WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

FV – Future Value wartość przyszła pieniądza

PV – Present Value obecna wartość pieniądza

n liczna okresów

r stopa procentowa

m ilość równych okresów kapitalizacji w okresie rocznym

d roczna stopa dyskontowa

CF wartość obecna kwot napływających w kolejnych okresach (strumień)

FV_CF wartość przyszła przepływów pieniężnych

PV_CF wartość obecna przepływów pieniężnych

1. Wartość przyszła przy kapitalizacji zwykłej

FV = PV (1 + n × r)

1. Wartość przyszła przy kapitalizacji składanej rocznej

FV = PV (1 + r)ⁿ

1. Wartość przyszła przy wielokrotnej kapitalizacji w ciągu roku

$$FV = PV\ \times \ {(1 + \frac{r}{m})}^{n \times m}$$

1. Wartość obecna przy rocznej kapitalizacji odsetek

$$PV = FV\ \frac{1}{{(1 + d)}^{n}}$$

1. Wartość obecna przy wielokrotnej kapitalizacji odsetek w ciągu roku

$$PV = FV\ \frac{1}{{(1 + \frac{d}{m})}^{n \times m}}$$

1. Przyszła wartość pieniądza przy zmiennej stopie procentowej

FV = PV (1+r₁) × (1+r₂) × … × (1 + r_n)

1. Przyszła wartość pieniądza przy zmiennej stopie procentowej z kapitalizacją odsetek

$$FV = PV\ {(1 + \frac{r_{1}}{m})}^{m} \times {(1 + \frac{r_{2}}{m})}^{m} \times \ldots \times {(1 + \frac{r_{n}}{m})}^{m}$$

1. Obecna wartość pieniądza przy zmiennej stopie procentowej

$$PV = FV \times \frac{1}{(1 + d_{1})} \times \frac{1}{(1 + d_{2})} \times \ldots \times \frac{1}{(1 + d_{n})}$$

1. Obecna wartość pieniądza przy zmiennej stopie procentowej z kapitalizacją odsetek

$$\text{PV}_{n} = FV \times \frac{1}{{(1 + \frac{d_{1}}{m})}^{m}} \times \frac{1}{{(1 + \frac{d_{2}}{m})}^{m}} \times \ldots \times \frac{1}{{(1 + \frac{d_{n}}{m})}^{m}}$$

1. Wartość przyszła strumieni pieniężnych

$$\text{FV}_{\text{CF}} = \ \sum_{t = 0}^{n}{\text{CF}_{t} \times {(1 + r_{t})}^{n - t}}$$

1. Wartość przyszła strumienia pieniądza, gdy przepływy występują na początku okresu („z góry”)

FV_CF = CF₀ × (1 + r)ⁿ + CF₁ × (1 + r)^n − 1 + … + CF_n × (1 + r)¹

1. Wartość przyszła strumienia pieniądza, gdy przepływy występują na koniec okresu („z dołu”)

FV_CF = CF₁ × (1 + r)^n − 1 + CF₂ × (1 + r)^n − 2 + … + CF_n × (1 + r)⁰

1. Wartość obecna strumieni pieniężnych

$$\text{PV}_{\text{CF}} = \sum_{t = 0}^{n}{\text{CF}_{n}\frac{1}{{(1 + d_{n})}^{n}}}$$

1. Wartość obecna strumienia pieniądza, gdy przepływy występują na początku („z góry”)

$$\text{PV}_{\text{CF}} = \ \text{CF}_{1} \times \frac{1}{{(1 + d)}^{0\ }} + \text{CF}_{2} \times \frac{1}{{(1 + d)}^{1\ }} + \ldots + \text{CF}_{n} \times \frac{1}{{(1 + d)}^{n - 1\ }}$$

1. Wartość obecna strumienia pieniądza, gdy przepływy występują na koniec okresu („z dołu”)

$$\text{PV}_{\text{CF}} = \ \text{CF}_{1} \times \frac{1}{{(1 + d)}^{1}} + \text{CF}_{2} \times \frac{1}{{(1 + d)}^{2\ }} + \ldots + \text{CF}_{n} \times \frac{1}{{(1 + d)}^{\text{n\ }}}$$

Wartość przyszła i obecna równych płatności okresowych - annuity

1. Wartość przyszła płatności okresowych, gdy przepływy występują na koniec okresu („z dołu”)

$$\text{FVCF}_{n} = CF \times \frac{{(1 + r)}^{n} - 1}{r}$$

1. Wartość przyszła płatności okresowych, gdy przepływy występują na koniec okresu („z dołu”) z kapitalizacją

$$\text{FVCF}_{n} = \text{CF} \times \frac{{(1 + \frac{r}{m})}^{n \times m} - 1}{\frac{r}{m}}$$

1. Wartość przyszła płatności okresowych, gdy przepływy występują na początku okresu („z góry”)

$$\text{FVCF}_{n} = \text{CF} \times \left\lbrack \frac{{(1 + r)}^{n + 1} - 1}{r} - 1 \right\rbrack$$

1. Wartość przyszła płatności okresowych, gdy przepływy występują na początku okresu („z góry”) przy kapitalizacji

$$\text{FVCF}_{n} = CF \times \left\lbrack \frac{{(1 + \frac{r}{m})}^{(n + 1) \times m} - 1}{\frac{r}{m}} - 1 \right\rbrack$$

1. Wartość obecna płatności okresowych, gdy przepływy występują na początku okresu („z góry”)

$$\text{PVCF}_{n} = CF \times \frac{\left( 1 + d \right)^{n} - 1}{{(1 + d)}^{n - 1} \times d}$$

1. Wartość obecna płatności okresowych, gdy przepływy występują na koniec okresu („z dołu”)

$$\text{PVCF}_{n} = CF \times \frac{\left( 1 + d \right)^{n} - 1}{{(1 + d)}^{n} \times d}$$

Renta wieczysta - perpetuity

PVP_g – Present Value of a Perpetuity wartość obecna renty dożywotniej, gdy płatności następują na początku każdego okresu

CF wartość pojedynczej płatności

d stopa dyskonta dla jednego okresu

1. Wartość obecna renty dożywotniej, gdy płatności następują na początku każdego okresu

$$\text{PVP}_{g} = CF \times \frac{1 + d}{d}$$

1. Wartość obecna renty dożywotniej, gdy płatności następują na koniec każdego okresu

$$\text{PVP}_{g} = CF \times \frac{1}{d}$$