Wykorzystanie wartości pieniądza w czasie [TVM] do wyceny aktywów finansowych

• Procent składany, efektywna stopa procentowa, FV wartość przyszła

• Dyskonto, PV wartość obecna

• NPV

• Wewnętrzna stopa zwrotu, IRR

• Rentowność papierów dyskontowych a stopa dyskonta

• Wycena instrumentów rynku kapitałowego

• Charakterystyka obligacji

• Kurs obligacji

• Wrażliwość kursów papierów o stałym oprocentowaniu i zero kuponowych na zmiany stopy procentowej

• Duracja

• Rentowność obligacji

• YTM obligacji o stałym oprocentowaniu i zero kuponowych

Procent składany

Koncepcja procentu składanego wykorzystywana jest w transakcjach finansowych, które mają strukturę czasową, wydatki i /lub wpływy są rozłożone na więcej niż jeden okres. Kluczowym punktem koncepcji procentu składanego jest uwzględnianie, iż nie tylko kapitał ale i procent daje procent, jest reinwestowany.

Procent składany wykorzystuje się z uwzględnieniem naliczeń od kapitału i sumy procentów po każdym okresie aby odpowiedzieć na pytanie jaka jest "przyszła wartość"[FV] danej dzisiaj kwoty PV podlegającej powiększaniu z okresu na okres procentem składanym. Ogólnie:

Mając dana kwotę PV i zakładając, że roczna odsetkowa stopa procentowa wynosi r mamy po upływie roku:

FV1=PV+r*PV=PV(1+r)

Po dwóch okresach:

FV2=PV+r*PV+r*PV(1+r)=PV(1+r) +r*PV(1+r)=PV(1+r)(1+r)=PV(1+r)^2.

[Symbolem ^ oznaczamy potęgowanie, * mnożenie, / lub : dzielenie.]

Po n okresach:

FVn=PV(1+r)^n

Na przykład, jaka jest za 10 lat przyszła wartość FV kwoty PV=1.000 zł oprocentowanej 12 % rocznie ?

FV=PV*(1+r)^n; gdzie:

r=odsetkowa stopa procentowa dla danego okresu [to jest stopa procentowa:100%]; n =liczba okresów naliczania procentu.

FV=1000(1+12%/100%)^10=1000*(1.12)^10=1000*3.105=3105zł

Nawet niewielkie zmiany wysokości procentu przy długich okresach powodują istotne różnice w wyniku: 1000 zł oprocentowane na 12% p.a. po 25 okresach daje: 1000*1.12^25=1000*17=17.000 zł a 13% rocznie dałoby kwotę 1000*21.23=21.230 zł. Nieco ponad 8% wzrost stopy procentowej [z 12 do 13%] daje około 25% [21230:17000] wzrost wyniku po 25 okresach.

Efektywna stopa procentowa

Często odsetki naliczane są częściej niż raz rocznie, na przykład półrocznie, kwartalnie miesięcznie lub codziennie, stosując jako podstawę tego naliczania nominalna stopę roczną. Jeśli odsetki naliczane są m razy rocznie, to dla wyliczenia wartości FV stosuje się wzór:

FV=PV(1+r/m)^m

Jeśli zamiast naliczać procentem składanym 12 % rocznie, tak jak w przykładzie powyżej, naliczamy 12% p.a. ale w ujęciu kwartalnym to zamiast 3105 zł otrzymujemy:

1000*[1+(0.12:4)]^10*4=3262;

W przypadku 12% p.a. odsetki naliczane miesięcznie= 1000*[1+(0.12:12)]10*12=3300 zł.

Ogólnie:

Efektywna roczna stopa procentowa=

{[1+(r: liczba podokresów)]^liczba podokresów}-1

Na przykład :

jeśli r=16% pa; odsetki naliczane kwartalnie, to

efektywna roczna stopa procentowa={[(1+(0.16:4)]^4}-1=0.1698, czyli 16.98%.

Jeśli odsetki naliczane byłyby miesięcznie, to efektywna roczna stopa procentowa r=[1+(0.16:12)]^12-1 =0.1722, czyli 17.22%

Dyskonto

Jeśli zamiast pytania jaka będzie przyszła wartość kwoty, która dzisiaj jest znana pytamy jaka jest "obecna wartość" [PV] kwoty, która jest znana na określoną datę w przyszłości, to odwołujemy się do procesu dyskontowania. Dyskontowanie jest odwrotnością procentu składanego:

FV=PV*(1+r)^n

Dzielimy obie strony przez (1+r)^n

PV=FV :(1+r)^n

PV=FV* 1:(1+r)^n. Stopa procentowa r staje się wtedy stopą dyskontową a wielkość 1:(1+r)^n będąca mianownikiem, to współczynnik dyskonta który dla r>0 przybiera wartości <1.

