1
Rozwiązanie jednorodnego równania stanu,
przy u(t) = 0 będzie miało postać:
Dla układu równań wyższych rzędów stosujemy
metodę uzmienniania stałej:
Można zapisać –
t
Bu
t
Ax
t
x
ROZWIĄZYWANIE RÓWNANIA
STANU
K
e
t
x
At
t
K
e
t
x
At
t
Bu
t
Ax
t
x
t
Bu
e
t
Ax
t
x
e
At
At
t
Bu
e
t
x
e
dt
d
At
At
2
ROZWIĄZYWANIE RÓWNANIA
STANU
Całkując równanie:
Otrzymuje się –
t
Bu
e
t
x
e
dt
d
At
At
'
'
0
0
'
dt
t
Bu
e
x
t
x
e
t
At
At
'
'
0
0
'
dt
t
Bu
e
x
e
t
x
t
t
t
A
At
3
ROZWIĄZYWANIE RÓWNANIA
STANU
Występująca w równaniu macierz
jest
nazywana
macierzą
podstawową
lub
tranzycyjną) układu.
t
A
e
t
d
u
B
e
x
e
t
x
t
t
A
t
t
A
0
0
0
t
u
D
t
x
C
t
y
t
u
D
d
u
B
e
x
e
C
t
y
t
t
A
t
t
A
0
0
0
4
ROZWIĄZYWANIE RÓWNANIA
STANU
W rozwiązaniu wyróżniamy dwa człony:
• człon pierwszy, zależy od wektora stanu
początkowego x
0
, występuje tylko przy stanie
początkowym niezerowym; stanowi on odpowiedź
układu na stan początkowy co fizycznie oznacza, że
źródłem stanu nieustalonego jest energia
zmagazynowana w cewkach i kondensatorach;
• człon drugi jest pod względem matematycznym
splotem dwóch funkcji macierzowych; stanowi on
odpowiedź obwodu na działanie wektora wymuszeń
u(t).
t
u
D
d
u
B
e
x
e
C
t
y
t
t
A
t
t
A
0
0
0
5
ROZWIĄZYWANIE RÓWNANIA
STANU – PRZYPADKI
SZCZEGÓLNE
Jeżeli wszystkie elementy wektora wymuszeń są
impulsami Diraca to wektor wymuszeń można
zapisać w postaci:
Gdzie U
i
są współczynnikami (polami)
poszczególnych impulsów
wówczas można zapisać:
t
U
t
U
U
t
u
T
n
,...
1
U
B
e
x
e
t
x
t
A
t
A
0
t
U
D
U
B
e
C
x
e
C
t
y
t
A
t
A
0
6
ROZWIĄZYWANIE RÓWNANIA
STANU – PRZYPADKI
SZCZEGÓLNE
Jeżeli U
i
= 1, przy zerowych warunkach
początkowych – [x(0)] = 0 to odpowiedzi będą
odpowiedziami impulsowymi k(t) układu.
wówczas można zapisać:
Element k
ij
(t) macierzy [k(t)] stanowi i-ty sygnał
wyjściowy, przy pobudzeniu impulsem Diraca tylko j-
tego wejścia (pozostałe zwarte).
t
D
B
e
C
t
k
t
A
t
U
D
U
B
e
C
x
e
C
t
y
t
A
t
A
0
7
ROZWIĄZYWANIE RÓWNANIA
STANU – PRZYPADKI
SZCZEGÓLNE
Jeżeli wszystkie elementy wektora wymuszeń są
impulsami jednostkowymi to wektor wymuszeń można
zapisać w postaci:
Gdzie U
i
są wartościami skoków poszczególnych
impulsów dla t = 0
wówczas można zapisać:
t
U
t
U
U
t
u
T
n
1
1
,...
1
U
B
e
A
x
e
t
x
t
A
t
A
1
0
1
t
U
D
U
B
e
A
C
x
e
C
t
y
t
A
t
A
1
1
0
1
8
Macierz podstawową obwodu można przedstawić w
postaci szeregu nieskończonego
Szereg ten jest jednostajnie zbieżny dla
skończonych wartości t. Metoda rozwinięcia w
szereg nieskończony przy obliczeniach ręcznych
może być stosowana do bardzo prostych
przypadków. Można ją stosować bez ograniczeń do
obliczeń numerycznych.
OBLICZANIE MACIERZY [e
[A]t
]
0
!
