na karuzeli…
Jakie siły działały wówczas na was?

Siła ciężkości:

g

m

Q







Q



N



Siła sprężystości liny:

N



od

F



Siła odśrodkowa:

od

F



Dwie pierwsze są

miarą rzeczywistych

oddziaływań. Skąd się

bierze ta trzecia ?

od

F



Jest to

siła bezwładności,

pozorna siła nie będąca miarą

żadnego oddziaływania, którą uwzględniamy w układach

nieinercjalnych, aby stosować zasady dynamiki Newtona.

Na karuzeli poruszamy się

ruchem przyspieszonym.

B. Oleś

Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

7

Siły bezwładności mają przeciwne zwroty

do przyspieszenia układu:

0

a

m

F

b









Obserwator w układzie inercjalnym opisze ruch

zasadami dynamiki bez korzystania z sił

bezwładności.

Q



N



doś

F



,

N

Q

F

doś











,

doś

F

a

m







Zapamiętaj

:

o sile odśrodkowej mówimy tylko w

układzie nieinercjalnym, w inercjalnym mamy do

czynienia z siłą dośrodkową, która jest odpowiedzialna

za zakrzywienie toru ciała.

.

|

|

2

r

a

v





B. Oleś

Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

8

Jeszcze inne przykłady układów nieinercjalnych

Ruszająca/hamująca

winda

Startująca rakieta

Przyspieszający

bolid

B. Oleś

Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

9

MECHANIKA KLASYCZNA CD.

B. Oleś Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

10

Już wkrótce poznacie całki na analizie matematycznej.

Niech

f(x)

będzie funkcją określoną w pewnym przedziale I.

Określenie całki – konieczne uzupełnienie

Każdą funkcję F(x) różniczkowalną w przedziale I i spełniającą w

całym przedziale związek:

F’(x)=f(x)

nazywamy

funkcją pierwotną

funkcji f(x) w przedziale I.

Całka oznaczona funkcji f (x):

Dana funkcja f(x) ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych

różniących się stałą C:

)

(

]

)

(

[

x

f

C

x

F







Wyrażenie ogólne:

nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x).







x

x

f

C

x

F

d

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

a

F

b

F

dx

x

f

b

a







B. Oleś

Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

11

.

,

)

(

)

(

const

b

dx

x

f

b

dx

x

f

b

























,

)

(

)

(

)

(

)

(

dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

,

1

1

1

C

x

n

dx

x

n

n











,

cos

1

sin

C

ax

a

dx

ax









C

ax

a

dx

ax







sin

1

cos

,

C

x

dx







,

2

1

2

C

x

dx

x







,

1

2

C

x

x

dx









W trakcie wykładu możesz spotkać się z następującymi całkami:



f(x)

C

x

F

x

x

f







)

(

d

)

(

Szukamy takiej funkcji

F

(

x

),

żeby jej pochodna

)

(

)

(

x

f

x

F





B. Oleś

Wykład 4

Wydz.Chemii PK, 2009/10

12

5. Praca

r

F

W











Wzór na pracę wykonaną przez

stałą siłę przy przemieszczeniu

ciała:

F



r





jest iloczynem skalarnym:

,

cos

|

|

|

|



r

F

W











gdzie





kąt jaki tworzą wektory i .

F



r





F



r





Z powyższego wynika, że tylko składowa

siły w kierunku przemieszczenia wykonuje

pracę.

Praca może być dodatnia lub ujemna –

zależnie od wartości kąta



.

