metoda przeciwnych wspolczynnikow

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 1

Opracowanie to omawia rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników oraz wyjaśnia dodawanie i odejmowanie stronami. To jest darmowy e-book (opracowanie) pdf do gimnazjum. Nauczysz się z nim jak rozwiązywać układ równań liniowych (stopnia pierwszego). Download go.

Rozwiązywanie układów równań stopnia pierwszego

metodą przeciwnych współczynników

Przedmowa

To opracowanie jest napisane z myślą o gimnazjalistach, ale mogą z niego korzystać wszyscy którzy chcą się do-
wiedzieć lub przypomnieć sobie jak rozwiązuje się układy równań liniowych (stopnia pierwszego) metodą prze-
ciwnych współczynników. Wszystko co tu znajdziesz jest wyjaśnione od podstaw. Nie musisz być orłem z mate-
matyki by zrozumieć o co tu chodzi. Zamieściłem tu bardzo dużo rozwiązanych zadań wraz z opisem wszystkich
wykonywanych czynności.

Spis tematów

Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań? .................................................................. 2

Rozwiązywanie układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi metodą przeciwnych współ. 4

— sprawdzanie otrzymanego wyniku .......................................................................................................... 10

— zadania tekstowe ..................................................................................................................................... 10

Przydatne linki. ............................................................................................................................................... 28

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 2

Temat: Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań?

Układ równań

to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamerką np.

൜ݔ

ݕ = 10

ݔ − ݕ = 4

Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną zmienną (niewiadomą) np.

ݔ lub ݕ. Zmienne mogą być podnie-

sione do jakiejś potęgi, ale różnej od 0. Przykłady układów równań:

൜

ଶ

− 7

ଶ

= 10

−5

ݔ − 4ݕ = 4

൝

ݔ + 4ݕ + 5ݖ = 8

−5

ݔ − 2ݕ + 3ݖ = 7

ݔ + 5ݕ − 3ݖ = −10

Równania tworzące układ równań powinno się podpisywać tak, by znaki równości były idealnie jeden nad drugim.

W matematyce układy równań stosuje się w celu szybszego otrzymania wyniku z zadania tekstowego. Zasada jest
taka, że na podstawie treści zadania układasz przynajmniej dwa równania z dwiema niewiadomymi, spinasz je
z lewej strony klamerką i przystępujesz do znalezienia rozwiązania. Co jest rozwiązaniem układu równań napiszę
później.

Ponieważ w gimnazjum omawiane są tylko układy złożone z dwóch równań o dwóch zmiennych podniesionych do
potęgi pierwszej (wówczas potęgi się nie pisze), więc od tej pory wszystko co będę pisać, będzie się tyczyć wyłącznie
tego typu układów równań.

Znalezienie rozwiązania

danego układu równań polega na tym, by znaleźć takie liczby które wstawione za-

miast zmiennych sprawią, że w obu równaniach strona lewa będzie równa stronie prawej. Zobacz to na
przykładzie już wcześniej napisanego układu równań:

൜ݔ

ݕ = 10

ݔ − ݕ = 4

Jeśli w równaniu pierwszym zamiast

ݔ napiszesz liczbę przypuśćmy 8 i zamiast ݕ np. liczbę 2, to strona lewa będzie

równa stronie prawej. Wstawiając jednak te same liczby do równania drugiego, sprawisz, że jego strona lewa nie
będzie równa stronie prawej. Wnioskujesz więc, że liczby te nie spełniają tego układu równań (nie są jego rozwiąza-
niem), bo w równaniu drugim lewa strona nie wyszła równa stronie prawej.

Skoro powyższe liczby tj.

ݔ = 8 i ݕ = 2 nie były rozwiązaniem powyższego układu równań, więc szukasz innych liczb

i robisz to tak długo, aż znajdziesz dwie takie liczby, które spełniają oba równania jednocześnie. Wybierasz więc
przykładowo

ݔ =

ݕ =

i sprawdzasz czy spełniają one dany układ równań. Jeśli zamiast

ݔ w obu równaniach na-

piszesz liczbę

i w obu równaniach zamiast

ݕ napiszesz liczbę

, to w drugim równaniu strona lewa będzie w praw-

dzie równa stronie prawej, ale w pierwszym równaniu nie. Zatem

ݔ = 5 i ݕ = 1 nie spełniają tego układu równań,

bo tylko w jednym równaniu strona lewa wyszła równa stronie prawej. Szukasz więc innych liczb. Niech tym razem
będą nimi:

ݔ = −10 i ݕ = 15. Jeśli zamiast ݔ w obu równaniach napiszesz liczbę −10 i w obu równaniach zamiast

ݕ napiszesz liczbę 15, to ani w pierwszym ani w drugim równaniu strona lewa nie będzie równa stronie prawej. Za-

tem te liczby również nie spełniają tego układu równań. Wybierasz więc jeszcze inne liczby — takie które wydają Ci
się że mogą spełniać ten układ równań, choć nie masz pewności czy tak w rzeczywistości będzie. Sprawdzasz więc
liczby

ݔ = 7 i ݕ = 3. Jeśli zamiast ݔ w obu równaniach napiszesz liczbę 7 i w obu równaniach zamiast ݕ napiszesz

liczbę 3, to w pierwszym równaniu strona lewa będzie równa stronie prawej i w równaniu drugim również strona
lewa będzie równa stronie prawej. Nareszcie metodą prób i błędów udało się znaleźć takie dwie liczby które spełnia-
ją oba te równania jednocześnie. Zatem rozwiązaniem rozpatrywanego układu równań jest

࢞ = ૠ

࢟ = ૜

lub krócej

— jest nim para liczb

(

;

)

— zauważ, że liczby są ujęte w nawias zwykły i rozdzielone średnikiem (tak jakby to były

współrzędne punktu w układzie współrzędnych).

W rozwiązywaniu układów równań chodzi o to, by nie znajdować rozwiązania (wspólnej pary dla podanych równań)
w taki sposób jak to robiliśmy powyżej (chybił-trafił), lecz dokładnie je wyliczyć w oparciu o jakąś metodę.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 3

No dobra. Masz już rozwiązanie powyższego układu równań i mogłoby się wydawać, że to już koniec. Tymczasem
tak nie jest.

Sformułowanie

rozwiązać układ równań

oznacza, że trzeba znaleźć wszystkie wspólne pary (

ݔ; ݕ) dla poda-

nych równań, a nie tylko jedną z nich. Zobacz:

równanie pierwsze tj.

ݔ + ݕ = 10 jest spełnione m.in. przez pary (ݔ; ݕ):

(0; 10), (1; 9), (2; 8), (3; 7),

(7; 3)

, (8; 2), (9; 1), (11; –1), (12; –2)

a równanie drugie:

ݔ − ݕ = 4 m.in. przez pary (ݔ; ݕ):

(0; –4), (1; –3), (2; –2), (5; 1),

(7; 3)

, (8; 4), (9; 5), (10; 6), (13; 9).

Ponieważ oba równania są spełnione przez nieskończenie wiele różnych par, więc może się zdarzyć, że oprócz znale-
zionej wspólnej pary

(7; 3)

istnieją jeszcze inne wspólne pary które spełniają ten układ równań. Tych wspólnych par

może być nawet nieskończenie wiele, a szukać ich należy także pośród ułamków, pierwiastków, liczb mieszanych
oraz liczb ujemnych. Nie można więc poszukiwać rozwiązania układu równań metodą na chybił-trafił jak to było ro-
bione powyżej. Co by było gdybym zamiast

ݔ nie wstawił liczby 7 i zamiast ݕ liczby 3? Powstałoby wrażenie, że po-

wyższy układ równań nie ma rozwiązania — a tak nie jest.

By znaleźć wszystkie rozwiązania danego układu równań, należy posłużyć się jakąś metodą która pozwoli w sposób
rachunkowy (bez zgadywania), wyznaczyć wszystkie wspólne pary. W przypadku układu równań składającego się
z dwóch równań stopnia pierwszego (zmienne są podniesione do potęgi pierwszej), metody pozwalające wyznaczyć
wszystkie rozwiązania nazywają się tak:

— podstawiania (algebraiczna)

— przeciwnych współczynników (algebraiczna)

— graficzna

— wyznacznikowa (algebraiczna)

— eliminacji Gaussa

— Kroneckera-Cappellego

i zostaną one pojedynczo omówione w następnych tematach (oprócz dwóch ostatnich — zakres studiów).

Zauważ, że sposób zapisywania par spełniających dane równanie jest dokładnie taki sam jak sposób zapisywania
współrzędnych punktów w układzie współrzędnych. Nie jest to zbieg okoliczności. Każdą parę spełniającą dane rów-
nanie możesz zaznaczyć w układzie współrzędnych jako punkt. Jeśli w jednym układzie współrzędnych zaznaczysz
wszystkie pary spełniające równanie pierwsze (na ogół będzie ich nieskończenie wiele), to otrzymasz jakąś linię (wy-
kres funkcji) — w zadaniach z zakresu gimnazjum na ogół będzie to prosta. Gdy zrobisz to samo z drugim równa-
niem, to otrzymasz drugą linię (następny wykres funkcji). Rozwiązaniem danego układu równań będą współrzędne
tych punktów które należą jednocześnie do obu narysowanych wykresów.

Ćwiczenie:

Sprawdź czy para (5; 3) spełnia układ równań:

൜

ݔ − 2ݕ = 29

ݔ + ݕ = 23

[Podpowiedź. W obu równaniach zamiast ݔ napisz liczbę

5 (pierwsza podana współrzędna) a zamiast ݕ liczbę 3. Sprawdź, czy w każdym równaniu strona lewa jest równa stronie prawej. Odp. Tak, spełnia.]

Ćwiczenie:

Wypisz 8 par (

ݔ; ݕ) spełniających równanie pierwsze, a następnie 8 par (ݔ; ݕ) spełniających równanie

drugie układu równań:

൜

ݔ − ݕ = 12

ݔ + 2ݕ = 6

. Jaka para liczb (ݔ;ݕ) jest wspólna dla obu tych równań?

[Odp. (ݔ; ݕ) = (6; 0).]

Ćwiczenie:

Wypisz po 10 par (

ݔ; ݕ) spełniających równania układu równań: ൜

ݔ − 3ݕ = 12

ݔ + 2ݕ = 5

. Jaka para liczb (ݔ;ݕ)

jest wspólna dla obu tych równań?

[Odp. (ݔ; ݕ) = (3; −2).]

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 4

Temat: Rozwiązywanie układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiado-

mymi metodą przeciwnych współczynników.

Sformułowanie

rozwiązać układ równań

o zmiennych

ݔ i ݕ

oznacza, że trzeba znaleźć takie liczby, które po

napisaniu zamiast

ݔ i zamiast ݕ sprawią, że we wszystkich równaniach strona lewa będzie równa jej stronie

prawej. Przypuśćmy, że dany jest układ równań:

൜

ݔ + 3 = 7ݕ

ݕ − 4ݔ = 9

Jego rozwiązaniem są liczby

ݔ = −

ଽହ

଺

ݕ = −

ଷଷ

ଵ଼

, bo wstawiając je do obu równań dostaniesz w obu równaniach

równość strony lewej i prawej. Znalezienie ich metodą prób i błędów nie jest łatwe. By je wyliczyć musiałem zasto-
sować jakąś metodę która to umożliwia. Nazwy tych metod oraz na czym one polegają omówię za chwilę. Szukanie
rozwiązania na chybił trafił jest dozwolone, ale w praktyce się go nie stosuje.

Do rozwiązywania układów dwóch równań liniowych (stopnia pierwszego) o dwóch niewiadomych, wystarczy zasto-
sować np. metodę:

—

podstawiania

(algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Z jednego równania wyliczasz np.

ݔ i to co otrzymasz wstawiasz do innego równania z którego wyliczasz drugą

zmienną.

—

przeciwnych

współczynników

(algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Przekształcasz równania układu równań w taki sposób, by po dodaniu równań stronami otrzymać 0

ݔ lub 0ݕ.

Wyliczasz tę zmienną która się nie wyzerowała i stosując metodę podstawiania obliczasz drugą zmienną z do-
wolnego równania.

—

graficzną

(rysunkowa)

Z obu równań wyliczasz zmienną

ݕ i oba równania które otrzymasz traktujesz jako wzory funkcji liniowych. Ry-

sujesz wykresy tychże funkcji liniowych w jednym układzie współrzędnych i z rysunku (na oko) odczytujesz
współrzędne punktu przecięcia tych wykresów. Jeśli takiego punktu nie ma, to układ równań jest sprzeczny,
a jeśli punktów tych jest nieskończenie wiele (proste pokrywają się), to układ równań jest nieoznaczony.

—

wyznacznikową

(algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Wyliczasz 3 tzw. wyznaczniki i na ich podstawie prawie od razu dostajesz poszukiwane rozwiązania. Szczegóły są
opisane w osobnym temacie.

—

eliminacji Gaussa

(algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Zapisujesz liczby występujące w obu równaniach w postaci tzw. macierzy i ją przekształcasz do tzw. macierzy schodkowej. Jest to zakres studiów, więc tekst ten napisa-
łem małym drukiem i nie będę go omawiać.

