Wojciech Piątkowski

Inżynieria Chemiczna i

Procesowa

Wykład II

Masa

Katedra Inżynierii Chemicznej i Procesowej

Wydział Chemiczny, Politechnika Rzeszowska

LITERATURA

Mieczysław Serwiński – „Zasady Inżynierii Chemicznej i Procesowej”
Tadeusz Hobler – „Dyfuzyjny ruch masy i absorbery”
Praca zbiorowa pod red. Z. Ziółkowskiego – „Procesy dyfuzyjne i

termodynamiczne” – skrypt Pol. Wrocławskiej część;1; 2; 3;
Z. Kembłowski, St. Michałowski, Cz. Strumiłło, R. Zarzycki –„ Podstawy

teoretyczne Inżynierii Chemicznej i Procesowej”
R. Zarzycki; A. Chacuk; M. Starzak – „Absorpcja i absorbery”
R. Petrus; G. Aksielrud; J. Gumnicki; W. Piątkowski – „ Wymiana masy w

układzie ciało stałe – ciecz”
C.O. Bennett, J.E. Meyers, „Przenoszenie pędu, ciepła i masy”
K.F.Pawłow; P.G. Romankow; A.A. Noskow – „Przykłady i zadania z zakresu

aparatury i inżynierii chemicznej”
Z. Kawala; M. Pająk; J. Szust – „Zbiór zadań z podstawowych procesów

inżynierii chemicznej”; skrypt Pol. Wrocławskiej cz.: I, II, III
T.Kudra (pod redakcją) – „Zbiór zadań z podstaw teoretycznych inżynierii

chemicznej i procesowej”
Praca zbiorowa pod red. J. Bandrowskiego – „Materiały pomocnicze do ćwiczeń

i projektów z inżynierii chemicznej” – skrypt Pol. Śląskiej

Ruch masy

Ruch masy

– nauka o procesach transportu masy.

Siła

Siła

nap

nap

ę

ę

dow

dow

a

a

ruchu masy to różnica stężenia

składnika

składnika

kluczowego

kluczowego



Z

A

lub



S

A

(dokładna definicja stężenia - przy każdym

mechanizmie lub procesie ruchu masy)

Ruch masy

Pojęcia podstawowe

Procesy ruchu masy

Procesy ruchu masy

– ruch masy w kombinacjach, o których

mowa powyżej

Wnikanie masy

Wnikanie masy

– ogólna nazwa sposobu przekazywania masy od

rdzenia płynu do powierzchni międzyfazowej – zwierciadła. Jest to

proces transportu masy składający się z 2 mechanizmów ruchu

masy przebiegających następczo (szeregowo jeden za drugim):

konwekcji masy

konwekcji masy

w rdzeniu płynu oraz

dyfuzji masy

dyfuzji masy

w warstwie

przyściennej – lub odwrotnie w funkcji zwrotu przyłożonej

siły

siły

napędowej

napędowej

.

Przenikanie masy

Przenikanie masy

– ogólna nazwa sposobu przekazywania masy

od rdzenia jednego do rdzenia drugiego płynu poprzez powierzchnię

międzyfazową.

Mechanizmy ruchu masy

Mechanizmy ruchu masy

– istnieją dwa odrębne mechanizmy ruchu

masy:

–

dyfuzja masy

dyfuzja masy

– w ten sposób masa jest przekazywana w

materialnych ośrodkach ciągłych na skutek różnicy stężenia,

–

konwekcja

konwekcja

masy

masy

– w ten sposób masa może być przekazywana

w cieczach i gazach na skutek różnicy stężenia oraz unoszenia

cząsteczek przez istniejące pole prędkości,

Mechanizmy ruchu masy

Mechanizmy ruchu masy

mogą występować łącznie w

kombinacjach: szeregowo, równolegle - zależnych od tego na co

pozwala dany ośrodek – np. w ciałach stałych: tylko dyfuzja, w

cieczach i gazach: dyfuzja i/lub konwekcja masy.

Przenoszenie

Przenoszenie

masy

masy

przez dyfuzję

przez dyfuzję

Ruch masy c.d.

Ustalona dyfuzja masy

Ustalona dyfuzja masy

:

d

d

yfuzja masy

yfuzja masy

zachodzi w obrębie

jednego ciała, w którym istnieje różnica stężenia między punktami
tego ciała. Nie istnieje natomiast makroskopowy ruch translacyjny
cząstek tego ciała. Dopuszczalny jest ruch bezwładny np. ruchy
Browna w gazach.

Dyfuzja masy

Dyfuzja masy

zachodzi we wszystkich stanach skupienia.

POWTÓRZENIE -

Siła

Siła

nap

nap

ę

ę

dow

dow

a

a

dyfuzji

dyfuzji

to różnica stężenia

składnika kluczowego

składnika kluczowego



Z

A

(lub



S

.A.

) między dwoma punktami

tego ciała.

N

D

C

n

A

A







Powierzchnia izo

Powierzchnia izo

koncentry

koncentry

czna

czna

– to miejsce geometryczne

punktów o jednakowej wartości stężenia w danej chwili czasu.
Przecięcie płaszczyzną normalną A powierzchni izokoncentrycznych
umożliwia śledzenie zmian stężenia zwanych

gradientem

gradientem

stężenia

stężenia

:

Wektor g

Wektor g

ę

ę

sto

sto

ś

ś

ci strumienia

ci strumienia

masy

masy

– parametr wprost

proporcjonalny do gradientu stężenia:

- równanie (I prawo)

Fick’a

w

formie

różniczkowej,

gdzie:

współczynnikiem

proporcjonalności jest współczynnik dyfuzji

D

.

W prostokątnym układzie współrzędnych wektor

N

A

ma oczywiście 3

składowe, jest normalny do powierzchni izokoncetrycznej i jest
dodatni w kierunku malejącego stężenia (masa zawsze płynie
samoistnie od punktu ciała o wyższej wartosci stężenia do punktu
ciała o niższej wartosci stężenia. Tak więc wektory

N

A

oraz

grad C

A

=

mają ten sam kierunek i przeciwny zwrot.

n

C

A





itd. –spójrz do internetu!

Dynamika procesu –

model procesu ruchu masy

Matematyczne zależności między istotnymi
dla danego procesu wielkościami nazywa się
modelem dynamiki układu (procesu; aparatu)























pedu

ia

przenoszen

równanie

reakcji

kinetyka

procesu

mika)

(termodyna

statyka

masy

u

transport

kinetyka

masy

(bilanse)

bilans

ciepla

u

transport

kinetyka

ciepla

(bilanse)

bilans

A jak należy uprościć
prezentowany model dynamiki
procesu dla

ruchu masy

ruchu masy

?

Proces może być ustalony

(1)

lub

nieustalony

(2).

W przypadkach:

•

(2) – procesu

(2) – procesu

nieustalonego w

nieustalonego w

czasie

czasie

;

;

•

–

–

zmiennej powierzchni procesu

zmiennej powierzchni procesu

(

powierzchnia procesu

–

powierzchnia izokoncentryczna

powierzchnia izokoncentryczna

,

to miejsce geometryczne punktów o
jednakowym stężeniu w danej chwili
czasu)

Model

Model

dynamiki procesu

dynamiki procesu

transportu masy

transportu masy

to układ równań

to układ równań

różniczkowych wyrażonych jako

różniczkowych wyrażonych jako

bilanse masy dla sześcianu

bilanse masy dla sześcianu

jednostkowego

jednostkowego























pedu

ia

przenoszen

równanie

procesu

mika)

(termodyna

statyka

masy

u

transport

kinetyka

masy

(bilanse)

bilans

Dynamika procesu –

model procesu ruchu masy

Matematyczne zależności między
istotnymi
dla procesu

ruchu masy

ruchu masy

wielkościami nazywa się

modelem dynamiki wymiennika

modelem dynamiki wymiennika

masy

masy

Model dynamiki

Model dynamiki

procesu

procesu

transportu masy

transportu masy

to układ równań

to układ równań

różniczkowych wyrażonych jako

różniczkowych wyrażonych jako

bilanse masy

bilanse masy

dla sześcianu

dla sześcianu

jednostkowego.

jednostkowego.

W przypadkach:

• – procesu ustalonego w czasie;
• – stałej powierzchni procesu

Model dynamiki może być

Model dynamiki może być

zapisany jako układ równań

zapisany jako układ równań

scałkowanych operujących

scałkowanych operujących

parametrami przekrojów wlotu i

parametrami przekrojów wlotu i

wylotu z aparatu

wylotu z aparatu

Ruch masy c.d.

