Dowód własności 5 :

Iloczyn potrójny

Przykład

Używając iloczynu potrójnego pokazać, że wektory a
= (1,4,-7),

b = (2,-1,4) ,c = (0,-9,18) są współpłaszczyznowe.

Pojęcie iloczynu
wektorowego ma
zastosowanie w fizyce.
Służy do definiowania
momentu siły.

Moment siły, wektor
osiowy,

gdzie: r - promień
wodzący zaczepiony w
pewnym wybranym
punkcie (względem tego
punktu wyznacza się
moment siły), F - wektor
działającej siły, znak ×
oznacza iloczyn
wektorowy.

F

r





Moment siły

Równanie prostej

Równanie
wektorowe
prostej

Równanie
parametryczn
e

Przykład

Znajdź równanie wektorowe i parametryczne prostej
przechodzącej przez punkt (5,1,3) i równoległej do
wektora

c

z

z

b

y

y

a

x

x

c

z

z

t

b

y

y

t

a

x

x

t

ct

z

z

bt

y

y

at

x

x

0

0

0

0

0

0

0

0

0



































Inny sposób opisu prostej otrzymujemy
eliminując z równania parametrycznego
parametr t .

Równanie odcinka

Równanie płaszczyzny

Równanie wektorowe
płaszczyzny

Równanie skalarne

0









d

cz

by

ax

Równanie
liniowe

)

(

0

0

0

cz

by

ax

d









Przykład

Znajdź równanie płaszczyzny o wektorze
normalnym n = (2,3,4) przechodzącej przez punkt
(2,4,-1) .

Przykład

Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez
punkty P(1,3,2), Q(3,-1,6), R(5,2,0) .

Kąt między płaszczyznami

Dwie płaszczyzny są równoległe jeżeli ich wektory
normalne są równoległe. Na przykład płaszczyzny: x + 2y
3z = 4 i 2x + 4y 6z =3 są równoległe ponieważ ich
wektory normalne: n

1

= (1,2,-3) n

2

= (2,4,-6) spełniają

związek 2n

1

= n

2

. Jeżeli dwie płaszczyzny nie są

równoległe wtedy przecinają się wzdłuż prostej i kąt
między nimi jest zdefiniowany jako kąt między ich
wektorami normalnymi.

Przykład

a) Zajdź kąt między płaszczyznami x + y + z = 1 i x
– 2y +3z = 1

b) Znajdź równanie prostej wzdłuż której te płaszczyzny
się przecinają.

Ad b) Szukamy
punktu na prostej
np. o współrzędnej z
= 0: x + y = 0 x
2y =1 x = 1 y =
0 .

Przykład

Znajdź wzór na odległość d punktu P

1

od

płaszczyzny

ax + by + cz = 0

Niech P

0

(x

o

.y

0

,z

0

) będzie punktem na danej

płaszczyźnie i niech b będzie wektorem P

o

P

1

. Wtedy

Walec i powierzchnia

kwadratowa

z = x

2

okrąg na płaszczyźnie
xy

Powierzchnia drugiego stopnia

A,B,...J stałe. Poprzez operacje tranzlacji i obrotu

można otrzymać prostszą postać:

Elipsoida

Paraboloida

2

2

4

y

x

z





Paraboloida eliptyczna

Paraboloida hiberboliczna

2

2

y

x

z







Hipeboloida jednopowłokowa

Współrzędne walcowe

z

z

r

y

r

x







,

sin

,

cos





Współrzędne

sferyczne

















cos

sin

sin

cos

sin







z

y

x









sin

cos





r

z

Funkcja o wartościach

wektorowych:

Grupą nazywamy taki niepusty zbiór G , w którym
określone jest działanie:

,

:

G

G

G

m





ab

b

a

m

b

a



)

,

(

)

,

(



zwane działaniem grupowym ( albo mnożeniem w G ),
spełniające warunki

a) zawsze zachodzi
( działanie jest łączne)

c

ab

bc

a

)

(

)

(



istnieje element zwany elementem
neutralnym taki, że

dla każdego

G

e

a

ae

ea





G

a

c) dla każdego elementu istnieje taki
element taki, że

G

a

G

a

'

e

aa

a

a



 '

'

Jeżeli ponadto jest spełniony warunek

 

dla dowolnych grupę nazywamy przemienną
albo Abelową

ba

ba

G

b

a 

,

Definicja grupy

Zbiór , zawierający co najmniej dwa elementy
nazywamy ciałem , jeżeli określone są dwa działania:  

zwane odpowiednio dodawaniem i mnożeniem
spełniające następujące warunki:

ab

b

a

b

a

b

a

K

K

K





)

,

(

,

)

,

(

:







K

(a) jest grupą Abelową z działaniem
dodawaniem; 

(b) gdzie oznacza element
neutralny dodawania, jest grupą z działaniem
mnożenia;

 

( c) mnożenie jest rozdzielne względem dodawania,
tzn.

}

0

{

\

*

K

K 

K

}

0

{

ac

ab

c

b

a





 )

(

K

c

b

a



,

,

dla
każdego

Definicja ciała

Przestrzeń wektorowa

Niech V będzie dowolnym niepustym zbiorem, a
ustalonym ciałem. Elementy zbioru V będziemy
nazywać wektorami, a ciała – skalarami.

