Wzór Maxwella-Mohra

Wyznaczanie przemieszcze

ń

Wzór Maxwella-Mohra:

(

)

∫

∫

+

−

+

o

t

g

d

t

dx

t

N

dx

h

t

t

M

α

α

+

+

+

=

⋅

−

⋅

+

⋅

∫

∫

∫

∑

∑

l

l

l

j

j

j

j

j

j

j

dx

AG

T

T

dx

AE

N

N

dx

JE

M

M

k

R

R

R

κ

∆

δ

1

δ

P

1

=

i

P

Belka z rzeczywistym
obciążeniem

Belka z jednostkowym wirtualnym obciążeniem w
punkcie, w którym wyznaczamy przemieszczenie

∫

∫

l

l

h

q

Wzór służy do wyznaczenia przemieszczenia od obciążenia rzeczywistego. W
równaniu występują wielkości, wywołane obciążeniem rzeczywistym i
jednostkowym

obciążeniem

wirtualnym,

działającym

na

kierunku

wyznaczanego przemieszczenia.

Wyznaczanie przemieszcze

ń

Wzór Maxwella-Mohra:

(

)

−

t

t

M

α

+

+

+

=

⋅

−

⋅

+

⋅

∫

∫

∫

∑

∑

l

l

l

j

j

j

j

j

j

j

dx

AG

T

T

dx

AE

N

N

dx

JE

M

M

k

R

R

R

κ

∆

δ

1

(

)

∫

∫

+

−

+

l

o

t

l

g

d

t

dx

t

N

dx

h

t

t

M

α

α

N – siła normalna, T – siła tnąca, M – moment zginający , R – reakcje, A – pole
przekroju, J – moment bezwładności przekroju względem osi prostopadłej do
płaszczyzny zginania, E – moduł Younga (odkształcenia podłużnego), G – moduł
Kirchoffa (odkształcenia postaciowego),

α

t

– współczynnik rozszerzalności cieplnej, h –

wysokość przekroju,

∆

– obciążenia geometryczne, t

o

– temperatura w osi, t

d

i t

g

–

temperatura górna i dolna

Wielkości z nadkreśleniem są wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym

Twierdzenia wykorzystywane we
wzorze Maxwella-Mohra

Twierdzenie Maxwella o wzajemności przemieszczeń: Jeżeli na konstrukcję działają dwie
niezależne

uogólnione

siły

jednostkowe

P

i

=1

i

P

j

=1,

wywołujące

odpowiednio

przemieszczenia w

ji

(przemieszczenie w punkcie j na kierunku siły P

j

wywołane siłą P

i

) i w

ij

(przemieszczenie w punkcie i na kierunku siły P

i

wywołane siłą P

j

), to te przemieszczenia są

sobie równe.

P w = P w oraz P =1 i P =1 ⇒ w = w

P

i

w

ij

= P

j

w

ji

oraz P

i

=1 i P

j

=1 ⇒ w

ij

= w

ji

P

i

w

ii

w

ji

P

j

P

i

=1

w

ii

w

ji

P

j

=1

w

ij

w

jj

w

ij

w

jj

Ugięcie belki od siły P

i

=1

Ugięcie belki od siły P

j

=1

Praca siły P

j

Praca siły P

i

Twierdzenia wykorzystywane we
wzorze Maxwella-Mohra

Twierdzenie Maxwella o wzajemności przemieszczeń

i

j

j

i

u

u

⋅

=

⋅

1

1

P

j

=1

Belka z rzeczywistym
obciążeniem

Belka z
wirtualnym
obciążeniem

1

=

i

P

u

i

u

j

i

u

j

u

u

i

P

j

=1

u

j

Praca obciążenia wirtualnego na
rzeczywistym przemieszczeniu

i

u

1

=

i

P

j

u

j

i

u

⋅

1

i

j

u

⋅

1

=

Praca obciążenia rzeczywistego
na wirtualnym przemieszczeniu

Twierdzenia wykorzystywane we
wzorze Maxwella-Mohra

Zasada prac wirtualnych dla ciał odkształcalnych:
Suma prac sił zewnętrznych P

ik

na przemieszczeniach wirtualnych

i

naprężeń

rzeczywistych

σσσσ

i

na

odkształceniach

wirtualnych

jest równa zero.