1
n
n
n
t
A
t
A
n
e
n
n
t
A
A
n
t
A
t
A
t
e
!
.....
!
2
!
1
1
2
2
9
Jeżeli [A] będzie macierzą kwadratową stopnia n.
Wtedy macierz
nazywa się macierzą charakterystyczną macierzy
kwadratowej [A] przy czym [l] oznacza macierz
jednostkową a λ stanowi wielkość skalarną
rzeczywistą lub zespoloną. Wyznacznik macierzy
charakterystycznej jest wielomianem stopnia n
względem λ i nosi nazwę wielomianu
charakterystycznego macierzy kwadratowej [A].
Uwaga! Wielomian charakterystyczny określa się
zwykle jako det([A]-λ[1]) ale można wykazać, że jest
spełniona zależność:
WARTOŚCI WŁASNE I WEKTORY
WŁASNE MACIERZY
KWADRATOWEJ
A
1
A
A
n
1
det
1
1
det
10
Równaniem charakterystycznym macierzy [A]
nazywamy równanie o postaci:
Pierwiastki tego równania λ
1
, λ
2
, ... , λ
n
nazywamy pierwiastkami charakterystycznymi
lub wartościami własnymi macierzy
kwadratowej [A]
RÓWNANIE
CHARAKTERYSTYCZNE
MACIERZY
0
1
det
A
g
11
Każdy wektor niezerowy x, spełniający równanie:
nazywamy wektorem własnym macierzy [A]
odpowiadającym λ. Jeżeli macierz [A] ma różne
wartości własne, to każdej wartości własnej
odpowiada jeden liniowo niezależny wektor własny.
WEKTOR WŁASNY MACIERZY
i
i
i
x
x
A
n
n
n
x
x
A
x
x
A
x
x
A
.....
..........
2
2
2
1
1
1
12
Każda macierz kwadratowa spełnia swoje
równanie charakterystyczne.
Dla równania charakterystycznego macierzy [A]
o postaci
Jest zatem słuszne równanie
TWIERDZENIE CAYLEYA-
HAMILTONA
0
g
0
A
g
13
Funkcja macierzy kwadratowej [A] stopnia n może
być przedstawiona jako suma skończonego szeregu
o postaci:
Są spełnione równania:
ZASTOSOWANIE TWIERDZENIA
CAYLEYA-HAMILTONA
1
1
1
0
1
0
...
1
n
n
n
k
k
k
t
A
A
t
A
t
t
A
t
e
A
f
1
1
0
0
1
2
1
2
0
0
2
1
1
1
1
0
0
1
...
.
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
...
...
2
1
n
n
n
n
t
n
n
n
t
n
n
t
t
t
t
e
f
t
t
t
e
f
t
t
t
e
f
n
14
Przedstawiony układ równań można przedstawić w
postaci macierzowej
Równanie to ma rozwiązanie, gdy wyznacznik
Vandermonde'a macierzy kwadratowej, po prawej
stronie równania jest różny od zera. Jest tak wtedy,
gdy wartości własne λ
1
, λ
2
,...,λ
n
są pojedyncze.
ZASTOSOWANIE TWIERDZENIA
CAYLEYA-HAMILTONA
t
t
t
e
e
e
n
n
n
n
n
n
t
t
t
n
1
1
0
1
1
2
2
1
1
1
...
...
1
...
...
...
...
...
1
...
1
...
2
1
15
Po obliczeniu współczynników α
0
(t), α
1
(t),..., α
n-1
(t)
stosujemy zależność:
Liczba wyrazów otrzymanego szeregu zależy od
stopnia macierzy kwadratowej [A].
Metoda rozwinięcia w szereg skończony jest
szczególnie przydatna wtedy, gdy macierz
kwadratowa A ma wielokrotne wartości własne.
ZASTOSOWANIE TWIERDZENIA
CAYLEYA-HAMILTONA
1
1
1
0
1
0
...
1
n
n
n
k
k
k
t
A
A
t
A
t
t
A
t
e
A
f
16
Niech macierz [A] ma m-krotną wartość własną λ.