Różniczkowy

bilans

masy

c.d.

Założenie (Uproszczenie 1):

ponieważ bilansujemy

wymiennik masy

wymiennik masy

a nie reaktor,

to przyjmujemy, że reakcja
chemiczna nie zachodzi

 R

A

=

0.

0







B

B

N

t

C





dla skł. B

z

y

x

x

N

N

Ax

Ax

d

d

d





















dz

dy

N

Ax























































reakcji

wyniku

w

skl.

ubytek

skl.

akumulacja

skl.

odplywu

natezenie

skl.

doplywu

natezenie

A

A

A

A

UWAGA: stężeniem użytym w poniższym wyprowadzeniu jest
koncentracja masowa
– [kgA/m

3

]

A

C

V

/

m

A



0









A

A

A

R

N

t

C





0



























A

Az

Ay

Ax

A

R

z

N

y

N

x

N

t

C

















dla skł. A

[kgA/m

3

s]



F

/

m

N

A

A



[kgA/m

2

s]

Dyfuzja masy

Dyfuzja masy

nie będzie mieć

miejsca jeśli nie będzie
mieszaniny

A+B

Ruch masy c.d.

Różniczkowy

bilans

masy

c.d.

W tym miejscu powrót do
czystej

dyfuzji masy

dyfuzji masy

Uproszczenie 3:

Jeżeli

dyfuzja

dyfuzja

masy

masy

odbywa się tylko w kierunku

x

:

2

2

x

C

D

t

C

A

A











II prawo Fick’a

II prawo Fick’a

A

A

C

y 

dla:



= const

i

D = const,

oraz

/







A

A

A

C

D

C

u

t

C

2













0















z

N

N

y

N

N

x

N

N

t

Bz

Az

By

Ay

Bx

Ax



















)

(

)

(

)

(

Łącząc
zależności:

gdzie
:

B

A

C

C 





W tym miejscu wprowadza się równoczesny ruch masy przez

konwekcj

konwekcj

ę

ę

oraz dyfuzj

oraz dyfuzj

ę

ę

masy

masy





















x

y

D

C

u

N

x

y

D

C

u

N

B

B

B

A

A

A













Uproszczenie 2:

Jeżeli płyn jest

nieruchomy:

A

A

C

D

t

C

2









Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez

dyfuzję

c.d.

Całkowanie

równania Laplace’a

równania Laplace’a

przy następujących warunkach brzegowych:

dla

x = 0  C

A

= C

A1

;

dla

x = s  C

A

= C

A2

(w wyprowadzeniu przejście na koncentrację

molową – to nic nie zmienia w rozumowaniu!)





2

1

A

A

A

C

C

s

D

N





[kmolA/m

2

s]

Szybkość dyfuzji masy

Szybkość dyfuzji masy

Drugie całkowanie daje:

Pierwsze całkowanie daje:

x

C

D

N

A

A









I prawo Fick’a

I prawo Fick’a





2

1

A

A

A

C

C

A

s

D

m







[kmolA/s]

Strumień dyfundującej

Strumień dyfundującej

masy

masy

0

2

2



x

C

D

A





Uproszczenie 4:

Jeżeli

dyfuzja

dyfuzja

jest ruchem masy

ustalonym tylko w kierunku

x

:

Równanie Laplace’a

Równanie Laplace’a

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez

dyfuzję

c.d.

Szczegółowe równanie na

gradient dyfuzji

gradient dyfuzji

, uważane obecnie

za podstawowe, brzmi:

gdzie:

a -

stała

proporcjonalności





u

-

u

C

C

p

-

B

A

'

B

'

A

A

a





Równanie

Równanie

Fick’a

Fick’a

może zostać wyprowadzone dla fazy gazowej z

kinetycznej budowy gazów Maxwella - Stefana. Opór

dyfuzji

dyfuzji

w

gazowej, dwuskładnikowej mieszaninie mierzony spadkiem ciśnienia

sk

sk

ł

ł

adnika kluczowego

adnika kluczowego

A

i jest proporcjonalny do:

- p

A

 z

A

z

B

(u

A

- u

B

)

gdzie:

z

A

- ilość cząsteczek składnika dyfundującego;

z

B

- ilość

cząsteczek składnika, przez który dyfunduje składnik

A

;

(u

A

- u

B

)

-

różnica wypadkowych prędkości cząsteczek obu gazów w kierunku
dyfuzji – ogólnie;

[m/s]

- prędkość molekularna składnika

i;





i

'

i

C

N

u 

Posłużmy się sześcianem elementarnym i obliczmy ilość cząsteczek
składnika

A

znajdujących się w tym elemencie:

z

A



A

= c

A

- gdzie



A

-

masa 1 cząsteczki

[g/cz]; c

A

-

łączna masa cząsteczek

w

1 cm

3



koncentracja masowa cząsteczek

[g/cm

3

].

Według prawa Avogadra masy cząsteczek mają się do siebie jak masy
molowe, w związku z czym:

'

A

z

A

A

A

c

C

M

�

=

'

B

z

B

B

B

c

C

M

�

=

a

[kmol/m

3

]

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez

dyfuzję

c.d.

A

'

A

'

A

u

C

N 

Definicja

g

g

ę

ę

sto

sto

ś

ś

ci strumienia

ci strumienia

masy

masy

brzmi:

[kmolA/m

2

s]

a
stąd:

C

N

u

'

A

'

A

A



C

N

u

'

B

'

B

B



T

C

p

'

A

A

R

d





Podstawiając te związki oraz
zależność:





'

A

'

B

'

B

'

A

'

A

C

N

C

N

T

C









R

a

Otrzyma się z:





u

-

u

C

C

p

-

B

A

'

B

'

A

A

a





gdzie: - koncentracja całkowita układu;

D

AB

-

współczynnik proporcjonalności równania –

współczynnik

współczynnik

dyfuzji

dyfuzji

- miara

szybko

szybko

ś

ś

ci dyfuzji

ci dyfuzji

dla danej pary składników







n

i

'

i

'

C

C

1

Definicja

kinematycznego

kinematycznego

wspó

wspó

ł

ł

czynnika dyfuzji

czynnika dyfuzji

:

BA

'

AB

D

P

T

C

T

D







a

a

2

2

R

R

[m

2

/s]





'

A

'

B

'

B

'

A

'

AB

'

A

C

N

C

N

C

D

C









1

'

AB

'

AB

C

D





Definicja

dynami

dynami

cznego

cznego

wspó

wspó

ł

ł

czynnika dyfuzji

czynnika dyfuzji

:

[kmolA/m s]

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez

dyfuzję

c.d.

'

'

A

'

AB

B

'

A

'

AB

'

B

'

'

A

C

C

C

C

C

N















Szybkość dyfuzji

Szybkość dyfuzji

'

A

'

B

B

'

A

'

A

A

N

N

;

N

N











1

Definicja stosunków gęstości
strumieni masy:





'

A

B

'

B

'

AB

'

A

C

C

C













1

'

'

A

A

C

C

y 

Przejdźmy do
prostszej
postaci równania
przez
wprowadzenie
ułamka
molowego

A

A

A

A

A

'

AB

B

A

'

AB

B

'

A

y

y

y

y

y

N

























1

1

1

f

A

A

y

y 





1









n

i

i

A

1





gdzie:

oraz:

f

A

'

AB

B

A

'

AB

B

A

A

'

A

y

y

y

y

y

N



















1

f

A

'

AN

N

'

AC

C

'

AB

B

A

'

AN

N

'

AC

C

'

AB

B

f

'

A

y

y

...

y

y

...

y

y

y

N



































































Poprzednie r-nie można przez analogię rozszerzyć dla mieszaniny

n-

składnikowej:

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez

dyfuzję

c.d.

f

A

'

Am

'

A

y

y

N









O

O

góln

góln

a

a

posta

posta

ć

ć

I prawa Fick’a

I prawa Fick’a

w

formie

w

formie

ró

ró

ż

ż

niczkowej

niczkowej

:











































'

AN

N

'

AC

C

'

AB

B

A

'

AN

N

'

AC

C

'

AB

B

A

A

'

Am

...

y

y

...

y

y

y























1

Definicja

zast

zast

ę

ę

pcz

pcz

ego

ego

,

,

dynamiczn

dynamiczn

ego

ego

wspó

wspó

ł

ł

czynnik

czynnik

a

a

dyfuzji

dyfuzji

składnika

A

przez mieszaninę innych składników

:

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez

dyfuzję

c.d.