—

Kroneckera-Capellego

(algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Wypisujesz liczby ze wszystkich równań i układasz je tak by utworzyły tzw. macierz. Następnie wykreślasz jedną kolumnę i jeden wiersz napisanej macierzy koniecznie z
pierwszego wiersza lub pierwszej kolumny, dzięki czemu z niewykreślonych liczb powstanie Ci mniejsza macierz. Obliczasz wyznacznik tej mniejszej macierzy i mnożysz
go przez liczbę która była na przecięciu wykreślonej kolumny i wiersza oraz dodatkowo otrzymany wynik mnożysz przez liczbę −1 lub 1 w zależności którym miejscu
macierzy znajdowało się przecięcie wykreślonego wiersza i kolumny. Czynności te powtarzasz tyle razy ile masz kolumn lub wierszy w danej macierzy. Dla układów
dwóch równań metoda ta jest równoważna metodzie wyznacznikowej. Tą metodą można rozwiązywać nawet układy mające 100 równań o 100 niewiadomych. Metody
tej nie poznają gimnazjaliści ani licealiści ze względu na dość skomplikowane obliczenia.

Aby pokazać, że każda z powyższych metod daje ten sam wynik, rozwiążmy ponownie układ równań:

൜ݔ

ݕ = 10

ݔ − ݕ = 4

ale tym razem nie na chybił trafił, lecz powyżej wspomnianymi metodami.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 5

Metoda przeciwnych współczynników

Nim omówię tę metodę, musisz najpierw umieć

dodawać równania stronami

Dodawanie równań stronami oznacza nic innego jak dodawanie do siebie jednomianów ze wszystkich równań, przy
czym oddzielnie dodaje się lewe (kolor żółty) i prawe (kolor zielony) strony tychże równań. Przypuśćmy, że masz
układ równań:

ቄ

ݕ − 3

Dodając jego równania stronami (strona lewa + strona lewa = strona prawa + strona prawa), otrzymujesz:

ݕ − 3

a po ich przekształceniu:

ݔ − 8ݔ − 5ݕ = −3 − 4

−6

ݔ − 5ݕ = −7

Jeśli chcesz otrzymać to samo równanie co w powyższej ramce, ale dużo szybciej, to najpierw przekształcić układ
równań do postaci mu równoważnej (wyrażenia z

ݔ oraz ݕ przenosisz w obu równaniach na stronę lewą, a wyraże-

nia nie zawierające ani

ݔ ani ݕ przenosisz na stronę prawą):

൜

− 5

−3

−8

+ 0

−4

by mieć

iksy pod iksami

igreki pod igrekami

, a

wyraz wolne po prawej stronie znaku równości

i dopiero teraz dodaj

te równania stronami (kolumnami tak jak pokazują to kolory). Robiąc tak, od razu otrzymasz to samo równanie co
w powyższej ramce:

−6

− 5

−7

Zadanie:

Przekształć najpierw podany układ równań do postaci mu równoważnej, a następnie dodaj jego równania

stronami (kolumnami). Pamiętaj, że przy przenoszeniu wyrażenia na drugą stronę znaku równości, należy
zmienić jego znak na przeciwny.

൜

ݔ = 2ݕ + 1

ݔ = 6 + 8ݕ

൜

−8

ݔ = 3ݕ + 6

ݔ + 10ݕ = 6

൜

−2

ݔ = 7ݕ + 5

−7

ݕ = 14 − 2ݔ

Postać równoważna:

൜

− 2

− 8

൜

−8

ݔ − 3ݕ = 6

ݔ + 10ݕ = 6

൜

−2

ݔ − 7ݕ = 5

ݔ − 7ݕ = 14

Po dodaniu stronami:

− 10

−6

ݔ + 7ݕ = 12

ݔ − 14ݕ = 19

lub

−14

ݕ = 19

Ćwiczenie:

Przekształć najpierw podany układ równań do postaci mu równoważnej, a następnie dodaj jego rów-

nania stronami (kolumnami). Pamiętaj, że przy przenoszeniu wyrażenia na drugą stronę znaku równo-
ści, należy zmienić jego znak na przeciwny.

൜ ݔ

= 3

ݕ + 5

ݔ − 7ݕ = 6

൜ ݕ

= 4

ݔ − 2

ݔ + 3ݕ = −8

൜

−

ݔ − ݕ = 14

ݔ = 6ݕ

൜

ݔ + 4ݕ = −3

ݕ = 2ݔ + 1

[Odp.: a) 3ݔ − 10ݕ = 11 b) ݔ + 4ݕ = −10 c) 0ݔ − 7ݕ = 14 d) 11ݔ + 5ݕ = −2.]

Rozwiązywanie układu równań (o zmiennych

ݔ i ݕ) metodą przeciwnych współczynników, polega na tym,

żeby po dodaniu równań stronami otrzymać 0

ݔ lub 0ݕ.

Innymi słowy we wcześniejszym układzie równań:

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 6

൜

− 5

−3

−8

+ 0

−4

by po dodaniu stronami otrzymać 0

ݔ lub 0ݕ musisz najpierw obie strony równania pierwszego pomnożyć przez 4

lub obie strony równania drugiego podzielić przez 4, bo wówczas po dodaniu równań stronami otrzymasz 0

ݔ. Zo-

bacz:

൜

− 5

−3

/⋅ 4

−8

+ 0

−4

൜

− 20

−12

−8

+ 0

−4

ݔ − 20ݕ = −16

ݕ = 16 /: 20

ݕ =

No i masz już wyliczony y. Pozostaje już tylko wykorzystać metodę podstawiania, i wyliczony y wstawić do którego
kol wiek równania w głównym układzie równań i wyliczyć x. Główny układ równań był taki:

ቄ

ݕ − 3

więc np. z równania pierwszego, masz, że:

ݔ = 5 ⋅

ݔ = 4 /: 2

ݔ = 2

No i masz już wyliczony także

ݔ. Wystarczy tylko udzielić odpowiedź.

Zauważ również, że w powyższym układzie równań z równania drugiego tj. 4 = 8

ݔ można było od razu wyliczyć że

ݔ = 2 i wstawić go do równania pierwszego. Stosowanie metody przeciwnych współczynników do rozwiązania tego

układu równań nie było konieczne.

Dla przejrzystości obliczeń polecam zawsze obliczony

ݔ oraz ݕ brać w rameczkę. Lepiej wówczas widać co już zostało

wyliczone i w którym miejscu.

Rozwiążmy teraz tą metodą układ równań:

൜

ݔ +

ݕ = 5

ݔ −

ݕ = 2

Zauważ, że oba równania są już zapisane tak jak być powinny, więc wystarczy tylko:

— przekształcić oba równania w taki sposób, aby dodaniu stronami otrzymać 0

lub

— przekształcić oba równania w taki sposób, aby dodaniu stronami otrzymać 0

ݕ.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 7

Jeśli wybierzesz sposób pierwszy, to musisz znaleźć naj-
mniejszą wspólną wielokrotność liczb stojących przed ik-
sami tj. dla liczb:

. Ponieważ wielokrotnością tą jest

liczba 21, więc obie strony równania pierwszego musisz
pomnożyć przez 7, a drugiego przez 3. Otrzymasz wów-
czas w pierwszym równaniu 21

ݔ i w drugim również

ݔ. Niestety po dodaniu tych wyrażeń nie dostaniesz

upragnionego 0

ݔ lecz 42ݔ. Aby tego uniknąć musisz:

— w równaniu pierwszym mieć −21

ݔ i w drugim 21ݔ

lub

— w równaniu pierwszym mieć 21

ݔ i w drugim −21ݔ.

Zatem, albo:

1a) obie strony równania pierwszego mnożysz przez −7,

a drugiego przez 3, otrzymując:

൜

−21

− 28

ݕ = −35

− 18

ݕ = 6

albo

1b) obie strony równania pierwszego mnożysz przez 7,

a drugiego przez −3, otrzymując:

൜

+ 28

ݕ = 35

−21

+ 18

ݕ = −6

Niezależnie od tego czy wybierzesz 1a) czy 1b) zawsze po
dodaniu tych równań stronami, dostaniesz 0

ݔ.

Jeśli wybierzesz sposób drugi, to musisz znaleźć naj-
mniejszą wspólną wielokrotność liczb stojących przed
igrekami tj. dla liczb:

(znaki stojące przed tymi licz-

bami są teraz nieistotne). Ponieważ wielokrotnością tą
jest liczba 12, więc:

2a) obie strony równania pierwszego mnożysz przez 3

i drugiego przez 2, otrzymując:

൜

+ 12

= 15

− 12

= 4

lub

2b) obie strony równania pierwszego mnożysz przez −3

i drugiego przez −2 otrzymując:

൜

−9

− 12

= −15

−14

+ 12

= −4

Niezależnie od tego czy wybierzesz 2a) czy 2b) zawsze po
dodaniu tych równań stronami, dostaniesz 0

ݕ.

Wniosek:

Układ równań:

൜

ݔ + 4ݕ = 5

ݔ − 6ݕ = 2

można rozwiązać metodą przeciwnych współczynników na cztery różne sposoby: 1a), 1b), 2a), 2b).

I jeszcze jedna sprawa o której nie powiedziałem. Dodając równania stronami, należy u dołu układu równań wyko-
nać kreskę poziomą (taką jak przy dodawaniu pisemnym) i tuż nad nią, z lewej strony (na wysokości dolnego równa-
nia) napisać symbol działania które będziemy wykonywać (najczęściej dodawania).

Rozwiązanie każdego z 4-ch powyższych przypadków będzie wyglądać tak:

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 8

1a)

൜

ݔ + 4ݕ = 5

/⋅ (−7)

ݔ − 6ݕ = 2

/⋅ 3

1b)

൜

ݔ + 4ݕ = 5

/⋅ 3

ݔ − 6ݕ = 2

/⋅ (−3)

2a)

൜

ݔ + 4ݕ = 5

/⋅ 3

ݔ − 6ݕ = 2

/⋅ 2

2b)

൜

ݔ + 4ݕ = 5

/⋅ (−3)

ݔ − 6ݕ = 2

/⋅ (−2)

൜

−21

− 28

ݕ = −35

− 18

ݕ = 6

−28

ݕ − 18ݕ = −35 + 6

−46

ݕ = −29/: (−46)

ݕ =

൜

+ 28

ݕ = 35

−21

+ 18

ݕ = −6

ݕ + 18ݕ = 35 − 6

ݕ = 29/: 46

ݕ =

൜

+ 12

= 15

− 12

= 4

ݔ + 14ݔ = 15 + 4

ݔ = 19/: 23

ݔ =

൜

−9

− 12

= −15

−14

+ 12

= −4

−9

ݔ − 14ݔ = −15 − 4

−23

ݔ = −19/: (−23)

ݔ =

Z równania pierwszego:

ݔ + 4ݕ = 5

masz, że:

ݔ + 4 ∙

= 5

ݔ +

116

= 5

ݔ = 5 −

116

ݔ =

230

−

116

ݔ =

114

/∙

ݔ =

114

138

ݔ =

Z równania pierwszego:

ݔ + 4ݕ = 5

masz, że:

3 ∙

+ 4

ݕ = 5

+ 4

ݕ = 5

ݕ = 5 −

ݕ =

115

−

ݕ =

/∙

ݕ =

Odp. Rozwiązaniem układu równań

൜

ݔ + 4ݕ = 5

ݔ − 6ݕ = 2

jest ݔ =

ଵଽ

ଶଷ

ݕ =

ଶଽ

ସ଺

W tej metodzie dozwolone jest także

odejmowanie równań stronami

, a w szczególnych przypadkach także mnoże-

nie i dzielenie. W praktyce jednak, stosuje się tylko dodawanie stronami, a to ze względu na to, że prawie do zera
zostaje obniżone prawdopodobieństwo popełnienia błędu w trakcie obliczeń. Gdybyśmy jednak uparli się na odej-
mowanie równań stronami, to należy bardzo uważać na zmiany znaków na przeciwne w odejmowanym (drugim)
równaniu. Prześledź odejmowanie równań stronami na poniższym przykładzie:

−

൜

− 7

= −3

−3

− 7

= 9

−

ሺ

−3

ሻ

− 7

−

ሺ

−7

ሻ = −3 − 9

ݔ + 3ݔ − 7ݕ + 7ݕ = −12

ݔ = −12

…

lub bez skrótów

myślowych:

−

൜

ݔ − 7ݕ

−3

ݔ − 7ݕ

ሺ

ݔ − 7ݕ

ሻ

−

ሺ

−3

ݔ − 7ݕ

ሻ =

−3

−

ݔ − 7ݕ + 3ݔ + 7ݕ = −12

ݔ = −12

…

Jak widać o pomyłkę bardzo łatwo. Nie polecam stosować tego sposobu przy rozwiązywaniu układów równań.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 9

Metodą przeciwnych współczynników można także rozwiązywać te układy równań, których równania z pozoru nie
dają się przekształcić do postaci

ܽݔ + ܾݕ = ܿ.