W celu obliczenia współczynników α
0
(t), α
1
(t),..., α
n-
1
(t) należy napisać dodatkowe równania w liczbie m
i
,
uzyskane w wyniku obustronnego zróżniczkowania
równania:
ZASTOSOWANIE TWIERDZENIA
CAYLEYA-HAMILTONA
t
i
i
e
f
17
Otrzymuje się :
ZASTOSOWANIE TWIERDZENIA
CAYLEYA-HAMILTONA
t
m
m
t
m
m
m
t
t
t
t
e
t
d
e
d
d
f
d
e
t
d
e
d
d
f
d
te
d
de
d
df
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
.
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
18
ZASTOSOWANIE TWIERDZENIA
CAYLEYA-HAMILTONA
Rozpatrzmy obwód przy pobudzeniach E(t) = δ(t),
J(t) = δ(t) oraz wartościach elementów R = 5/3Ω, L
= 1H, C
1
= 0,1F, C
2
=1F,
19
0
0
1
0
0
1
0
5
3
1
0
5
3
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
R
R
C
ZASTOSOWANIE TWIERDZENIA
CAYLEYA-HAMILTONA
0
0
1
0
6
10
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
2
1
1
C
RC
C
L
L
A
0
6
11
6
0
1
0
6
10
1
1
1
det
2
3
A
Równanie charakterystyczne macierzy stanu
przyjmie postać:
Uzyskamy następujące wartości własne: λ
1
= -1, λ
2
=
-2, λ
3
= -3
20
ZASTOSOWANIE TWIERDZENIA
CAYLEYA-HAMILTONA
Współczynniki α
k
obliczyć można z zależności:
1
0
n
k
k
i
k
t
t
e
i
Można zatem
napisać:
dla i = 1,
….n
2
1
2
1
1
0
1
t
e
2
2
2
2
1
0
2
t
e
2
3
2
3
1
0
3
t
e
21
ZASTOSOWANIE TWIERDZENIA
CAYLEYA-HAMILTONA
Podstawiając wartości parametrów λ można obliczyć
wartości współczynników α
k
:
2
1
0
t
e
2
1
0
2
4
2
t
e
2
1
0
3
9
3
t
e
t
t
t
e
e
e
3
2
0
3
3
t
t
t
e
e
e
3
2
1
2
3
4
2
5
t
t
t
e
e
e
3
2
2
2
1
2
1
22
ZASTOSOWANIE TWIERDZENIA
CAYLEYA-HAMILTONA
Obliczanie macierzy [e
[A]t
] z
zależności:
1
1
1
0
1
0
...
1
n
n
n
k
k
k
t
A
A
t
A
t
t
A
t
e
Dla rozpatrywanego obwodu macierz [e
[A]t
] liczymy
z zależności:
23
ZASTOSOWANIE TWIERDZENIA
CAYLEYA-HAMILTONA
Obliczanie macierzy
[e
[A]t
] :
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
t
A
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
0
0
0
0
10
26
60
0
6
11
0
0
0
6
10
0
0
0
0
0
0
0
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
A
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
1
2
2
5
2
1
2
1
2
3
4
2
5
5
10
5
5
5
15
20
5
2
3
4
2
5
2
3
2
2
1
2
9
8
2
5
24
ZASTOSOWANIE TWIERDZENIA
CAYLEYA-HAMILTONA
Obliczanie wektora wyjściowego [y(t)] z
zależności:
t
U
D
U
B
e
C
x
e
C
t
y
t
A
t
A
0
Dla zerowych warunków początkowych
wektor wyjściowy [y(t)] oblicza się z
zależności:
t
U
D
U
B
e
C
t
i
t
i
t
i
t
i
t
y
t
A
C
L
C
2
1
25
ZASTOSOWANIE TWIERDZENIA
CAYLEYA-HAMILTONA
Obliczanie wektora wyjściowego [y(t)] :
t
t
e
t
i
t
i
t
i
t
i
t
y
t
A
C
L
C
1
1
1
0
0
0
0
5
3
0
5
3
1
1
1
0
0
6
0
0
0
0
1
0
0
1
0
5
3
1
0
5
3
0
2
1
t
U
D
U
B
e
C
t
y
t
A
26
ZASTOSOWANIE TWIERDZENIA
CAYLEYA-HAMILTONA
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
A
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
1
2
2
5
2
1
2
1
2
3
4
2
5
5
10
5
5
5
15
20
5
2
3
4
2
5
2
3
2
2
1
2
9
8
