1. Wielkości w ruchu obrotowym
2. Moment pędu i moment siły
2. Zasada zachowania momentu pędu
3. Siły centralne: moment pędu jest zachowany
4. Ruch obrotowy bryły sztywnej względem ustalonej osi
-II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
-moment bezwładności
-energia kinetyczna ruchu obrotowego
5. Precesja

ZASADA ZACHOWANIA

MOMENTU PĘDU: PODSTAWY

DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ

WIELKOŚCI W RUCHU OBROTOWYM: PRĘDKOŚĆ

KĄTOWA

r



V

dt

d





Prędkość kątowa jest
wektorem

r



V

Kierunek wektora
prędkości kątowej zależy
od kierunku obrotu

r

V













Kierunek wektora prędkości
kątowej określony jest
regułą prawej dłoni

Prędkość punktu w ruchu po okręgu można opisać szybkością
zmian kąta  zakreślonego przez wektor wodzący punktu

dt

d





WIELKOŚCI W RUCHU OBROTOWYM:

PRZYŚPIESZENIE KĄTOWE





V



dt

d









Przyśpieszenie
kątowe jest
wektorem

Przyśpieszenie punktu w ruchu po okręgu można opisać
szybkością zmian prędkości kątowej 

dt

d





V’

a

s

a’

s



V



dt

d









Przyśpieszenie
kątowe jest
wektorem

Kierunek wektora
przyśpieszenia kątowego
zależy od kierunku zmian 

WIELKOŚCI W RUCHU OBROTOWYM:

PRZYŚPIESZENIE KĄTOWE

Przyśpieszenie punktu w ruchu po okręgu można opisać
szybkością zmian prędkości kątowej 

dt

d





r

a

s













a

s

- przyśpieszenie

styczne do toru

Kierunek wektora

przyśpieszenia

kątowego określony jest

regułą prawej dłoni

s

a





s

a

a

s

’

a

s

MOMENT SIŁY I MOMENT PĘDU

Moment pędu pojedynczej cząstki w stosunku
do początku inercjalnego układu odniesienia
wynosi

DEFINICJA MOMENTU PĘDU

V

m

r

p

r

L



















L=r 

p

mom. siły

mom. pędu

DEFINICJA MOMENTU SIŁY

x

y

z

r

F

N=r 

F

V

Moment siły pojedynczej cząstki w stosunku do
początku inercjalnego układu odniesienia wynosi

F

r

N











Ruch obracającego się ciała można zmienić przykładając do niego moment siły

Jeśli do ciała przyłożony jest moment siły, to moment pędu ciała
zmienia się

W jakich okolicznościach moment pędu
może się zmienić?

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU

dt

p

d

r

p

dt

r

d

dt

)

p

r

(

d

dt

L

d



























dt

p

d

r

)

v

m

v

(

dt

L

d



















dt

p

d

r

dt

L

d











Szybkość
zmiany
momentu pędu
wynosi:

x

z

F

y

r

p

Jeśli brak jest zewnętrznego momentu
siły to moment pędu układu mas jest
zachowany

0

N

zewn







L



const

z

x

y

2

1

L(t=0)=L

1

+

L

2

z

x

y

z

x

y

1

2

L(t)=L

1

’+L

2

’=

L(t=0)

z

F

12

x

y

1

2

F

21

2

L(t=0)=L

1

+

L

2

L(t)=L

1

’+L

2

’=

L(t=0)

F

r

dt

L

d











zachowanie
L

F

x

z

x

y

p

p

x

z

x

y

F

x

F

p

z

x

y

r

RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ WZGLĘDEM

NIERUCHOMEJ OSI

Bryła obraca się ze stałą prędkością kątową  wokół stałej

osi z

obrót bryły
względem stałej osi
w kierunku z

Różne części ciała mają różną prędkość liniową V

i

chociaż tą

samą kątową . Prędkość elementu m

i

masy w położeniu r

i

wynosi V

i

= r

i

.