Przekształcenia upraszczające ogólnego

I prawa

I prawa

Fick’a

Fick’a

wedlug

charakterystycznych przypadków -

rodzajów dyfuzji

rodzajów dyfuzji

, w

ustalonym ruchu masy przez

dyfuzj

dyfuzj

ę

ę

:

1.

1.

D

D

yfuzja

yfuzja

składnika A przez drugi składnik inertny B  i – 1-

wszy rodzaj

dyfuzji

dyfuzji

:

s

y

y

N

i

A

'

Ai

'

A

d

d







a po
scałkowaniu:





im

A

A

'

Ai

i

i

'

Ai

'

A

y

y

y

s

y

y

s

N

2

1

2

1

ln

























 



y

y

y

im

A

A





 

1

1

2

1

2

gdzi
e:

;

N

N

'

A

'

A

A

1







;

N

N

'

A

'

B

B

0







y

f

= 1 – y

A

= y

B

=

y

i

;

N

'

B

0















n

i

i

A

1

1





'

Ai

A

'

Ai

i

i

'

Am

y

y

y





























0

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez

dyfuzję

c.d.

2.

2.

D

D

yfuzja

yfuzja

ekwimolarna przeciwkierunkowa – 2-gi rodzaj

dyfuzji

dyfuzji

:

Przekształcenia upraszczające ogólnego

I prawa

I prawa

Fick’a

Fick’a

wedlug

charakterystycznych przypadków -

rodzajów dyfuzji

rodzajów dyfuzji

, w

ustalonym ruchu masy przez

dyfuzj

dyfuzj

ę

ę

c.d.

s

y

y

N

i

A

'

Am

'

A

d

d







a po
scałkowaniu:





1

2

1

A

A

'

AB

'

A

y

y

s

N







;

N

N

'

A

'

A

A

1







;

N

N

'

A

'

i

i

1









y

f

= 1

;

1





'

B

N

 







n

i

i

A

1

0





'

AB

'

AB

A

'

AB

B

'

Am

y

y





















 

















1

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez

dyfuzję

c.d.

Przekształcenia upraszczające ogólnego

I prawa

I prawa

Fick’a

Fick’a

wedlug

charakterystycznych przypadków -

rodzajów dyfuzji

rodzajów dyfuzji

, w

ustalonym ruchu masy przez

dyfuzj

dyfuzj

ę

ę

c.d.

3.

3.

D

D

yfuzja

yfuzja

składnika A przez mieszaninę inertów - 3-ci rodzaj

dyfuzji

dyfuzji

:

s

y

y

N

i

A

'

Ai

'

A

d

d







a po
scałkowaniu:





im

A

A

'

Ai

i

i

'

Ai

'

A

y

y

y

s

y

y

s

N

2

1

2

1

ln

























 



y

y

y

im

A

A





 

1

1

2

1

2

gdzi
e:

;

N

N

'

A

'

A

A

1







;

N

N

'

A

'

i

i

0







y

f

= 1 – y

A

=

y

i

=

;

N

'

B

0















n

i

i

A

1

1















































'

AN

N

'

AC

C

'

AB

B

A

'

AN

N

'

AC

C

'

AB

B

A

A

'

Am

...

y

y

...

y

y

y























1

y

y

y

B

C

N

i

n



 





...

1

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez

dyfuzję

c.d.

Hoblerowskie

Hoblerowskie

ujęcie ruchu masy





im

A

A

'

Ai

i

i

'

Ai

'

A

x

x

x

s

x

x

s

N

2

1

2

1

ln

























 



x

x

x

im

A

A





 

1

1

2

1

2

gdzi
e

:

Dyfuzja

Dyfuzja

w fazie ciekłej





A

'

Ai

im

A

A

'

Ai

i

i

'

Ai

'

A

s

y

y

y

s

y

y

s

N





























2

1

2

1

ln

U

U

ogólniona si

ogólniona si

ł

ł

a nap

a nap

ę

ę

dowa

dowa

dyfuzji

dyfuzji

, z powodu swojej

bezwymiarowości nazywana

modu

modu

ł

ł

em nap

em nap

ę

ę

dowym.

dowym.



 

 



.

p

p

p

C

C

C

y

y

y

im

A

A

im

A

A

im

A

A

A

itd

2

1

2

1

2

1















gdzi
e

:

Wymiar lewej strony równania to [kmolA/m

2

s] i wymiar ten

winniśmy zachować także po prawej stronie równania. Oznacza to, że w
ujęciu Hoblerowskim w równaniu

dyfuzji

dyfuzji

należy zawsze użyć

dynamicznego wspó

dynamicznego wspó

ł

ł

czynnika dyfuzji

czynnika dyfuzji

– w tym przykładzie:

=

s

A

'

Am

d

d

















m

s

m

kmol 1

A

N

A

'

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez

dyfuzję

c.d.

Wprowadźmy teraz definicję

wspó

wspó

ł

ł

czynnika

czynnika

wnikania masy

wnikania masy

:

s

'

AB

'

A







[kmol/m

2

s]

A

'

A

'

A

N







I zapiszmy równanie

dyfuzji masy

dyfuzji masy

w nowej postaci:

W podejściu Hoblerowskim,

W podejściu Hoblerowskim,

mimo tego, że

mimo tego, że

wyrazimy modu

wyrazimy modu

ł

ł

nap

nap

ę

ę

dowy wybranym, dowolnym rodzajem st

dowy wybranym, dowolnym rodzajem st

ężenia

ężenia

,

,

modu

modu

ł

ł

jest zawsze

jest zawsze

bezwymiarowy,

bezwymiarowy,

a

a

wymiar

wymiar

wspó

wspó

ł

ł

czynnika dyfuzji

czynnika dyfuzji

=

=

[kmol/ms]

[kmol/ms]

oraz

oraz

wspó

wspó

ł

ł

czynnika wnikania masy

czynnika wnikania masy

=

=

[kmol/m

[kmol/m

2

2

s]

s]

-

-

JEST ZAWSZE

JEST ZAWSZE

STA

STA

Ł

Ł

Y.

Y.

'

Am





A

'

Ujęcie

Ujęcie

dyfuzji

dyfuzji

masy

masy

jak

jak

wnikania

wnikania

masy

masy

Zasadą tego podejścia jest operowanie siłą napędową a nie modułem
napędowym procesu.
Wyjdźmy ze scałkowanego równania na szybkość dyfuzji, gdzie siła napędowa
zapisana jest w koncentracjach molowych:





im

A

A

'

Ai

'

A

C

C

C

s

N

2

1







Wprowadźmy definicję

współczynnika wnikania masy

i otrzymamy:





2

1

A

A

im

'

A

C

C

C







Teraz zapiszmy stosunek

współczynnika

wnikania masy

przez przeciwstężenie warstwy jako:

 

C

A

'

im

'

A

C







Wymiarem

Wymiarem

wspó

wspó

ł

ł

czynnika wnikania masy

czynnika wnikania masy





A

A

(

(

C

C

)

)

,

,

jeśli siła napędowa jest

wyrażona za pomocą koncentracji molowych, jest

[m/s]

Wymiar lewej strony równania to -

[kmol A/m

2

s]

i wymiar ten

ma mieć także prawa strona równania:





2

1

)

(

A

A

C

A

C

C 





Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez

dyfuzję

c.d.

Ujęcie

Ujęcie

dyfuzji

dyfuzji

masy

masy

jak

jak

wnikania

wnikania

masy c.d.

masy c.d.













2

1

2

1

2

1

A

A

y

A

A

C

A

A

p

'

A

y

y

C

C

p

p

N



















itd.

Jest to zapis

I-szego prawa Fick’a

I-szego prawa Fick’a

dla

dyfuzji masy

dyfuzji masy

, oparty na

zapisie szybkości

wnikania masy

wnikania masy

.

Obliczanie wartości

wspó

wspó

ł

ł

czynnik

czynnik

a

a

dyfuzji

dyfuzji

Wartości

współczynnika dyfuzji

współczynnika dyfuzji

zostały znalezione i określone na

drodze eksperymentalnej dla wielu par gazów i cieczy i
stabelaryzowano przy w określonych warunkach standardowych. Są to
najczęściej:

•dla gazów -

t = 0

o

C

i

p = 1 atm

,

•dla cieczy -

t = 20

o

C

.

W przypadku gdy nie da się znaleźć tych wartości w tablicach należy
wyznaczyć je z odpowiednich zależności matematycznych.

'

BA

'

AB







A

'

AB

AB

M









[kg/m s] przy czym





AB

BA



Przypomnienie podstawowych zależności:

D

AB

= D

BA

,

tylko dla gazu

C

D

AB

'

AB





M

AB

'

AB

V

D





Ogólnie dla obu stanów skupienia

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez

dyfuzję

c.d.