Rozpatrz przykładowo taki układ równań:

ቐ

௬

௫

ଷ

ସ

ଷ௫

ହ௬ାଶ௫

= 8

Skoro nie można równań tego układu zapisać w postaci

ܽݔ + ܾݕ = ܿ więc trzeba się zastanowić jak to ominąć. Spo-

sób jest banalny. Wystarczy wykorzystać tzw. proporcje

(strona Błąd! Nie zdefiniowano zakładki.) i w oparciu o nie

zapisać równania w postaci:

൜

= 3

ݔ = 8(5ݕ + 2ݔ)

Przekształcając równanie pierwsze do postaci

ܽݔ + ܾݕ = ܿ oraz opuszczając w równaniu drugim nawiasy, dostajesz:

൜

ݔ − 4ݕ = 0

ݔ = 40ݕ + 16ݔ

Przenosząc w równaniu drugim wszystkie jednomiany ze zmienną

ݔ i ݕ na lewą stronę równania, a wszystkie pozo-

stałe na prawą, masz:

൜

ݔ − 4ݕ = 0

ݔ − 16ݔ − 40ݕ = 0

൜

ݔ − 4ݕ = 0

−13

ݔ − 40ݕ = 0

o co właśnie chodziło. By wyliczyć zmienne

ݔ i ݕ wystarczy obie strony równania pierwszego pomnożyć przez −10,

bo po dodaniu stronami otrzymasz 0

ݕ i kontynuować tak, jak pokazuje to metoda przeciwnych współczynników.

Sprawy kolejne:

1. Podczas wykonywania obliczeń tą metodą dobrze jest brać w ramki otrzymane wyniki. Zwiększa to czytelność

obliczeń i lepiej uświadamia jakimi danymi już dysponujemy.

2. Po skończeniu obliczeń, należy zawsze udzielić odpowiedź. Można to jednak zrobić na kilka różnych, ale równo-

ważnych sposobów. Przypuśćmy, że rozwiązaniem jest x = 2 i y = 5. Odpowiedź wówczas możemy zapisać na-
stępująco:

ݔ = 2 i ݕ = 5

ݔ = 2, ݕ = 5

Jeśli rozwiązaniem są ułamki dziesiętne, to zamiast przecinka można stosować średnik.

ݔ = 2

∧

ݕ = 5 Użyty symbol matematyczny:

∧

, oznacza tzw. koniunkcję, i czyta się go „i”.

൜ݔ

= 2

ݕ = 5

ሺݔ; ݕሻ = (2; 5). Sposób ten stosuje się głównie wtedy, gdy układ równań był rozwiązywany metodą gra-

ficzną.

f) Jeśli w zadaniu przez

ݔ oznaczona została np. cyfra dziesiątek, zaś przez ݕ cyfra jedności, to odpowiedzią

jest liczba — w tym przypadku 25, a nie jej cyfry. Pisanie, że rozwiązaniem jest

ݔ = 2, ݕ = 5 jest wówczas

błędne.

Co to jest proporcja oraz jak się ją rozwiązuje, możesz szczegółowo dowiedzieć się czytając opracowanie o rozwiązywaniu równań i nie-

równości.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 10

g) Jeśli w zadaniu przez

ݔ oznaczona została np. cyfra jedności, zaś przez ݕ cyfra dziesiątek, to odpowiedzią

jest liczba — w tym przypadku 52, a nie jej cyfry. Pisanie, że rozwiązaniem jest

ݔ = 5, ݕ = 2 jest wówczas

błędne.

3. Po obliczeniu wszystkich zmiennych, zaleca się wykonanie sprawdzenia otrzymanych wyników (strona 10).

Sprawdzanie wyniku w metodzie przeciwnych współczynników

Przypuśćmy, że robiąc obliczenia tą metodą, masz już wyliczoną jedną ze zmiennych i drugą z nich wyliczasz np.
z równania pierwszego. Wówczas robiąc sprawdzenie, obie wyliczone liczby musisz wstawić do równania drugie-
go w pierwotnym układzie równań, bo z niego nie wyliczana była zmienna. Gdyby zmienna była wyliczana z rów-
nania drugiego, to sprawdzenie robione było by poprzez wstawienie obliczonej liczby do równania pierwszego.

Zadania tekstowe

Znając już metody rozwiązywania układów dwóch równań liniowych (stopnia pierwszego) z dwiema niewiadomymi,
przystąpmy do rozwiązywania zadań tekstowych. Nim jednak to zrobisz, pamiętaj o tym by:

— treść zadania czytać fragmentami (do najbliższego znaku interpunkcyjnego lub najbliższego spójnika)

— na podstawie pytania zadanego w treści zadania, odgadywać co należy oznaczyć zmiennymi

— na podstawie przeczytanych fragmentów od razu układać stosowne równania (lub nierówności)

— weryfikować na bieżąco poprawność ułożonych równań (nierówności) z treścią zadania

— dobierać w sposób intuicyjny oznaczenia zmiennych, np.

ܿ — liczba chłopców, ݀ — liczba dziewczyn,

ܾ — objętość beczki, ݓ — liczba większa, ݉ — liczba mniejsza, ܣ — wiek Agnieszki, ܤ — wiek Beaty, itp.

— w miarę możliwości robić założenia, nawet jeśli są oczywiste np. b ≥ 0, gdzie b oznacza długość boku, A > 0,

gdzie A oznacza wiek Agnieszki, w > m, gdzie w oznacza liczbę większą, zaś m liczbę mniejszą, itp.

— otrzymane wyniki oraz ważniejsze fragmenty obliczeń brać od razu w ramki

— sprawdzać zgodność otrzymanych wyników z poczynionymi wcześniej założeniami

— udzielać odpowiedzi jeśli w treści zadania było zadane pytanie

— wykonywać sprawdzenia otrzymanych wyników.

Poniżej przedstawiam najczęściej spotykane w gimnazjum typy zadań na wykorzystanie układów równań.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 11

Zadanie:

Suma dwóch liczb jest równa 32. Jeżeli od każdej z nich odejmiesz 4, to otrzymasz dwie liczby, z których

jedna jest 2 razy większa od drugiej. Jakie to liczby?

Oznaczenia:

ݓ — liczba większa
݉ — liczba mniejsza

Stosując oznaczenia intuicyjne, nie
musisz dokonywać powyższych ob-
jaśnień.

Założenia:

ݓ > ݉

Jeśli założenia są oczywiste
np. takie jak wyżej, możesz je
pominąć.

Rozwiązanie:

൜ ݓ

݉ = 32

ሺݓ − 4ሻ = 2ሺ݉ − 4ሻ

Zauważasz, że liczba (ݓ − 4) jest 2 razy większa od liczby ሺ݉ − 4ሻ, a nie odwrotnie — wynika to z faktu, że pomię-
dzy tymi liczbami można postawić znak równości tylko wtedy, gdy liczbę mniejszą pomnożysz 2 razy, lub liczbę

większą podzielisz 2 razy. Opuszczasz w równaniu drugim nawiasy.

ቄݓ + ݉ = 32

ݓ − 4 = 2݉ − 8

Przekształcasz równanie drugie.

ቄ ݓ + ݉ = 32

ݓ − 2݉ = 4 − 8

Zauważasz, że mnożąc równanie pierwsze lub drugie przez −1 dostaniesz po dodaniu stronami 0ݓ. Mnożysz więc
równanie drugie przez −1 i wykonujesz dodawanie stronami.

ቄ ݓ

݉ = 32

−

ݓ + 2݉ = 4

݉ = 36 /: 3

݉ = 12

Wiedząc już, że ݉ = 12, wracasz się na przykład do równania pierwszego w pierwotnym układzie równań i wsta-
wiasz zamiast m liczbę 12. Wyliczasz ݓ.

ݓ + 12 = 32
ݓ = 32 − 12

ݓ = 20

Sprawdzasz już tylko, czy obliczone liczby są zgodne z założeniem. Jeśli tak, to piszesz odpowiedź, jeśli nie, to szu-

kasz błędu w obliczeniach tak długo aż go znajdziesz.

Sprawdzasz czy otrzymane w ramkach liczby spełniają poczynione na początku założenie. Jeśli tak, to piszesz odpo-
wiedź, jeśli nie to szukasz błędu (lub błędów) w obliczeniach.

Odp. Szukane liczby to 12 i 20.

Ćwiczenie:

Suma dwóch liczb jest równa 20, a ich różnica wynosi 9. Znajdź te liczby.

[Odp. 29/2 i 11/2.]

Ćwiczenie:

Suma dwóch liczb jest równa 34. Jeden ze składników jest o 12 większy od drugiego. Znajdź te składni-

ki.

[Odp. 22 i 12.]

Ćwiczenie:

Suma dwóch liczb wynosi 22. Jeżeli jedną z nich zwiększymy dwukrotnie, a drugą zmniejszymy

o połowę, to ich suma zwiększy się o 1. Jakie to liczby?

[Odp. 9 i 16.]

Ćwiczenie:

Suma dwóch liczb jest równa 15, a suma czterokrotności pierwszej liczby i trzykrotności drugiej liczby

jest równa 52. Jakie to liczby?

[Odp. 7 i 8.]

Ćwiczenie:

Suma dwóch liczb jest równa 41, a różnica podwojonej drugiej liczby i połowy pierwszej jest równa 42.

Jakie to liczby?

[Odp. 16 i 25.]

Ćwiczenie:

Suma dwóch liczb równa jest 34, a różnica ich kwadratów 136. Znajdź te liczby.

[Wykorzystaj odpowiedni wzór

skróconego mnożenia. Zastosuj metodę podstawiania. Odp. 15 i 19.]

Ćwiczenie:

Suma dwóch liczb wynosi 11, a różnica liczby większej i podwojonej liczby mniejszej jest równa 26. Co

to za liczby?

[Odp. –5 i 16.]

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 12

Zadanie:

Suma dwóch liczb jest równa 1440. Znajdź te liczby, jeżeli 10,5% jednej liczby jest równe 7,5% drugiej licz-

by.

Oznaczenia:

ݔ — pierwsza liczba
ݕ — druga liczba

Nie można było zastosować oznaczeń ݓ (liczba większa)
i ݉ (liczba mniejsza), bo z treści zadania nie wynika czy
10,5% tyczy się liczby większej czy mniejszej.

Założenia:

Brak założeń, bo nie wiesz, czy 10,5% tyczy się liczby pierwszej czy drugiej.

Jeśli by się bardzo uprzeć, to założenie można zrobić. Wystarczy zauważyć, że 10,5% > 7,5%
i na podstawie tego wysnuć wniosek, że gdyby pierwsza liczba była większa do drugiej liczby,
to 10,5% z liczby większej nigdy nie byłoby równe 7,5% z liczby mniejszej. Zatem w przypadku
tego zadania liczba pierwsza musi być mniejsza od liczby drugiej:

ݔ < ݕ

Rozwiązanie:

൜ ݔ

ݕ = 1440

10,5%

ݔ = 7,5%ݕ

Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania.

W równaniu drugim zamieniasz procenty na ułamki zwykłe o mianowniku 100, a równanie

pierwsze przepisujesz bo nic z nim nie robisz.

൝

ݔ + ݕ = 1440

10,5

100

ݔ =

7,5

100

/⋅ 100

By pozbyć się mianowników w równaniu drugim, obie jego strony mnożysz przez 100, a równa-
nie pierwsze ponownie przepisujesz bo nadal z nim nic nie robisz.

൜ݔ

ݕ = 1440

10,5

ݔ = 7,5ݕ

Zauważasz, że równanie drugie wygląda prawie tak samo jak w wyjściowym układzie równań
(nie posiada tylko symbolów %) i wyciągasz wniosek, że mając symbol % przy każdej liczbie
w danym równaniu, wystarczy go po prostu skasować. Dzięki temu oszczędzasz czas na wyko-
nywanie przekształceń jakie były powyżej.
Przenosisz w równaniu drugim wyrażenie 7,5ݕ ze strony prawej na lewą ze zmienionym znakiem
by później móc zastosować metodę przeciwnych współczynników. Równanie pierwsze znowu
przepisujesz, bo nadal z nim nic nie robisz. Piszesz jak zwykle znak równości pod znakiem równo-
ści.

൜

ݔ + ݕ = 1440

/⋅ 7,5

10,5

ݔ − 7,5ݕ = 0

Zauważasz, że przy igrekach w obu równaniach masz już przeciwne znaki, więc by po dodaniu
równań stronami otrzymać 0ݕ wystarczy równanie pierwsze pomnożyć przez 7,5 a równanie
drugie przepisać. Można też było obie strony pierwszego równania pomnożyć przez −10,5, ale
nie jest to polecane, gdyż można zapomnieć o zmianie wszystkich znaków na przeciwne.

൜

7,5

+ 7,5

ݕ =

10800

10,5

− 7,5

ݕ =

Dodajesz równania stronami. Ponieważ wyrażenia z ݔ są napisane jedno pod drugim oraz wyra-
żenia z ݕ również są napisane jedno pod drugim, więc dodawanie tych równań stronami jest
równoważne dodawaniu ich kolumnami.

+ 0

ݕ =

10800

ݔ = 10800

/: 18

ݔ = 600

Obie strony równania dzielisz przez liczbę stojącą przy ݔ, bo chcesz wyliczyć ݔ.