I-moment bezwładności























i

2

i

i

i

i

i

i

z

m

r

r

m

r

V

m

r

L

i

I

L

I

L

z

z















Jeśli bryła obraca się ze stałą prędkością kątową  wokół stałej

osi to składowa jej momentu pędu wzdłuż tej osi wynosi

I

L

z







Jaki jest moment pędu
bryły?



z

y

x

W ogólności jest to skomplikowane zagadnienie: trzeba
zsumować iloczyny

, w wyniku czego

moment pędu będzie zależał od rozłożenia masy w bryle.

i

i

i

m

V

r









V

i

r

i

L

i

r



V

i

L

z

Jednak składowa z momentu pędu może być łatwo obliczona,
ponieważ prędkość V

i

leży w płaszczyźnie xy















i

i

i

z

i

i

z

V

Δm

r

L

Δm

V

r

L







W ogólności jest to skomplikowane zagadnienie: trzeba
zsumować iloczyny

, w wyniku czego

moment pędu będzie zależał od rozłożenia masy w bryle.

i

i

i

m

V

r









Jeśli obracająca się bryła jest symetryczna względem
osi obrotu, to jej całkowity momentu pędu wynosi

I

ω

L 





RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ WZGLĘDEM

NIERUCHOMEJ OSI



z

r

i

V

i

obrót bryły
względem stałej osi
w kierunku z

w jaki sposób można zmienić moment pędu takiej
bryły?

Składowa zewnętrznego momentu siły, równoległa do osi obrotu ustalonej w
układzie inercjalnym (lub przechodzącej przez środek masy), działającego na
obracające się ciało równa jest iloczynowi momentu bezwładności i
przyśpieszenia kątowego względem tej osi





I

N

zewn

ale ponieważ

więc













I

dt

d

I

dt

dL

z

zewn

N

dt

L

d







z

,

zewn

z

N

dt

dL



I

L

z







PRZYKŁAD: TOCZENIE PO RÓWNI

Pełny walec o masie M toczy się bez poślizgu po równi
o dl. L nachylonej pod kątem  do poziomu. Ile wynosi

prędkość środka masy walca w najniżej położonym
punkcie równi?



G

R

T

L

x

y

r

Na walec działają siły: G, R i T, ale tylko T ma niezerowy moment siły względem
osi obrotu. Czyli : N=Tr = I

Ponieważ I dla walca wynosi

I=(1/2)Mr

2

, stąd:

Tr=(1/2)Mr

2

*

Położenie osi zmienia się w taki sposób, jakby wszystkie siły były przyłożone do
środka masy

Ma

sm

= G+ R + T Współrzędna obu stron tego równania wzdłuż

x wynosi:

Ma=Mgsin-T.

Jeśli toczenie bez poślizgu, to ruch postępowy środka masy i ruch obrotowy wokół
osi obrotu walca są powiązane: a=*r =a/r.

Tr=(1/2)Mr*a

T=(1/2)M*a

a=2/3gsin Ponieważ V=at i L=at

2

/2,

Ma=Mgsin-T

Ma=Mgsin-T







sin

gL

3

4

La

2

V

Środek masy walca będzie się poruszał tak, jakby
wszystkie siły zewnętrzne (R, T i G) były do niego
przyłożone, czyli walec będzie się obracał względem
osi przechodzącej przez środek masy.

N=I

ROZWIĄZANIE

PRZYKŁAD: ZDERZENIE POCISKU Z WALCEM

V

0

d

Pocisk o masie m i prędkości V

0

uderza w lity walec

o masie M i promieniu R. Walec, mogący się
obracać względem nieruchomej osi przechodzącej
przez oś, jest początkowo w spoczynku, a miejsce
uderzenia pocisku jest w odległości d<R od osi
walca. Jaka jest prędkość kątowa walca, jeśli pocisk
utkwił tuż przy jego powierzchni

z

x

y

Ponieważ zewnętrzny moment siły względem dowolnego punktu na osi walca
jest zero, dlatego moment pędu układu jest taki sam przed jak i po zderzeniu.

czyli

zˆ

d

mV

V

m

)

yˆ

d

xˆ

x

(

p

r

L

0

0

przed





















)

mR

MR

2

1

(

zˆ

)

mR

MR

2

1

(

I

L

2

2

2

2

po























2

2

0

mR

MR

2

1

d

mV







MOMENTY BEZWŁADNOŚCI: OBLICZANIE



r

i

Moment bezwładności względem osi obrotu, to suma mas i
odległości od osi obrotu











dm

r

m

r

I

2

i

2

i

moment bezwładności obręczy

R

Ponieważ masa jest rozłożona symetrycznie i w odległości R
względem osi obrotu, to

m

R

dm

r

I

2

2







moment bezwładności walca

R

dm’