Obliczanie wartości

wspó

wspó

ł

ł

czynnik

czynnik

a

a

dyfuzji

dyfuzji

c.d.

Obliczanie wartości

wspó

wspó

ł

ł

czynnik

czynnik

a

a

dyfuzji

dyfuzji

w

w

fazie gazowej

fazie gazowej

Korelacja

Arnolda-Gillilanda

na

kinematyczny

kinematyczny

wspó

wspó

ł

ł

czynnik dyfuzji

czynnik dyfuzji

:

[m

2

/s]





B

A

/

B

/

A

/

AB

M

M

v

v

p

T

.

D

1

1

044

0

2

3

1

3

1

2

3







gdzie:

v

A

oraz

v

B

[cm

3

/mol]

- objętości molowe odpowiednich składników

w postaci cieczy w temperaturze wrzenia - w tablicach;

p -

ciśnienie

całkowite układu w

Pa, M -

masa molowa w

[kg/kmol], T

w skali

Kelvina.

Korelacja

Arnolda-Gillilanda

na

dynami

dynami

czny

czny

wspó

wspó

ł

ł

czynnik dyfuzji

czynnik dyfuzji:





B

A

/

B

/

A

/

'

AB

M

M

v

v

T

.

1

1

R

044

0

2

3

1

3

1

2

1









[kmol/m s]

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez

dyfuzję

c.d.

Obliczanie wartości

wspó

wspó

ł

ł

czynnik

czynnik

a

a

dyfuzji

dyfuzji

c.d.

Obliczanie wartości

wspó

wspó

ł

ł

czynnik

czynnik

a

a

dyfuzji

dyfuzji

w

w

fazie ciekłej

fazie ciekłej

Korelacja

Arnolda

na

kinematyczny

współczynnik dyfuzji:

gdzie:

A i B

- to tzw., czynniki odchylenia od ideału dla substancji

dyfundującej

A

w cieczy -rozpuszczalniku

B

-

w tablicach

;



B

- lepkość

dynamiczna rozpuszczalnika

B

w

[cP]

.

[m

2

/s]





D

v

v

M

M

AB

B

A

B

A

B









10

1

1

1

6

1 3

1 3 2

A B



/

/

Zależność

kinematycznego współczynnika dyfuzji

w cieczach od

temperatury wyrażona jest wzorem Nernsta:

(D

AB

)

t

= (D

AB

)

20

[1 + b (t

- 20)]; b -

w tablicach

lub do obliczenia:

gdzie:



B

-

lepkość dynamiczna rozpuszczalnika

B

w

[Pa s];



B

-

gęstość

rozpuszczalnika

B

w

[kg/m

3

]

w

20

o

C.

b

0063

20

20

3

.





B

B

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez

dyfuzję

c.d.

Obliczanie wartości

wspó

wspó

ł

ł

czynnik

czynnik

a

a

dyfuzji

dyfuzji

c.d.

Obliczanie wartości

wspó

wspó

ł

ł

czynnik

czynnik

a

a

dyfuzji

dyfuzji

w

w

fazie ciekłej

fazie ciekłej

c.d.

Równanie

Stokesa-Einsteina

Stokesa-Einsteina

na

kinematyczny wspó

kinematyczny wspó

ł

ł

czynnik

czynnik

dyfuzji

dyfuzji

słuszne dla roztworów rozcieńczonych:

D

T

N r

AB

B

A





531 10

7

.

R



gdzie:

N -

liczba Avogadro

; r

A

-

promień rozpuszczonych cząstek

A;

wszystkie parametry w wymiarach układu SI.
Z tego równania wynika, że dla pary składników tzw.

grupa

grupa

dyfuzyjna

dyfuzyjna

:

= const -

jest wielko

jest wielko

ś

ś

ci

ci

ą

ą

sta

sta

łą

łą

.

.

AB

B

A

D

T

F













2

1

1

2

2

1





T

T

D

D

T

AB

T

AB



Zależność

kinematycznego współczynnika dyfuzji

w cieczach od

temperatury z porównania tej grupy jest następująca:

Wilke

Wilke

stwierdził, że

grupa dyfuzyjna

grupa dyfuzyjna

jest funkcją

F

A

=

f( )

i

stworzył wykres tej funkcji, na którym znajduje się wartość tej grupy
dla szukanego układu, a następnie oblicza się szukaną wartość

kinematycznego współczynnika dyfuzji

.

v

A

1 3

/

Ruch masy c.d.

Przenoszenie masy przez

konwekcję masy

konwekcję masy

Wnikanie masy

Wnikanie masy

Wnikanie masy

Wnikanie masy

obejmuje szeregowo po

sobie następujące

dyfuzj

dyfuzj

ę

ę

masy

masy

w

warstwie granicznej oraz

konwekcj

konwekcj

ę

ę

masy

masy

w rdzeniu płynu – ponieważ główny

ruch

masy

następuje

w

wyniku

makroskopowego

przemieszczania

się

cząstek – ruchu płynu, a jest to
spowodowane

przez

dostarczenie

odpowiedniej

energii

(ciśnienia;

kinetycznej) z zewnątrz – to inna nazwa

wnikania

masy

wnikania

masy

brzmi

konwekcja

konwekcja

wymuszona masy

wymuszona masy

.

y

Ax

y

Az

y

A

rd

ze

ń

f

a

zy

z

x

Wnikanie

Wnikanie

masy

masy

będzie zależne od rodzaju i charakteru

przepływu plynu.

Systematyka ta przedstawia się następująco:

Wnikanie masy

w przepływie:

A)

wymuszonym:

• uwarstwionym, przejściowym, burzliwym

w pustej rurze oraz przy przepływie przez wypełnienie.

B)

niewymuszonym:

• grawitacyjnym (spływ cieczy po ścianie oraz po wypełnieniu),

• swobodnym (konwekcja naturalna),

• przy perleniu się gazu lub cieczy przez drugą ciecz (nie
omawiane).

C)

mieszanym (nie omawiane).

Ruch masy c.d.

Wnikanie masy

Wnikanie masy

gdzie:

x

D

AB





[kmol A/m

2

s]

-

wspó

wspó

ł

ł

czynnik wnikania

czynnik wnikania

masy

masy

[kg A/m

2

s]

Ruch masy c.d.

Wnikanie masy

Wnikanie masy

(

)

(

)

(

)

1

1

AB

A

Az

Ax

Az

Ax

Ax

A

przew

konw

D

N

Z

Z

Z

Z

Z

Z

x

O

O

=

-

=

-

=

-

(

) (

)

(

)

Az

Ax

Ax

A

Az

A

A

przew

A

konw

A

przew

konw

Z

Z

Z

Z

Z

Z

N O

N O

N O

O

-

+

-

=

-

=

+

=

+

Opór

dyfuzji

dyfuzji























konw

AB

A

Az

A

O

D

x

Z

Z

N

jeśli

x

D

O

AB

konw



Szybkość

wnikania masy

wnikania masy





A

Az

AB

A

Z

Z

x

D

N





[kmolA/m

2

s]

lub

[kgA/m

2

s]

Równanie Newtona





A

Az

A

Z

Z

A

m









[kmolA/

s]

lub

[kgA/

s]

POWTÓRZENIE -

Siła

Siła

nap

nap

ę

ę

dow

dow

a

a

wnikania masy

wnikania masy

to różnica

stężenia

składnika kluczowego

składnika kluczowego



Z

A

(lub



S

.A.

) między rdzeniem

fazy a powierzchnią międzyfazową.

Ruch masy c.d.

Wnikanie masy

Wnikanie masy

Cytowane poniżej kryteria bezwymiarowe charakteryzujące ruch
masy przez

wnikanie masy

wnikanie masy

mogą być otrzymane na drodze analizy

wymiarowej danych doświadczalnych, na podstawie różniczkowych
bilansów ciągłości przepływu strugi oraz ruchu masy

,

lub/oraz teorii

podobieństwa

Funkcja ogólna opisująca wszystkie przypadki ruchu masy przez

wnikanie

wnikanie

jest następująca

:



(S; Re; Fo’; Sc; Sh) = 0

(nie omawiane!)

.

A dla procesów

ustalonych



(Re; Sc; Sh) = 0 .

Bezwymiarowe moduły kryterialne mają następujące definicje:































'

AB

AB

A

l

'

D

l







1

1

Sh



















d

w

Re





























AB

AB

D

D







Sc

L

l

1











-liczba Sherwooda;

-liczba Reynoldsa;

-liczba Schmidta;

-moduł

geometryczny

Ruch masy c.d.

