•równanie Eulera,
•równanie ciągłości
przepływu,

•równanie Bernoulliego.

1. Równanie Eulera

1. Równanie Eulera

Siły masowe i powierzchniowe działające na
element płynu

W poruszającym
się płynie
oddziaływują
następujące siły:

- siły masowe,
- siły
powierzchniowe,

- siły bezwładności.

1

1

2

2

p

p

p

p

dy dxdz

p

dy dxdz

dxdydz

y

y

y

�

�

�

�

�

�

�

-

-

+

=-

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

1

1

2

2

p

p

p

p

dz dxdy

p

dz dxdy

dxdydz

z

z

z

�

�

�

�

�

�

�

-

-

+

=-

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

Siły powierzchniowe działające w kierunku osi x będą
równe:

analogicznie dla osi y, z

( )

1

( )

2

( )

3

ponieważ płyn porusza się to składowe wektora sił
bezwładności (d’Alemberta) przedstawiają się
następująco

(

)

ma

-

r

składowe sił masowych

( )

5

( )

4

Suma sił czynnych masowych i bezwładności w każdym
dowolnym kierunku ruchu jest równa 0, stąd

0

y

dv

p

Ydxdydz

dxdydz

dxdydz

y

dt

r

r

�

-

-

=

�

0

z

dv

p

Zdxdydz

dxdydz

dxdydz

z

dt

r

r

�

-

-

=

�

( )

6

( )

7

( )

8

po uproszczeniu otrzymamy

0

y

dv

p

Y

y

dt

r

r

�

-

-

=

�

0

z

dv

p

Z

z

dt

r

r

�

-

-

=

�

( )

9

( )

10

( )

11

lub po podzieleniu przez

r

1

0

y

dv

p

Y

y

dt

r

�

-

-

=

�

1

0

z

dv

p

Z

z

dt

r

�

-

-

=

�

ponieważ zmiana prędkości odbywa się w przestrzeni jak i w czasie
uwzględniamy pochodną substancjalną równą

y

y

y

y

y

x

y

z

dv

v

v

v

v

v

v

v

dt

t

x

y

z

�

�

�

�

=

+

+

+

�

�

�

�

z

z

z

z

z

x

y

z

dv

v

v

v

v

v

v

v

dt

t

x

y

z

�

�

�

�

=

+

+

+

�

�

�

�

( )

11

( )

12

otrzymamy

1

1

y

y

y

y

x

y

z

z

z

z

z

x

y

z

v

v

v

v

p

Y

v

v

v

y

t

x

y

z

v

v

v

v

p

Z

v

v

v

z

t

x

y

z

r

r

�

�

�

�

�

-

=

+

+

+

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

-

=

+

+

+

�

�

�

�

�

są to równania Eulera dla płynu doskonałego, które w zapisie
wektorowym mają postać

( )

13

( )

14

2. Równanie ciągłości ruchu
jednowymiarowego

Masa płynu wpływającego w czasie dt przez przekrój 1-1
wynosi

a wypływającego przez przekrój 2-2:

Różnica pomiędzy obu masami, jeśli jest różna od 0, musi
równać się zmianie masy płynu zawartego pomiędzy
przekrojami 1 i 2 oddalonymi od siebie o ds. Zmiana ta
spowodowana jest zmianą gęstości płynu.

r

r

n

r n

r

n

�

�

�

�

��

��

�

=

-

+

+

+

�

��

��

�

�

�

�

�

��

��

�

d

A

A ds dt

Adt

ds A

ds

ds dt

dt

s

s

s

Po wymnożeniu oraz pominięciu wielkości małych wyższego
rzędu otrzymamy

( )

15

( )

16

( )

17

r

r

r

r

�

�

�

+

+

+

=

�

�

�

d

A

v

A

v

Av

A

0

dt

s

s

s

lub po uwzględnieniu zasady różniczkowania iloczyn równanie przybiera
postać

Dla ruchu ustalonego (niezależnego od czasu) równanie przybiera
postać

Czyli dla płynu ściśliwego równanie jest spełnione jeśli

natomiast dla płynu nieściśliwego równanie jest spełnione jeśli

( )

18

( )

19

( )

20

( )

21

( )

22

Pierwsza wielkość nazywa się strumieniem masy, a równanie
równaniem ciągłości dla płynu ściśliwego

Druga wielkość nazywa się strumieniem objętości, a równanie
równaniem ciągłości dla płynu nieściśliwego

