Praca domowa nr 9, 10 z przedmiotu „Rachunek prawdopodobieństwa i Statystyka” 

Zad. 1. Wiadomo, że 

 

1

,

0

~ N

X

. Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej  Y , jeśli: a) 

X

Y



, b) 

X

Y

4



. 

Zad.  2.  Dwuwymiarowa  zmienna  losowa 





Y

X ,

  ma  rozkład  prawdopodobieństwa  określony  następująco: 





1

,

0

3

,

2







Y

X

P

, 





4

,

0

4

,

2







Y

X

P

, 





3

,

0

3

,

5







Y

X

P

, 





2

,

0

4

,

5







Y

X

P

. Wykonać poniższe polecenia: 

a)  zapisać rozkład 





Y

X ,

 w tabeli, b) wyznaczyć rozkłady brzegowe (czyli rozkłady zmiennych losowych  X ,  Y ), 

c) zbadać, czy zmienne losowe  X  i Y  są niezależne, d) wyznaczyć 





 

4

,

4

,Y

X

F

, gdzie 





Y

X

F

,

 oznacza dystrybuantę 

rozkładu zmiennej losowej 





Y

X ,

. 

Zad. 3. Dana jest funkcja 

 



























. 

p.p

  

w

,

0

,

2

0

 

,

2

0

gdy 

,

4

,

2

2

y

x

xy

y

x

xy

c

y

x

f

 Wykonać następujące polecenia: 

a) znaleźć wartość 

c

, dla której funkcja  f  jest zmienną losową pewnej dwuwymiarowej zmiennej losowej 





Y

X ,

, 

b) wyznaczyć gęstości brzegowe, c) zbadać, czy zmienne losowe  X  i Y  są niezależne. 

Zad. 4. Niech 





Y

X ,

 ma rozkład łączny o gęstości 

 

















.

 

p.p

 

w

,

0

,

4

 

0,

y

,

gdy 

,

2

1

,

2

2

y

x

x

xy

y

x

f

 Obliczyć 

 

2

Y

E

. 

Zad. 5. Zmienna losowa 





Y

X ,

 ma rozkład łączny o gęstości 

 



















. 

p.p

  

w

,

0

,

4

0

 ,

3

0

gdy 

,

18

1

,

x

y

x

y

x

f

 Obliczyć

X

D

2

. 

Zad.  6.  Niech 

Y

X  ,

będą  niezależnymi  zmiennymi  losowymi,  takimi,  że: 





4

1

2





X

P

, 





4

3

5





X

P

, 





3

1

1





Y

P

, 





3

2

4





Y

P

. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej  Z , jeśli: a) 





Y

X

Z

,

min



, b) 





Y

X

Z

,

max



, c) 

Y

X

Z





. 

Odpowiedzi: 

Zad. 1: a) 

 



 





























,

0

,

1

2

,

0

,

,

0

t

t

t

t

F

Z

, 

 































,

,

0

,

2

2

,

0

,

,

0

2

/

2

t

e

t

t

f

t

Z



 

b) 

 













































,

0

,

1

4

2

,

0

,

,

0

t

t

t

t

F

Z

, 

 































;

,

0

,

2

2

1

,

0

,

,

0

32

/

2

t

e

t

t

f

t

Z



 

Zad. 2: a) 

 

 

 

b) 

 

 

 

 

c) 

X              Y 

3 

4 

2 

0,1 

0,4 

5 

0,3 

0,2 

 

x

i

 

2 

5 

P(X = x

i

) 

0,5 

0,5 

 

y

j

 

3 

4 

P(X = y

j

) 

0,4 

0,6 

 

c) nie są niezależne, d) 





 

5

,

0

4

,

4

,



Y

X

F

; 

Zad. 3: a) 3/16, b) 

 





















, 

2

,

0

gdy 

,

0

,

0,2

gdy 

,

8

3

2

1

x

x

x

x

x

f

 





















,

 

2

,

0

gdy 

,

0

,

0,2

gdy 

,

8

3

2

2

y

y

y

y

y

f

 c) nie są niezależne; 

Zad. 4: 4/3; 
Zad. 5: 1/2;  
Zad. 6: a) 

 

 

 

b) 

 

 

 

 

c) 

z

k

 

1 

2 

4 

 

z

k

 

2 

4 

5 

 

z

k

 

3 

6 

9 

P(min(X,Y) = z

k

)  1/3  1/6  1/2 

  P(max(X,Y) = z

k

)  1/12  1/6  3/4 

  P(X+Y = z

k

)  1/12  5/12  1/2