Wnikanie masy

Wnikanie masy

Równanie kryterialne - modułowe opisujące wszystkie przypadki

wnikania

masy

wnikania

masy

w

przepływach

:

A) -

wymuszonym oraz

B) -

niewymuszonym jest równanie

:

 = Re; l

1

= d;

wykładnik

potęgowy

D = 0

A1) Ruch wymuszony burzliwy

Sh C

Sc

A

B

 Re

gdzi
e:

 































'

AB

'

A

AB

C

A

d

D

d







Sh

Sh

Sc;

Π;

1





























D

l

L

f

Równanie ogólne

gdzie:

l

1

- wymiar

poprzeczny;

L -

wymiar podłużny.

Sh 0.023

Sc

0.83

0.44



Re

Wzory szczegółowe

dla

2 * 10

3

< Re < 35 * 10

3

oraz dla

0.6 < Sc < 2.5

Szczegółowe postaci równania kryterialnego dla przypadków

wnikania masy

wnikania masy

według podziału na rodzaj i charakter przepływu

A11) Ruch wymuszony burzliwy przez
wypełnienie

Re

z

m

F a

g

a







4

4

0





 





























'

AB

e

'

A

AB

e

C

A

d

D

d







Sh

d

a

e



4



Ruch masy c.d.

Wnikanie masy

Wnikanie masy

Szczegółowe postaci równania kryterialnego dla przypadków

wnikania masy

wnikania masy

c.d.

A2) Ruch wymuszony laminarny

 = Re; l

1

= d;

wykładnik

potęgowy

D  0

Sh C

Sc

A

B











Re

d

H

D

Wykładniki

potęgowe

tego

równania:

A; B

oraz

D

są sobie

równe:

A = B = D

i podobnie jak

stala

C

równania są funkcją

iloczynu:













H

d

Sc

Re

Wzór szczegółowy

Sh C

Sc

A

B











Re

d

H

D

13

Sc

Re















H

d

Sh 1.62

Sc

1/3

1/3











Re

/

d

H

1 3

dla:

Sh 0.5 Sc











Re

d

H

dla:

5

4

Sc

Re

.

H

d















Ruch masy c.d.

Wnikanie masy

Wnikanie masy

Sh

Sc;

Π;

1





























D

l

L

f

Równanie ogólne

gdzie:

l

1

- wymiar

poprzeczny;

L -

wymiar podłużny.

Szczegółowe postaci równania kryterialnego dla przypadków

wnikania masy

wnikania masy

c.d.

B1) Spływ cieczy po ścianie pionowej

W przypadku pionowej ściany większość spływów cieczy mieści się w
zakresie przepływu laminarnego.

; l

1

=



z

;

2100

4

Re

Π

z





































'

AB

z

'

A







z

Sh

[m]

333

0

2

2

.

z

g



























Sh C

Sc

z

B

D











Re

z

A

z

h



C = 0.725; A = 0.333; B =
D = 0.5



a

g

Re

c

z

0



a

d

e

4



dla

B11) Spływ grawitacyjny cieczy po
wypełnieniu

Sh

C

Sc

z

B

 Re

z

A

C; A; B – w lit.; D = 0

Ruch masy c.d.

Wnikanie masy

Wnikanie masy

B2) wnikanie masy w konwekcji naturalnej

 = V =





y

A

; l

1

=



z

;

z

A

B

M

M

M 





D

z

B

A

h

C

















Sc

V

Sh

z

A = B = i; D = 1
- 3i

Stała C oraz wykładniki równania zależne
od rzędu wartości iloczynu: X

-3

z

h

X

















Sc

V

Ruch masy c.d.

Przenikanie masy

Przenikanie masy









A

z

A

z

A

A

A

S

S

Z

Z

N









2

1









1



A

Az

A

N

Z

Z









2



A

A

Az

N

S

S





Rozważmy

przenikanie masy

przenikanie masy

między

dwoma płynami przy założeniu, że
przepływ masy jest ustalony.
Przedstawmy oba stadia ruchu masy
(oddawania i pobierania) przy pomocy
równań (oba równania to równania

Newtona

Newtona

na

wnikani

wnikani

e

e

masy

masy

):

Obliczając spadki stężenia w każdym z cząstkowych
procesów otrzymamy:

Należy zsumować powyższe spadki
stężenia aby otrzymać sumaryczną siłę
napędową

przenikania masy

przenikania masy

i okazuje

się,

ż

ż

e nie mo

e nie mo

ż

ż

na tego zrobi

na tego zrobi

ć

ć

,

ponieważ obliczone

siły napędowe

siły napędowe

wnikania masy

wnikania masy

po obu stronach

powierzchni mi

powierzchni mi

ę

ę

dzyfazowej

dzyfazowej

są wyrażone inaczej (stężeniem dla fazy

1

oraz odpowiednio dla fazy

2

). Korzystając natomiast z istoty

równowagi mi

równowagi mi

ę

ę

dzyfazowej

dzyfazowej

, która

wiąże ze sobą stężenia w obu fazach:

2



Z

1



N

A

Z

A

Z

Az

Z*

A

S*

A

S*

Az

S

A

Ruch masy c.d.

Przenikanie masy

Przenikanie masy

A

*

A

const)

p

(T,

S

Z

K







 





































2

1

1





n

N

Z

Z

Z

Z

S

S

Z

Z

A

A

A

*

A

*

z

A

z

A

A

A

z

A

z

A

A

*

Z

Z





*

Az

A

Z

Z

k

N





















2

1

1

1





n

k

Az











































2

1

1

1





n

N

S

S

S

S

S

S

S

S

A

A

A

A

z

A

*

z

A

*

A

A

z

A

*

z

A

*

A

S

*

S





S

S

k

N

*

As

A





















2

1

1

1

1





n

k

As

Można zamienić stężenie fazy

1

na

równowagowe st

równowagowe st

ęż

ęż

eni

eni

e

e

fazy

2

lub odwrotnie.

Wówczas dopiero otrzymamy rzeczywistą siłę
napędową przenikania masy w postaci:

lub

gdzie:

n -

zamiennik st

zamiennik st

ężeń

ężeń

, który zostanie omówiony później.

ponieważ przy zwierciadle stężenie musi być po przeliczeniu
identyczne w obu fazach.

*

Az

Az

S

S 

*

Az

Az

Z

Z 

lub

lub

gdzie:

lub

Po odwróceniu równania:

Ruch masy c.d.

Przenikanie masy

Przenikanie masy

Zamiennik

Zamiennik

st

st

ężeń

ężeń

n:

Zamiennik st

Zamiennik st

ężeń

ężeń

n

we wszystkich przypadkach (rodzajach

przenikania masy

przenikania masy

) da się wyrazić wzorem ogólnym:

*

A

A

A

A

*

f

f

Z

S

m

Z

S

m

n













1

1

m

Z

S

A

A



d

d

*

gdzie:

-nachylenie linii równowagi
w danym przekroju wymiennika masy.

POWTÓRZENIE -

Siła

Siła

nap

nap

ę

ę

dow

dow

a

a

przenikania masy

przenikania masy

to różnica

stężenia

składnika kluczowego

składnika kluczowego



Z

A

=

(lub



S

A

=

) między rdzeniem

fazy 1

a rdzeniem

fazy 2

.

*

A

A

Z

Z 

A

*

A

S

S 

Dla przypadków

przenikania masy (

przenikania masy (

dyfuzji

dyfuzji

)

)

- 1):

oraz 3):

n m

S

Z

A

A







1

1

*

Dla przypadku

przenikania masy (

przenikania masy (

dyfuzji

dyfuzji

)

)

- 2):

n = m

We wszystkich przypadkach, gdy stężenie jest niskie:

n m,

a gdy w równowadze obowiązuje prawo

Henry’ego

Henry’ego

:

n = H

Ruch masy c.d.

Przenikanie masy

Przenikanie masy

TOK OBLICZEŃ

WYMIENNIKA MASY

WYMIENNIKA MASY

Strumień masy wynika z ogólnego

bilansu masowego wymiennika

bilansu masowego wymiennika

:

:

m

A











2

1

2

2

1

1

A

A

A

A

A

S

S

Z

Z

m















gdzie: indeksy

1

i

2

określają skrajne punkty

wymiennika - wlot i wylot;



1

,



2

- to

pojemności masowe danej fazy.

pojemności masowe danej fazy.