Obliczoną liczbę 600 wstawiasz zamiast ݔ do któregokolwiek równania w głównym układzie
równań (lepiej w tym przypadku wybrać równanie pierwsze) i obliczasz ݕ.

600 +

ݕ = 1440

ݕ = 1440 − 600

ݕ = 840

Mając już wyliczone obie liczby ݔ i ݕ sprawdzasz czy wyszły one zgodnie z poczynionym na po-
czątku zadania założeniem: ݔ < ݕ. Jeśli tak, to udzielasz odpowiedź. Jeśli nie, to szukasz choćby
jednego błędu w obliczeniach.

Odp. Szukane liczby to 600 i 840.

Ćwiczenie:

Suma dwóch liczb jest równa 180. Połowa drugiej liczby stanowi 25% pierwszej liczby. Oblicz te liczby.

[Odp. 120 i 60.]

Ćwiczenie:

Suma dwóch liczb jest równa 32, a 15% jednej liczby równe

ଽ

ଶ଴

drugiej liczby. Znajdź te liczby.

[Odp. 24 i 8.]

Ćwiczenie:

Suma dwóch liczb jest równa 480, a różnica 60% pierwszej liczby i 45% drugiej liczby wynosi 90. Jakie to

liczby?

[Odp. 120 i 360.]

Ćwiczenie:

Suma dwóch liczb jest równa 420. 75% połowy drugiej liczby jest o 100% większe od czwartej części

pierwszej liczby. Oblicz te liczby.

[Podpowiedź. Czwarta część danej liczby to inaczej

tej liczby. Zwiększenie danej liczby o 100% jest rów-

noważne pomnożeniu tej liczby przez 2. Odp. 180 i 240.]

Ćwiczenie:

Suma 6% pierwszej liczby i 8% drugiej liczby wynosi 15, a suma 42% pierwszej i 1% drugiej liczby wynosi

39. Znajdź te liczby.

[Odp. 90 i 120.]

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 13

Ćwiczenie:

Suma 18% pierwszej liczby i 28% drugiej liczby jest równa 40. Różnica 0,6 drugiej liczby i 0,1 pierwszej

liczby jest równa sześcianowi liczby 2. Co to za liczby?

[Podpowiedź. Sześcian liczby to inna nazwa potęgi 3-ciej. Odp. 160 i 40.]

Ćwiczenie:

Suma 10% pierwszej liczby i 10% drugiej liczby jest równa 10, a różnica

ସ

ଽ

drugiej liczby i

ଵ

ଶ଴

pierwszej

liczby jest równa 3,9. Oblicz te liczby.

[Odp. 82 i 18.]

Ćwiczenie:

Różnica dwóch liczb wynosi 52, a 15% pierwszej z nich jest równe 67% drugiej. Jakie to liczby?

[Odp. 67; 15.]

Ćwiczenie:

Różnica 13% drugiej liczby i dziesiątej części pierwszej liczby wynosi tyle co 8

భ

య

% pierwszej liczby, zaś

różnica 15% potrojonej drugiej liczby i ósmej części podwojonej liczby pierwszej stanowi 71% liczby
pierwszej. Znajdź te liczby.

[Podpowiedzi: Dziesiąta część danej liczby to inaczej 0,1 tej liczby. Liczby mieszane zamień na ułamki niewłaściwe.

Aby pozbyć się symbolów procenta, pomnóż obie strony równań przez 100. Odp. 30 i 64.]

Ćwiczenie:

Różnica dwóch liczb wynosi tyle co podwojony kwadrat liczby 3. Jakie to liczby jeśli dodatkowo wiado-

mo, że stosunek liczby większej do liczby mniejszej pomniejszonej o 10% wynosi 2 : 1?

[Podpowiedzi: Kwadrat

to inna nazwa potęgi 2-giej. Podwajając kwadrat jakiejś liczby należy najpierw wykonać potęgowanie, bo tak orzeka kolejność wykonywania działań. Jeśli

różnica dwóch liczb jest dodatnia, to od liczby większej odjęto liczbę mniejszą. Odp. 20 i 38.]

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 14

Wszystko jest legalne. Wystarczy zainwestować jednorazowo tylko 5 zł by po kilku miesiącach cieszyć się systematycznymi wpływami od in-

nych osób po 5 zł. Proste? Proste. Dołącz się do powyższego linku. Zarejestruj się na próbę.

Zadanie:

Julia ma w

swoim portfelu 12 banknotów. Są to wyłącznie banknoty dwudziesto- i pięćdziesięciozłotowe. Policzyła, że
gdyby banknotów dwudziestozłotowych miała tyle co pięćdziesięciozłotowych, a pięćdziesięciozłotowych
tyle co dwudziestozłotowych, to miałaby o 120 zł więcej niż ma teraz. Ile pieniędzy ma Julia?

Oznaczenia:

— liczba banknotów 20-stozłotowych

— liczba banknotów 50-stozłotowych

— wartość w banknotach 20-stozłotowych przed zamianą

Pewnie się zastanawiasz skąd wziął się powyższy zapis 20݀. Otóż zobacz, że jeśli masz 2 banknoty po 20 zł, to razem
dają one 40 zł. Jeśli masz 7 banknotów po 20 zł, to razem dają one 140 zł. Jeśli masz 10 banknotów po 20 zł to razem
dają one 200 zł. Widzisz więc, że łączną wartość banknotów możesz wyliczyć mnożąc ich nominał (w tym przypadku
20 zł) przez ilość tych banknotów. Skoro banknotów 20-złotowych masz ݀, więc łączna ich wartość to 20݀.

— wartość w banknotach 50-stozłotowych przed zamianą

Uzasadnienie zapisu 50݌ jest dokładnie takie samo jak zapisu 20݀.

— wartość w banknotach 20-stozłotowych po zamianie

W treści zadania jest mowa o tym co by było gdyby banknotów 20-złotowych było tyle co 50-ciozłotowych. Oznacza
to, że po zamianie banknotów 20-złotowych byłoby tyle ile jest teraz banknotów 50-ciozłotowych, czyli ݌. Zatem ich
wartość po zamianie wyniosłaby 20݌ — stąd ten zapis.

— wartość w banknotach 50-stozłotowych po zamianie

Założenia:

݀ > 0
݌ > 0

Analiza zadania:

Z treści zadania wiesz, że

݀ + ݌ = 12

oraz, że wartość banknotów po zamianie jest równa

݌ + 50݀

i jest o

120 zł

większa od kwoty przed zamianą, czyli od

݀ + 50݌

Rozwiązanie:

൝

݀ + ݌ = 12

݌ + 50݀

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

୮୭

୸ୟ୫୧ୟ୬୧ୣ

݀ + 50݌

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

୮୰୸ୣୢ

୸ୟ୫୧ୟ୬ą

120

Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania.

W równaniu drugim przenosisz 20݀ oraz 50݌ ze strony prawej na lewą (ze zmienionym
znakiem) by później móc wykonać redukcję wyrazów podobnych i zastosować metodę prze-

ciwnych współczynników. Równanie pierwsze przepisujesz bo nic z nim w tej chwili nie ro-

bisz.

൜

݀ + ݌ = 12

− 50

+ 50

− 20

120

W równaniu drugim wykonujesz redukcję wyrazów podobnych, a równanie pierwsze przepi-
sujesz bo nadal z nim nic nie robisz.

൜

݀ + ݌ = 12

−30

݌ + 30݀ = 120

By móc zastosować metodę przeciwnych współczynników, w równaniu drugim zamieniasz
kolejnością wyrazy po lewej stronie znaku równości.

൜

݀ + ݌ = 12

/⋅ 3

݀ − 30݌ = 120

/: 10

Zauważasz, że przy literkach ݌ są przeciwne znaki, więc obie strony równania pierwszego
mnożysz przez 3 i dodatkowo obie strony równania drugiego dzielisz przez 10. Dzięki temu
po dodaniu równań stronami dostaniesz 0݌.

൜

+ 3

݌ =

− 3

݌ =

Dodajesz równania stronami. Ponieważ wyrażenia z ݀ są napisane jedno pod drugim oraz
wyrażenia z ݌ również są napisane jedno pod drugim, więc dodawanie tych równań strona-
mi jest równoważne dodawaniu ich kolumnami.

+ 0

݌ =

݀ = 48

/: 6

݀ = 8

Obie strony równania dzielisz przez liczbę stojącą przy ݀, bo chcesz wyliczyć ݀.

Obliczoną liczbę 8 wstawiasz zamiast ݀ do któregokolwiek równania w głównym układzie
równań (lepiej w tym przypadku wybrać równanie pierwsze) i obliczasz ݌.

8 +

݌ = 112

݌ = 12 − 8

݌ = 4

Mając już wyliczone obie liczby ݌ i ݀ sprawdzasz czy wyszły one zgodnie z poczynionym na
początku zadania założeniami. Jeśli tak, to zliczasz wartość pieniędzy Julii i udzielasz odpo-
wiedź. Jeśli nie, to szukasz choćby jednego błędu w obliczeniach.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 15

݀ + 50݌

= 20 zł ⋅ 8 + 50 zł ⋅ 4 = 160 zł + 200 zł = 360 zł

Odp. Julia ma w swoim portfelu 8 banknotów po 20 zł i 4 banknoty po 50 zł czyli 360 zł.

Zadanie:

W zakładzie krawieckim w marcu dwie grupy ludzi uszyły razem 500 biało-czerwonych flag Polski. Miesiąc

później obie te grupy zwiększyły swoją wydajność — pierwsza o 15%, a druga o 10% dzięki czemu liczba
uszytych flag zwiększyła się o 561. Ile flag Polski uszyła każda z grup w marcu, a ile w kwietniu?

Oznaczenia:

݉ — liczba flag wykonanych przez pierwszą grupę w marcu
ܯ — liczba flag wykonanych przez drugą grupę w marcu
݇ — liczba flag wykonanych przez pierwszą grupę w kwietniu
ܭ — liczba flag wykonanych przez drugą grupę w kwietniu

Założenia:

݇ > ݉
ܭ > ܯ

Rozwiązanie:

൞

݉ + ݇ = 500

= 561

= 115%

= 110%

Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania. W przypadku tego zadania będą

4 równania o 2-ch zmiennych.

Liczba 115% wzięła się stąd, że wydajność pierwszej grupy z marca wynosząca 100%݉
wzrosła o 15%݉. Liczba 110% wzięła się stąd, że wydajność drugiej grupy z marca wyno-
sząca 100%݇ wzrosła o 10%݇.
W równaniu drugim zamiast dużej literki ܯ piszesz 115%m bo tak masz w równaniu 3-cim.
W równaniu drugim zamiast dużej literki ܭ piszesz 110%k bo tak masz w równaniu 4-tym.

ቄ

݉ + ݇ = 500

115%

110%

= 561

W równaniu drugim pozbywasz się symboli % wykonując mnożenie obu stron przez 100.
Obie strony równania pierwszego mnożysz przez −110 by później móc zastosować metodę
przeciwnych współczynników.

ቄ−110݉ − 110݇ = −55000

115

110

= 56100

Dodajesz równania stronami.

݉ = 1100

/: 5

݉ =

220

Wiesz już że ݉ = 220. Wracasz się do równania pierwszego w wyjściowym układzie równań
i zamiast literki ݉ piszesz 220. Obliczasz ݇.

݇ = 500 − 220 =

280

ܯ = 115% ⋅

220

= 1,15 ⋅ 220 = 253

ܭ = 110% ⋅

280

= 1,10 ⋅ 280 = 308

To nie koniec obliczeń. W zadaniu tym trzeba także wyliczyć ܯ oraz ܭ. Robisz to wstawiając
wyliczone przed chwilą liczby do 3-ciego i 4-tego równania w wyjściowym układzie równań.

Sprawdzasz czy otrzymane wyniki są zgodne z poczynionymi na początku założeniami. Jeśli
tak, to udzielasz odpowiedź, bo w treści zadania było zadane pytanie. Jeśli nie, to szukasz
błędu w obliczeniach.

Odp. W marcu pierwsza grupa uszyła 220 a druga 280 flag. Miesiąc później grupy te uszyły odpowiednio

253 i 308 flag.

Ćwiczenie:

Do biblioteki zakupiono 30 egzemplarzy Pana Tadeusza wydanego w dwóch okładkach: twardej i mięk-

kiej. Ile zakupiono egzemplarzy w okładce miękkiej, a ile w twardej jeśli 2,5% książek w okładce mięk-
kiej jest równe 1,6% książek w okładce twardej?

[Odp. ݉ = 12 i ݐ = 18.]

Ćwiczenie:

Klasy III a i III b gimnazjum liczą w sumie 45 uczniów. Na wycieczkę zagraniczną pojechało 80% uczniów

klasy III a i 72% uczniów klasy III b. Ilu uczniów liczy klasa III a oraz III b jeśli na wycieczkę tę pojechało
38 osób (w tym czterech nauczycieli)?

[Podpowiedź. Skoro pojechało 4-ch nauczycieli, to ilu pojechało uczniów? Odp. ܽ = 20, ܾ = 25.]

