1

METODA ZMIENNYCH

STANU

Stanem układu nazywa się najmniejszy zbiór
wielkości, który należy określić w chwili t = t

0

,

aby można było przewidzieć zachowanie się
układu w każdej chwili t ≥ t

0

, dla każdego

sygnału wymuszającego należącego do danego
zbioru sygnałów wymuszających, przy założeniu,
że wszystkie elementy zbioru wymuszeń są znane
dla t ≥ t

0

.

Wielkości te nazywane są współrzędnymi lub
zmiennymi stanu. Wektor będący zbiorem n
zmiennych stanu nazywamy wektorem stanu.

2

DEFINICJA METODY

Układ równań różniczkowych pierwszego rzędu,
nazywamy równaniem stanu.

Metoda analizy obwodu oparta na sformułowaniu
i rozwiązaniu układu równań różniczkowych
pierwszego rzędu (równań stanu) nazywamy metodą
zmiennych stanu.

 

   

 

   

 

 

t

u

B

t

x

A

t

x







3

LICZBA ZMIENNYCH STANU

OBWODU ELEKTRYCZNEGO

W teorii obwodów elektrycznych jako zmienne
stanu najczęściej przyjmuje się prądy płynące w
cewkach i napięcia na kondensatorach.

Liczba zmiennych stanu obwodu
elektrycznego jest na ogół równa liczbie
elementów reaktancyjnych obwodu (liczbie
cewek i kondensatorów w obwodzie).

Dla obwodu zawierającego n zmiennych stanu
można sformułować n równań różniczkowych
pierwszego rzędu lub jedno równanie
różniczkowe n-tego rzędu.

4

WEKTOR STANU

Istotą metody zmiennych stanu jest
rozwiązanie układu n - równań różniczkowych
pierwszego rzędu.

Jeśli zmienne stanu obwodu elektrycznego
oznaczymy x

1

(t), x

2

(t),..., x

n

(t), to wektor stanu

będący wektorem przestrzeni n - wymiarowej
przyjmie postać:

Zbiór wszystkich
możliwych wartości
wektora stanu x (t)
tworzy przestrzeń
stanów

 

 

 

 

 



























t

x

t

x

t

x

t

x

n

.....

2

1

5

WEKTOR WYMUSZEŃ

Wektor wymuszeń składa się z napięć lub
prądów źródłowych:

 

 

 

 

 































t

u

t

u

t

u

t

u

p

.....

2

1

6

RÓWNANIE STANU OBWODU

ELEKTRYCZNEGO

Równania różniczkowe obwodu zapisane w
postaci macierzowej tworzą równanie stanu
obwodu elektrycznego. Macierze [A] i [B] w
obwodzie liniowym mają elementy stałe,
stanowiące kombinację parametrów obwodu.

gdzie:
[A] - macierz
obwodu,
[B] - macierz
wymuszeń.

 

   

 

   

 

 

t

u

B

t

x

A

t

x







7

Rozwiązując macierzowe równanie stanu, można
rozwiązanie traktować jako sumę składowej
przejściowej otrzymanej w wyniku
rozwiązania równania różniczkowego jednorodnego
i składowej ustalonej.
Rozwiązanie przyjmie postać:

ROZWIĄZYWANIE RÓWNANIA

STANU

8

Składową ustaloną x

u

(t) wyznaczamy jedną z metod

rozwiązywania obwodów, uwzględniając charakter
wymuszenia.
Składową przejściową x

p

(t) obliczamy z równania

różniczkowego jednorodnego, przy u(t) = 0, czyli z
równania

ROZWIĄZYWANIE RÓWNANIA

STANU

 

   

 

   

 

 

 

 

 

 





t

x

A

t

u

t

u

B

t

x

A

t

x

p









0



9

Rozwiązanie równania

Przyjmie postać

ROZWIĄZYWANIE RÓWNANIA

STANU

 





 





 





0

0

p

t

t

A

p

x

e

t

x





10

Wektor stanu składowych przejściowych x

p

(0)

w chwili t=0. obliczymy z równania

i otrzymamy:

ROZWIĄZYWANIE RÓWNANIA

STANU

11

WEKTOR ODPOWIEDZI

Do wyznaczenia napięć na rezystorach i cewkach
lub prądów zależnych od zmiennych stanu,
formułujemy drugie równanie o postaci:

Definiujemy wektor odpowiedzi
[y(t)]
gdzie:
[C] - macierz odpowiedzi,
[D] - macierz transmisyjna
układu.

