Statystyka i opracowanie wyników

badań

Statystyka i opracowanie wyników
badań

Główne zagadnienia do omówienia



Opis ilościowy próby (statystyka
opisowa)



Prezentacja wyników, liczne zbiory
danych



Zmienne losowe, ich funkcje i
charakterystyka



Formułowanie wniosków statystycznych

Statystyka i opracowanie wyników
badań

Plan pracy w trakcie semestru

15 godzin po 2 godz. w I poł. sem

+ praca własna – 15 godzin !!!

kalkulator,

www.inmat.pw.edu.pl

, tablice statystyczne

sprawdzian pisemny - zaliczenie



Zagadnienia wstępne



Parametry pozycyjne i rozproszenia próby



Wykresy i grupowanie danych



Gęstość i dystrybuanta zmiennej losowej



Proste testy stat. - Istotność wart. oczekiwanej



Błędy grube i pomyłki



Wiele zmiennych – korelacja i regresja

Statystyka i opracowanie wyników
badań

Literatura pomocnicza



D.Bobrowski „Probabilistyka w zastosowaniach

technicznych” WNT



M.Maliński „Weryfikacja hipotez statysty-

cznych wspomagana komputerowo” WPŚl



A.Plucińska, E.Pluciński „Probabilistyka” WNT



S. Brandt „Analiza danych” PWN



L. Kukiełka „Podstawy badań inżynierskich” PWN



W.Klonecki „Statystyka dla inżynierów” PWN



T. Zieliński „Jak pokochać statystykę, czyli STATISTICA

do poduszki” StatSoft Kraków



M.R.Spiegel „Statistics” McGraw-Hill

Statystyka i opracowanie wyników
badań

Badane i opisywane cechy



Cechy

– Jakościowe

• Nominalne (np. preferencje kulinarne)
• Porządkowe (wykształcenie podstawowe, średnie, ...)

– Ilościowe

• Interwałowe (A większe od B o x, np. [

o

C])

• Iloczynowe (A 3 razy większe od B, np. [K])

– Ciągłe
– Dyskretne



Ograniczenia

Statystyka i opracowanie wyników
badań

Wyniki pomiarów jednej cechy



Populacja i próba.



Charakteryzowanie – statystyka

opisowa.

– wartość średnia
– odchylenie standardowe
– współczynniki wyższych rzędów
– mediana, kwantyle
– dominanta
– inne charakterystyki pozycyjne i

rozproszenia

Statystyka i opracowanie wyników
badań

Wartość średnia – funkcja efektu

Funkcja efektu:



Suma



Iloczyn



Suma odwrotności



...

Średnia:
arytmetyczna
geometryczna
harmoniczna
...

)

,

...

,

,

(

)

,

...

,

,

(

.

arg

2

1



 



 



n

śr

śr

śr

n

x

x

x

f

x

x

x

f





Typowe błędy i ograniczenia

Statystyka i opracowanie wyników
badań

Wartości średnie

























n

i

i

n

i

i

n

i

n

i

i

x

n

x

x

n

x

x

x

na

arytmetycz

1

1

1

1

1

n

n

i

i

n

n

i

i

n

i

n

i

i

x

x

x

x

x

x

na

geometrycz























1

1

1

1

~

~

~























n

i

i

h

h

n

i

i

n

i

h

n

i

i

x

n

x

x

n

x

x

x

a

harmoniczn

1

1

1

1

1

1

1

1

Statystyka i opracowanie wyników
badań

Charakterystyka jednej cechy

(w konkretnej

próbie/populacji)

– odchylenie

standardowe

– współczynnik

skośności

– współczynnik

rozproszenia

3

)

(

1

)

(

1

)

(

1

4

1

4

3

1

3

1

2



























s

x

x

n

e

s

x

x

n

a

x

x

n

s

n

i

i

n

i

i

n

i

i

Statystyka i opracowanie wyników
badań

Inne charakterystyki

– rozstęp R = x

max

- x

min

– środek rozstępu x

R

= (x

max

+ x

min

)/2

– dominanta d (wartość występująca

najczęściej – o ile jest taka)