P

i

ik

u

i

ε

∫

∫

∑

+

=

⋅

V

j

i

V

j

i

k

ik

ik

dV

dV

γ

τ

ε

σ

u

P

u

i

i

u

0

T

=

−

⋅

∫

∑

V

j

i

k

ik

ik

dV

ε

σ

u

P

czyli

∫

∑

=

⋅

V

j

i

k

ik

ik

dV

ε

σ

u

P

T

Dla układów prętowych

Twierdzenia wykorzystywane we
wzorze Maxwella-Mohra

Twierdzenie Maxwella o wzajemności przemieszczeń

i

j

j

i

u

u

⋅

=

⋅

1

1

∫

∫

+

=

⋅

=

⋅

j

i

j

i

j

i

i

j

dV

dV

u

u

γ

τ

ε

σ

1

1

Zasada prac wirtualnych

∫

∫

V

V

∫

∫

+

=

⋅

V

j

i

V

j

i

j

i

dV

dV

u

γ

τ

ε

σ

1

∫

∫

+

=

⋅

V

j

i

V

j

i

j

i

dV

dV

u

γ

τ

ε

σ

1

lub

u

i

P

j

=1

u

j

Belka z rzeczywistym
obciążeniem

Belka z
wirtualnym
obciążeniem

i

u

1

=

i

P

j

u

Twierdzenia wykorzystywane we
wzorze Maxwella-Mohra

Praca siły wirtualnej na przemieszczeniu rzeczywistym jest równa

pracy naprężeń na odkształceniach wirtualnych

lub praca siły wirtualnej na przemieszczeniu rzeczywistym jest równa pracy
naprężeń wirtualnych na odkształceniach rzeczywistych

∫

∫

+

=

⋅

V

j

i

V

j

i

j

i

dV

dV

u

γ

τ

ε

σ

1

naprężeń wirtualnych na odkształceniach rzeczywistych

∫

∫

+

=

⋅

V

j

i

V

j

i

j

i

dV

dV

u

γ

τ

ε

σ

1

u

i

P

j

=1

u

j

Belka z rzeczywistym
obciążeniem

Belka z wirtualnym
obciążeniem

γ

ε

τ

σ

,

,

,

σ, τ, ε, γ −

naprężenia normalne i styczne oraz

odkształcenia

podłużne

i

postaciowe

od

obciążenia rzeczywistego

- naprężenia normalne i styczne

oraz odkształcenia podłużne i postaciowe od
obciążenia wirtualnego

i

u

1

=

i

P

j

u

Twierdzenia wykorzystywane we
wzorze Maxwella-Mohra

Wzór Maxwella-Mohra

(

)

∫

∫

+

−

+

l

o

t

l

g

d

t

dx

t

N

dx

h

t

t

M

α

α

+

+

+

=

⋅

+

⋅

+

⋅

∫

∫

∫

∑

∑

l

l

l

j

j

j

j

j

j

j

dx

AG

T

T

dx

AE

N

N

dx

JE

M

M

k

R

R

R

κ

∆

δ

1

wynika

z

twierdzenia,

ż

e

praca

siły

wirtualnej

na

przemieszczeniu

rzeczywistym jest równa pracy naprężeń na odkształceniach wirtualnych lub
praca siły wirtualnej na przemieszczeniu rzeczywistym jest równa pracy
naprężeń wirtualnych na odkształceniach rzeczywistych

∫

∫

+

=

⋅

V

j

i

V

j

i

j

i

dV

dV

u

γ

τ

ε

σ

1

∫

∫

+

=

⋅

V

j

i

V

j

i

j

i

dV

dV

u

γ

τ

ε

σ

1

lub

Wyprowadzenie wzoru Maxwella-Mohra wymaga znajomości
zależności pomiędzy naprężeniami i odkształceniami a siłami
wewnętrznymi

Naprężenia i odkształcenia a siły

wewnętrzne

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

∫

∫

+

=

⋅

V

j

i

V

j

i

j

i

dV

dV

u

γ

τ

ε

σ

1

Naprężenia od zewnętrznych sił rzeczywistych:

