2. TWIERDZENIE O FUNKCJI UWIKŁANEJ 

Twierdzenie: 

Niech     

 

   

 

   

 

 będzie klasy  

 

            

 

   

 

     

 

. (*)Istnieje (lokalnie) funkcja 

            taka, że                    g jest klasy  

 

. 

                          

                              

(*) -> Załóżmy, że     

  
  

  

 

   

 

      

 

Dowód: 

Twierdzenie opiera się o zalozenie, żeF jest lokalnym dyfeomorfizmem, a wiec         

 

   

 

   

     , a więc istnieje funkcja odwrotna do F. 

 

Pochodna Funkcji Uwikłanej: (różniczkowanie funkcji zadanej w sposób uwikłany) 

             

  
  

          

  

 

  
  

          

Przykład: 

    

 

 

 

   

 

 

 

       

 

 

 

   

 

 

 

         

 

  

 

   

 

        

             

 

 

 

   

 

 

 

     

 

 

 

   

 

 

 

     

         

        

  

   

 

 

  

 

 

 

 

 

       

        

  

   

 

 

   

 

 

         

 

   

 

    

               

        

  

         

Ponieważ mamy zdefiniowaną funkcję    

 

   

 

     

 

                  

       

  

   , to z 

twierdzenia o f. Uwikłanej możemy stwierdzid, że istnieje funkcja            , taka że 
                        

W tym momencie można też wyliczyd pochodną funkcji uwikłanej.