Stopę dyskonta okresla się także pojęciem "koszt kapitału" lub inaczej minimalna stopą zwrotu wymaganą przez inwestora.

Na przykład : mamy otrzymać [lub wydać] za rok 1000, za dwa lata 1500 i za trzy lata 2000 zł. Jaka jest obecna wartość sumy tych wpływów [lub wydatków] jeśli stopa dyskonta r=12% , czyli jest to "koszt kapitału" lub inaczej minimalna stopa zwrotu oczekiwana przez inwestora?

PV=1000:(1+0.12)^1+1500:(1+0.12)^2+2000:(1+0.12)^3=3521 zł.

Zapłata więc za te trzy przyszłe przychody rozłożone w czasie kwoty 3521 zł dzisiaj daje stopę zwrotu 12 % rocznie.

W przypadku gdy przychody lub wydatki są rozłożone w czasie ale stałe w każdym okresie dla wyliczenia ich obecnej wartości PV nie ma potrzeby dyskontowania każdej z kwot osobno.

Jeśli uzyskiwana lub płacona kwota jest stała w czasie i płatna w nieskończoność to jej wartość obecna wynosi

PV=Stała kwota : r. Na przykład, stale utrzymywane w rachunku wyników odsetki od kredytu refinansowanego z okresu na okres, przy stopie podatku dochodowego 28% rocznie dają oszczędność podatkową równą rocznie 0.5mln zł*0.28= 140000 zł, PV tej kwoty jeśli założymy r=15% wynosi:

PV=140000:0.15=933333,33 zł.

Jeśli uzyskiwana lub płacona kwota jest stała w czasie , płatna w nieskończoność i rosnąca z okresu na okres według stałej stopy to jej wartość obecna równa się;

PV=stała kwota:(r-g), gdzie r to stopa dyskonta a g to stała stopa wzrostu. Jednym z zastosowań tego sposobu wyliczania PV jest ustalanie na tej podstawie oczekiwanej stopy dyskonta r nazywanej inaczej kosztem kapitału czyli kosztem funduszy własnych lub pożądaną stopą zwrotu z funduszy własnych, tak zwany model Gordona w określaniu kosztów funduszy własnych. Na przykład, znając cenę rynkową akcji , załóżmy 400 zł[to jest wielkość PV], wielkość dywidendy, załóżmy 20 zł [ stała kwota] i dynamikę wzrostu dywidendy, załóżmy 2%, [ czyli g] możemy wyliczyć:

Koszt kapitału=r=(stała kwota:PV) + g = (20:400) + 0.02= 0.05+0.02=0.07 czyli 7%.

Jeśli stała kwota wydatku lub wpływu wynosi A to obecna wartość takiego strumienia wynosi:

PV=A* 1/r*[1-1/(1+r)^n]

Na przykład jeśli A=10000 zł i jest płatne przez 10 lat a stopa dyskonta równa się 12%, to:

PV=10000 zł*1:0.12*[1-1/(1+0.12)^10]=10000zł*8.33*(1-1:3.1)=

10000 zł*8.33*(1-0.322)=10000 zł*8.33*0.677=10000zł*5.64=56400 zł

Obecna wartość dziesięciu wpływów rocznie po 10000 zł każdy wynosi więc 56400 zł.

Tę metodę porównywania wartości przyszłych i wartości obecnej wykorzystuje się powszechnie przy ustalaniu stałej kwoty spłat zaciąganej pożyczki lub kredytu. Jeśli kredyt oprocentowany na określony procent rocznie spłaca się w każdym terminie płatności raty kapitałowo-odsetkowej przez cały okres kredytowania stałą kwotą będącą suma płatności kapitałowych i odsetkowych, to taki sposób spłacania określa się jako "pożyczka amortyzowana" i dla wyliczenia stałej w całym okresie raty odsetkowo -kapitałowej wykorzystuje się tę samą co powyżej metodę:

Stała rata=kwota pożyczki:1/r*[1-1/(1+r)^n]

Na przykład kwota pożyczki 5 mln USD, oprocentowanie roczne 6,5%, płatne kwartalnie , pożyczka na 10 lat .

Stąd, r=0.065:4=0.01625; n=10*4=40

Stała rata=5mln USD:{(1:0.01625)*[1-1:(1.01625)^40]}=

5mln USD:61.54*[1-(1:1.9)]=5mln USD:61.54*(1-0.526)=

5mln USD:29.15=171526.58 USD

Czyli stała rata kredytowa wynosi 171526.58 zł

Czasami powstaje potrzeba ustalenia jaką stałą kwotę należy wpłacać co okres aby po pewnej liczbie okresów zebrała się przy danej stopie zwrotu pewna pożądana kwota. Na przykład ile corocznie wpłacać aby przy stopie zwrotu 12% po 10 latach zebrana została kwota FV=52500 zł? Wielkość tę wylicza się przez podzielenie FV przez współczynnik:

[(1+r)^n-1]:r

Czyli podstawiając za r=12% , n=10 lat otrzymujemy:

[(1+0.12)^10-1]:0.12=(3.1-1):0.12=17.5

Stąd, poszukiwana roczna kwota wpłat aby przy stopie zwrotu 12 % uzyskać po 10 latach kwotę 52500 zl wynosi:

52500:17.5=3000zł

Tak jak w przypadku procentu skladanego i naliczania odsetek w okresach krótszych niż rok występuje pojęcie efektywnej rocznej stopy procentowej , w przypadku dyskontowania częściej niż raz w roku występuje pojęcie efektywnej rocznej stopy dyskontowej.

