Praca domowa nr 15 z przedmiotu „Rachunek prawdopodobieństwa i Statystyka”

Zad. 1. Przypuszcza się, że pewna kostka sześcienna nie jest rzetelna oraz, że, szanse wypadnięcia
poszczególnych oczek (odpowiednio „1” – „6”) wyrażają stosunki 1:2:2:3:1:1. W celu sprawdzenia
tego, wykonano 120 rzutów kostką, uzyskując wyniki dla poszczególnych oczek: „1” – 11, „2” – 22,
„3” – 30, „4” – 33, „5” – 14, „6” – 10. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować wysunięte
przypuszczenie.
Wskazówka: jeśli przez

i

p

oznaczymy prawdopodobieństwo wyrzucenia i-tego oczka, to hipotezę

zerową H

0

można zapisać jako H

0

:

10

1

,

10

1

,

10

3

,

10

2

,

10

2

,

10

1

6

5

4

3

2

1













p

p

p

p

p

p

, która to

hipoteza jest równoważna hipotezie H

0

: cecha X ma rozkład postaci:

Liczba oczek

1

2

3

4

5

6

p

i

= (X = i)

1/10

2/10

2/10

3/10

1/10

1/10

Zad. 2. Poniższa tabela przedstawia informacje o zachorowalności prosiąt na nosówkę (cecha X),
wraz z informacjami o tym, czy matki prosiąt chorowały na tę chorobę (cecha Y):

Klasy X Klasy Y

Matka chorowała

Matka nie chorowała

Potomek chory

60

40

Potomek zdrowy

30

70

Na poziomie istotności 0,05 zbadać, czy istnieje zależność między zachorowalnością prosięcia
na nosoryjówkę, a tym, czy matka prosięcia chorowała na tę chorobę.

Zad. 3. Spośród studentów pewnego wydziału wylosowano 6 studentów, którzy ukończyli III rok
studiów i zanotowano ich średnie oceny uzyskane na I roku (cecha X) oraz ich średnie uzyskane oceny
na III roku. Zebrane dane przedstawia tabela:

x

i

3,5

4,6

3,9

3,0

3,5

4,5

y

i

4,2

4,5

4,2

3,4

3,8

4,6

Zakładając, że łączny rozkład cech X, Y jest normalny:
a) zweryfikować, na poziomie istotności 0,05, hipotezę o liniowej niezależności cech X i Y w populacji
ogółu studentów wydziału, którzy ukończyli III rok,
b) w przypadku, gdy hipotezę weryfikowaną w punkcie a) należy odrzucić, oszacować równanie
funkcji regresji,
c) zinterpretować wartość współczynnika kierunkowego z oszacowanego w punkcie b) równania
funkcji regresji,
d) przewidzieć, jakiej średniej oceny na III roku może spodziewać się student, który na I roku studiów
uzyskał średnią 3,75.

Odpowiedzi:
Zad. 1: λ

2

emp

= 2,(6) < λ

2

0,05;5

= 11.0705 => nie mamy podstaw do odrzucenia H

0

=> wysunięte

przypuszczenie możemy uznać za słuszne;
Zad. 2: λ

2

emp

= 18,18 > λ

2

0,05;1

= 3.8415 => odrzucamy H

0

=> X, Y są zależne => zachorowalność matek

ma wpływ na zachorowalność prosiąt;
Zad. 3: a) Ir

emp

I = I0,924I = 0,924 > 0.8114 = r

0,05;6

=> odrzucamy H

0

=> istnieje liniowa zależnośc

między X i Y, b)

 

x

f



= średni y = 0,664·x + 1,572, c) jeśli średnia ocen studenta w I roku byłaby

wyższa o 1 stopień, to średnio rzecz biorąc jego średnia ocena w III roku byłaby wyższa o 0,664

stopnia, d)





75

,

3



f

= 0,664·3,75 + 1,572 = 4,06 – przewidywana średnia na III roku studiów studenta,

który na I roku studiów uzyskał średnią 3,75.