Z równań wynika, że

Jeśli w polu o przekroju A prędkość nie jest jednakowa, to wówczas
w równaniach ciągłości przepływu występuje prędkość średnia v

śr

równa

( )

23

( )

24

( )

25

( )

26

3. Równanie ciągłości ruchu ogólnym
(trójwymiarowym)

Przez ściankę OABC (wzdłuż osi x) w czasie dt przepływa masa równa

natomiast przez przeciwległą ściankę wypływa w tym samym czasie
masa

Różnica pomiędzy masą wpływającą do prostopadłościanu a
wypływającą wynosi

Podobnie postępujemy dla pozostałych dwóch par ścianek, otrzymując
różnice mas wpływu i wypływu równe

r

r

�

-

�

�

-

�

y

z

v

dx dy dz dt

y

v

dx dy dz dt

z

( )

27

( )

28

( )

29

( )

30

( )

31

Suma tych różnic równa się zmianie masy zawartej w objętości
prostopadłościanu wskutek zmiany gęstości czyli

Porównując równanie (32) z sumą równań (29-31) otrzymamy

( )

32

y

x

z

v

v

v

d

dxdydzdt

dx dy dz dt

dx dy dz dt

dx dy dz dt

dt

x

y

z

r

r

r

r

�

�

�

=-

-

-

�

�

�

( )

33

po podzieleniu przez dx dy dz dt otrzymamy

0

y

x

z

y

x

z

v

v

v

d

dt

x

y

z

v

v

v

d

dt

x

y

z

r

r

r

r

r

r

�

�

�

=-

-

-

�

�

�

�

�

�

�

�

+

+

+

=

�

�

�

�

�

�

�

( )

34

( )

35

Jest to równanie ciągłości w formie Eulera dla ruchu płynu ściśliwego

Zapis równania (35) można uprościć stosując pojęcie dywergencji

(

)

divv

r

y

x

z

v

v

v

divv

x

y

z

�

�

�

=

+

+

�

�

�

r

Czyli otrzymamy równanie (35) w postaci

Dla płynu nieściśliwego =const stąd a zatem równanie

ciągłości jest równe

0

d

dt

r

=

lu
b

( )

36

( )

37

( )

38

( )

39

4. Równanie Bernoulliego

4. Równanie Bernoulliego

Założenia: płyn nielepki, nieściśliwy, ruch jednowymiarowy,
ustalony, prędkość jest stała w przekroju poprzecznym
strugi.

 energii potencjalnej ciśnienia, równej iloczynowi siły
powierzchniowej
i przesunięcia , czyli

Wydzielimy odcinek strugi zawarty między przekrojami 1-1 i
2-2, określimy energię mechaniczną cieczy w czasie dt.
W czasie dt ciecz z przekroju 1-1 przemieści się o
do przekroju 1’-1’, a z przekrój 2-2 o do 2’-2’.
Całkowita energia mechaniczna płynu przepływającego przez
przekrój 1-1 w czasie dt składa się z:

n

=

1

1

ds

dt

n

=

2

2

ds

dt

 energii kinetycznej masy , poruszającej się z
prędkością ,
czyli

1

1

p A

n

=

1

1

ds

dt

=

V

dm pq dt

n

1

 energii potencjalnej położenia

( )

40

( )

41

( )

42

Całkowita energia przepływająca w czasie dt przez przekrój
1-1 wynosi

r

r

=

+

+

2

c1

V 1

1 V

V 1

1

E

gq z dt p q dt

gq v dt,

2

a przez przekrój 2-2

r

r

=

+

+

2

c2

V 2

2 V

V 2

1

E

gq z dt p q dt

gq v dt.

2

(43
)

(44
)

Ponieważ ruch odbywa się bez strat energetycznych, to:

(4
5)

zatem

r

r

r

r

+

+

=

+

+

2

2

V 1

1 V

V 1

V 2

2 V

V 2

1

1

gq z dt p q dt

gq v dt

gq z dt p q dt

gq v dt.

2

2

(46
)

Po podzieleniu równania (46) obustronnie przez
otrzymamy:

r

V

gq dt

(47
)

Równanie Bernoulliego zapisujemy w postaci:

(48
)

z

r

p

g

2

v

2g

Po pomnożeniu równań (47-48) obustronnie przez g

otrzymamy:

(49
)

(50
)

gz

p

r

2

v

2

Interpretacja geometryczna równania
Bernoulliego