Jeśli w przykladzie powyżej wpłaty byłyby miesięczne to konieczna ich wysokość w związku z 120 równymi wpłatami wyniesie:

r=0.12:12=0.01; n=10*12=120

[(1+0.01)^120-1]:0.01=(3.3-1):0.01=230

Czyli poszukiwana kwota miesięcznych wpłat wynosi:

52500:230=228,26 zł.

Przy wysokiej stopie dyskonta r i znacznej liczbie okresów (n), PV szybko zbliża się do zera : dla r=15% i n=5 lat PV kwoty 1 mln zł=0.5mln zł a dla n=100, PV=85 groszy.

Gdy dyskontowane przyszłe wartości są kombinacją wpływów i wydatków to ich sumaryczną wartość obecną określa się jako "wartość obecną netto" NPV, to jest sumę liczb ze znakiem minus i znakiem plus:

Na przykład: r=15%

rok	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
wpływ	0	1000	1000	1000	1000	1000	1000

PV=3784 zł

rok	2000	2001	2002
wydatek	500	1000	2000

PV=2881 zł

rok	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
wpływ	0	1000	1000	1000	1000	1000	1000
wydatek	500	1000	2000

Co jest równoważne:

rok	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
saldo	(-)500	0	(-)1000	1000	1000	1000	1000

i daje NPV=PV wpływów minus PV wydatków

NPV=3784-2881=903 zł

Reguła NPV

Znając strukturę czasową przyszłych wydatków i wpływów można dokonywać wyboru najlepszego wariantu maksymalizującego wpływy lub minimalizującego wydatki kierując się regułą NPV, która oznacza że przy przyjętej stopie dyskonta NPV powinno być większe od zera i najlepszy finansowo jest projekt o najwyższym NPV, czyli największej nadwyżce zdyskontowanych wpływów nad zdyskontowanymi wydatkami.

Wpływ stopy dyskonta na wielkość NPV

Przy danym rozkładzie wydatków i wpływów w czasie NPV jest tym niższe im wyższa jest zastosowana stopa dyskonta. W przykładzie powyżej, NPV dla różnych stóp dyskonta kształtuje się następująco:

r	5%	10%	15%	20%	30%	36.9%	50%
NPV	1809	1293	903	603	190	0	-232

IRR -wewnętrzna stopa zwrotu

Stopa dyskonta przy której NPV=0 ma szczególną interpretację. Oznacza ona, że w tym momencie PV wydatków =PV wpływów. W naszym przykładzie wartości obecne wydatków i wpływów zrównują się przy stopie dyskonta równej 36.9% i ta stopa jest wewnętrzną stopą procentową IRR.

Taka stopa dyskonta przy której NPV=0 nazywa się wewnętrzną stopą zwrotu [IRR], stopą zwrotu DCF lub stopą zwrotu YTM.

Stopę dyskonta przy której NPV=0 interpretuje się ją jako maksymalną stopę procentową , którą inwestor może zapłacić za zobowiązania które powstają w związku z realizowanym projektem, jeśli będzie je spłacał według reguł kredytu w rachunku bieżącym z przychodów, które daje projekt.

IRR zmienia się wraz ze zmianą struktury czasowej strumienia wpływów i wydatków . Oddalanie wydatków i przybliżanie wpływów w czasie zwiększa IRR a przybliżanie wydatków i oddalanie wpływów w czasie zmniejsza IRR. Wewnętrzna stopa zwrotu IRR jest miarą absolutną, gdyż jej wysokość wynika wyłącznie ze struktury czasowej oraz wartości wpływów i wydatków a nie zależy od kosztów pieniądza. IRR można natomiast porównywać z ceną pieniądza czyli na przykład oprocentowaniem kredytu lub osiąganą stopą rentowności.

Wyliczenie wartości IRR, zwykle jako stopy rocznej, następuje w wyniku podstawiania metodą prób i błędów stopy dyskonta strumienia wpływów i wydatków tak aby otrzymać ich sumę równą NPV=0. Jeśli po podstawieniu stopy dyskonta wynik jest dodatni to znaczy, że wybraliśmy zbyt niską stopę dyskonta. Jeśli wynik to jest NPV jest ujemne to znaczy, że wybraliśmy zbyt wysoką stopę dyskonta.