 

   

 

   

 

 

t

u

D

t

x

C

t

y





 

 

 

 

 































t

y

t

y

t

y

t

y

q

.....

2

1

12

FORMUŁOWANIE RÓWNAŃ

STANU

Analiza obwodu elektrycznego metodą zmiennych
stanu polega na określeniu zmiennych stanu, a
następnie sformułowaniu równania obwodu w
postaci znormalizowanej.
Oznacza to, że po lewej stronie wystąpią tylko
pierwsze pochodne zmiennych stanu, a po prawej
stronie same zmienne oraz funkcje wymuszające.
Współczynniki

tych

równań

są

kombinacją

parametrów obwodu.

13

IDENTYFIKACJA MACIERZY

Dla powyższego obwodu można napisać zależności:

C

L

R

u

u

u

E







 

 

 

 

dt

t

du

C

t

i

dt

t

di

L

u

t

Ri

u

C

L

R







;

;

Jako zmienne stanu
przyjąć

można

i(t)

oraz u

C

(t) a jako

zmienne

wyjściowe

i(t) oraz u

L

(t).

14

IDENTYFIKACJA MACIERZY

 

 

 

 

t

E

L

t

u

L

t

i

L

R

dt

t

di

C

1

1









Można

sformułować

równania stanu:

 

 

t

i

C

dt

t

du

C

1



 

 

 

 

 

t

E

L

t

u

t

i

C

L

L

R

dt

t

du

dt

t

di

C

C











































































0

1

0

1

1

 

   

 

   

 

 

t

u

B

t

x

A

t

x







Zmienne

stanu:

i(t) oraz u

C

(t).

Zmienne
wyjściowe

i(t)

oraz u

L

(t).

15

IDENTYFIKACJA MACIERZY

Można teraz określić
układ

równań

wyjściowych:

   

 

 

 

 

















t

E

t

u

t

Ri

t

u

t

i

t

i

C

L

 

 

 

 

 

t

E

t

u

t

i

R

t

u

t

i

C

L

























































1

0

1

0

1

 

   

 

   

 

 

t

u

D

t

x

C

t

y





16

IDENTYFIKACJA MACIERZY

Można

zatem

określić następujące
macierze:

 















1

0

D

 



























0

1

1

C

L

L

R

A

 

















0

1
L

B

 



















1

0

1

R

C

 

 

 

t

E

t

u



 

 

 

 

 

 





























t

u

t

i

t

x

t

x

t

x

C

2

1

 

 

 

 

 

 





























t

u

t

i

t

y

t

y

t

y

L

2

1

17

FORMUŁOWANIE RÓWNAŃ

STANU – PRZYKŁAD 2

18

FORMUŁOWANIE RÓWNAŃ

STANU – PRZYKŁAD 2

 

 

 

t

i

dt

t

du

C

t

i

L

C





1

1

 

   

t

J

t

i

dt

t

du

C

L

C





2

2

 

 

 

t

u

t

Ri

t

E

C1





 

2

1

C

L

C

u

dt

t

di

L

u





i

C1

(t)

u

L

(t)

i

C2

(t)

19

FORMUŁOWANIE RÓWNAŃ

STANU – PRZYKŁAD 2

Wybierając

jako

zmienne

wyjściowe

prądy

gałęziowe: i(t), i

L

(t), i

C1

(t), i

C2

(t)

oraz wybierając jako

zmienne stanu: prąd i

L

(t) oraz napięcia

u

C1

(t), u

C2

(t)

Można określić macierzowe równanie stanu:

 

 

 

 

 

 

 