Ćwiczenie:

Profesjonalny aparat fotograficzny wraz z akcesoriami kosztuje 6850 zł. Gdyby akcesoria do niego były

tańsze o 246 zł, a aparat fotograficzny droższy o 7%, to cały taki zestaw kosztowałby o 209 zł więcej niż
teraz kosztuje. Ile kosztuje aparat fotograficzny?

[Odp. 6500 zł.]

Ćwiczenie:

Klasa II b gimnazjum liczy 28 osób. Gdyby w tej klasie liczbę dziewcząt zmniejszyć o 6,25%, a liczbę

chłopców zwiększyć o 25%, to w klasie byłoby tyle samo dziewcząt i chłopców. Ilu chłopców oraz ile
dziewcząt liczy klasa II b?

[Odp. ܿ = 12, ݀ = 16.]

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 16

Ćwiczenie:

Suma dwóch liczb jest równa 300. Różnica 25% pierwszej z nich i 15% drugiej wynosi 3. Jakie to liczby?

[Odp. 120 i 180.]

Ćwiczenie:

W gospodarstwie pana Józka są świnie, krowy, konie oraz kury i gęsi. Wszystkie one razem mają

56 nóg. Gdyby pan Józek dokupił 25% liczby już posiadanych czworonogów i 25% liczby posiadanych
dwunogów to liczba nóg posiadanych przez niego stworzeń wzrosłaby o 14. Ile czworonogów
i dwunogów posiada pan Józek?

[Odp. ܿ = 8, ݀ = 12.]

Zadanie:

Dwa kanistry są napełnione do pełna i zawierają razem 33 litry wody. Gdyby z kanistra drugiego wypuścić

piątą a z pierwszego trzecią część wody się w nim znajdującej, to w obu kanistrach zostanie tyle samo wo-
dy. Ile wody mieści się maksymalnie do pierwszego, a ile do drugiego kanistra?

Oznaczenia:

݌ — ilość wody znajdującej się w pierwszym kanistrze
݀ — ilość wody znajdującej się w drugim kanistrze

Założenia:

݌ > 0
݀ > 0

Analiza treści zadania:

Na podstawie zdania pierwszego wiesz, że

݌ + ݀ = 33. Z pierwszej części zdania następnego wiesz, że

z kanistra drugiego wypuszczono

భ

ఱ

wody jaka w nim była, czyli, że:

݀ −

ଵ

ହ

݀ =

ସ

ହ

݀. Z drugiej części tego

samego zdania wiesz, że

݌ −

ଵ

ଷ

݌ =

ଶ

ଷ

݌. Czytając zadanie dalej dowiadujesz się, że po wypuszczeniu

z obu kanistrów wskazanych ilości wody, w nich obu zostanie tyle samo wody. Oznacza to, że wyniki
dwóch ostatnich równań musisz złączyć w jedno nowe równanie:

ଶ

ଷ

݌ =

ସ

ହ

݀.

Rozwiązanie:

൝

݌ + ݀ = 33

݌ =

Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania.

By pozbyć się mianowników w równaniu drugim możesz albo zastosować mnożenie po skosie (bo rów-

nanie to jest proporcją), albo obie strony tego równania pomnożyć np. przez 20 (czyli przez najmniejszą

wspólną wielokrotność dla liczb znajdujących się w mianownikach). Wybranie mnożenia po skosie jest

wygodniejsze, bo da mniejsze liczby i dany układ równań będzie się łatwiej rozwiązywać.

൜݌

݀ = 33

/⋅ 12

݌ =

Równanie pierwsze mnożysz przez

by później po dodaniu równań stronami zniknęły wyrażenia z nie-

wiadomą ݀. By rozwiązać ten układ równań metodą przeciwnych współczynników przenosisz wyrażenie
12݀ ze strony prawej równania na stronę lewą (oczywiście ze zmienionym znakiem na przeciwny).

൜

݌ + 12݀ = 396

− 12

݀ = 0

Dodajesz równania stronami.

݌ = 396

/: 22

݌ = 18

Wiesz już że ݌ = 18. Wracasz się do równania pierwszego w wyjściowym układzie równań i zamiast literki
݌ piszesz 18. Obliczasz ݀.

݀ = 33 − 18 = 15

Sprawdzasz czy otrzymane wyniki są zgodne z poczynionymi na początku założeniami. Jeśli tak, to udzie-
lasz odpowiedź, bo w treści zadania było zadane pytanie. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach.

Odp. Do pierwszego kanistra mieści się maksymalnie 18 litrów wody a do drugiego 15 litrów.

[W treści zadania pytanie było postawione w czasie teraźniejszym. Zatem odpowiedź też musi być w czasie teraźniejszym. Użycie słowa mieściło za-
miast mieści nie byłoby poprawne.]

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 17

Zadanie:

W dwóch kanistrach jest 16 litrów wody. Gdyby z pierwszego kanistra przelać 8 litrów wody do kanistra

drugiego, to w kanistrze drugim będzie 3 razy więcej wody niż w kanistrze pierwszym. Ile wody jest
w kanistrze pierwszym, a ile w drugim?

Oznaczenia:

݌ — ilość wody znajdującej się w pierwszym kanistrze
݀ — ilość wody znajdującej się w drugim kanistrze

Założenia:

݌ > 0
݀ > 0

Analiza treści zadania:

Na podstawie zdania pierwszego wiesz, że

݌ + ݀ = 16. Z pierwszej części zdania następnego wiesz, że

gdyby w kanistrze pierwszym ubyło 8 litrów to jednocześnie w kanistrze drugim przybyłoby 8 litrów
wody. Zatem:

݌ − 8

— ilość wody w kanistrze pierwszym po ulaniu z niego 8 litrów

݀ + 8

— ilość wody w kanistrze drugim po wlaniu do niego 8 litrów z kanistra pierwszego

Ponieważ po przelaniu tych 8 litów w kanistrze drugim będzie

razy więcej wody niż w kanistrze pierw-

szym, więc układasz równanie:

݀ + 8

ᇣᇤᇥ

௞௔௡௜௦௧௘௥

ௗ௥௨௚௜

(

݌ − 8

)

ᇣᇧᇤᇧᇥ

௞௔௡௜௦௧௘௥

௣௜௘௥௪௦௭௬

Rozwiązanie:

൜݌

݀ = 16

݀ + 8

(

݌ − 8

)

Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania.

By w równaniu drugim pozbyć się nawiasu, wymnażasz liczbę która przed nim stoi, przez wszystko co jest

w nawiasie. Równanie pierwsze przepisujesz bo nic z nim nie robisz.

൜ ݌

݀ = 16

/⋅ 3

+ 8

− 24

Równanie pierwsze mnożysz przez

by później po dodaniu równań stronami zniknęły wyrażenia z nie-

wiadomą ݌. By rozwiązać ten układ równań metodą przeciwnych współczynników przenosisz wyrażenie
3݌ ze strony prawej równania na stronę lewą (oczywiście ze zmienionym znakiem na przeciwny) i dodat-
kowo liczbę 8 ze strony lewej na stronę prawą (również ze zmienionym znakiem na przeciwny).

൜

݌ + 3݀ = 48

−3

݌ + ݀ =

−32

Dodajesz równania stronami.

݀ = 16

/: 4

݀ = 4

Wiesz już że ݀ = 4. Wracasz się do równania pierwszego w wyjściowym układzie równań i zamiast literki
݀ piszesz 4. Obliczasz ݌.

݌ = 16 − 4 = 12

Odp. W pierwszym kanistrze jest 12 litrów wody, a w drugim są 4 litry wody.

[W treści zadania pytanie było postawione w czasie teraźniejszym. Zatem odpowiedź też musi być w czasie teraźniejszym. Użycie słowa było zamiast
jest nie byłoby poprawne.]

Ćwiczenie:

W dwóch kanistrach znajduje się benzyna. Gdyby pan Marek przelał 5 litrów benzyny z kanistra drugie-

go do pierwszego, to w obu kanistrach miałby tyle samo benzyny. Gdyby zaś przelał 5 litrów benzyny
z kanistra pierwszego do drugiego, to w kanistrze drugim miałby o 20 litrów benzyny więcej niż w kani-
strze pierwszym. Ile pan Marek ma benzyny razem w obu kanistrach?

[Odp. 50 litrów.]

Ćwiczenie:

Na dwóch półkach sklepowych jest razem 100 kostek masła. Gdyby z drugiej półki przełożyć 2 kostki

masła na półkę pierwszą, to na drugiej półce będzie o 50% więcej kostek masła niż na półce pierwszej.
Ile kostek masła jest na każdej z półek?

[Odp. p = 38 szt., d = 62 szt.]

Ćwiczenie:

W dwóch kanistrach znajduje się benzyna. Gdyby pan Tomek przelał 5 litrów benzyny z kanistra pierw-

szego do drugiego, to w obu kanistrach miałby tyle samo benzyny. Gdyby zaś przelał 5 litrów benzyny

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 18

z kanistra drugiego do pierwszego, to w kanistrze pierwszym miałby 2 razy więcej benzyny niż w kani-
strze drugim. Ile pan Tomek ma benzyny w każdym z kanistrów?

[Odp. ݌ = 35, ݀ = 25.]

Ćwiczenie:

Gdyby 2 osoby z klasy III b przeszły do klasy III a, to w obu klasach byłaby taka sama liczba uczniów.

Gdyby zaś 6 osób z klasy III a przeszło do klasy III b, to w klasie III b byłoby 2 razy więcej uczniów niż
w klasie III a. Ile uczniów liczy klasa III a, a ilu III b?

[Odp. ܽ = 22, ܾ = 26.]

Ćwiczenie:

W dwóch koszykach znajdują się gruszki. Gdyby połowę gruszek znajdujących się w koszyku drugim

przełożyć do koszyka pierwszego, to w koszyku pierwszym będzie o 12 gruszek więcej niż w koszyku
drugim. Gdyby zaś z koszyka pierwszego przełożyć trzecią część znajdujących się w nim gruszek, to
w koszyku drugim będzie o 32 gruszki więcej niż jest obecnie w koszyku pierwszym. Ile gruszek jest
w każdym z koszyków?

[Odp. ݌ = 12, ݀ = 40.]

Ćwiczenie:

Dwa pociągi towarowe miały razem 200 wagonów. Na jednej ze stacji odpięto 20 wagonów z pociągu

pierwszego i 30 wagonów z pociągu drugiego. Następnie wagony odpięte z pociągu pierwszego dołą-
czono do pociągu drugiego, a te z odpięte z pociągu drugiego dołączono do pociągu pierwszego. Po ta-
kiej zamianie wagonów okazało się, że pociąg drugi ma o 50% więcej wagonów niż pociąg pierwszy. Ile
wagonów miał początkowo każdy z pociągów?

[Odp. ݌ = 70, ݀ = 130.]

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 19

Zadanie:

W 1991 roku dwaj robotnicy otrzymali za pracę 2 620 000 zł. Pierwszy pracował 15 dni, a drugi 14 dni. Ile

złotych dziennie zarabiał każdy z nich, jeśli wiadomo, że pierwszy robotnik za 4 dni otrzymał o 160 000 zł
więcej niż drugi za 3 dni?

Oznaczenia:

݌ — dniówka robotnika pierwszego
݀ — dniówka robotnika drugiego

Założenia:

݌ > 0
݀ > 0

Analiza treści zadania:

— tyle zarobił pierwszy robotnik przez 15 dni

— tyle zarobił drugi robotnik przez 14 dni

= 2 620 000 — tyle zarobili obaj robotnicy razem

݌ = 3݀ + 160 000 — na podstawie ostatniego zdania w treści zadania

Rozwiązanie:

൜

݌ + 14݀ = 2620000

݌ = 3݀ + 160000

Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania.

W równaniu drugim przenosisz wyrażenie 3d na lewą stronę równania ze zmienionym znakiem na prze-

ciwny. Równanie pierwsze przepisujesz bo nic z nim nie robisz.

൜

݌ + 14݀ = 2620000

/⋅ 3

݌ − 3݀ = 160000

/⋅ 14

Zauważasz, że przy niewiadomych ݀ masz przeciwne znaki, więc wygodnie będzie obie strony równania
pierwszego pomnożyć przez 3 a drugiego przez 14, by po dodaniu tych równań stronami zniknęła nie-
wiadoma ݀.

൜

݌ + 42݀ = 7 860 000

݌ − 42݀ = 2 240 000

Dodajesz równania stronami (kolumnami).

101

݌ = 10 100 000

/: 101

݌ = 100 000

݌ − 160000 = 3݀

4 ⋅ 100 000 − 160000 = 3

400 000 − 160000 = 3

240 000 = 3

/: 3

80 000 =

Sprawdzasz czy otrzymany wynik jest zgodny z poczynionym na początku założeniem. Jeśli tak, to obli-
czasz niewiadomą ݀. Jeśli nie to szukasz błędu w obliczeniach.

Niewiadomą ݀ wyliczasz np. z pierwszego równania głównego układu równań pisząc zamiast literki ݌ wy-
liczoną przed chwilą liczbę tj. 100 000.

Odp. Pierwszy robotnik zarabiał dziennie 100000 zł a drugi 80000 zł.