Wykorzystanie wartości pieniądza w czasie do wyceny instrumentów rynku pieniężnego

Rynek pieniężny obejmuje instrumenty finansowe, których termin zapadalności jest krótszy niż rok, liczony jako 365 dni. Czyli instrumenty pierwotnie wymagalne w okresie 364 dni [52 tygodni*7] lub krócej należą do rynku pieniężnego. Podstawowe instrumenty dłużne na tym rynku są sprzedawane bez oprocentowania jako papiery dyskontowe. Oznacza to, że w momencie ich emisji i w okresie do momentu wymagalności są sprzedawane zawsze poniżej ich wartości nominalnej, czyli z dyskontem a w dniu wymagalności wykupywane przez emitenta zawsze po wartości nominalnej.

Obliczanie rentowności papierów dyskontowych o różnej charakterystyce

Stopa dyskonta zastosowana przy kupnie/ sprzedaży i stopa rentowności, którą daje zakup w okresie do terminu wykupu , pozwalają porównywać efektywność inwestycji w papiery dyskontowe o:

• różnym nominale,

• różnym dyskoncie i

• różnych okresach do czasu wykupu,

uwzględniając oczywiście stopień ryzyka który im towarzyszy.

Na przykład:

papier komercyjny 4 tygodniowy o wartości nominalnej 500.000zł, sprzedawany za 493.000 zł daje stopę rentowności zakładając, że rok liczy 360 dni:

{[500.000-493.000]:493.000} *360:28= [7000 : 493.000 ] *12.857 = =0.18255=18.255%

bon o nominale 10.000 zł i terminie wykupu za 217 dni sprzedawany z dyskontem po kursie 8975 zł, daje stopę rentowności:{[10.000-8975}:8975}* 360:217=0.1142*1.6589=0.18945=18.945%.

Wyliczenie dyskonta zapewniającego pożądaną stopę rentowności

Jeśli instrumenty rynku pieniężnego o podobnej klasie ryzyka dają niezależnie od ich nominałów i okresu do zapadalności, na przykład rentowność 17.555% i chcemy uplasować papier komercyjny na atrakcyjniejszych dla inwestorów warunkach powiedzmy zapewnić rentowność 18%, to konieczne do zaoferowania dyskonto wyliczamy następująco:

Nominał:[1+pożądana stopa rentowności *okres do wykupu:liczba dni w roku].

Na przykład, papier komercyjny 13 tygodniowy o nominale 1000 zł powinien mieć cenę jeśli założymy rok 360 dni:

1000:[1+0.18*91:360]=956,48 zł co daje rentowność: 43,52 : 956,48 * 3.956 = 0.18 = 18%.

Za ile sprzedać krótkoterminowy papier dłużny o nominale 100.000 zł emitowany na 4 tygodnie jeśli rok liczy 52 tygodnie a roczne koszty nie mogą przekroczyć 21.5%.

100%:[1+(21.5%:100%)*(4:52)]=100%:[1+(0.215*0.0769)]=100%:1.0165=

98.376%

Papier dłużny powinien być sprzedawany za nie mniej niż 98.376% jego ceny czyli za

100.000*0.98376=98376,78 zł

Za ile kupić krótkoterminowy papier dłużny o nominale 10.000 zł do wykupu 167 dni , rok liczy 366 dni jeśli akceptujemy rentowność nie niższą niż 4.5 pkt procentowego ponad inflację równą 10.3%?

100%:[1+(14.8%:100%)*(167:366)]=100%:[1+(0.148*0.456)]=100%:1.0675=

93.676%

Papier dłużny można kupić za najwyżej 93.676% jego ceny nominalnej czyli za 9367,7 zł.

Wycena instrumentów rynku kapitałowego

Rynek kapitałowy to kupno /sprzedaż instrumentów zapadających w okresie roku [liczonym jako 365 dni] lub dłużej. Taki charakter mają w szczególności akcje oraz obligacje.

Obligacje to kontrakty zapadające w okresie rocznym lub dłuższym, na mocy których emitent czyli dłużnik zaciąga na określonych warunkach pożyczkę u nabywcy obligacji czyli wierzyciela i zobowiązuje się do jej zwrotu to jest wykupienia zobowiązania po upływie określonego czasu.

Obligacje podlegają prawu o publicznym obrocie papierami wartościowymi. W szczególności oferowanie obligacji do sprzedaży za pomocą środków masowego przekazu lub w jakikolwiek sposób do więcej niż 300 podmiotów bez uzyskania zgody KPWiG nie jest dozwolone.

