a
b
a
b
Niech dany będzie przedział domknięty a, b.
Definicja:
Zbiór punktów X
n
= { x
0
, x
1
, . . . , x
n
} określony
warunkami:
a = x
0
< x
1
< x
2
< . . . < x
n-1
<
x
n
= b
nazywamy
podziałem przedziału
a, b na przedziały częściowe
x
0
, x
1
, x
1
, x
2
, . . . , x
n-1
, x
n
.
Definicja:
Jeżeli X
n
= {x
0
, x
1
, . . . , x
n
} jest podziałem przedziału a, b,
oraz
x
i
= x
i
-
x
i-1
, i = 1, 2, . . .
, n
oznaczają długości przedziałów częściowych, to liczbę
nazywamy
średnicą
tego podziału.
d
n
= max
x
i ,
1 i
n
Definicja:
Ciąg podziałów {X
n
} przedziału a, b nazywamy
normalnym
ciągiem podziałów
tego przedziału, jeżeli:
lim d
n
= 0.
n
Zbiór punktów
Definicja:
Załóżmy, że dany jest podział X
n
= {x
0
, x
1
, . . . , x
n
}
przedziału a, b
na przedziały częściowe: x
0
, x
1
, x
1
, x
2
, . . . , x
n-1
, x
n
. W każdym z
przedziałów częściowych można wybrać w sposób dowolny po jednym
punkcie tworząc nowy zbiór .
X
n
spełniających
warunki
nazywamy
zbiorem punktów pośrednich
podziału X
n . .
x
i
x
i-1
, x
i
X
n
= { x
0
, x
1
, . . . ,
x
n
}
Definicja:
Weźmy funkcję f(x) określoną i ograniczoną na przedziale a, b i
niech
X
n
= {x
0
, x
1
, . . . , x
n
}
będzie podziałem przedziału a, b
na przedziały częściowe, a
zbiorem
punktów pośrednich.
X
n
= { x
0
, x
1
, . . . , x
n
}
Sumę S
n
iloczynów wartości
funkcji f(x) w punktach
pośrednich
f(
x
i
)
x
i
przedziałów częściowych przez długości
x
i
tych przedziałów,
czyli wyrażenie postaci:
nazywamy
sumą całkową Riemanna
funkcji f(x) na
przedziale a, b.
n
1
i
i
i
n
Δx
)
x
(
f
S
Suma całkowa S
n
, przy założeniu, że f(x) 0 dla x
a, b , ma prostą interpretację geometryczną:
f(
x
i
)
Jest ona sumą pól prostokątów o podstawach
x
i
i wysokościach
,
x
i
przy czym x
i-1
, x
i
.
a=x
0
x
1
x
2
x
i-1
x
i
x
n-1
x
n
=b
x
i
x
n
x
2
x
1
x
n
x
i
x
2
x
1
y
x
y =
f(x)
f(
x
1
)
f(
x
2
)
f(
x
i
)
f(
x
n
)
Definicja:
Niech funkcja f(x) będzie określona i ograniczona na przedziale
a, b .
X
n
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów {
X
n
}
przedziału
a, b istnieje skończona granica ciągu sum całkowych {S
n
}
niezależna od wyboru punktów pośrednich , to granicę tę nazywamy
całką oznaczoną
(w sensie Riemanna)
funkcji f(x) w granicach
od a do b
i oznaczamy symbolem:
b
a
dx
x
f
.
)
(
Liczbę
a
nazywamy
dolną granicą całkowania
, liczbę
b
-
górną
granicą całkowania
, a przedział
a, b
-
przedziałem
całkowania.
Jeżeli całka oznaczona funkcji f(x) w przedziale
a, b istnieje, to
mówimy, że funkcja f(x) jest
całkowalna
w przedziale a, b .
Całka oznaczona ma prostą interpretację geometryczną w
przypadku funkcji nieujemnej, tzn. gdy f(x)0 dla x a, b.
Interpretacja
Interpretacja
geometryczna:
geometryczna:
Suma S
n
jest sumą pól n prostokątów zakreskowanych na
rysunku 1 i jednocześnie przybliżoną wartością pola |D|
obszaru D ograniczonego wykresem funkcji f(x), osią OX oraz
prostymi x = a i x = b.
Zatem całka
oznaczona
b
a
dx
x
f
)
(
jest więc to pole figury
ograniczonej
przez krzywą y = f(x), oś OX oraz proste x = a i x = b.
Przy podziale przedziału a, b na coraz mniejsze podprzedziały,
każdy prostokąt jest coraz węższy i suma S
n
jest coraz lepszym
przybliżeniem pola obszaru D.
a
b
y
x
| D
| D
|
|
y = f(x)
Interpretacja geometryczna (2)
Interpretacja geometryczna (2)
Twierdzeni
e:
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale a, b , to jest ona
całkowalna na tym przedziale.
Jeżeli funkcja f(x) jest ograniczona w przedziale a, b i ma w tym
przedziale co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości, to
funkcja ta jest całkowalna na tym przedziale.
Twierdzeni
e:
Uwaga:
Mówiąc o całce oznaczonej należy pamiętać, że jeżeli istnieje
całka oznaczona
, to jest ona liczbą, nie należy
zatem mylić pojęć: całka nieoznaczona i całka oznaczona.
b
a
dx
x
f
)
(
Jakie funkcje są całkowalne?
Definicja:
0
)
(
a
a
dx
x
f
b
a
dx
x
f
)
(
a
b
dx
x
f
)
(
Twierdzeni
e:
Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna na w przedziale a, b i jeżeli c
a, b, to funkcja f(x) jest całkowalna na przedziałach a, c i c,
b oraz zachodzi równość:
b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
.
)
(
)
(
)
(
Podstawowe własności całki
oznaczonej
Twierdzenie:
Jeżeli f(x) jest funkcją całkowalną
w przedziale a, b
, a k jest
stałą, to funkcja
k f(x)
jest również całkowalna
w
przedziale a, b
i zachodzi równość:
b
a
b
a
dx
x
f
k
dx
x
f
k
)
(
)
(
Twierdzenie:
Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są całkowalne
w przedziale a, b
, to ich
suma oraz różnica są całkowalne na tym przedziale i zachodzi
równość:
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
]
)
(
)
(
[
Twierdzenie (Newtona -
Leibniza) :
Jeżeli F(x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f(x) ciągłej
w
przedziale a, b
, to:
b
a
a
F
b
F
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
Przykład:
Przykład:
Twierdzenie.
Jeżeli funkcja t = (x) jest różniczkowalna w przedziale (, )
i odwzorowuje ten przedział na przedział (a, b), w którym
funkcja f (t) jest całkowalna, to zachodzi wzór:
dt
t
f
dx
x
x
f
)
(
)
(
'
)]
(
[