Jeśli różnica stężenia



Z

A

po lewej stronie r-

nia jest dana jako

dane technologiczne

Przedyskutujmy wpływ
poszczególnych parametrów
występujących po prawej stronie
tego równania na wielkość

powierzchni

powierzchni

przenikania masy

przenikania masy

jaką należy rozwinąć w wymienniku
aby założona ilość masy się
wymieniła.

Zaprojektować wymiennik masy to obliczyć jego

powierzchni

powierzchni

ę

ę

wymiany masy

wymiany masy

A

z odwróconego równania

Newtona

Newtona

na

strumień

strumień

przenika

przenika

jącej

jącej

masy

masy

:

A

m

k

A

A

A









im

A

im

A

A

S

S

Z

Z













Moduł napędowy
przenikania masy
zgodny z definicją

to kształt nawiasu
(kolejność stężenia w różnicy) po prawej
stronie r-nia jest kwestią wzajemnego
przepływu faz.

przeciwprąd

(2)

(1)



2



1

Z

A2

S

A2

S

A1

Z

A1

x

współprąd

(1)

(2)



2



1

Z

A1

Z

A2

S

A2

S

A1

x

Ruch masy c.d.

TOK OBLICZEŃ

WYMIENNIKA MASY

WYMIENNIKA MASY

I wymiarowo

:





2

1

]

[kg

]

[kg

A

A

Z

Z

s

/

i

s

/

A





Przez

jaki wymiar stężenia

należy

pomnożyć prawą stronę równania aby
wymiary obu stron równania były
zgodne?





]

[kg

]

[kg

s

/

i

s

/

A

]

[?









2

1

2

2

1

1

A

A

i

A

A

i

A

S

S

m

Z

Z

m

m















[kgA/s]

Dla

przenikania masy (

przenikania masy (

dyfuzji

dyfuzji

)

)

- 1):

oraz

3) -

w tym przypadku

jedynie

przep

przep

ł

ł

yw masowy inertów

yw masowy inertów

jest stały na drodze przez

wymiennik i staje się dogodną wartością odniesienia. Ułóżmy
następujące, szczegółowe równanie

bilans

bilans

u masy

u masy

:

Przez

p

p

ojemno

ojemno

ść

ść

masow

masow

ą

ą

należy rozumieć takie natężenie

przepływu: całości danej fazy lub takiej jej części - aby parametr ten

był stały!

na drodze przez wymiennik.

Rozważmy przypadki szczególne, zależne od rodzaju

przenikania

przenikania

(dyfuzji)

(dyfuzji)

masy

masy

:

Ruch masy c.d.

TOK OBLICZEŃ

WYMIENNIKA MASY

WYMIENNIKA MASY

I wymiarowo

:





2

1

]

[kg

]

[kg

A

A

Z

Z

s

/

i

s

/

A









]

[kg

]

[kg

s

/

i

s

/

A

]

kg

[kg

i

/

A

Wymiar stężenia wskazuje na

stosunek masowy

POWTÓRZENIE:

Użycie w tym przypadku

przenikania masy

przenikania masy

stosunków

molowych lub masowych pozwala na proste i poprawne
zbilansowanie

wymiennika masy

wymiennika masy

.









2

1

2

2

1

1

A

A

i

A

A

i

A

S

S

m

Z

Z

m

m















[kgA/s]

Dla

przenikania masy (

przenikania masy (

dyfuzji

dyfuzji

)

)

- 1):

oraz

3) -

w tym przypadku

jedynie

przep

przep

ł

ł

yw masowy inertów

yw masowy inertów

jest stały na drodze przez

wymiennik i staje się dogodną wartością odniesienia. Ułóżmy
następujące, szczegółowe równanie

bilans

bilans

u masy

u masy

:

POWTÓRZENIE -

przestrzeganie powyższych zasad prowadzi

do obliczeń (budowy

modelu dynamiki

modelu dynamiki

)

wymiennika masy

wymiennika masy

przy użyciu konkretnego rodzaju stężenia, zależnego od
rodzaju

dyfuzji

dyfuzji

, we wszystkich stadiach obliczeń!

Ruch masy c.d.

TOK OBLICZEŃ

WYMIENNIKA MASY

WYMIENNIKA MASY

I wymiarowo

:





2

1

]

[kmol

]

[kmol

A

A

Z

Z

s

/

s

/

A





Przez jaki

wymiar stężenia

należy

pomnożyć prawą stronę równania aby
wymiary obu stron równania były
zgodne?





]

[kmol

]

[kmol

s

/

s

/

A

]

[?









2

1

2

2

1

1

A

A

A

A

A

S

S

'

m

Z

Z

'

m

'

m















[kmolA/s]

Dla

przenikania masy (

przenikania masy (

dyfuzji

dyfuzji

)

)

- 2) -

w tym przypadku jedynie

przepływ molowy całej fazy jest stały na drodze przez wymiennik i
staje się dogodną wartością odniesienia. Ułóżmy następujące,
szczegółowe równanie

bilans

bilans

u masy

u masy

:

Ruch masy c.d.

TOK OBLICZEŃ

WYMIENNIKA MASY

WYMIENNIKA MASY

I wymiarowo

:





2

1

]

[kmol

]

[kmol

A

A

Z

Z

s

/

s

/

A









]

[kmol

]

[kmol

s

/

s

/

A

kmol]

[kmol /

A

Wymiar stężenia wskazuje na

ułamek molowy

POWTÓRZENIE:

Użycie w tym przypadku

przenikania masy

przenikania masy

ułamków

molowych pozwala na proste i poprawne zbilansowanie

wymiennika masy

wymiennika masy

.









2

1

2

2

1

1

A

A

A

A

A

S

S

'

m

Z

Z

'

m

'

m















[kmolA/s]

Dla

przenikania masy (

przenikania masy (

dyfuzji

dyfuzji

)

)

- 2) -

w tym przypadku jedynie

przepływ molowy całej fazy jest stały na drodze przez wymiennik i
staje się dogodną wartością odniesienia. Ułóżmy następujące,
szczegółowe równanie

bilans

bilans

u masy

u masy

:

POWTÓRZENIE -

przestrzeganie powyższych zasad prowadzi

do obliczeń (budowy

modelu dynamiki

modelu dynamiki

)

wymiennika masy

wymiennika masy

przy użyciu konkretnego rodzaju stężenia, zależnego od
rodzaju

dyfuzji

dyfuzji

, we wszystkich stadiach obliczeń!

Równanie

linii operacyjnej (ruchowej)

linii operacyjnej (ruchowej)

wymiennika masy

wymiennika masy

Ruch masy c.d.

TOK OBLICZEŃ

WYMIENNIKA MASY

WYMIENNIKA MASY

Równanie

bilansu masowego

bilansu masowego

jest układem dwóch równań. Jeśli

posłużymy się w nim

danymi technologicznymi

wymiennika

wymiennika

masy

masy

to można rozwiązać w całości jedno z równań bilansu masy

(np. lewą jego stronę). Po prawej stronie pozostaną i tak co najmniej
2 niewiadome np.:



2

oraz

S

A2

na wylocie

fazy 2

(czyli

1

r-nie i

2

niewiadome!).

Należy więc założyć jedną z tych niewiadomych

jako zmienną niezależną.

PYTANIE –

W jakim zakresie wartości mogą się zmieniać

parametry

równania

bilansu

masowego

bilansu

masowego

(przepływy,

stężenia) aby bilans miał sens nie tylko matematyczny ale
przede wszystkim fizyczny?

Bilans masy

Bilans masy

obowiązuje ZAWSZE! tzn.

nie tylko w

skrajnych

punktach wymiennika

(1) i (2).

Obowiązuje między wlotem

(1)

a dowolnym przekrojem wymiennika

(x)

:









Ax

A

Ax

A

A

S

S

Z

Z

m











1

2

1

1





A stąd po przekształceniu:



















1

1

1

2

1

2

A

A

A

A

Z

S

S

Z









- r-nie linii ruchowej dla przeciwprądu
- indeks

x

opuszczono uzmienniając

Z

A

i

S

A

Ruch masy c.d.

TOK OBLICZEŃ

WYMIENNIKA MASY

WYMIENNIKA MASY





















1

1

1

2

1

2

A

A

A

A

Z

S

S

Z









-dla r-nie linii ruchowej współprądu

0

1

2

3

4

5

0

2

4

6

8

10

12

Z

A1

Z

A

S

A

Z

A2

2

Z

* A

=

f

(S

A

)

S

*

A1

1’

a

min

- przykład dla przeciwprądu

Po naniesieniu danych
technologicznych
na wykres należy wrysować
przebieg

linii operacyjnej

linii operacyjnej

. Dla

przeciwprądu znamy współrzędne

przekroju (2)

i wiemy, że linia

przechodzi przez ten punkt. Nie
znamy tangensa kąta nachylenia
prostej. Doprowadzamy do
sytuacji przecięcia się

linii

linii

operacyjnej

operacyjnej

z

linią równowagi

linią równowagi

w

przekroju (1’).

