TWIERDZENIA O FUNKCJACH Z POCHODNYMI

• Twierdzenie Rolle'a

Jeżeli funkcja f spełnia warunki :

1. jest ciąga na przedziale [a,b]

2. ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na przedziale (a,b)

3. f(a)=f(b)

to istnieje taki punkt
że

• Twierdzenie Lagrange'a

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

1. jest ciągła na przedziale [a,b]

2. ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na przedziale (a,b)

to istnieje taki punkt
że:

• Warunki wystarczające monotoniczności funkcji

Niech I oznacza dowolny przedział . Jeżeli dla każdego
funkcja f spełnia warunek:

1.
to jest stala na I

2.
to jest rosnąca na I

3.
to jest niemalejąca

4.
to jest malejąca

5.
to jest nie rosnąca

• Twierdzenie Cauchy'ego

Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki :

1. są ciągłe na [a,b]

2. mają pochodne właściwe lub niewłaściwe na (a,b)

3. 
   dla każdego
   

to istnieje punkt
taki że :

• Twierdzenie de L Hospitala

Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki

1.
przy czym

2.istnieje granica
właściwa lub niewłaściwa

Powyższe twierdzenie jest prawdziwe dla granic jednostronnych w nieskończoności lub minus nieskończoności

• Regula de L Hospitala

Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki

1.
przy czym

2.istnieje granica
właściwa lub niewłaściwa

Powyższe twierdzenie jest prawdziwe dla granic jednostronnych w nieskończoności lub minus nieskończoności

• Wielomiany Taylora i Maclaurina

Niech funkcja f ma w punkcie
pochodną właściwą k-tego rzędu , gdzie
. Wielomian

Nazywamy wielomianem Taylora rzedu k funkcji f w punkcie
i oznaczamy symbolem
dla
wielomian ten nazywamy wielomianem Maclaurina

• Wzór Taylora z resztą Lagrange'a

Jeżeli funkcja f ma :

1. ciągłą pochodną rzędu n-1 na przedziale
   

2. pochodną właściwą
   na przedziale
   

to istnieje taki punkt

Resztę Lagrange'a możemy zapisac w postaci :

Gdzie
oraz

Dla
wzór Taylora przyjmuje postać :

• Wzory Maclaurina dla niektórych funkcji elementarnych

---