 



















































































































































t

J

t

E

C

RC

t

u

t

u

t

i

C

RC

C

L

L

dt

t

du

dt

t

du

dt

t

di

C

C

L

C

C

L

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

 

   

 

   

 

 

t

u

B

t

x

A

t

x







20

FORMUŁOWANIE RÓWNAŃ

STANU – PRZYKŁAD 2

Można także określić macierzowe równanie
wyjścia:

 

 

 

 

 

 

 

 

 



































































































































t

J

t

E

R

R

t

u

t

u

t

i

R

R

t

i

t

i

t

i

t

i

C

C

L

C

L

C

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1

0

2

1

2

1

 

   

 

   

 

 

t

u

D

t

x

C

t

y





21

PRZYKŁAD FORMUŁOWANIA

RÓWNAŃ STANU

Zakładamy, że stan początkowy obwodu jest zerowy i
że w chwili t = 0 zamykamy klucze W1 i W2.
Rozpatrywany obwód jest obwodem drugiego rzędu,
ma jedną cewkę i jeden kondensator.
Jako zmienne stanu wybieramy prąd i

1

w cewce o

indukcyjności L i napięcie u

c

na kondensatorze o

pojemności C.

t = 0

t = 0

E

1

(t)

E

2

(t

)

22

PRZYKŁAD FORMUŁOWANIA

RÓWNAŃ STANU

Zapisujem
y równania
obwodu:

Oznaczaj
ąc:

 

 

t

x

t

i

1

1



 

 

t

x

t

u

C

2



 

 

 

 

t

E

t

u

t

i

R

dt

t

di

L

C

1

1

1

1







 

 

 

t

E

t

u

t

i

R

C

2

2

2





     

 

dt

t

du

C

t

i

t

i

t

i

C







2

1

3

t =
0

t =
0

E

1

(t)

E

2

(t

)

23

Eliminacja zmiennych – nie będących zmiennymi
stanu

PRZYKŁAD FORMUŁOWANIA

RÓWNAŃ STANU

 

 

 

 

t

E

L

t

u

L

t

i

L

R

dt

t

di

C

1

1

1

1

1

1









 

 

 

 

t

E

C

R

t

u

C

R

t

i

C

dt

t

du

C

C

2

2

2

1

1

1

1







Oznaczaj
ąc:

 

 

t

E

t

u

1

1



 

 

t

E

t

u

2

2



24

Wprowadzenie

zmiennych

stanu:

PRZYKŁAD FORMUŁOWANIA

RÓWNAŃ STANU

 

 

 

 

t

u

L

t

x

L

t

x

L

R

dt

t

dx

1

2

1

1

1

1

1









 

 

 

 

t

u

C

R

t

x

C

R

t

x

C

dt

t

dx

2

2

2

2

1

2

1

1

1







25

Wprowadzenie

zapisu

macierzowego

PRZYKŁAD FORMUŁOWANIA

RÓWNAŃ STANU

 

 

 

 

 

 































































































t

u

t

u

C

R

L

t

x

t

x

C

R

C

L

L

R

t

x

t

x

2

1

2

2

1

2

1

2

1

1

0

0

1

1

1

1





 

   

 

   

 

 

t

u

B

t

x

A

t

x







26

Wprowadzając
oznaczenia:

PRZYKŁAD FORMUŁOWANIA

RÓWNAŃ STANU

 

 

 

 















t

x

t

x

t

x

2

1

 

 

 

 















t

x

t

x

t

x

2

1







Wektor
stanu

Pochodna wektora
stanu

27

PRZYKŁAD FORMUŁOWANIA

RÓWNAŃ STANU

 

 

 

 















t

u

t

u

t

u

2

1

 

































C

R

C

L

L

R

A

2

1

1

1

1

Wektor
wymuszeń

Macierz
obwodu

28

PRZYKŁAD FORMUŁOWANIA

RÓWNAŃ STANU

 



























C

R

L

B

2

1

0

0

1

Macierz
wymuszeń

Otrzymamy równanie stanu w znanej
postaci:

 

   

 

   

 

 

t

u

B

t

x

A

t

x