Charakterystyka obligacji:

• Wartość nominalna jest to kwota, którą emitent zobowiązuje się zapłacić po upływie terminu na który została wyemitowana. W celu wyraźnej separacji instrumentów rynku pieniężnego i kapitałowego w klasycznym przypadku obligacje są instrumentami długoterminowymi, kilka lub kilkanaście lat od emisji do wykupu. Jednakże na rynku nie ustabilizowanym o relatywnie wysokiej dynamice inflacji występują również obligacje roczne .

• Okres do wykupu jest zwykle liczony w latach i kończy się konkretną datą, od której emitent zobowiązuje się zapłacić posiadaczowi obligacji kwotę zobowiązania, na które opiewa obligacja to jest jej wartość nominalną.

• Oprocentowanie obligacji to jedna z głównych części kosztu zaciąganej pożyczki obligacyjnej z punktu widzenia emitenta lub jedna z głównych części przychodu z punktu widzenia nabywcy obligacji. Klasycznie obligacje są instrumentami o oprocentowaniu stałym w całym okresie ich ważności. Jednakże na rynku o relatywnie wysokiej dynamice inflacji występują obligacje o oprocentowaniu zmiennym, a na rynkach o inflacji dwucyfrowej w zasadzie wyłącznie krótkoterminowe obligacje o oprocentowaniu zmiennym. Oprocentowanie jest obliczane od wartości nominalnej obligacji a czasami w przypadku obligacji o zmiennym oprocentowaniu z uwzględnieniem odsetek, to jest ich kapitalizacja dla potrzeb liczenia oprocentowania w kolejnym okresie.

• Istotną część rynku stanowią obligacje nie zawierające kuponów odsetkowych a jedynie zobowiązanie do zapłaty nominału po upływie terminu na jaki zostały wyemitowane . Są to obligacje zero kuponowe.

• Okresy odsetkowe lub inaczej kupony odsetkowe to okresy w jakich powstają wierzytelności odsetkowe, zwykle są to okresy roczne, półroczne lub kwartalne.

• Kurs obligacji czyli inaczej cena obligacji jest to wartość obecna PV strumienia dochodu, który daje posiadaczowi obligacja; strumień dochodu to kupony odsetkowe liczone od nominału i spłata nominału na koniec okresu.

• Jeśli cena obligacji jest wyższa niż jej wartość nominalna to oznacza, że obligacja jest sprzedawana z premią.

• Jeśli obligacja ma cenę niższą niż wartość nominalna to oznacza, że jest sprzedawana z dyskontem.

• Kursy , czyli ceny , czyli wartości obecne PV obligacji o stałym oprocentowaniu i obligacji zero kuponowych zmieniają się w odwrotnym kierunku niż zmiany poziomu rynkowych stóp procentowych.

• Jeśli rynkowe stopy procentowe rosną to ceny obligacji o stałym oprocentowaniu i zero kuponowych maleją .

• Jeśli rynkowe stopy procentowe maleją to ceny obligacji o stałym oprocentowaniu i zero kuponowych rosną. Ta charakterystyka dotyczy wszelkich aktywów finansowych dających stały dochód lub "bez dochodu" bieżącego to znaczy "zero kuponowych".

• Klauzule specjalne w obligacjach:

• Prawo do wykupu na żądanie emitenta przed terminem wykupu [opcja call]

• Prawo do wykupu przed terminem wykupu na żądanie posiadacza [opcja put]

• Prawo posiadacza obligacji do zamiany w ustalonym okresie na akcje emitenta

Ustalanie kursu obligacji

Kurs obligacji to PV strumienia przychodów, które daje emitentowi obligacja o określonym nominale, oprocentowaniu, okresie do wykupu i liczbie okresów odsetkowych przy danej pożądanej przez inwestora stopie zwrotu.

Przykład: 5 lat do wykupu, odsetki 12%, płatne rocznie, nominał 1000 zł

Kurs tej obligacji to PV 5 rocznych odsetek po 0.12:*1000=120 zł i wypłata 1000 zł za 5 lat. Dla obliczenia PV konieczne jest użycie określonej stopy dyskonta, która jest oczekiwaną przez inwestora stopą zwrotu.

Najwłaściwszym źródłem informacji o właściwym poziomie stopy dyskonta jest efektywny rynek .

Jeśli rynek dyskontuje przyszłe dochody stopą 12% pa to

PV=[120:(1+0.12)+ 120: (1+0.12)^2+...+1120:(1+0.12)^5 =1000 zł, czyli obligacja jest sprzedawana po nominale, to jest nie ma premii, ani dyskonta.

Jeśli stopa dyskontowa jest równa oprocentowaniu obligacji to jej cena jest równa nominałowi.

Jeśli rynek dyskontuje wyższą stopą dyskontową na przykład 16% niż stała stopa oprocentowania obligacji, na przykład 12%, to kurs czyli PV strumienia przychodów równa się:

PV=[120:(1+0.16)+ ...+1120:(1+0.16)^5]= 864 zł czyli obligacja będzie sprzedawana po kursie niższym niż nominał, z dyskontem 136 zł.