Mówimy, że jest przestrzenią wektorową nad
ciałem (rozpiętą nad ciałem) lub przestrzenią
liniową , jeśli określone są funkcje

 

zwane odpowiednio dodawaniem wektorów i
mnożeniem wektora przez skalar, takie, że spełnione
są następujące warunki:

•1.            V jest grupą Abelową względem
dodawania;

K

K

K

v

u

v

u

V

V

V









)

,

(

:

u

u

V

V

K







)

,

(

:





2
.

3
.

4
.

5
.

v

u

v

u











 )

(

u

u

u















)

)

(

u

u

)

(

)

(









u

u 

1

Definicja

Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem
K .

Niech . Mówimy, że
tworzą układ liniowo niezależny,

jeżeli dla dowolnego ciągu skalarów
z równości :

V

e

e

e

n



,...,

,

2

1

n

e

e

e

,...,

,

2

1

K

n









,...,

,

2

1

0

...

2

2

1

1









n

n

e

e

e







wynika, że

0

...

2

1









n







Definicja

Układ wektorów przestrzeni liniowej nazywamy bazą tej
przestrzeni, jeśli jest on maksymalnym układem wektorów liniowo
niezależnych w tej przestrzeni, tzn. nie można do niego dołączyć
żadnego wektora przestrzeni w taki sposób, aby otrzymany układ
był liniowo niezależny.

Wyrażenie nazywamy
kombinacją liniową

wektorów

n

n

e

e

e













...

2

2

1

1

V

e

e

e

n



,...,

,

2

1

Baza przestrzeni liniowej

Definicja.

Układ wektorów przestrzeni liniowej V nazywamy bazą tej
przestrzeni, jeżeli jest on maksymalnym układem wektorów
liniowo niezależnych w tej przestrzeni, tzn. jeśli nie można do
niego dołączyć żadnego wektora przestrzeni V w taki sposób,
aby otrzymany układ był liniowo niezależny.

















n

i

i

i

i

i

n

n

e

e

e

e

e

x

1

2

2

1

1











...

Definicja. Liczbę elementów skończonej bazy przestrzeni
liniowej V nazywamy wymiarem przestrzeni i
oznaczamy ją symbolem .

Jeśli dana przestrzeń nie ma skończonej bazy to mówimy,
że jest nieskończona i piszemy .

V

dim





V

dim

Przekształcenia liniowe

Definicja Niech będą przestrzeniami liniowymi nad
ciałem K .

Odwzorowanie ( funkcja ) : nazywa się
przekształceniem liniowym ( odwzorowaniem liniowym) ,
jeśli ma ono następujące własności:

      

(addytywność)

       

(jednorodność)

W

V

i

W

V 

:

T

)

(

)

(

)

(

v

T

u

T

v

u

T











V



,

,v

u

)

(

)

(

u

T

u

T











K

V







,

u

inaczej zapiszemy:

)

(

)

(

)

(

v

T

u

T

v

u

T



















K

V









,

,

,v

u

Niech wektory i odpowiednio stanowią bazy
w przestrzeniach liniowych .

n

e

e

e

,...,

,

2

1

m

f

f

f

,...,

,

2

1

W

V

i

Przekształcenie liniowe T jest wyznaczone jednoznacznie poprzez
wartości jakie przyjmuje na wektorach bazy przestrzeni :

V

)

(

),...,

(

),

(

n

e

T

e

T

e

T

2

1

Jeśli
bowiem :

to

n

n

e

e

e

x

x

















...

2

2

1

1

V

)

(

...

)

(

)

(

)

(

n

n

e

T

e

T

e

T

x

T















2

2

1

1

















m

k

k

k

i

k

k

i

m

m

i

i

i

i

f

f

f

f

f

e

T

1

2

2

1

1











...

)

(

Wypisując kolejno współczynniki w poziomym
rzędzie , a następnie pod spodem, w drugim rzędzie
(wierszu) współczynniki

otrzymamy prostokątną tablicę
współczynników z ciała mającą m wierszy

i n kolumn.

1

i



2

i



Macierz przekształcenia T względem baz

m

n

f

f

f

i

e

e

e

,...,

,

,...,

,

2

1

2

1

Definicja

a)

ń wektorow

(przestrze

:

V

r



R

Przykład

Granica funkcji wektorowej

Przykład

Ciągłość

Funkcja r jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy
ciągłe są funkcje składowe f, g, h .

Istnieje związek pomiędzy
ciągła funkcją wektorową i
krzywą przestrzenną.
Załóżmy, że f,g,h są
funkcjami ciągłymi dla t z
przedziału I. Zbiór C
wszystkich punktów (x,y,z)
przestrzeni gdy:

(*) x = f(t), y = g(t) ,
z = h(t)

gdzie t przebiega przedział I
nazywa się krzywą
przestrzenną . Równania (*)
nazywa się
parametrycznymi
równaniami krzywej t -
parametrem. Możemy
pomyśleć o C jak o śladzie
poruszającej się cząsteczki,
której pozycją w chwili t jest
(f(t), g(t), h(t)). Jeżeli
rozpatrzymy wektor r(t)=
(f(t),g(t),h(t)) to r(t) jest
wektorem wodzącym
punktu P.

Wektor wodzący

Przykład

Pochodna

Jednostkowy wektor
styczny

Twierdzenie

Przykład
 
a) Znajdź pochodną funkcji

wektorowej

r(t) = (1 + t

3

)i + te

-t

j +sin 2t k

b) Znajdź jednostkowy wektor

styczny

w punkcie dla t = 0 .

Twierdzenie 2

Całkowanie

Całka oznaczona funkcji
wektorowej ciągłej

Długość łuku