Pozwala nam to

znaleźć wartość:

tga

min

=

min

)

(

1

2





W obu przypadkach jest to równanie

prostej operacyjnej (ruchowej)

prostej operacyjnej (ruchowej)

wymiennika

wymiennika

:

, wiążącej ze sobą pary stężeń rzeczywistych w
obu fazach występujących obok siebie w dowolnym przekroju
wymiennika. Przeniesienie jej przebiegu na wykres i porównanie z
przebiegiem

linii równowagi

linii równowagi

pozwala wyznaczyć następujące

wielkości:

b

S

a

Z

A

A







Ruch masy c.d.

TOK OBLICZEŃ

WYMIENNIKA MASY

WYMIENNIKA MASY

Położenie

przekroju

(

1’)

jest hipotetyczne

(nie istnieje!

) – należy

odsunąć

linię operacyjną

linię operacyjną

od

linii równowagi

linii równowagi

poprzez wzrost

wartości tangensa nachylenia. Przeprowadzamy

linię operacyjną

linię operacyjną

rzeczywistą

rzeczywistą

o

tga

rz

= z

tga

min

(z > 1).

Otrzymujemy rzeczywiste

położenie

przekroju

1

i znajdujemy rzeczywiste stężenie

S

A1

.

PYTANIE –

Dlaczego

należy odsunąć

linię operacyjną

linię operacyjną

od

linii

linii

równowagi

równowagi

poprzez wzrost wartości tangensa nachylenia

linii

linii

operacyjnej

operacyjnej

?

0

1

2

3

4

5

0

2

4

6

8

10

12

Z

A1

Z

A

S

A

Z

A2

2

Z

* A

=

f

(S

A

)

S

*

A1

1’

a

min

- przykład dla przeciwprądu c.d.

1

S

A1

a

rz

Ponieważ w każdym przekroju
wymiennika od wlotu do wylotu
musi istnieć

siła napędowa ruchu

siła napędowa ruchu

(przenikania) masy

(przenikania) masy

:

W położeniu minimalnym

siła

siła

napędowa

napędowa

jest równa

0

w

przekroju

(1’).

W położeniu rzeczywistym

(1)

w

każdym przekroju jest dodatnia, a im
większa wartość tg nachylenia

prostej operacyjnej

prostej operacyjnej

tym większa jej

wartość.

*

A

A

Z

Z 

> 0

lub

A

A

S

*

S



> 0

Z

A1

S

A1

Ruch masy c.d.

TOK OBLICZEŃ

WYMIENNIKA MASY

WYMIENNIKA MASY





















1

1

1

2

1

2

A

A

A

A

Z

S

S

Z









- przykład

-dla współprądu

0

1

2

3

4

5

0

2

4

6

8

10

12

Z

A

S

A

Z

A1

Z

A2

Z

* A

=

f

(S

A

)

a

min

S

A1

1

2’

S

*

A2

S

A2

2

a

rz

Po

naniesieniu

danych

technologicz-nych na wykres
należy

wrysować

przebieg

linii

operacyjnej

linii

operacyjnej

.

Dla

współprądu

znamy

współrzędne

przekroju (1)

i

wiemy, że linia przechodzi
przez ten punkt. Nie znamy
tangensa

kąta

nachylenia

prostej. Doprowadzamy do
sytuacji przecięcia się

linii

linii

operacyjnej

operacyjnej

z

linią

linią

równowagi

równowagi

w

przekroju (2’).

Pozwala

nam

to

znaleźć

wartość:

tga

min

=

min

)

(

1

2





W położeniu minimalnym

siła napędowa

siła napędowa

jest równa

0

w

przekroju

(2’)

.

W położeniu rzeczywistym

(2)

w każdym przekroju jest

dodatnia, a im większa wartość tg nachylenia

prostej

prostej

operacyjnej

operacyjnej

tym większa jej wartość.

*

A

A

Z

Z 

> 0

lub

> 0

A

A

S

*

S



tga

rz

= z

tga

min

(z > 1).

S

A1

Z

A1

Przypadki zanikania

oporu wnikania masy

oporu wnikania masy

w jednej fazie:

I na odwrót.

Jednym z dwóch sposobów wpływania na

szybkość (powierzchnię)

szybkość (powierzchnię)

procesu przenikania masy

procesu przenikania masy

jest stworzenie takich warunków

prowadzenia procesu aby zanikł jeden z

oporów wnikania masy

oporów wnikania masy

. W

odróżnieniu od

ruchu ciepła

takie przypadki, w których

opór

opór

wnikania

wnikania

w jednej z faz zanika, występują często. Jeśli np.:

0

1

1





a

szybkość przenikania masy

szybkość przenikania masy

dąży do szybkości

wnikania

wnikania

w fazie

2





A

Az

A

S

S

N





2



Ruch masy c.d.

TOK OBLICZEŃ

WYMIENNIKA MASY

WYMIENNIKA MASY

A

m

k

A

A

A









Zaprojektować

wymiennik masy

wymiennik masy

to również

zooptymalizować (zminimalizo
wać )

powierzchnię przenikania masy.

powierzchnię przenikania masy.

Aby tego

dokonać można jedynie maksymalizować mianownik
prawej strony równania.

to:

2

1

1





As

k

Maksymalizacja

siły napędowej przenikania

siły napędowej przenikania

masy

masy

:

Na przedstawionych

poprzednio

wykresach widać zmienność

siły

siły

napędowej przenikania

napędowej przenikania

masy

masy

na drodze przez wymiennik.

Należy więc:

1. operować średnią

siłą napędową

siłą napędową

(lub

modułem napędowym)

modułem napędowym)

przenikania

przenikania

masy

masy

2. maksymalizować średnią

siłą napędową przenikania

siłą napędową przenikania

masy

masy

przez zwiększanie tg nachylenia

linii operacyjnej

linii operacyjnej

Ruch masy c.d.

TOK OBLICZEŃ

WYMIENNIKA MASY

WYMIENNIKA MASY

A

As

A

A

Az

A

A

A

A

S

k

m

Z

k

m

k

m

A





















Zaprojektować

wymiennik masy

wymiennik masy

to

również zooptymalizować (zminimalizować )

powierzchnię przenikania masy.

powierzchnię przenikania masy.

Należy

maksymalizować mianownik prawej strony
równania.

Ad. 1.

Należy określić wartość



Z

Am

.

Do rozwiązania tego zagadnienia

należy użyć

modelu dynamiki wymiennika masy

modelu dynamiki wymiennika masy

w formie

różniczkowej:

A

A

Z

m

d

d

1











*

A

A

Az

A

Z

Z

A

k

m







d

d

szybko

szybko

ść

ść

przenikania masy

przenikania masy

:

Wyznaczamy

powierzchnię przenikania masy:

powierzchnię przenikania masy:

A

Az

A

Z

k

m

A







d

d

bilans masow

bilans masow

y

y

dla jednej z faz np.

1:

Maksymalizacja

siły napędowej przenikania

siły napędowej przenikania

masy

masy

c.d.

Ruch masy c.d.

TOK OBLICZEŃ

WYMIENNIKA MASY

WYMIENNIKA MASY

Podstawiamy wymienioną masę w liczniku obliczając ją z

bilansu masowego

bilansu masowego

:

A

Az

A

Z

k

Z

A





d

d

1







2

1

1

d

A

Az

A

Z

k

Z

A





Całkujemy r-nie otrzymując

ca

ca

ł

ł

kowit

kowit

ą

ą

powierzchni

powierzchni

ę

ę

wymiany masy

wymiany masy

:

Całkujemy

bilans

bilans

masowy

masowy

aby obliczyć

całkowitą wymienioną masę:







2

1

1

d

A

A

Z

m



Dodajemy r-nie, do którego dążymy
w zamyśle:









A

Z

Z

k

m

m

*

A

A

Az

A







Podstawiamy

ca

ca

ł

ł

kowit

kowit

ą

ą

powierzchni

powierzchni

ę

ę

wymiany masy

wymiany masy

oraz

przyrównujemy do siebie masy:























2

1

1

2

1

1

d

d

A

A

Az

A

m

*

A

A

Az

A

Z

Z

k

Z

Z

Z

k

m







Obliczamy średni iloczyn:









m

*

A

A

Az

Z

Z

k



















2

1

1

2

1

1

d

d

A

Az

A

A

m

*

A

A

Az

Z

k

Z

Z

Z

Z

k







Maksymalizacja

siły napędowej przenikania

siły napędowej przenikania

masy

masy

c.d.