Praca dodatnia:

r



d

F



Praca ujemna:

r



d

F



r





r

r









r



A

B

F



s

F





B. Oleś

Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

13

Jeśli mamy do czynienia ze zmienną siłą, pracę możemy obliczać dzieląc całkowite
przemieszczenie na bardzo małe, elementarne przemieszczenia , aby dla
każdego z nich można było uważać siłę za stałą. Wówczas całkowita praca równa jest
sumie prac elementarnych:

.

r

d

F

dW









Przy bardzo małych elementarnych przemieszczeniach ,
gdzie

s

d

r

d



|

|



jest elementem drogi.

s

d

r





r

d



,

ds

F

r

d

F

dW

s











Widzimy zatem, że praca elementarna dW siły na elementarnym

przemieszczeniu jest iloczynem stycznej składowej siły F

s

i

elementarnej drogi ds.

F



r

d



Wówczas

.

cos

|

|



F

F

s





gdzie

B. Oleś Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

s

F

s

A

B

ds

F

dW

s



Praca w ogólności zależy od kształtu drogi !

Geometryczna interpretacja pracy:

praca jest równa polu powierzchni pod krzywą F

s

(s).

14

Aby obliczyć pracę na przemieszczeniu skończonym, pomiędzy

punktami A i B trzeba zsumować wszystkie prace elementarne, czyli

policzyć całkę wzdłuż toru AB (na drodze s od A do B):











B

A

s

B

A

AB

ds

F

r

d

F

W





B. Oleś

Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

15











B

A

k

B

A

k

AB

ds

F

r

d

F

W



cos





Jaką pracę wykona koń na drodze s

AB

ciągnąc wóz stałą siłą ?

k

F



Zauważmy, że dyszel, a tym samym

wektor siły, nachylony jest pod kątem



do przemieszczenia .

r

d



s

F

s

Pracę wykonuje tylko składowa

.

cos



k

S

F

F



Praca obliczona graficznie będzie

równa polu :

.

cos

AB

k

AB

S

AB

s

F

s

F

W











A

B

s

AB

AB

W

Obliczmy teraz pracę ze wzoru :

AB

k

B

A

k

s

F

ds

F













cos

cos

Przykład 1: praca stałej siły

Praca konia zależy od długości drogi.

B. Oleś

Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

16

.

)

(

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

B

A

A

B

x

x

B

A

AB

kx

kx

kx

kx

dx

kx

r

d

F

W

B

A





























Praca siły sprężystej na drodze

AB

(rozciąganie sprężyny):

Przykład 2: praca siły sprężystej

r



r

k

F









A

B

A jaką pracę wykona siła przyłożona z zewnątrz, która ją rozciąga?

Teraz siła będzie miała zwrot zgodny z wektorem przemieszczenia:

.

2

2

1

2

2

1

A

B

x

x

B

A

z

AB

kx

kx

dx

kx

r

d

F

W

B

A



















r

k

F









,

z

F

F









r

k

F

z









B. Oleś

Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

17

x

F

B

x

k



A

B

x

0

0









.

)

(

2

2

2

1

2

1

B

A

A

B

B

A

AB

x

x

k

x

x

x

k

x

k

W















Pracę siły sprężystej wykonaną podczas rozciągania

sprężyny możemy również obliczyć metodą graficzną

:

Na odmianę policzmy pracę siły sprężystej przy kurczeniu sprężyny

od

B

do

A

:

.

2

2

1

2

2

1

A

B

x

x

A

B

BA

kx

kx

dx

x

k

r

d

F

W

A

B























Praca siły sprężystej może być dodatnia

W

BA

,

W

CA

lub ujemna

W

AB

,

W

AC

.

A

x

k



x

k

F





Wartość bezwzględna pracy jest równa
polu trapezu , a znak ujemny, bo zwrot
siły jest przeciwny do zwrotu :

r

d



B. Oleś Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

18

Przykład 3: praca siły grawitacji

r

r

Mm

G

F

g











3

















r

d

r

r

Mm

G

r

d

F

W

B

A

B

A

g

AB









3

Praca wykonana przez siłę grawitacji:























A

B

r

r

r

r

GMm

r

dr

GMm

B

A

1

1

2

Praca wykonana przez siłę zewnętrzną

przy wyniesieniu satelity na orbitę:

















r

d

r

r

Mm

G

r

d

F

W

B

A

B

A

z

AB









3





















B

A

r

r

r

r

GMm

r

dr

GMm

B

A

1

1

2

B. Oleś

Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

19

4. Siły zachowawcze

Oddziaływania przenoszą się w przestrzeni
za pośrednictwem

pól fizycznych.