• normalne od momentu zginającego

w

z

W

W

=

P

α

α

α−α

z

( )

J

z

M

z

α

σ

=

M – moment zginający, A – pole przekroju, J – moment bezwładności przekroju
względem osi prostopadłej do płaszczyzny zginania, b – szerokość przekroju

z

A, J

b

h

z

( )

∫

=

A

zdA

z

M

σ

α

σ

(z)

=

Μ

α

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

∫

∫

+

=

⋅

V

j

i

V

j

i

j

i

dV

dV

u

γ

τ

ε

σ

1

Naprężenia od zewnętrznych sił rzeczywistych:

•

normalne od siły normalnej

w

z

W

W

=

P

α

α

α−α

z

A

N

α

σ

=

N – siła normalna, A – pole przekroju, b – szerokość przekroju

z

A, J

b

h

α−α

( )

∫

=

A

dA

z

N

σ

α

z

σ

(z)

=

Ν

α

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

∫

∫

+

=

⋅

V

j

i

V

j

i

j

i

dV

dV

u

γ

τ

ε

σ

1

Naprężenia od zewnętrznych sił rzeczywistych:

•styczne od siły tnącej przy zginaniu

w

z

W

W

=

P

α

α

α−α

z

τ

(z)

( )

( )

bJ

z

S

T

z

ˆ

α

τ

=

M – moment zginający, A – pole przekroju, J – moment bezwładności przekroju
względem osi prostopadłej do płaszczyzny zginania, b – szerokość przekroju,

moment statyczny od krawędzi przekroju do współrzędnej z

( )

z

Sˆ

z

A, J

( )

z

Sˆ

b

h

α

=

Τ

α

( )

∫

=

A

dA

z

T

τ

α

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

∫

∫

+

=

⋅

V

j

i

V

j

i

j

i

dV

dV

u

γ

τ

ε

σ

1

Naprężenia

od

zewnętrznych

sił

rzeczywistych:

• normalne od momentu zginającego

• normalne od siły normalnej

( )

J

z

M

z

α

σ

=

N

α

σ

=

z

A, J

h

w

z

W

W

=

α−α

• normalne od siły normalnej

• styczne od siły tnącej

A

N

α

σ

=

( )

( )

bJ

z

S

T

z

ˆ

α

τ

=

N – siła normalna, T – siła tnąca, M – moment zginający, A – pole przekroju, J – moment
bezwładności przekroju względem osi prostopadłej do płaszczyzny zginania, b –
szerokość przekroju,

moment statyczny od krawędzi przekroju do współrzędnej z

( )

z

Sˆ

( )

z

Sˆ

b

u

i

P

u

j

α

α

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

∫

∫

+

=

⋅

V

j

i

V

j

i

j

i

dV

dV

u

γ

τ

ε

σ

1

Naprężenia od zewnętrznych sił wirtualnych:

• normalne od momentu zginającego

• normalne od siły normalnej

( )

J

z

M

z

α

σ

=

N

α

σ

=

z

A, J

h

w

z

W

W

=

α−α

• styczne od siły tnącej

A

α

σ

=

( )

( )

bJ

z

S

T

z

ˆ

α

τ

=

( )

z

Sˆ

b

i

u

1

=

i

P

j

u

α

α

N – siła normalna, T – siła tnąca, M – moment zginający, A – pole przekroju, J – moment
bezwładności przekroju względem osi prostopadłej do płaszczyzny zginania, b –
szerokość przekroju,

moment statyczny od krawędzi przekroju do współrzędnej z

Odkształcenia od zewnętrznych sił rzeczywistych:
• odkształcenie liniowe od obciążeń statycznych

• odkształcenie postaciowe od obciążeń statycznych

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

( ) ( )

EA

N

EJ

Mz

E

z

z

+

=

=

σ

ε

w

z

W

W

=

∫

∫

+

=

⋅

V

j

i

V

j

i

j

i

dV

dV

u

γ

τ

ε

σ

1

• odkształcenie postaciowe od obciążeń statycznych

• od temperatury w osi

• od różnicy temperatur

EA

EJ

E

t

o

t

α

ε

=

( ) ( )

