Ćwiczenia
WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE
Wartość pieniądza w czasie
Mówimy zwykle o zmiennej wartości pieniądza w czasie.
Wynika ona z działania czterech czynnikiów:
1.
Spadku siły nabywczej
2.
Możliwości zainwestowania
3.
Występowanie ryzyka
4.
Preferowanie bieżącej konsumpcji
Wartość pieniądza w czasie
Przy określaniu (i podawaniu do publicznej wiadomości)
stopy procentowej są istotne pewne kwestie
formalnometodyczne, o których trzeba pamiętać, a
mianowicie:
1.
Stopa procentowa w skali okresu
2.
Stopa procentowa dotycząca okresu
3.
Kapitalizacja i reinwestycja
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła (FV) i wartość bieżąca (PV)
Renta (annuity) – to płatność występująca w stałych
okresach, np. ta sama kwota płacona co miesiąc.
Renta (annuity) – to płatność występująca w
stałych okresach, np. ta sama kwota płacona co
miesiąc.
Wartość pieniądza w czasie – wart0ść
przyszła
)
1
(
nr
PV
FV
Wartość przyszła – kapitalizacja
prosta (zgodna z okresem inwestycji)
n
r
PV
FV
)
1
(
Wartość przyszła – kapitalizacja
roczna
nm
m
r
PV
FV
1
Wartość przyszła – kapitalizacja
złożona
nr
PVe
FV
Wartość przyszła – kapitalizacja ciągła
Wartość pieniądza w czasie – wart0ść
bieżąca (teraźniejsza, obecna, present value)
)
1
(
nr
FV
PV
Wartość bieżąca – kapitalizacja prosta
(zgodna z okresem inwestycji)
n
r
FV
PV
)
1
(
Wartość bieżąca– kapitalizacja roczna
nm
m
r
PV
FV
1
Wartość bieżąca – kapitalizacja
złożona
nr
PVe
FV
Wartość bieżąca – kapitalizacja ciągła
Wart0ść przyszła jako funkcja liczby
okresów
PV
n
okresów
FV
A
B
C
D
E
A – kapitalizacja ciągła, r >0,
B – kapitalizacja roczna, r>0,
C – kapitalizacja prosta, r>0,
D – dowolna kapitalizacja,
r=0,
E – kapitalizacja roczna, r<0.
Wartość pieniądza w czasie
+
+
_
_
Strona długa
Strona krotka
Wartość pieniądza w czasie – schemat renty
płatnej z dołu
Ze schematem renty płatnej z dołu mamy do
czynienia wtedy, kiedy występują równe przepływy
pieniężne na końcu każdego podokresu (o równej
długości); na końcu lub na początku każdego
podokresu.
Wartość pieniądza w czasie – schemat renty
płatnej z dołu
Określona suma jest regularnie inwestowana co pewien okres (na
końcu każdego podokresu), zwiększając dochody:
…
Wartość pieniądza w czasie – schemat renty płatnej
z dołu
…
Lub pewna suma jest pożyczana (na końcu każdego podokresu),
zwiększając zadłużenie:
Wartość pieniądza w czasie – schemat renty płatnej
z góry
Występuje wówczas wtedy, kiedy następują równe przepływy na
początku każdego podokresu, na które to podokresy (o równej
długości) jest podzielony cały okres, a na początku lub na końcu
całego okresu występuje jeden przepływ pieniężny (ma on odwrotny
znak niż te pozostałe przepływy).
Są tu następujące możliwości:
Wartość pieniądza w czasie – schemat renty płatnej
z góry
Określona suma jest regularnie inwestowana co pewien okres (na
początku każdego podokresu), zwiększając dochody:
…
Wartość pieniądza w czasie – schemat renty płatnej
z góry
…
Lub pewna suma jest pożyczana regularnie co pewien okres (na
początku każdego podokresu):
Wartość pieniądza w czasie – schemat renty płatnej
z góry przypadek 2
Na początku jest pożyczana pewna suma, która jest następnie
spłacana w równych ratach na początku każdego podokresu:
…
Lub na początku jest inwestowana pewna suma, która następnie
przynosi regularne równe płatności na początku każdego podokresu:
Wartość pieniądza w czasie – schemat renty płatnej
z góry przypadek 2
…
Stopa procentowa i stopa zwrotu a wartość
przyszła
Z wartością przyszłą niedłącznie wiąże się zagadnienie tzw.
efektywnej stopy zwrotu (effective interest rate).
W najprostszym ujęciu efektywna stopa procentowa jest to stopa
uwzględniająca kapitalizację.
1
1
m
ef
m
r
r
1
r
ef
e
r
Kapitalizacja częstsza niż raz w
roku
Kapitalizacja ciągła
EFEKTYWNA STOPA PROCENTOWA
Stopa procentowa i stopa zwrotu a wartość
przyszła
Z wartością przyszłą niedłącznie wiąże się zagadnienie tzw.
efektywnej stopy zwrotu (effective interest rate).
W najprostszym ujęciu efektywna stopa procentowa jest to stopa
uwzględniająca kapitalizację.
1
1
m
ef
m
r
r
1
r
ef
e
r
Kapitalizacja częstsza niż raz w
roku
Kapitalizacja ciągła
EFEKTYWNA STOPA PROCENTOWA
Stopa zwrotu – skończony okres inwestycji
W poprzednio przedstawionych wzorach stopa procentowa była
znana, teraz rozpatrujemy zagadnienie odwrotne, czyli wyznaczamy
nieznaną stopę procentową.
Przy obliczaniu wartości bieżącej przyjmowana stopa procentowa
nazywana jest wymaganą stopą zwrotu z alternatywnych
inwestycji.
Stopa zwrotu jest szczególnym przypadkiem pojęcia stopa
procentowa
Brak przepływów pieniężnych w okresie trwania
inwestycji
Stopa zwrotu – skończony okres inwestycji
Zainwestowana kwota pieniężna przynosi wartość na koniec okresu.
Jest to zatem standardowe zagadnienie, w którym są znane:
•
wartość bieżąca,
•
wartość przyszła,
•
okres trwania inwestycji
Brak przepływów pieniężnych w okresie trwania
inwestycji
Stopa zwrotu – skończony okres inwestycji
W praktyce rozważa się trzy możliwości: kapitalizację prostą (prosta
stopa zwrotu), kapitalizację roczną (efektywna stopa zwrotu) i
kapitalizację ciągłą (logarytmiczna stopa zwrotu.
Stopa zwrotu jako dochód z inwestycji (iloraz
1
1
PV
FV
n
r
1
1
n
PV
FV
r
PV
FV
n
r
ln
1
•
Logarytmiczna stopa zwrotu jest najniższa spośród
tych stóp, gdyż zakłada „najbardziej rygorystyczną
kapitalizację ciągłą
•
prosta stopa zwrotu jest wyższa od efektywnej stopy
zwrotu, gdy horyzont inwestycji jest dłuższy niż rok, a
niższa, gdy horyzont inwestycji jest krótszy niż rok
•
w przypadku rocznego horyzontu inwestycji prosta
stopa zwrotu i efektywna stopa zwrotu są sobie równe.
Stopa terminowa
Stopa procentowa spot (natychmiastowa) – jest to stopa
procentowa obowiązująca od danego momentu przez okres, którego
dotyczy.
Stopa procentowa forward (terminowa) jest to stopa
procentowa obowiązująca od pewnego momentu w
przeszłości przez okres, którego dotyczy