Źródłami

pól są cząstki o odpowiednich

własnościach, np. ładunki elektryczne są

źródłami pól elektrycznych, masy

grawitacyjne – pól grawitacyjnych.

Obecność źródła tak zmienia stan

przestrzeni, że gdy umieścimy w niej

cząstkę o odpowiedniej własności, to

będzie działała na nią siła.

Pole magnetyczne wokół

magnesu sztabkowego.

Pole grawitacyjne Księżyca.

B. Oleś Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

20

Jeśli praca wykonana przez siły pola przy przemieszczaniu ciała zależy

tylko od początkowego i końcowego położenia ciała, a nie zależy od

drogi, po której ciało się poruszało, to

pole nazywamy zachowawczym.

O siłach takiego pola mówimy, że są

zachowawcze

.

Polami zachowawczymi są wszystkie

pola

centralne

, tj. pola, w których kierunek działania

siły przechodzi przez nieruchome centrum, a jej

wartość zależy od odległości r od tego centrum:

r

r

f

F





)

(



,

ˆ

2

r

r

Qq

k

F





r



g

F



Pole
grawitacyjne

r

r

f

F





)

(



Przykładem pól centralnych (a tym samym zachowawczych)

są: pole grawitacyjne, pole kulombowskie.

Pole
elektrostatyczne

r

r

Mm

G

F

g

ˆ

2









B. Oleś Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

21

g

m

F









A

H



B



A

mgH

r

g

m

W

B

A

AB













d



B

W przypadku

sił zachowawczych

kształt toru, po którym porusza się

cząstka nie ma wpływu na wielkość

wykonanej pracy.

Praca wykonana przez siłę zachowawczą

po zamkniętej pętli jest równa zeru.

Praca jaką wykona siła ciężkości podczas

spadku myszy nie zależy od drogi jaką

przebędzie.

s

2

s

1

A





B

0











ds

F

W

W

W

s

s

BA

AB

B. Oleś

Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

22

2

v

b

F





v

b

F





Siły oporu lepkiego, siła tarcia

kinetycznego

nie są siłami

zachowawczymi

.

Praca tych sił zależy od drogi.

N

f

F



B. Oleś

Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

23

6. Energia kinetyczna

Zmiana prędkości ciała wymaga wykonania

pracy.











r

t

m

r

F

W









d

d

d

d

d

v

Zapiszmy pracę elementarną i sprowadź-

my ją do postaci:

.

v

v

v

v









d

d

d

d









m

t

t

m

2

2

d

d

2

2

A

B

B

A

B

A

AB

m

m

m

r

F

W

v

v

v

v

























Obliczmy teraz pracę na skończonej drodze od A do B:

Wielkość występującą po prawej stronie wyrażenia daną wzorem:

nazywamy

energią kinetyczną

ciała.

2

2

v

m

E

k



B. Oleś

Wykład 4 Wydz.Chemii PK, 2009/10

24

Energia kinetyczna jest zawsze dodatnia

lub równa zeru (ciała w spoczynku).

Zmiana energii kinetycznej wiąże się z pracą sił,

które rozpędzają (W>0) lub hamują (W<0) ciało.

Lądowanie promu

kosmicznego – jego energia

kinetyczna maleje.

Przyspieszający pojazd

kosmiczny – energia

kinetyczna rośnie.

Energia kinetyczna jest tylko funkcją

prędkości ciała.

2

2

v

m

E

k



Położenie i prędkość określają stan
mechaniczny ciała – są to parametry stanu.

Energia kinetyczna zależy tylko od
prędkości, czyli jest funkcją stanu.