Jeśli stopa dyskonta jest wyższa niż oprocentowanie obligacji jej cena jest niższa niż nominał, czyli jest ona sprzedawana z dyskontem.

Gdyby wzrost stóp procentowych na rynku podniósł stopę dyskonta do 18% pa cena obligacji spadłaby do:

PV=[120:(1+0.18)+...+1120:(1+0.18)^5]=804 zł to jest o około 7% niższy kurs.

Jeśli rynkowe stopy procentowe obniżą się i obniży się dyskonto, na przykład z 16% na 14% to cena obligacji wzroście ponad 864 zł ale oczywiście nadal będzie poniżej nominału, gdyż stopa dyskonta jest wyższa niż oprocentowanie obligacji.

Analogicznie, obligacje które oferują oprocentowanie wyższe niż stopa którą "stosuje" rynek do ustalenia ich kursu, będą sprzedawane z premią to jest ich kurs będzie powyżej nominału.

Na przykład, jeśli dla obligacji oprocentowanej na 12% pa płatne kwartalnie stosowana stopa dyskonta wynosi 8% to:

PV=[30:(1+0.02)+...+1030:(1+0.02)^20]=1163 zł.

Jeśli stopa dyskonta będzie dalej obniżać się cena obligacji będzie coraz wyższa niż nominał.

Wrażliwość kursu obligacji na zmiany stopy dyskonta

Wrażliwość kursu obligacji na zmiany poziomu rynkowych stóp procentowych a tym samym stopy dyskontowej używanej do ustalenia kursu jest tym większa im dłuższy jest okres do terminu wykupu.

W przykładzie powyżej gdyby przy 16 % stopie dyskonta do wykupu pozostał tylko jeden kwartał kurs wynosiłby:

PV=1030:1.04=990 zł a przy wzroście stopy dyskonta do 18% kurs spadłby do PV=1030:1.045=986 zł to jest o 0.4 % . Natomiast kurs obligacji której wykup następuje za 20 kwartałów przy wzroście stopy dyskonta z 16 do 18% spada z 864 zł do 804 zł, w przykładzie powyżej, czyli o 7%.

Czyli, wzrost stopy dyskonta spowodowany na przykład ogólnym wzrostem rynkowych stóp procentowych obniża ceny papierów dłużnych o stałym oprocentowaniu i nie oprocentowanych w ogóle [zero kuponowych] tym silniej im dłuższy pozostał czas do ich zapadalności.

Spadek stopy dyskonta podnosi ceny (kursy) instrumentów finansowych o stałym oprocentowaniu i bez oprocentowania tym silniej im bardziej odległy jest moment ich zapadalności.

Stąd też z zakupem obligacji łączy się ryzyko stopy procentowej. W przypadku wzrostu stopy procentowej spadają ceny obligacji o stałym oprocentowaniu i zero kuponowych.

Jeśli po zakupie obligacji po kursie wyższym, równym lub niższym od nominału wzrosną stopy procentowe ceny obligacji spadną i ich ewentualna sprzedaż w okresie podwyższonej stopy procentowej będzie oznaczała straty kapitałowe.

Ryzyko stopy procentowej jest tym wyższe im dłuższy jest okres do zapadalności obligacji.

Duracja

Obligacja 5 letnia przynosząca odsetki w okresach rocznych lub krótszych nie "zapada" oczywiście po 5 latach . Jeśli odsetki są płatne co kwartał to co kwartał posiadacz obligacji otrzymuje pewną część swoich całkowitych przychodów z obligacji.

Wartość obecną strumienia przychodów z obligacji można wyrazić jako średni ważony czas oczekiwania na dochód z obligacji. Przy obligacji 5 letniej i odsetkach płatnych co kwartał, na pierwsze PV zł które stanowią określony procent całego PV obligacji czeka się jeden kwartał, na ostatnie PV zł które stanowią określony procent całego PV czeka się 20 kwartałów. W ten sposób można wyliczyć średni ważony czas oczekiwania na dochód z obligacji.

Jest to tak zwana duracja Macaulay'a [MD].

Przykład:

nominał 1000 zł; oprocentowanie 10 % PA ;odsetki płatne rocznie; cztery lata do wykupu; dyskonto 12%

lata	Płatność w zł rocznie	PV rocznej płatności w zł	Udział rocznego PV w kursie obligacji	Udział*liczba lat do wypłaty
1	100	100:1.12=89	89:938=0.0948	1*0.0948=0.0948
2	100	100:1.12^2=79	79:938=0.0842	2*0.0842=0.168
3	100	100:1.12^3=71	71:938=0.0756	3*0.0756=0.226
4	1100	1100:1.12^4=699	699:938=0.745	4*0.745=2.98
	suma	Kurs obligacji =938	1.0	MD=3.47 lat

Im dłuższy okres duracji tym dłużej posiadacz obligacji jest wystawiony na ryzyko stopy procentowej i ryzyko to jest tym większe, to jest 1% zmiany stopy procentowej powoduje silniejszą zmianę kursu obligacji o wyższej duracji. W szczególności oczywiście 1% wzrostu stopy dyskonta powoduje tym silniejszy spadek kursów obligacji im wyższa jest ich duracja.