(

)

h

t

t

z

z

t

z

t

g

d

t

α

α

ε

−

=

=

( ) ( )

( )

bJG

z

S

T

G

z

z

ˆ

=

=

τ

γ

t

o

t

g

t

d

z

Odkształcenia od zewnętrznych sił wirtualnych:
• odkształcenie liniowe od obciążeń wirtualnych

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

∫

∫

+

=

⋅

V

j

i

V

j

i

j

i

dV

dV

u

γ

τ

ε

σ

1

( )

( )

EA

N

EJ

z

M

E

z

z

+

=

=

σ

ε

w

z

W

W

=

• odkształcenie postaciowe od obciążeń
wirtualnych

( )

EA

EJ

E

z

+

=

=

ε

( ) ( )

( )

bJG

z

S

T

G

z

z

ˆ

=

=

τ

γ

z

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

1

δ=?

P

t

g

t

d

∆

Układ z obciążeniem:

∆

– obciążenie geometryczne

t

g

, t

d

– obciążenie temperaturą

P – obciążenie statyczne

R

Stan wirtualny

Praca sił wirtualnych na przemieszczeniach rzeczywistych
równa jest pracy naprężeń rzeczywistych na odkształceniach
wirtualnych:

w

z

W

W

=

∫

∫

∫

∫

+

=

+

=

−

+

⋅

V

j

i

V

j

i

V

j

i

V

j

i

j

i

dV

dV

dV

dV

k

R

R

R

u

γ

τ

ε

σ

γ

τ

ε

σ

∆

1

Podpora spr

ęż

ysta

Podpora sprężysta – podparcie sprężyste, na którym może
nastąpić osiadanie. Wektor osiadania ma kierunek reakcji R, a
zwrot tego wektora jest przeciwny do reakcji. Wartość osiadania
wynosi

∆

=Rd, gdzie d jest podatnością lub

∆=

R/k, gdzie k jest

sztywnością.

sztywnością.

P

∆

R

d

k

1

=

Podpora spr

ęż

ysta

Podpora sprężysta – podparcie sprężyste, na którym może
nastąpić osiadanie. Podporę mogą charakteryzować:
d [m/kN] – podatność, która mówi o ile osiądzie podpora, jeżeli
reakcja R=1kN
k [kN/m] – sztywność, która mówi ile wynosi siła, która

k [kN/m] – sztywność, która mówi ile wynosi siła, która
spowoduje, że osiadanie wyniesie

∆

=1m

P

∆

R

k

R

Rd

=

=

∆

Osiadanie wynosi co do wartości

a wektorowo

k

d

R

R

∆

−

=

−

=

Rodzaje podpór spr

ęż

ystych

Podpora sprężysta z osiadaniem – podpora przesuwna, możliwość
osiadania wzdłuż reakcji

Podpora sprężysta z obrotem – niepełna blokada obrotu

Podporę mogą charakteryzować:
d [rad/kNm] – podatność, która mówi o ile osiądzie podpora, jeżeli reakcja M=1kNm
k [kNm/rad] – sztywność , która mówi ile wynosi siła, która spowoduje, że osiadanie wyniesie

ϕ

=1

M

Rodzaje podpór spr

ęż

ystych

Podpora sprężysta z obrotem – niepełna blokada obrotu

M

ϕ

Podporę mogą charakteryzować:
d [rad/kNm] – podatność, która mówi o ile osiądzie podpora, jeżeli reakcja M=1
k [kNm/rad] – sztywność , która mówi ile wynosi siła, która spowoduje, że osiadanie wyniesie

ϕ

=1

M

k

M

Md

−

=

−

=

ϕ

Obrót wynosi co do wartości

a minus we wzorze oznacza, że obrót będzie miał zwrot przeciwny do reakcji M

P

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

δ

Układ obciążony
rzeczywistym obciążeniem z

w

z

W

W

=

Wyznaczenie części wzoru dla układu z podporą sprężystą
od obciążenia statycznego