Ćwiczenie:

W dawnych czasach czas odmierzano za pomocą klepsydry. Na turnieju rycerskim jedna walka trwała

10 minut. Czas tej walki można było odmierzyć obracając małą klepsydrę 8 razy, a następnie dużą 4 ra-
zy lub małą 14 razy, a dużą 2 razy. Jaki czas odmierzały te klepsydry?

[Podpowiedź. Zmiennymi m i d oznacz czas jednego

obrotu odpowiednio klepsydry małej i dużej. Odp. m = 30 s, d = 90 s.]

Ćwiczenie:

Do zbiornika prowadzą dwie rury. Jeśli pierwszą z nich woda będzie wpuszczana przez 6 minut a drugą

przez 10 minut, to do basenu napłynie 228 litrów wody. Jeśli zaś pierwsza rura będzie otwarta przez 10
minut, a druga przez 6 minut, to do zbiornika napłyną 252 litry wody. Ile litrów wody wpływa do tego
zbiornika każdą z tych rur?

[Podpowiedź. Przez p i d oznacz ilość wody wpływającej odpowiednio przez rurę pierwszą i drugą w ciągu jednej

minuty. Odp. p = 18 l, d = 12 l.]

Ćwiczenie:

Do zbiornika prowadzą dwie rury. Jeśli pierwszą z nich woda będzie wpuszczana przez 12 minut a drugą

przez 7 minut, to do basenu napłyną 332 litry wody. Jeśli zaś pierwsza rura będzie otwarta 2 razy kró-
cej, a druga 2 razy dłużej, to do zbiornika wpłyną 376 litry wody. Ile litrów wody wpływa do tego zbior-

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 20

nika każdą z tych rur?

[Podpowiedź. Przez p i d oznacz ilość wody wpływającej odpowiednio przez rurę pierwszą i drugą w ciągu jednej minuty.

Odp. p = 16 l, d = 20 l.]

Ćwiczenie:

Do basenu prowadzą dwie rury. Jeśli pierwszą z nich woda będzie wpuszczana przez 10 godzin a drugą

przez 7 godzin, to do basenu napłynie 20,88 m

wody. Jeśli zaś pierwsza rura będzie otwarta przez 7

godzin, a druga przez 10 godzin, to do basenu napłynie 21,96 m

wody. Ile litrów wody wpływa do tego

basenu każdą z tych rur w ciągu minuty?

[Podpowiedź. 1 m

= 1000 litrów. Godzina ma 60 minut, czyli by zamienić godziny na minuty,

trzeba liczbę godzin pomnożyć przez 60. Odp. p = 18 l, d = 24 l.]

Ćwiczenie:

Do zbiornika prowadzą dwie rury. Pierwszą z nich można wlewać 16 litrów wody w ciągu minuty,

a drugą 20 litrów w ciągu minuty. Ile czasu potrzeba by przy otwartych obu tych rurach wlać do tego
zbiornika 216 litrów wody?

[Podpowiedź. Szukany czas wyrażony w minutach oznacz przez ݔ. Odp. 6 minut.]

Ćwiczenie:

Jaś napisał na kartce ułamek zwykły i zauważył, że jeśli zwiększy o 1 jego licznik i mianownik, to po-

wstanie ułamek

ర

ల

. Jeśli zaś od licznika i mianownika odejmie liczbę 2, to powstanie ułamek

భ

య

. Jaki uła-

mek napisał Jaś?

[Odp.

య

ఱ

]

Ćwiczenie:

Iga napisała na kartce ułamek zwykły i zauważyła, że jeśli zwiększy o 2 jego licznik, a mianownik zmniej-

szy o 2, to powstanie ułamek mający tę samą liczbę w liczniku i mianowniku. Jeśli zaś licznik zmniejszy
o 2, a mianownik zwiększy o 3, to powstanie jej ułamek

భ

మ

. Jaki ułamek napisała Iga?

[Odp.

భభ

భఱ

]

Ćwiczenie:

Krzyś napisała na kartce ułamek zwykły i zauważył, że jeśli jego licznik zwiększy 2 razy, a mianownik

zwiększy o 1, to powstanie mu liczba 1. Jeśli zaś licznik zmniejszy 3 razy, a mianownik zmniejszy o 1, to
powstanie mu ułamek

భ

ఱ

. Jaki ułamek napisał Krzyś?

[Odp.

ల

భభ

]

Ćwiczenie:

Matylda napisała na kartce ułamek zwykły właściwy i zauważyła, że jeśli jego licznik zwiększy 40 razy,

a mianownik pozostawi bez zmian, to licznik będzie 15 razy większy od mianownika. Dodatkowo za-
uważyła, że różnica między mianownikiem a licznikiem napisanego ułamka wynosi 5. Jaki ułamek napi-
sała Matylda?

[Odp.

య

ఴ

]

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 21

Zadanie:

Miara jednego z kątów trójkąta ABC wynosi 80˚ i jest ona równa różnicy dwóch pozostałych kątów. Jakie

miary mają kąty tego trójkąta?

Oznaczenia:

݌ — miara pierwszego kąta (można też zastosować oznaczenie: α)
݀ — miara drugiego kąta (można też zastosować oznaczenie: β)

Założenia:

݌ > 0
݀ > 0

Analiza treści zadania:

80°

݌ + ݀ = 180° — wynika to z faktu, że suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180˚

݌ − ݀ =

80°

— tyle wynosi różnica między dwoma pozostałymi kątami na podstawie treści zadania

Rozwiązanie:

൜

80° +

݌ + ݀ = 180°

݌ − ݀ =

80°

Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania.

W równaniu pierwszym przenosisz 80˚ na stronę prawą ze zmienionym znakiem. Równanie drugie prze-

pisujesz bo nic z nim nie robisz.

൜݌

݀ = 180° − 80°

݌ − ݀ = 80°

Zauważasz, że przy niewiadomych ݀ masz przeciwne znaki, więc wygodnie będzie zastosować metodę
przeciwnych współczynników. Obliczasz to co jest po stronie prawej pierwszego równania. Drugie rów-
nanie przepisujesz bo z nim nic nie robisz.

൜݌

݀ = 100°

݌ − ݀ = 80°

Dodajesz równania stronami (kolumnami).

݌ = 180°

/: 2

݌ =

90°

−

80°

90°

− 80°

10° =

Sprawdzasz czy otrzymany wynik jest zgodny z poczynionym na początku założeniem. Jeśli tak, to obli-
czasz niewiadomą ݀. Jeśli nie to szukasz błędu w obliczeniach.

Wyliczoną przed chwilą liczbę 90˚ wstawiasz do równania np. drugiego w wyjściowym układzie równań.
Dzięki temu dostajesz nowe równanie z niewiadomą d. Zauważasz, że wygodne będzie przeniesienie tej
niewiadomej na stronę prawą równania i jednoczesne przeniesienie liczby 80˚ ze strony prawej na stronę
lewą tegoż równania.

Ponieważ w treści zadania było zadane pytanie, więc trzeba jeszcze napisać odpowiedź. Zauważ jednak,
że pytanie dotyczy miar wszystkich kątów, a nie tylko tych dwóch które były wyliczane.

Odp. Kąty tego trójkąta mają miary: 10˚, 80˚, 90˚.

Ćwiczenie:

Jeden z kątów trójkąta ma miarę 15˚ a różnica dwóch pozostałych wynosi 45˚. Jakie miary mają kąty

tego trójkąta?

[Podpowiedź. Suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180˚. Odp.: 15˚, 60˚, 105˚.]

Zadanie:

Dowódca wojska ustawił żołnierzy w szeregach jeden za drugim. Gdyby zmniejszył liczbę szeregów o 5

i w każdym szeregu zmniejszyłby liczbę żołnierzy o 4, to liczba żołnierzy zmniejszyłaby się o 62. Gdyby zaś
zwiększył liczbę szeregów o 2 i liczbę żołnierzy w każdym szeregu o 3, to wszystkich żołnierzy byłoby o 50
więcej niż jest teraz. W ilu szeregach stali żołnierze? Ilu żołnierzy było w każdym z szeregów?

Oznaczenia:

s — liczba szeregów;

Założenie:

ݏ ∈ ℕ

ଵ

z — liczba żołnierzy w jednym szeregu;

Założenie:

ݖ ∈ ℕ

ଵ

w — liczba wszystkich żołnierzy;

Założenie:

ݓ ∈ ℕ

ଵ

Oznaczenie: ℕ

ଵ

oznacza zbiór liczb naturalnych dodatnich, czyli liczby: {

, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}. Używając takiego zapisu w założeniach za-

pewniasz sobie, że liczba szeregów oraz liczba żołnierzy nie może wyrażać się ułamkiem.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 22

Analiza treści zadania:

Masz kilka szeregów i po iluś żołnierzy w każdym szeregu. By szybko policzyć ilu tych żołnierzy jest, wy-
starczy liczbę szeregów pomnożyć przez liczbę żołnierzy stojących w jednym szeregu. Innymi słowy:

⋅

Jeśli zmniejszysz liczbę szeregów o

, to zamiast powyższego

będzie ich

ሺݏ

− 5

ሻ

Jeśli zmniejszysz liczbę żołnierzy w jednym szeregu o

, to zamiast powyższego

będzie ich

ሺݖ

− 4

ሻ

Zatem na podstawie treści zadania:

ሺݏ − 5ሻ ⋅ ሺݖ − 4ሻ = ݓ − 62

W analogiczny sposób na podstawie drugiej części zadania, układasz następne równanie:

ሺݏ + 2ሻ ⋅ ሺݖ + 3ሻ = ݓ + 50

Rozwiązanie:

൝

ݏ ⋅ ݖ = ݓ

ሺݏ − 5ሻ ⋅ ሺݖ − 4ሻ = ݓ − 62

ሺݏ + 2ሻ ⋅ ሺݖ + 3ሻ = ݓ + 50

Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania. Równanie pierwsze przepisujesz (ewentualnie

usuwasz w nim symbol mnożenia), bo nic z nim nie robisz. W równaniu drugim oraz trzecim wymnażasz

nawiasy przez siebie zgodnie z regułą wszystko przez wszystko. Pamiętaj, że takie mnożenie wykonuje

się zawsze razem ze znakami jakie stoją przed daną liczbą.

ቊ

− 4

ݏ − 5ݖ + 20 = ݓ − 62

+ 3

ݏ + 2ݖ + 6 = ݓ + 50

Zauważasz, że w równaniach 2 i 3 zamiast ݏݖ można napisać ݓ, bo tak masz w równaniu pierwszym.

Ponieważ równanie pierwsze zostało wstawione do równania 2 i 3, więc go już nie przepisujesz.

൜

− 4

ݏ − 5ݖ + 20 = ݓ − 62

+ 3

ݏ + 2ݖ + 6 = ݓ + 50

Przenosisz w obu równaniach wszystkie wyrażenia z ݏ i ݖ na stronę lewą, a pozostałe na stronę prawą
tychże równań.

൜

−4

ݏ − 5ݖ = ݓ − 62 − ݓ − 20

ݏ + 2ݖ = ݓ + 50 − ݓ − 6

Po prawych stronach tych równań wykonujesz redukcję wyrazów podobnych. Zauważasz więc, że zmien-
ne ݓ znikną.

ቊ

−4

ݏ − 5ݖ = −82

/⋅ 3

ݏ + 2ݖ = 44

/⋅ 4

Spostrzegasz, że przy niewiadomych ݏ są już przeciwne znaki (również przy niewiadomych ݖ). Wniosku-
jesz więc, że ten typ układu równań szybciej da się rozwiązać metodą przeciwnych współczynników niż
metodą podstawiania. Obie strony każdego z równań mnożysz przez taką liczbę, by po ich dodaniu stro-
nami otrzymać 0s lub 0z.

൜

−12

ݏ − 15ݖ = −246

ݏ + 8ݖ = 176

Dodajesz równania stronami (kolumnami) i wyliczasz ݖ.

−7

ݖ = −70

/: (−7)

ݖ =

Trzeba jeszcze wyliczyć niewiadomą ݏ. W tym celu obliczoną liczbę 10 wpisujesz do równania 2 i 3
w pierwszym układzie równań. Ponownie rozwiązujesz układ równań, ale tym razem wyliczasz z niego ݏ.

൝

ݏ ⋅ 10 = ݓ

ሺݏ − 5ሻ ⋅ ሺ10 − 4ሻ = ݓ − 62

ሺݏ + 2ሻ ⋅ ሺ10 + 3ሻ = ݓ + 50

൝

ሺݏ − 5ሻ ⋅ 6 = ݓ − 62

ሺݏ + 2ሻ ⋅ 13 = ݓ + 50

൜

ݏ − 30 =

− 62

ݏ + 26 =

+ 50

−30 + 62 = 10

ݏ − 6ݏ

ݏ − 10ݏ = 50 − 26

32 = 4

ݏ czyli 8 = ݏ

ݏ = 24 czyli ݏ = 8

Wyliczoną przed chwilą liczbę 90˚ wstawiasz do równania np. drugiego w wyjściowym układzie równań.
Dzięki temu dostajesz nowe równanie z niewiadomą d. Zauważasz, że wygodne będzie przeniesienie tej
niewiadomej na stronę prawą równania i jednoczesne przeniesienie liczby 80˚ ze strony prawej na stronę
lewą tegoż równania.