Najsilniej zmieniają się pod wpływem zmian stóp procentowych ceny obligacji zero kuponowych, gdyż są to w istocie długoterminowe papiery dyskontowe i ich duracja jest dokładnie równa okresowi do wykupu.

Obligacje zero kuponowe są zawsze sprzedawane z dyskontem, tym wyższym im dłuższy jest okres na jaki je wyemitowano i im wyższa jest stosowana przez rynek stopa dyskonta. Wraz ze zbliżaniem się daty wykupu kurs obligacji zero kuponowej zbliża się do nominału.

Rentowność obligacji

Tak jak w przypadku instrumentów rynku pieniężnego , porównanie możliwych inwestycji w obligacje lub też ustalenia możliwych do akceptacji przez rynek warunków ich emisji , wymaga odwołania się do rentowności obligacji.

Rentowność finansowych instrumentów dyskontowych, obligacji o stałym oprocentowaniu i obligacji zero kuponowych zmienia się w przeciwnym kierunku niż ich kursy czyli ceny.

Jeśli wraz ze spadkiem stopy dyskonta rośnie PV obligacji czyli jej kurs to rentowność czyli stopa zwrotu z inwestycji w obligację maleje.

Jeśli wraz ze wzrostem stopy dyskonta maleje cena obligacji to rośnie rentowność inwestycji w ich zakup.

Im odleglejszy termin do wykupu tym silniej spada cena obligacji wraz ze wzrostem stopy procentowej a tym samym tym silniej rośnie ich rentowność.

Im odleglejszy termin do wykupu tym silniej rośnie cena obligacji wraz ze spadkiem stopy procentowej a tym samym tym silniej maleje rentowność ich zakupu.

Rentowność obligacji jest funkcją jej oprocentowania , relacji między ceną a wartością obligacji w dniu wykupu i okresem czasu od wydatku na zakup do terminu wykupu obligacji. Relacja między ceną a wartością obligacji w dniu wykupu może być zyskiem kapitałowym, cena niższa od nominału lub stratą kapitałową w przypadku gdy cena jest wyższa niż nominał. Cena jest wyższa niż nominał wtedy gdy oprocentowanie obligacji jest wyższe niż oczekiwana rynkowa stopa zwrotu. Obligacje o oprocentowaniu niższym niż oczekiwana stopa zwrotu i obligacje zero kuponowe zawsze mają ceny niższe niż ich nominały.

W przypadku obligacji standardową miarą rentowności jest YTM "rentowność do wykupu" [yield to maturity]. W istocie jest to wewnętrzna stopa zwrotu IRR.

Kurs i YTM dla obligacji zero kuponowych

Rentowność do wykupu i kurs najłatwiej policzyć dla obligacji zero kuponowej:

Kurs obligacji=PV ceny nominalnej

PV ceny nominalnej =nominał*1:(1+r)^n.

W celu wyliczenia kursu obligacji zero kuponowej należy więc zastosować określoną stopę dyskonta (r). Im zastosowana stopa dyskonta jest wyższa tym kurs czyli cena obligacji jest niższa.

Jeśli na przykład mamy obligację zero kuponową 3 letnią o nominale 1000 zł a stosowana przez rynek stopa dyskonta wynosi 14% to kurs obligacji jest równy

zdyskontowanej jednorazowej kwocie 1000 zł do otrzymania za trzy lata:

1000zł:( 1+0.14)^3=1000zł:1.4815=674.97 zł =kurs obligacji czyli jej cena. Inwestor płacąc cenę 674.97 zł otrzymuje prawo do dochodu 1000 zł za trzy lata a pożyczkobiorca, emitent obligacji uzyskuje wpływ 674,97 zł zaciągając zobowiązanie do zapłaty 1000 zł za trzy lata. Stopa zwrotu z inwestycji w tę obligację nazywa się "rentownością do wykupu" YTM. Dla emitenta obligacji stopa ta wyraża koszt finansowy pożyczki. Znając cenę obligacji można ustalić jej YTM:

YTM={[(nominał: kurs)^odwrotność liczby lat do wykupu]-1}*100%

Czyli,

(1000:674.97)^1/3-1*100%=(1.48154^0.3333)-1*100%=

=(1.14-1)*100%=14%=YTM.