P

∆

1

δ

R

rzeczywistym obciążeniem z
osiadaniem podpory

Stan wirtualny

Praca sił wirtualnych na przemieszczeniach rzeczywistych

k

R

R

R

W

z

⋅

−

δ

⋅

=

∆

⋅

+

δ

⋅

=

1

1

R

k

R

Rd

−

=

−

=

∆

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

δ

∆

Układ obciążony
rzeczywistym obciążeniem

w

z

W

W

=

Wyznaczenie części wzoru od obciążenia geometrycznego

1

δ

R

rzeczywistym obciążeniem
geometrycznym

Stan wirtualny

Praca sił wirtualnych na przemieszczeniach rzeczywistych

∆

⋅

+

⋅

=

R

W

z

δ

1

∑

∆

⋅

+

⋅

=

j

j

j

R

W

z

δ

1

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

1

δ=?

P

Układ z rzeczywistym
obciążeniem statycznym

Stan wirtualny

w

z

W

W

=

τ

σ

,

γ

ε

,

R

Stan wirtualny

Praca

sił

wewnętrznych

wywołanych

obciążeniami

rzeczywistymi na odksztaceniach wirtualnych:

( ) ( )

∫

∫

∫

+

+

=

V

V

V

wp

dV

bJG

z

S

T

bJ

z

S

T

dV

EA

N

A

N

dV

JE

z

M

J

Mz

W

ˆ

ˆ

∫

∫

+

=

V

j

i

V

j

i

wp

dV

dV

W

γ

τ

ε

σ

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

Praca

sił

wewnętrznych

wywołanych

obciążeniami

rzeczywistymi na odkształceniach wirtualnych:

w

z

W

W

=

∫

∫

+

=

V

j

i

V

j

i

wp

dV

dV

W

γ

τ

ε

σ

- naprężenia rzeczywiste

- odkształcenia wirtualne

( ) ( )

∫

∫

∫

+

+

=

V

V

V

wp

dV

bJG

z

S

T

bJ

z

S

T

dV

EA

N

A

N

dV

JE

z

M

J

Mz

W

ˆ

ˆ

( )

J

Mz

z

=

σ

A

N

=

σ

( )

( )

bJ

z

S

T

z

ˆ

=

τ

( )

( )

EA

N

EJ

z

M

E

z

z

+

=

=

σ

ε

( ) ( )

( )

bJG

z

S

T

G

z

z

ˆ

=

=

τ

γ

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

Praca

sił

wewnętrznych

wywołanych

obciążeniami

wirtualnymi na przemieszczeniach od obciążeń statycznych:

( ) ( )

=

+

+

=

∫

∫

∫

V

V

V

wp

dV

bJG

z

S

T

bJ

z

S

T

dV

EA

N

A

N

dV

JE

Mz

J

z

M

W

ˆ

ˆ

∫

∫

∫

V

V

V

bJG

bJ

EA

A

JE

J

( )

( )

=

+

+

=

∫

∫

∫

V

V

V

dV

G

J

b

z

S

T

T

dV

EA

N

N

dV

z

E

J

M

M

2

2

2

2

2

2

ˆ

( )

( )

=

+

+

=

∫∫

∫∫

∫∫

l

A

l

A

l

A

dAdx

G

J

b

z

S

T

T

dAdx

E

A

N

N

dAdx

z

E

J

M

M

2

2

2

2

2

2

ˆ

( )

( )

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+

+

=

A

l

l

A

l

A

dx

AG

T

T

dA

J

b

z

S

A

dx

E

A

N

N

dA

dx

E

J

M

M

dA

z

2

2

2

2

2

2

ˆ

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

Praca

sił

wewnętrznych

wywołanych

obciążeniami

wirtualnymi na przemieszczeniach od obciążeń statycznych:

( )

( )

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+

+

=

dx

T

T

dA

z

S

A

dx

N

N

dA

dx

M

M

dA

z

W

2

2

ˆ

( )