Walec składa się z pierścieni o masie dm’ i w odległości r
względem osi obrotu, to

2

MR

dr

r

R

M

2

R

M

r

2

dr

r

'

dm

r

dm

r

I

2

R

0

3

2

2

R

0

2

2

2





























MOMENTY BEZWŁADNOŚCI: TWIERDZENIE STEINERA

Moment bezwładności
względem osi obrotu, to suma
mas i odległości od osi obrotu











dm

r

m

r

I

2

i

2

i

Przykład: moment
bezwładności walca

2

MR

3

MR

2

MR

I

2

2

2







R

oś obrotu

Moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy
momentowi bezwładności względem osi do niej
równoległej i przechodzącej przez środek masy plus
iloczyn masy przez kwadrat odległości między obiema
osiami







i

2

Δm

a

I

0

I

śm

Oznaczmy przez I

0

moment

bezwładności jeśli oś obrotu
przechodzi przez środek masy

0

I

a

A jaki jest moment bezwładności względem innej osi, nie
przechodzącej przez środek masy?

śm

ENERGIA KINETYCZNA RUCHU OBROTOWEGO

Jeśli bryła obraca się wokół stałej osi to całkowita energia kinetyczna jest sumą
energii kinetycznych poszczególnych mas m:























i

i

2

i

i

2

2

i

i

i

2

i

i

K

r

m

2

1

)

r

(

m

2

1

v

m

2

1

E

PRZYKŁAD
:



h

T

L

E

p

=mgh

Korzystając z zasady zachowania energii obliczyć
prędkość środka masy walca u podnóża równi

E

K

=(mV

2

+I

2

)/

2

Energia potencjalna na szczycie przekształca się w energię
kinetyczna ruchu postępowego i obrotowego

E

p

=E

K

(mV

2

+I

2

)/2=m

gh

Ale:
I=mr

2

/2 i =V/r, to

















sin

gL

3

4

V

sin

gL

4

3

V

sin

mgL

r

V

2

mr

2

1

2

mV

2

2

2

2

2

I

2

1

E

2

K





ANALOGIE W RUCHU OBROTOWYM I POSTĘPOWYM

Odpowiadające sobie wielkości i równania dla ruchu postępowego i
obrotowego

Ruch liniowy

Ruch obrotowy

wielkości

Równania
kinematyczne

Równania
dynamiczne

położenie
prędkość

kąt

prędkość kątowa

przyśpieszenie kątowe

przyśpieszeni
e

masa

pęd

siła

moment
bezwładności

moment pędu
moment siły

N

N

E

K

=

E

K

=

Bąk symetryczny podparty u podstawy,
wiruje z bardzo dużą prędkością kątową
. Jego chwilowy moment pędu wynosi

L=I, czyli skierowany jest wzdłuż osi

obrotu. Jaki będzie ruch bąka, jeśli
przestanie działać podtrzymująca go siła?

r

sm

L

PRECESJA













I

mgr

L

Gr

dt

d

sm

sm

R

G

- siła reakcji R podłoża przyłożona do punktu podparcia (moment siły pochodzący
od tej siły wynosi 0).

Na bąk działają dwie siły:
- ciężkości G=mg, (moment siły z nią
związany, obliczony względem punktu
podparcia, wynosi N=r

sm

XG i jest

skierowany ll do podłoża),

N

dL

Całkowity moment siły N=r

sm

XG powoduje zmianę momentu pędu dL=Ndt, czyli w

kierunku  do L (bo N jest  do r

sm

, a r

sm

ll L).  L obraca się (

precesuje

) wokół

kierunku równoległego do działającej siły.

d



Lsin

dL=r

sm

Gsin



Ponieważ dL=r

sm

Gsin()dt, a kąt d wynosi: d=dL/Lsin()= r

sm

Gsin()dt/

Lsin()=

= r

sm

Gdt/ L, więc prędkość kątowa precesji