2
5
1
1
1
0
0
6
0
0
t
A
e
Obliczenie
iloczynu:
gdzi
e:
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
e
e
e
e
e
3
2
3
2
3
2
2
7
8
2
11
35
40
11
2
21
16
2
11
27
ZASTOSOWANIE TWIERDZENIA
CAYLEYA-HAMILTONA
Obliczanie wektora wyjściowego [y(t)] :
t
t
t
e
e
e
e
e
e
e
e
e
t
y
t
t
t
t
t
t
t
t
t
0
5
3
5
3
2
7
8
2
11
35
40
11
2
21
16
2
11
0
0
1
0
0
1
0
5
3
1
0
5
3
0
3
2
3
2
3
2
t
e
e
e
e
e
e
t
e
e
e
t
e
e
e
t
y
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
3
2
3
2
3
2
3
2
2
21
16
2
11
2
21
16
2
11
5
3
2
21
8
10
11
5
3
21
24
5
33
t
i
t
i
t
i
t
i
t
y
C
L
C
2
1
28
Jednorodne różniczkowe równanie stanu
można przedstawić w postaci operatorowej
lub
METODA PRZEKSZTAŁCENIA
LAPLACE'A
t
x
A
t
x
s
X
A
x
s
X
s
0
0
1
1
x
A
s
s
X
29
Rozwiązanie różniczkowego równania stanu
ma postać:
stosując odwrotne przekształcenie Laplace'a dla
otrzymamy
METODA PRZEKSZTAŁCENIA
LAPLACE'A
t
x
A
t
x
0
1
1
1
x
A
s
t
x
L
0
x
e
t
x
t
A
0
1
1
x
A
s
s
X
30
Porównując zależności
oraz
otrzymamy
W celu wyznaczenia macierzy [e
[A]t
] należy znaleźć
macierz odwrotną macierzy s[1]-[A], a następnie
dokonać odwrotnego przekształcenia Laplace'a
każdego elementu uzyskanej macierzy.
METODA PRZEKSZTAŁCENIA
LAPLACE'A
0
1
1
x
A
s
t
x
0
x
e
t
x
t
A
1
1
1
A
s
e
t
A
L
31
Jeżeli równanie charakterystyczne macierzy [A] o
wymiarach n x n ma jednokrotne wartości
własne λ
1
,λ
2
,...,λ
n
, a funkcja g(λ) przyjmuje wartości
skończone co oznacza, że jest ona określona w
widmie macierzy [A], to funkcję f([A]) można
przedstawić za pomocą szeregu skończonego o
postaci:
ZASTOSOWANIE WZORU
INTERPOLACYJNEGO
SYLVESTERA
r
z
r
z
r
z
z
n
r
r
A
f
A
f
1
1
n
r
r
r
r
r
r
n
r
r
n
r
r
A
A
A
A
f
A
f
...
...
1
...
1
1
...
1
1
1
1
1
1
1
1
32
W szczególnym przypadku funkcji wykładniczej,
f([A]) = e
[A]t
, wzór interpolacyjny Sylvestera przyjmie
postać:
ZASTOSOWANIE WZORU
INTERPOLACYJNEGO
SYLVESTERA
r
s
r
s
r
s
s
n
r
t
t
A
A
e
e
r
1
1
33
Dla danej macierzy kwadratowej [A] o
jednokrotnych wartościach własnych, stosując
przekształcenie liniowe można dokonać zmiany bazy
i uzyskać macierz [D] określoną następująco:
przy czym macierz [P] jest nieosobliwą macierzą
przekształcenia, której kolumnami są wektory
własne macierzy [A].
Macierze [A] oraz [D] mają takie same wartości
własne.
METODA WEKTORÓW WŁASNYCH
P
A
P
D
1
34
Macierz D uzyskana ma postać diagonalną i
charakteryzuje się tym, że na głównej przekątnej
występują jej wartości własne
Można wykazać, że
METODA WEKTORÓW WŁASNYCH
n
D
...
0
0
...
...
...
...
0
...
0
0
...
0
2
1
1
P
D
f
P
A
f
35
Korzystamy ze znanej z rachunku macierzowego
zależności, według której dla diagonalnej macierzy
[D] można napisać:
gdzie: λ
1
, λ
2
,...,λ
n
- wartości własne macierzy [D]
równe wartościom własnym macierzy [A].
METODA WEKTORÓW WŁASNYCH
t
t
t
t
D
n
e
e
e
e
...
0
0
...
...
...
...
0
...
0
0
...