W równaniu drugim oraz trzecim zamiast ݓ piszesz 10ݏ bo tak masz w równaniu pierwszym. Równanie
pierwsze kasujesz, bo zostało ono wykorzystane.

Masz 2 równania o jednej zmiennej. Zatem jedno z tych równań jest zbyteczne do wyliczenia ݏ. Ja jednak
będę kontynuował obliczenia przekształcając je oba, by pokazać, że wynik końcowy wyjdzie taki sam.

Nie spiąłem tych równań klamerką, bo nie ma tu takiej potrzeby — jest tylko jedna niewiadoma.

Sprawdzasz, czy wyliczone ݖ oraz ݏ spełnia założenia poczynione na początku tego zadania. Jeśli tak, to
przystępujesz do napisania odpowiedzi, bo w treści zadania było zadane pytanie.

Odp. Było 8 szeregów, a w każdym szeregu po 10 żołnierzy.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 23

Ćwiczenie:

Gdyby w regale bibliotecznym zmniejszyć liczbę półek o 20%, a na każdej półce zwiększyć liczbę książek

o 50%, to książek w tym regale zmieściłoby się o 600 więcej. Natomiast gdyby w regale zwiększyć liczbę
półek o 10, a liczbę książek na każdej półce zmniejszyć o 20, to regał pomieściłby o 600 książek mniej.
Ile było półek i książek na każdej półce?

[Odp.

݌ = 50, ݇ = 60.]

Ćwiczenie:

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Jeśli jedną z jego przyprostokątnych skrócimy o 5 cm, a drugą wy-

dłużymy o 8 cm, to jego pole wzrośnie o 65 cm

. Jeśli zaś obie jego przyprostokątne skrócimy o 4 cm, to

jego pole zmaleje o 132 cm

. Jakie długości boków ma ten trójkąt?

[Podpowiedź: Pole trójkąta prostokątnego oblicza się

mnożąc ułamek ½ przez długości obu przyprostokątnych — wzór ten będzie pierwszym równaniem. Na podstawie treści ułóż jeszcze 2 równania. Rozwiąż

ten układ równań w podobny sposób jak zadanie powyższe o żołnierzach ustawionych w szeregi. Zauważ, że pytanie dotyczy długości wszystkich boków

trójkąta, a nie tylko długości przyprostokątnych. Oznacza to, że do wyliczenia długości najdłuższego boku tego trójkąta trzeba będzie posłużyć się tw. Pita-

gorasa. Odp.: 30 cm, 40 cm, 50 cm.]

Ćwiczenie:

Dany jest trójkąt równoramienny ABC. Jeśli jego podstawę wydłużymy o 6 cm, a wysokość opuszczoną

na tę podstawę skrócimy o 2 cm, to jego pole zwiększy się o 10 cm

. Jeśli zaś jego podstawę skrócimy

o 4 cm, a wysokość wydłużymy o 3 cm, to pole nie ulegnie zmianie. Jaką długość ma podstawa tego
trójkąta oraz wysokość opuszczona na tę podstawę?

[Podpowiedź: Trzeba ułożyć układ równań składający się z 3-ch równań.

Pierwszym z tych równań będzie wzór na pole trójkąta. Równanie drugie i trzecie ułóż zastępując obie niewiadome z pierwszego równania odpowiednimi

wyrażeniami. Odp.: 20 cm, 12 cm.]

Ćwiczenie:

Dane są dwa kwadraty o bokach a i b. Wiedząc, że różnica między długościami ich boków wynosi 7 cm,

a różnica ich pól powierzchni 91 cm

, oblicz długości boków tychże kwadratów.

[Podpowiedź: Ułóż 2 równania. Za-

stosuj metodę podstawiania oraz odpowiedni wzór skróconego mnożenia. W tym zadaniu nie wolno stosować metody przeciwnych współczynników, bo

równania są różnych stopni (w jednym z równań występuje potęga 2). Zauważ też, że w treści zadania nie ma zadanego pytania, więc nie trzeba pisać

słownej odpowiedzi. Wyniki: 3 cm i 10 cm.]

Ćwiczenie:

Obwód prostokąta wynosi 44 cm. Różnica dwóch boków nierównoległych do siebie jest równa 14 cm.

Jakie długości boków oraz pole ma ten prostokąt?

[Odp. a = 18 cm, b = 4 cm, P = 72 cm

Ćwiczenie:

Obwód prostokąta jest równy 66 cm. Jeżeli długość dłuższego boku zwiększymy o 75%, a krótszego

zmniejszymy o 10%, to pole tego prostokąta zwiększy się o 14950 mm

. Jakie wymiary ma ten prosto-

kąt?

[Podpowiedź. Długości boków wyraź najpierw w milimetrach. Odp.: 20 cm × 13 cm.]

Ćwiczenie:

Obwód równoległoboku jest równy 72 cm. Jakie długości mają boki tego równoległoboku, jeśli różnica

ich długości wynosi 12 cm.

[Odp. 24 cm i 12 cm.]

Ćwiczenie:

Obwód prostokąta jest równy 96 cm. Jeżeli krótszy bok wydłużymy o 6 cm, a dłuższy skrócimy o 6 cm,

to dostaniemy kwadrat. Jakie długości boków ma ten prostokąt?

[Odp. 30 cm, 18 cm.]

Ćwiczenie:

Obwód prostokąta jest równy 246 cm. Jeżeli krótszy bok skrócimy pięciokrotnie, a dłuższy skrócimy

dziesięciokrotnie, to dostaniemy kwadrat. Jakie długości boków ma ten prostokąt?

[Odp. 82 cm, 41 cm.]

Ćwiczenie:

W trapezie ABCD ∢

ܣ = 2ߙ, ∢ܤ = ߚ − ߙ, ∢ܥ = ߚ + 3ߙ, ∢ܦ = 150˚. Jakie miary mają kąty tego tra-

pezu?

[Podpowiedź. Wykorzystaj to, że suma kątów w każdym czworokącie wynosi 360˚, oraz to, że w trapezie suma kątów przy jednym ramieniu wy-

nosi zawsze 180˚. Odp. 30˚, 60˚, 120˚, 150˚.]

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 24

Zadanie:

Dana jest liczba dwucyfrowa. Różnica między jej cyfrą jedności a cyfrą dziesiątek wynosi 7. Dzieląc zaś tę

liczbę przez liczbę otrzymaną z przestawienia jej cyfr otrzymano ułamek

మ

వ

. Jaka to liczba?

Oznaczenia:

݆ — cyfra jedności napisanej liczby
݀ — cyfra dziesiątek napisanej liczby

Założenia:

݆ ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
݀ ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Analiza treści zadania:

݆ − ݀ = 7 — różnica między cyfrą jedności a cyfrą dziesiątek
Teraz zauważ jedną rzecz. Jak masz np. liczbę:

—

to możesz ją zapisać jako: 10 ⋅

ᇣᇤᇥ

ଷ଴

—

to możesz ją zapisać jako: 10 ⋅

ᇣᇤᇥ

ହ଴

—

to możesz ją zapisać jako: 10 ⋅

ᇣᇤᇥ

଻଴

—

to możesz ją zapisać jako: 10 ⋅

ᇣᇤᇥ

ଽ଴

Oczywiste, prawda? Teraz spójrz do treści zadania i zauważ, że nie znasz liczby o której mowa w zada-
niu. Wiesz natomiast, że w oznaczeniach poczynionych tuż przed analizą tego zadania, zamiast cyfry
dziesiątek (kolor czerwony) można napisać literkę

i zamiast cyfry jedności (kolor zielony) można napi-

sać literkę

. Zatem na podstawie powyższych podpunktów, dowolną liczbę dwucyfrową:

—

możesz zapisać jako: 10 ⋅

ᇣᇤᇥ

ଵ଴ௗ

Przestawiając zaś w niej cyfry, dostajesz nową liczbę dwucyfrową:

—

możesz zapisać jako: 10 ⋅

ᇣᇤᇥ

ଵ଴௝

Masz więc dwie liczby: 10

݀ + ݆ (poszukiwana liczba) oraz 10݆ + ݀ (otrzymana z przestawienia cyfr

w poszukiwanej liczbie). Skoro już wiesz jak symbolicznie zapisuje się te dwie liczby o których mowa
w zadaniu, więc teraz zapisz symbolicznie zdanie, które występuje jako trzecie w treści zadania:

݀ + ݆

݆ + ݀

Rozwiązanie:

ቐ

݆ − ݀ = 7

݀ + ݆

݆ + ݀

Pierwsze równanie powstało na podstawie drugiego zdania w treści zadania. Drugie równanie powstało

na podstawie trzeciego zdania w treści zadania, a wyjaśnienie tego zapisu zostało zrobione w analizie

zadania.

൜

݆ − ݀ = 7

ሺ

݀ + ݆

ሻ =

ሺ

݆ + ݀

ሻ

Równanie pierwsze zostało przepisane, bo nic z nim na razie nie było robione. W równaniu drugim zosta-
ło wykonane mnożenie po skosie, bo to tzw. proporcja (iloczyn wyrazów skrajnych równy jest iloczynowi
wyrazów środkowych).

൜

݆ − ݀ = 7

݀ + 9݆ = 20݆ + 2݀

Równanie pierwsze ponownie zostało przepisane, bo znowu z nim nic nie było robione. W równaniu dru-
gim zostało wykonane mnożenie liczb stojących przed nawiasami przez wszystko co jest nawiasach. Do-
chodząc do tego etapu warto się zastanowić, czy za chwilę zastosujemy metodę podstawiania, czy meto-
dę przeciwnych współczynników. Mi się wydaje, że łatwiej zadanie to będzie się liczyć metodą przeciw-
nych współczynników, więc w równaniu drugim wszystkie wyrażenia zawierające niewiadomą ݀ oraz ݆
przeniosę na stronę lewą, a wszystkie wyrażenia bez niewiadomych ݀ i ݆ na stronę prawą.

൜

݆ − ݀ = 7

+ 9

− 2

− 20

= 0

Równanie pierwsze zostało przepisane, bo nic z nim nie było robione. W równaniu drugim zostały prze-
niesione ze strony prawej na stronę lewą te wyrażenia, które zawierały niewiadomą ݀ lub ݆, oczywiście
ze zmienionymi znakami na przeciwne. Kolorem zielonkawym oraz niebieskim wyróżniłem wyrażenia po-
dobne czyli zawierające tę samą niewiadomą, by później móc je do siebie dodać.

൜

݆ − ݀ = 7

/⋅ 11

−11

+ 88

= 0

Obie strony równania pierwszego mnożę przez 11, by później po dodaniu obu równań stronami dostać 0݆
(metoda przeciwnych współczynników).

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 25

൜

݆ − 11݀ = 77

−11

݆ + 88݀ = 0

݀ = 77

/: 77

݀ = 1

݆ − ݀ = 7
݆ − 1 = 7
݆ = 7 + 1

݆ = 8

Sprawdzasz, czyli wyliczona liczba spełnia założenia poczynione na początku zadania. Jeśli tak, to prze-
chodzisz do wyliczenia cyfry jedności. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach.

Przepisuję równanie pierwsze w pierwotnego układu równań, by móc z niego wyliczyć ݆, czyli cyfrę jed-
ności poszukiwanej liczby.
Zamiast niewiadomej ݀ piszę wyliczoną przed chwilą liczbę 1.

Sprawdzasz, czyli wyliczona liczba spełnia założenia poczynione na początku zadania. Jeśli tak, to prze-
chodzisz do wyliczenia cyfry jedności. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach.

Odp. Poszukiwana liczba to 18.

Uwaga. Udzielając odpowiedzi do jakiegokolwiek zadania tekstowego, należy baczną uwagę zwracać na to, jakie by-

ło w nim zadane pytanie. W tym zadaniu chodziło o znalezienie liczby, a nie jej cyfr. Oznacza to, że udziele-
nie odpowiedzi, że

݀ = 1 zaś ݆ = 8 jest błędne i nie skutkuje przyznaniem punktów za odpowiedź np. na

pracy klasowej czy egzaminie. O sposobach zapisywania odpowiedzi możesz przeczytać na stronie 9.

Uwaga. W tego typu zadaniach, poszczególne rozwiązania muszą być liczbami całkowitymi nieujemnymi

i w dodatku mniejszymi od 10. Jeśli po dokonaniu obliczeń dostaliśmy wynik ujemny lub będący ułamkiem
lub pierwiastkiem z jakiejś tam liczby, to albo jest błąd w treści zadania, albo w obliczeniach. Najczęściej
jednak jest to błąd w obliczeniach którego trzeba się pozbyć. Pamiętaj aby każdy otrzymany wynik weryfi-
kować z treścią zadania. Warto to czynić poprzez robienie stosownych założeń natychmiastowo przy wpro-
wadzaniu zmiennych.

Ćwiczenie:

Dana jest liczba dwucyfrowa. Różnica między jej cyfrą jedności a cyfrą dziesiątek wynosi 5. Dzieląc zaś

tę liczbę przez liczbę otrzymaną z przestawienia jej cyfr otrzymano ułamek

య

ఴ

. Jaka to liczba?

[Odp. 27.]