Inny przykład ; obligacja zero kuponowa o nominale 1000 zł ; 5 lat do wykupu , kurs rynkowy 500 zł;

YTM={[(1000):500)^0.2]-1}*100%=0.1486*100%=14.86%.

W praktyce, okres do wykupu rzadko równa się całkowitej liczbie lat.

Na przykład, 1.12.1999 roku na przetargu zero kuponowych obligacji skarbowych ustaliła się cena za obligację o nominale 1000 zł i terminie wykupu 21 grudnia 2001 równa 755,99 zł. Nabywca jeśli utrzyma tę obligację do dnia jej wykupu uzyska "rentowność do wykupu " czyli YTM 14.795% rocznie:

{[(1000:755.99)^365:740]-1}*100%={[1.322^0.493]-1}*100%=

=(1.14795-1)*100%=14.795%, gdzie 365 to liczba dni w roku a 740 to liczba dni od zapłaty (12 grudnia 1999) do wykupu przez emitenta.

Aukcja obligacji zerokuponowych przeprowadzona w dniu 7 grudnia 2000r. dla obligacji o terminie wykupu 29 kwietnia 2002 ustaliła cenę obligacji o nominale 1000 zł na 794,37 zł a rentowność nabywcy:

YTM={[(1000:794.37)^365:504]-1}*100%=18.142 % , zakładając rok 365 dni a liczba dni do wykupu 504.

YTM dla obligacji o stałym oprocentowaniu

YTM obligacji o stałym oprocentowaniu to stopa dyskonta przy której wydatek na zakup obligacji zrównuje się ze zdyskontowanym strumieniem dochodów które przyniesie obligacja. Czyli:

Kurs obligacji=kupon odsetkowy:(1+r) +kupon odsetkowy:(1+r)^2 +...+ostatni kupon:(1+r)^n+nominał:(1+r)^n.

Stopa dyskonta przy której cena obligacji zrównuje się ze zdyskontowanym strumieniem dochodów z niej to rentowność obligacji YTM lub inaczej wewnętrzna stopa zwrotu z inwestycji. Na przykład, obligacja 5 letnia, o nominale 1000 zł, stałym oprocentowaniu 10% rocznie , płatnym co kwartał i cenie 900 zł ma rentowność do wykupu czyli YTM:

900=100:(1+YTM)^1+100:(1+YTM)^2+...+1100:(1+YTM)^5

Równanie to można rozwiązać jedynie metodą prób i błędów aż znajdzie się po kolejnym podstawieniu stopę dyskonta YTM spełniającą równanie. Zamiast tego można stosować uproszczone metody, które łatwo i szybko dają rozwiązanie.

YTM=[100+(100:5)]:1900:2=120:950=0.1263=12.63%.

Dla obligacji o stałym oprocentowaniu sprzedawanych z dyskontem YTM wylicza się ze wzoru:

Kupon odsetkowy + (nominał - kurs) : liczba okresów odsetkowych

YTM =

(Nominał + kurs) : 2

Przykład YTM dla obligacji z dyskontem:

Obligacja o nominale 1000 zł, kurs 864 zł, oprocentowanie 12% rocznie, odsetki płatne kwartalnie , 5 lat do wykupu. Obliczamy rentowność takiej inwestycji czyli zapłatę 864 zł za obligację.

Obligacja ma 20 kuponów odsetkowych po 30 zł [12%:100%:4*1000zł=0.03*1000zł=30zł]; dyskonto wynosi 1000-864=136 zł a jego wartość przypadająca na jeden okres odsetkowy, czyli pro rata dyskonto wynosi 136:20=6.8 zł

YTM=[30+(1000-864):20]:(1000+864):2=(30+6.8):932=0.03948

Przechodząc z ujęcia kwartalnego na roczne:0.03948*4*100%=15.79%.

YTM dla obligacji z premią:

Kupon odsetkowy - (kurs-nominał) : liczba okresów odsetkowych

YTM =

(kurs + nominał) : 2

Nominał 1000 zł, kurs 1163 zł, oprocentowanie 20%, odsetki płatne półrocznie 3 lata do wykupu;

Kupon odsetkowy= 20%:100%:2*1000zł=100 zł;

Premia=1163-1000=163 zł

Pro rata premia= premia :liczba okresów odsetkowych =

=(1163-1000):2*3=27.16 zł

YTM=[100-27.16]:(1000+1163):2=(100-27.16):1081.5=72.84zł:1081,5zł= 0.06735;

Przechodząc z ujęcia półrocznego na roczne:0.06735*2*100%=0.1347*100% =13.47%.

YTM obligacji sprzedawanej po cenie nominalnej jest równe jej oprocentowaniu.

Ogólnie, YTM wylicza się ze wzoru:

YTM={K+(N-P):n}:(N+P):2

Gdzie:K=kupon odsetkowy; N=nominał obligacji; P=kurs obligacji ;

n=liczba okresów odsetkowych

6

1

---