0
2
1
36
Jeśli funkcja macierzy jest funkcją wykładniczą, tzn.
f([A]) = e
[A]t
, to równanie
uzyska postać
Uwzględniając rozwinięcie e
[D]t
METODA WEKTORÓW WŁASNYCH
1
P
D
f
P
A
f
1
P
e
P
e
t
D
t
A
1
...
0
0
...
...
...
...
0
...
0
0
...
0
2
1
P
e
e
e
P
e
t
t
t
t
A
n
37
Jako zmienne stanu wybieramy prąd płynący przez
cewkę (czyli prąd rozładowania kondensatora) oraz
napięcie na kondensatorze.
ZASTOSOWANIE METODY
ZMIENNYCH STANU
t = 0
E
i(t
)
U
C
(t)
38
Można zatem napisać równania, w których
występują te zmienne:
ZASTOSOWANIE METODY
ZMIENNYCH STANU
0
t
u
dt
t
di
L
t
Ri
C
dt
t
du
C
t
i
C
t = 0
E
i(t)
U
C
(t)
39
Jeżeli zmienne stanu określimy jako:
to równania obwodu można zapisać w postaci:
ZASTOSOWANIE METODY
ZMIENNYCH STANU
t
i
t
x
1
t
u
t
x
C
2
t
x
L
t
x
L
R
dt
t
dx
2
1
1
1
t
x
C
dt
t
dx
1
2
1
40
W zapisie macierzowym:
lub krótko
gdzie:
ZASTOSOWANIE METODY
ZMIENNYCH STANU
t
x
t
x
C
L
L
R
t
x
t
x
2
1
2
1
0
1
1
t
x
A
t
x
0
1
1
C
L
L
R
A
41
Rozwiązanie równania:
ma postać
gdzie: t
0
= 0,
Równanie charakterystyczne macierzy [A] ma
postać:
ZASTOSOWANIE METODY
ZMIENNYCH STANU
t
x
A
t
x
E
x
0
0
0
0
x
e
t
x
t
t
A
0
1
1
1
2
LC
L
R
C
L
L
R
g
A
1
det
0
1
1
C
L
L
R
A
42
Rozwiązując równanie charakterystyczne
wyznaczamy wartości własne macierzy kwadratowej
[A]
ZASTOSOWANIE METODY
ZMIENNYCH STANU
LC
L
R
L
R
1
2
2
2
1
LC
L
R
L
R
1
2
2
2
2
43
W zależności od wartości parametrów obwodu,
wartości własne mogą być rzeczywiste lub
zespolone sprzężone. Mogą też być sobie równe.
Przyjmiemy, że pierwiastki są rzeczywiste, a
charakter przebiegów jest aperiodyczny. Do
wyznaczenia funkcji macierzy e
[A]t
, zastosujemy
wzór Sylvester’a, który przy dwóch pierwiastkach
różnych ma postać:
ZASTOSOWANIE METODY
ZMIENNYCH STANU
2
1
1
1
2
2
1
1
2
1
A
e
A
e
e
t
t
t
A
44
Zatem można napisać:
ZASTOSOWANIE METODY
ZMIENNYCH STANU
C
L
L
R
e
C
L
L
R
e
e
t
t
t
A
1
1
1
1
45
Wektor stanu przyjmie postać:
co można przekształcić do postaci:
ZASTOSOWANIE METODY
ZMIENNYCH STANU
0
0
x
e
t
x
t
t
A
E
L
E
e
E
L
E
e
e
t
x
t
t
t
2
2
46
Elementy wektora stanu przyjmą postać:
ZASTOSOWANIE METODY
ZMIENNYCH STANU
t
Ee
e
e
Ee
t
i
t
x
t
t
t
t
sinh
2
2
2
1
t
t
t
C
e
e
Ee
t
u
t
x
2
2
Document Outline
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Tois 12 MZS 1
13 ZMIANY WSTECZNE (2)id 14517 ppt
13 zakrzepowo zatorowa
Zatrucia 13
pz wyklad 13
13 ALUid 14602 ppt
pz wyklad 13
ZARZ SRODOWISKIEM wyklad 13
Biotechnologia zamkniete użycie (2012 13)
Prezentacja 13 Dojrzewanie 2
SEM odcinek szyjny kregoslupa gr 13 pdg 1
w 13 III rok VI sem
Wykład 13 UKS
fundusze 7 13
13 ZACHOWANIA ZDROWOTNE gr wtorek 17;00
więcej podobnych podstron