– mediana m

• dane uporządkowane (rosnąco lub malejąco)
• nieparzysta liczba wyników: m=x

(n+1)/2

• parzysta liczba wyników: m=(x

n/2

+x

(n+2)/2

)/2

Statystyka i opracowanie wyników
badań

Prezentacja graficzna jednej cechy

– histogram z danych empirycznych
– dystrybuanta
– graficzne wyznaczanie wybranych

parametrów:

• mediana
• kwantyle
• dominanta

Statystyka i opracowanie wyników
badań

Histogram z danych empirycznych

– duża liczność próby (n > 30)
– decyzja o liczbie klas (k):

(n/2) < k < n
• k  1 + 3,3 log n
• k < 5 log n
• dla j(2 ; k-1) liczność j-tej klasy, n

j

5

– stała szerokość klasy   R/k
– początek podziału x

p

<=x

min

; przy czym

x

max

<=x

p

+k

– j-ty przedział klasowy: < x

p

+(j-1); x

p

+j )

– środek j-tego przedziału x

p

+(j-0,5)

Statystyka i opracowanie wyników
badań

Dystrybuanta z danych empirycznych

– podział na klasy jak do histogramu
– liczność skumulowana N

j







j

l

l

j

n

N

1

Alternatywne formy histogramu i

dystrybuanty:

– częstość (liczność względna) f

j

= n

j

/n

– częstość skumulowana F

j

= N

j

/n

Statystyka i opracowanie wyników
badań

Zmienne losowe



Reprezentacja zmiennej losowej

 gęstość prawdopodobieństwa
 dystrybuanta



Charakteryzowanie zmiennej losowej

 wartość oczekiwana
 odchylenie standardowe
 współczynniki wyższych rzędów
 mediana, kwantyle
 dominanta

Statystyka i opracowanie wyników
badań

Gęstość prawdopodobieństwa i
dystrybuanta
zmiennej losowej ciągłej

dx

x

dF

x

f

dx

x

f

b

x

P

b

F

dx

x

dP

x

f

dx

x

f

b

x

a

P

b

b

a

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(





























Statystyka i opracowanie wyników
badań

Gęstość prawdopodobieństwa i
dystrybuanta
zmiennej losowej ciągłej

1

)

(

0

)

(

0

)

(

)

(

1

)

(

;

0

)

(



























dx

x

f

x

f

a

F

a

F

F

F



Statystyka i opracowanie wyników
badań

Wartość oczekiwana, odchylenie
standardowe, wsp. skośności i
rozproszenia zmiennej losowej



























dx

x

f

x

dx

x

f

x

)

(

)

(

)

(

2







3

)

(

)

(

)

(

)

(

4

4

3

3











































dx

x

f

x

dx

x

f

x

Statystyka i opracowanie wyników
badań

Mediana i kwantyle zmiennej losowej











)

(

2

1

)

(

F

m

F

Statystyka i opracowanie wyników
badań

Hipotezy statystyczne



Testowanie prostych hipotez
statystycznych

– poziom ufności, poziom istotności
– błędy pierwszego i drugiego rodzaju
– hipoteza zerowa, dobór hipotezy alternatywnej
– poziom istotności
– obliczanie statystyki
– interpretacja wyników testu - obszar krytyczny,

istotność statystyczna (wartość p)

Statystyka i opracowanie wyników
badań

Eliminacja wyników wątpliwych (1
cecha)

– Błędy grube i pomyłki
– Ograniczenia testu „inżynierskiego”,

zwanego również testem trzech sigma

– Liczność próby, rozkład wartości, kolejne

iteracje, wybór wyników wątpliwych (x

w

) do

testowania

– Uproszczona forma testu statystycznego
– Wynik wątpliwy x

w

odrzucamy, jeśli:





w

w

x

bez

obliczamy

s

i

x

s

x

s

x

x

3

;

3







Statystyka i opracowanie wyników
badań

Pomiary dwóch cech - wstęp



Korelacja

Korelacja

(badanie czy zmienne są
niezależne)



Regresja

Regresja

(dopasowanie zależności funkcyjnej
między cechami)



Wykresy zależności

Wykresy zależności

funkcyjnych

funkcyjnych