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+

+

=

A

l

l

A

l

A

wp

dx

AG

dA

J

b

dx

E

A

dA

dx

E

J

dA

z

W

2

2

2

2

2

∫

=

A

dA

z

J

2

∫

=

A

dA

A

∫

=

A

dA

b

S

J

A

2

2

2

ˆ

κ

Ponieważ

to otrzymujemy

∫

∫

∫

+

+

=

l

l

l

wp

dx

AG

T

T

dx

AE

N

N

dx

JE

M

M

W

κ

z

A, J

( )

z

Sˆ

b

h

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

Praca

sił

wewnętrznych

wywołanych

obciążeniami

wirtualnymi na przemieszczeniach od obciążeń statycznych:

∫

∫

∫

∫

∫

+

+

=

l

l

A

l

A

wp

dx

AG

T

T

dx

E

A

N

N

dA

dx

E

J

M

M

dA

z

W

κ

2

2

2

l

l

A

l

A

AG

E

A

E

J

∫

=

A

dA

b

S

J

A

2

2

2

ˆ

κ

gdzie stała

zależy od kształtu np.:

z

A, J

( )

z

Sˆ

b

h

•

prostokąt

κ

=1.2;

• koło

κ

=32/27

• dwuteownik

κ

= ~A/A

s

; A- pole całkowite przekroju; A- pole

ś

rodnika.

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

1

δ=?

t

g

t

d

Układ z obciążeniem
temperaturą

Stan wirtualny

w

z

W

W

=

R

Stan wirtualny

Praca

sił

wewnętrznych

wywołanych

obciążeniami

wirtualnymi na przemieszczeniach od temperatury:

∫

=

V

j

i

wt

dV

W

ε

σ

(

)

∫

∫

+

−

=

V

o

t

V

g

d

t

wt

dV

t

A

N

dV

h

t

t

z

J

z

M

W

α

α

( )

J

z

M

z

=

σ

A

N

=

σ

t

o

t

α

ε

=

( ) ( )

(

)

h

t

t

z

z

t

z

t

g

d

t

α

α

ε

−

=

=

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

Praca

sił

wewnętrznych

wywołanych

obciążeniami

wirtualnymi na przemieszczeniach od temperatury:

w

z

W

W

=

∫

=

V

j

i

wt

dV

W

ε

σ

Naprężenia od obciążeń wirtualnych

( )

z

M

z

=

σ

N

=

σ

(

)

=

+

−

=

∫∫

∫∫

l

A

o

t

l

A

g

d

t

dxdA

t

A

N

dxdA

z

Jh

t

t

M

α

α

2

t

o

t

α

ε

=

( ) ( )

(

)

h

t

t

z

z

t

z

t

g

d

t

α

α

ε

−

=

=

=

(

)

=

+

−

=

∫

∫

V

o

t

V

g

d

t

wt

dV

t

A

N

dV

h

t

t

z

J

z

M

W

α

α

Naprężenia od obciążeń wirtualnych

Odkształcenia od temperatury

( )

J

z

=

σ

A

=

σ

t

o

t

g

t

d

Spody na belce

h

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

Praca

sił

wewnętrznych

wywołanych

obciążeniami

wirtualnymi na przemieszczeniach od temperatury:

w

z

W

W

=

(

)

=

+

−

=

∫∫

∫∫

o

t

g

d

t

wt

dxdA

t

N

dxdA

z

t

t

M

W

α

α

2

=

+

=

∫∫

∫∫

l

A

o

t

l

A

wt

dxdA

t

A

dxdA

z

Jh

W

α

(

)

∫

∫

∫

∫

+

−

=

l

o

t

A

l

g

d

t

A

dx

A

t

N

dA

dx

Jh

t

t

M

dA

z

α

α

2

(

)

∫

∫

+

−

=

l

o

t

l

g

d

t

dx

t

N

dx

h

t

t

M

α

α

t

o

t

g

t

d

Spody na belce

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

Praca wirtualnych sił zewnętrznych na przemieszczeniach
rzeczywistych

w

z

W

W

=

k

R

R

R

W

j

j

j

z

−

⋅

+

⋅

=

∑

∆

δ

1

Praca

sił

wewnętrznych,

wywołanych

obciążeniem

(

)