Ćwiczenie:

Dana jest liczba dwucyfrowa. Różnica między jej cyfrą dziesiątek a cyfrą jedności wynosi 2. Dzieląc zaś

tę liczbę przez jej cyfrę jedności otrzymano liczbę 16. Jaka to liczba?

[Odp.: 64.]

Ćwiczenie:

Dana jest liczba dwucyfrowa. Suma jej cyfry dziesiątek i cyfry jedności wynosi 11. Różnica tej liczby

i liczby utworzonej z przestawienia jej cyfr wynosi 9. Jaka to liczba?

[Odp.: 65.]

Ćwiczenie:

Dana jest liczba dwucyfrowa. Suma cyfry dziesiątek i cyfry jedności wynosi 10. Iloraz tej liczby i liczby

utworzonej z przestawienia jej cyfr jest równy

భర

రభ

. Jaka to liczba?

[Podpowiedź: Iloraz to wynik dzielenia. Odp.: 28.]

Ćwiczenie:

Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa 7. Przestawiając w niej cyfry wyjdzie liczba o 9 mniejsza. Co to

za liczba?

[Odp. 43.]

Ćwiczenie:

Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa 9. Jeżeli przestawimy cyfry w tej liczbie, to otrzymamy liczbę

o 9 większą. Jaka to liczba?

[Odp. 45.]

Ćwiczenie:

Cyfra dziesiątek liczby dwucyfrowej jest 3 razy większa od cyfry jedności. Przestawiając cyfry w tej licz-

bie, wyjdzie liczba o 36 od niej mniejsza. O jakiej liczbie mowa?

[Odp. 62.]

Ćwiczenie:

Liczba dwucyfrowa jest 7 razy większa od sumy swoich cyfr. Jaka to liczba, jeśli dodatkowo wiadomo,

że przestawiając w niej cyfry dostaniemy liczbę o 18 od niej mniejszą?

[Odp. 42.]

Ćwiczenie:

Dodając do liczby dwucyfrowej potrojoną cyfrę dziesiątek dostaniemy liczbę 45. Przestawiając zaś jej

cyfry dostaniemy liczbę 1,4 raza większą od liczby 45. Co to za liczba?

[Odp. 36.]

Ćwiczenie*:

Dane są dwie liczby dwucyfrowe o tej samej sumie cyfr. Różnica między nimi jest równa sumie ich cyfr.

Przestawiając cyfry w każdej z tych liczb, dostaniemy taką samą różnicę jak poprzednio, choć tym ra-
zem pierwsza liczba będzie większa od drugiej. O jakich liczbach mowa?

[Podpowiedź: Należy ułożyć 3 równania o 2-ch

niewiadomych i stosując metodę podstawiania sprawić, by jedno z napisanych równań zniknęło. Cyfry dziesiątek i jedności pierwszej liczby oznacz odpo-

wiednio przez ݀ i ݆, zaś drugiej liczby odpowiednio przez ܦ i ܬ. Odp. Mowa o wszystkich liczbach dwucyfrowych w których suma cyfr jest równa 9.]

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 26

Zadanie:

W liczbie trzycyfrowej, cyfra dziesiątek jest równa 8. Suma dwóch skrajnych cyfr jest równa cyfrze środ-

kowej. Jaka to liczba, jeśli wiadomo, że zapisując jej cyfry w odwrotnej kolejności dostaniemy liczbę trzy-
cyfrową o 198 większą od niej?

Oznaczenia:

݆ — cyfra jedności
݀ — cyfra dziesiątek
ݏ — cyfra setek

Założenia:

ݏ ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
݆ ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Założenia na ݀ nie trzeba robić, bo nie będzie ono wyliczane — z treści zadania
wiadomo, że ݀ = 8.

Analiza treści zadania:

Zauważ, że jak masz np. liczbę:

—

to możesz ją zapisać jako: 100 ⋅

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ଷ଴଴

+ 10 ⋅

ᇣᇤᇥ

ଶ଴

—

to możesz ją zapisać jako: 100 ⋅

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ହ଴଴

+ 10 ⋅

ᇣᇤᇥ

଼଴

—

to możesz ją zapisać jako: 100 ⋅

ᇣᇧᇤᇧᇥ

଻଴଴

+ 10 ⋅

ᇣᇤᇥ

ସ଴

—

to możesz ją zapisać jako: 100 ⋅

ᇣᇧᇤᇧᇥ

ଽ଴଴

+ 10 ⋅

ᇣᇤᇥ

଺଴

Oczywiste, prawda? Teraz spójrz do treści zadania i zauważ, że nie znasz liczby trzycyfrowej o której
mowa w zadaniu. Wiesz natomiast, że zamiast cyfry setek (kolor czerwony) możesz napisać literkę

(bo

takie oznaczenie zostało użyte w oznaczeniach), zamiast cyfry dziesiątek (kolor zielony) możesz napisać
literkę

, a zamiast cyfry jedności literkę

. Zatem na podstawie powyższych podpunktów, dowolną

liczbę trzycyfrową

możesz zapisać jako:

100 ⋅

ᇣᇤᇥ

ଵ଴଴௦

+ 10 ⋅

ᇣᇤᇥ

ଵ଴ௗ

Przestawiając zaś w niej cyfry, dostajesz nową liczbę trzycyfrową

możesz zapisać jako:

100 ⋅

ᇣᇤᇥ

ଵ଴଴௝

+ 10 ⋅

ᇣᇤᇥ

ଵ଴ௗ

Masz więc dwie liczby: 100

ݏ + 10݀ + ݆ (poszukiwana liczba) oraz 100݆ + 10݀ + ݏ (otrzymana

z przestawienia cyfr w poszukiwanej liczbie). Skoro już wiesz jak symbolicznie zapisuje się te dwie liczby
o których mowa w zadaniu, więc możesz przystąpić do rozwiązywania tego zadania.

Rozwiązanie:

݀ = 8

ݏ + ݆ = ݀

100

݆ + 10݀ + ݏ

ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ

୪୧ୡ୸ୠୟ

୲୰୸୷ୡ୷୤୰୭୵ୟ

୮୭

୮୰୸ୣୱ୲ୟ୵୧ୣ୬୧୳

ୡ୷୤୰

100

ݏ + 10݀ + ݆

ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ

୮୭ୱ୸୳୩୧୵ୟ୬ୟ

୪୧ୡ୸ୠୟ

୲୰୸୷ୡ୷୤୰୭୵ୟ

+ 198

Równanie pierwsze zostało ułożone na podstawie pierwszego zdania w treści zada-
nia. Równanie drugie wynika ze zdania drugiego, a równanie trzecie ze zdania trze-
ciego. Przy układaniu zapisu tego równania tkwił jednak pewien haczyk. Otóż z tre-
ści zadania wynika, że liczba otrzymana z przestawienia cyfr jest o 198 większa od
danej liczby. Nie można zatem było użyć zapisu:

100ݏ + 10݀ + ݆

ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ

= 100݆ + 10݀ + ݏ

ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ

+ 198

bo wówczas strona lewa nie była by równa stronie prawej.

ቊ

ݏ + ݆ = 8

100

݆ + ݏ

100

ݏ + ݆

+ 198

Równanie pierwsze zniknęło, bo została użyta metoda podstawiania, która w każ-
dym miejscu tego układu równań zamiast niewiadomej ݀ napisała liczbę 8. W rów-
naniu ostatnim po obu stronach znaku równości zniknęło wyrażenie 10݀ (zostało
zastosowane odejmowanie stronami).

ቊ

ݏ + ݆ = 8

ݏ − 100ݏ + 100݆ − ݆ = 198

Równanie pierwsze zostało przepisane, bo nic z nim nie było robione. W równaniu
drugim na stronę lewą równania przeniesiono wszystkie wyrażenia zawierające nie-
wiadomą ݏ oraz ݆.

ቊ

ݏ + ݆ = 8

−99

ݏ + 99݆ = 198

/: 99

Równanie pierwsze zostało przepisane bo nic z nim nie było robione. W równaniu
drugim wykonano redukcję wyrazów podobnych, czyli dodano do siebie wyrażenia
zawierające tę samą niewiadomą. Dodatkowo w celu uproszczenia obliczeń, obie
strony równania drugiego podzielono przez 99.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 27

ቊ

ݏ + ݆ = 8

−

ݏ + ݆ = 2

Wykonano dodawanie równań stronami.

݆ = 10

/: 2

݆ = 5

Sprawdzasz, czy otrzymany wynik spełnia założenie poczynione na początku tego
zadania. Jeśli tak, przystępujesz do obliczenia cyfry setek. Jeśli nie, to szukasz błędu
w obliczeniach.

ݏ + 5 = 8
ݏ =

8 − 5

ݏ = 3

W równaniu drugim w wyjściowym układzie równań, zamiast niewiadomej ݆ piszesz
wyliczoną przed chwilą liczbę 5.

Sprawdzasz, czy otrzymany wynik spełnia założenie poczynione na początku tego
zadania. Jeśli tak, przystępujesz do napisania odpowiedzi, bo w treści zadania było
zadane pytanie. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach.

Odp. Poszukiwana liczba to 385.

Ćwiczenie:

W liczbie trzycyfrowej cyfra jedności jest równa 7. Skreślając w tej liczbie cyfrę dziesiątek dostaniemy

liczbę dwucyfrową 3 razy większą od skreślonej cyfry. O jakiej liczbie trzycyfrowej mowa?

[Podpowiedź: Nie roz-

wiązuj tego zadania za pomocą układów równań. Zastosuj własne logiczne myślenie. Odp. 297.]

Ćwiczenie:

Suma cyfr w liczbie dwucyfrowej jest równa 12. Jeśli między jej cyfry wstawimy cyfrę 5, to otrzymamy

liczbę o 860 większą od danej liczby dwucyfrowej. Co to za liczba?

[Podpowiedź. Wstawiając 5 pomiędzy cyfrę dziesiątek

a jedności, sprawimy, że cyfra dziesiątek stanie się cyfrą setek. Zatem jedno z równań musi wyglądać następująco: 100݀ + 50 + ݆ = 10݀ + ݆ + 860.
Odp. 93.]

Ćwiczenie:

Suma cyfr w liczbie dwucyfrowej jest równa 10. Jeśli po jej prawej stronie zostanie dopisana cyfra 6, to

w nowootrzymanej liczbie suma cyfry setek i jedności będzie 3 razy większa od cyfry dziesiątek. Jaka to
liczba?

[Odp.: 64.]

Ćwiczenie:

Suma cyfr w liczbie dwucyfrowej jest równa 9. Jeśli po jej lewej stronie zostanie dopisana cyfra 1, to

w nowootrzymanej liczbie suma cyfry setek i jedności będzie 4 razy większa od cyfry dziesiątek. Jaka to
liczba?

[Odp.: 27.]

Ćwiczenie:

Suma cyfr w liczbie dwucyfrowej jest równa 11. Jeśli po jej lewej stronie zostanie dopisana cyfra 2 razy

większa od cyfry jedności, to nowopowstała liczba będzie o 800 większa od danej liczby dwucyfrowej.
O jakiej liczbie mowa?

[Odp.: 24.]

Ćwiczenie:

Suma cyfr w liczbie dwucyfrowej jest równa 10. Jeśli po jej prawej stronie zostanie dopisana cyfra 2 ra-

zy większa od cyfry jedności, to nowopowstała liczba będzie o 173 większa od danej liczby dwucyfro-
wej. O jakiej liczbie mowa?

[Odp.: 19.]

Ćwiczenie:

Suma cyfr w liczbie trzycyfrowej wynosi 11. Zamieniając miejscami cyfrę pierwszą z ostatnią, dostanie-

my liczbę o 198 większą od danej liczby. Jaka to liczba, jeśli jej cyfra setek jest 2 razy mniejsza od cyfry
jedności?

[Odp. 254.]

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 28

Temat: Przydatne linki.

Warto zobaczyć:

Pełna wersja opracowania o układach równań.

http://matematyka.strefa.pl/uklady_rownan.pdf

Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania.

http://www.e-zadania.pl/materialy/lista,551,metoda-przeciwnych-wspolczynnikow.html

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników
Prezentacja Rozwiązywanie ukłądów równań metodą przeciwnych współczynników
zadania2, Znajdź metodą Kryłowa współczynniki wielomianu charakterystycznego macierzy
MNzadania pp2 07, Znajdź metodą Kryłowa współczynniki wielomianu charakterystycznego macierzy
MNzadania pp3 07, Znajdź metodą Kryłowa współczynniki wielomianu charakterystycznego macierzy
zadania, Znajdź metodą Kryłowa współczynniki wielomianu charakterystycznego macierzy
Edukacja ochroniarza dla przeciwdzialania wspolczesnym zagrozen
zadania3, Znajdź metodą Kryłowa współczynniki wielomianu charakterystycznego macierzy
37 Kratownica typu K metoda przecięć Rittera
Metoda projektów, Współczesne koncepcje pedagogiki przedszkolnej i wczesnoszkolnej
Węgierski bunt przeciw współczesnemu neoimperializmowi
36 Kratownica typu N metoda przecięć Rittera
Dysleksja, dysgrafia i dysortografia oraz glottodydaktyka jako metoda przeciwdzi
37 Kratownica typu K metoda przecięć Rittera

więcej podobnych podstron