∫

∫

+

−

=

l

o

t

l

g

d

t

wt

dx

t

N

dx

h

t

t

M

W

α

α

∫

∫

∫

+

+

=

l

l

l

wp

dx

AG

T

T

dx

AE

N

N

dx

JE

M

M

W

κ

wirtualnym, na odkształceniach od obciążenia rzeczywistego

Praca

sił

wewnętrznych,

wywołanych

obciążeniem

wirtualnym, na odkształceniach od temperatury

Wzór Maxwella-Mohra -
wyprowadzenie

Ponieważ

praca

wirtualnych

sił

zewnętrznych

na

przemieszczeniach rzeczywistych równa się pracy naprężeń
wirtualnych na odkształceniach rzeczywistych:

w

z

W

W

=

wt

wp

W

W

W

z

+

=

(

)

∫

∫

+

−

+

l

o

t

l

g

d

t

dx

t

N

dx

h

t

t

M

α

α

wt

wp

W

W

W

z

+

=

+

+

+

=

−

⋅

+

⋅

∫

∫

∫

∑

l

l

l

j

j

j

dx

AG

T

T

dx

AE

N

N

dx

JE

M

M

k

R

R

R

κ

∆

δ

1

to otrzymujemy wzór Maxwella Mohra w następującej formie:

Wzór Maxwella-Mohra
dla ram płaskich

(

)

∫

∫

∫

∑

α

+

−

α

+

=

−

∆

⋅

+

δ

⋅

o

t

g

d

t

j

j

dx

t

N

dx

t

t

M

dx

M

M

R

R

R

1

W układach ramowych uwzględniamy wpływ momentów
zginających oraz obu rodzajów temperatury:

∫

∫

∫

∑

α

+

+

=

−

∆

⋅

+

δ

⋅

l

o

t

l

l

j

j

j

dx

t

N

dx

h

dx

JE

k

R

1

1

P

t

g

t

d

∆

q

Rama z obciążeniem

Rama z jednostkowym obciążeniem wirtualnym
do obliczeń y

A

A

k

Wzór Maxwella-Mohra
dla ram przestrzennych

(

)

(

)

∫

∫

∫

∑

−

α

−

α

+

+

+

=

−

∆

⋅

+

δ

⋅

l

l

l

j

j

j

t

t

M

t

t

M

dx

E

J

m

m

dx

E

J

M

M

dx

E

J

M

M

k

R

R

R

2

1

1

3

3

3

2

2

2

1

W układach ramowych uwzględniamy wpływ momentów zginających w dwóch
płaszczyznach zginania i moment skręcający oraz oba rodzaje temperatury:

(

)

(

)

∫

∫

∫

α

+

−

α

+

−

α

+

l

o

t

l

g

d

t

l

g

d

t

dx

t

N

dx

h

t

t

M

dx

h

t

t

M

3

2

P

∆

q

Rama z obciążeniem

1

Rama z jednostkowym obciążeniem wirtualnym
do obliczeń x

A

A

Wzór Maxwella-Mohra dla krat

∫

∫

∑

+

=

−

⋅

+

⋅

l

o

t

l

j

j

j

dx

t

N

dx

AE

N

N

k

R

R

R

α

∆

δ

1

Ponieważ siły normalne są stałe w elementach kratowych to

W układach kratowych uwzględniamy wpływ sił normalnych
oraz temperatury w osi:

Ponieważ siły normalne są stałe w elementach kratowych to
można wzór zapisać w formie:

∑

∑

∑

+

=

−

⋅

+

⋅

n

n

n

o

t

n

k

k

k

k

j

j

j

l

t

N

AE

l

N

N

k

R

R

R

α

∆

δ

1

P

t

o

∆

k

t

o

Wzór Maxwella-Mohra dla łuków

+

+

+

=

−

⋅

+

⋅

∫

∫

∫

∑

j

j

dx

AG

T

T

dx

AE

N

N

dx

JE

M

M

k

R

R

R

κ

∆

δ

1

W łukach uwzględniamy wpływ wszystkich sił wewnętrznych
oraz temperatury:

(

)

∫

∫

+

−

+

l

o

t

l

g

d

t

dx

t

N

dx

h

t

t

M

α

α

∫

∫

∫

∑

l

l

l

j

j

j

AG

AE

JE

k

∆

k

q

t

g

t

d

Wzór Maxwella-Mohra dla łuków

(

)

∫

∫

∫

∑

+

−

+

=

−

⋅

+

⋅

l

o

t

l

g

d

t

l

j

j

j

dx

t

N

dx

h

t

t

M

dx

JE

M

M

k

R

R

R

α

α

∆

δ

1

Łuki wyniosły czyli stosunek strzałki do rozpiętości f/l>1/5 spełniające warunek h/l<1/10:

Łuki płaskie czyli stosunek strzałki do rozpiętości f/l<1/5 spełniające warunek h/l<1/30:

Pozostałe łuki płaskie czyli stosunek strzałki do rozpiętości f/l<1/5 spełniające warunek

f

l

h

(

)

∫

∫

+

−

+

l

o

t

l

g

d

t

dx

t

N

dx

h

t

t

M

α

α

+

+

+

=

−

⋅

+

⋅

∫

∫

∫

∑

l

l

l

j

j

j

dx

AG

T

T

dx

AE

N

N

dx

JE

M

M

k

R

R

R

κ

∆

δ

1

Pozostałe łuki płaskie czyli stosunek strzałki do rozpiętości f/l<1/5 spełniające warunek
h/l>1/30:

Całkowanie na przykładzie belki
swobodnie podpartej

Wyznaczenie obrotu punktu B.

1

t

g

t

d

q

B

l

x

Belka z obciążeniem

Rama z jednostkowym obciążeniem wirtualnym

1

l

x

M

=

l

M [kNm]

[/]

M

8

2

ql

Równania momentów zginających

(

)

2

2

x

lx

q

M

−

=

(

)

l

l

l

l

B

l

x

x

JE

q

dx

l

x

x

JE

q

dx

l

x

x

lx

q

JE

dx

JE

M

M

0

4

3

0

3

2

0

2

4

1

3

1

2

2

2

1

1













−

=















−

=













−

=

=

⋅

∫

∫

∫

ϕ

JE

ql

l

l

l

JE

q

B

24

0

4

1

3

1

2

1

3

4

3

=















−















−

=

⋅

ϕ

Całkowanie na przykładzie belki
swobodnie podpartej

Całkowanie uproszczone dla iloczynu funkcji liniowej i dowolnej

( )

b

ax

x

M

+

=

( ) ( )

x

f

x

M

=

Wykres dowolnej funkcji

Wykres funkcji liniowej

x

ś

rodek ciężkości figury

x

s

( )

b

ax

x

M

+

=

Wyznaczanie całki

(

) ( )

( )

( )

(

)

( )

s

s

l

l

l

l

x

M

A

b

ax

A

b

A

S

a

A

bA

aS

dx

x

bf

xdx

x

af

dx

x

f

b

ax

Mdx

M

=

+

=













+

=

=

+

=

+

=

+

=

∫

∫

∫

∫

Wykres funkcji liniowej

l

( )

∫

=

l

xdx

x

f

S

( )

∫

=

l

dx

x

f

A

- moment statyczny figury, opisanej funkcją f(x)

- pole figury, opisanej funkcją f(x)

A

S

x

s

=

- współrzędna środka ciężkości figury, opisanej funkcją f(x)

( )

s

x

M

Całkowanie na przykładzie belki
swobodnie podpartej

Wyznaczenie obrotu punktu B.

1

t

g

t

d

q

B

l

x

Belka z obciążeniem

Rama z jednostkowym obciążeniem wirtualnym

1

l

M [kNm]

[/]

M

8

2

ql

JE

dx

JE

M

M

l

B

1

1

=

=

⋅

∫

ϕ

l

1

8

2

ql

JE

ql

l

ql

JE

24

1

2

1

8

3

2

1

3

2

=

⋅















=

Pola i

ś

rodki ci

ęż

ko

ś

ci

podstawowych figur

a

a/2

b/2

b

s

Prostokąt

ab

A

=

b/3

b

Trójkąt

ab

A

2

1

=

s

a

2

a

a

a

3

2

Parabola 2

o

a

a/2

s

b

ab

A

3

2

=

Parabola 2

o

a

s

b

ab

A

3

2

=

a

8

5

Parabola 2

o

a

s

b

ab

A

3

1

=

a

4

3

Koniec