Ruch masy c.d.

TOK OBLICZEŃ

WYMIENNIKA MASY

WYMIENNIKA MASY

Podstawiamy wymienioną masę w liczniku obliczając ją z

bilansu masowego

bilansu masowego

:

























2

1

2

1

2

1

2

1

d

)

(

d

d

*

A

A

A

A

A

A

A

A

m

*

A

A

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z



dla k

Az

=

const

dla

linii równowagi

linii równowagi

według
prawa

Henry-ego

(prostej):







 











2

1

2

1

ln

A

Az

A

Az

A

Az

A

Az

m

A

Az

Z

k

Z

k

Z

k

Z

k

Z

k















lub:

2

1

2

1

ln

A

A

A

A

m

A

Z

Z

Z

Z

Z















0

1

2

3

4

5

0

2

4

6

8

10

12

Z

A

S

A

Z

A1

Z

A2

Z

* A

=

f

(S

A

)

S

A1

1

S

*

A2

S

A2

2

S

*

A1

S

A1

S

A2

Z

A1

Z

A2

?

I

II

III





















Am

A

A

A

A





1

2

1

2

ln

Przejście na

moduł napędowy

moduł napędowy

przenikania masy

przenikania masy

Jest, jak wiemy, bardzo proste!

gdzie:

to

siły napędowe

siły napędowe

na wlocie i wylocie

2

1,

A

Z



PYTANIE 1 –

Dlaczego

należy odsunąć

linię operacyjną

linię operacyjną

od

linii

linii

równowagi

równowagi

poprzez wzrost wartości tangensa nachylenia

linii

linii

operacyjnej

operacyjnej

?

0

1

2

3

4

5

0

2

4

6

8

10

12

Z

A1

Z

A

S

A

Z

A2

2

Z

* A

=

f

(S

A

)

S

*

A1

1’

a

min

- przykład dla przeciwprądu c.d.

*

A

A

Z

Z 

> 0

lub

A

A

S

*

S



> 0

Maksymalizacja

siły napędowej przenikania

siły napędowej przenikania

masy

masy

c.d.

Ruch masy c.d.

TOK OBLICZEŃ

WYMIENNIKA MASY

WYMIENNIKA MASY

)

(

1

2





Rośnie tga

=

Rośnie



S

A

lub



Z

A

Rośnie



S

Am

lub



Z

Am

PYTANIE 2 –

Gdzie leży granica

wzrostu siły napędowej

?

1b

1a

S

A1a

S

A1

Z

A1

S

A1b

Ruch masy c.d.

TOK OBLICZEŃ

WYMIENNIKA MASY

WYMIENNIKA MASY

Do rozwiązania tego zagadnienia należy użyć

modelu dynamiki

modelu dynamiki

wymiennika masy

wymiennika masy

w formie różniczkowej:

A

A

Z

m

d

d

1







bilans masow

bilans masow

y

y

dla jednej z faz np.

1:





*

A

A

Az

A

Z

Z

A

k

m







d

d

szybko

szybko

ść

ść

przenikania masy

przenikania masy

:

gdzie:

F -

przekrój poprzeczny pustego aparatu;

a -

powierzchnia

wymiany masy (właściwa) w

1m

3

aparatu

; d h -

różniczkowa wysokość.

p

p

owierzchni

owierzchni

a

a

kontaktu mi

kontaktu mi

ę

ę

dzyfazowego

dzyfazowego

:

d A = a F d h

Przyrównanie, w ruchu masy ustalonym, przepływu
masowego z obu równań do siebie:





*

A

A

Az

A

A

Z

Z

A

k

Z

m









d

d

d

1



Rozdzielenie zmiennych i całkowanie otrzymanego równania w
granicach:

wysokość

h

od

h = 0

do

H;

oraz stężenie

Z

A

od

Z

A 1

do

Z

A 2

Metoda wyznaczania

wysoko

wysoko

ś

ś

ci

ci

(czynnej!)

(czynnej!)

wymiennika masy

wymiennika masy

za pomocą

w

w

ysoko

ysoko

ś

ś

ci jednostkowej

ci jednostkowej

oraz

liczby jednostek

liczby jednostek

przenikania masy

przenikania masy

Ruch masy c.d.

TOK OBLICZEŃ

WYMIENNIKA MASY

WYMIENNIKA MASY

Metoda wyznaczania

wysoko

wysoko

ś

ś

ci

ci

(czynnej!)

(czynnej!)

wymiennika masy

wymiennika masy

za pomocą

w

w

ysoko

ysoko

ś

ś

ci jednostkowej

ci jednostkowej

oraz

liczby jednostek

liczby jednostek

przenikania masy

przenikania masy

Można
zapisać:





01

01

2

1

1

N

H

Z

Z

dZ

F

a

k

H

*

A

A

A

Az











gdzie: [m]; - ilość

jednostek przenikania masy – analog siły napędowej

F

a

k

H

Az

1

01















2

1

01

*

A

A

A

Z

Z

Z

d

N

Równoczesny ruch

ciepła

i

masy

Najpewniejszym sposobem postępowania w takim przypadku jest takie
zbudowanie równania kinetyki rozpatrywanego zjawiska

jednoczesnego

ruchu

ciep

ciep

ł

ł

a

a

i

masy

masy

, aby rozpatrzyć oba procesy przebiegające obok

siebie szeregowo lub równolegle oraz aby wpływ jednego procesu na
drugi i odwrotnie zostały w nim uwzględnione w zależnościach:

• między

współczynnikami wnikania

ciep

ciep

ł

ł

a

a

oraz

masy

masy

,

• między

siłami napędowymi ruchu

ciep

ciep

ł

ł

a

a

oraz

masy

masy

.

Oraz analogicznie dla siły napędowej:

A

A

S

*

S



Ruch masy c.d.

Równoczesny ruch

ciepła

i

masy

c.d.

Zależność między współczynnikami wnikania

ciep

ciep

ł

ł

a

a

oraz

masy

masy

Zależność tę wyprowadzamy porównując ze sobą niezależne równania
kryterialne na

wnikanie

ciep

ciep

ł

ł

a

a

oraz

masy

masy

w danym przypadku

wnikania.
Dla przykładu porównanie ze sobą przypadków

wnikania ciep

wnikania ciep

ł

ł

a

a

oraz

masy

masy

dla przepływu burzliwego w rurze:

dla

wnikania ciep

wnikania ciep

ł

ł

a

a

:

Nu C

A

B

 Re Pr

dla

wnikania

wnikania

masy

masy

:

Sh C

Sc

A

B

 Re

Otrzyma
my:

B

B

Lu

Sc

Ai

Ai

A

Pr

































gdzie: Lu -

liczba Lewisa

Lewis udowodnił, że dla układu
woda-para

wodna-powietrze,

występującego np. w procesie
suszenia, wartość liczby



jest

równa

c

H

ciepłu wilgotnemu

powietrza

(omówione

w

suszeniu).











A

H

c

Ruch masy c.d.

Równoczesny ruch

ciepła

i

masy

c.d.

Zależność między siłami napędowymi
wnikania

ciep

ciep

ł

ł

a

a

oraz

masy

masy

Omawiane dla przypadku desorpcji pary wodnej

Omawiane dla przypadku desorpcji pary wodnej

W omawianych przypadkach między

siłami napędowymi wnikania

ciep

ciep

ł

ł

a

a

oraz

masy

masy

istnieje następująca zależność:



Z

A

= f (



T) =





T

2

m

*

Am

Am

T

m

R

L

Y

r





gdzie:

Równania ogólne kinetyki jednoczesnego wnikania

ciep

ciep

ł

ł

a

a

oraz

masy

masy

indeks

m -

wartość średnia w średniej temperaturze

T

m

; m* = M

A

/M

i

;

r

A

-

ciepło

parowania

;

Y

A

-

stosunek masowy pary w fazie gazowej

; R

- stała gazowa

; L -

cieplny równoważnik pracy mechanicznej.

Proces

wnikania

ciep

ciep

ł

ł

a

a

do jakiejś powierzchni, w tym przypadku

powierzchni międzyfazowej ujmujemy równaniem podstawowym

:

d

T

=



dA



T



Q

Masa pary, która

wnika

do fazy gazowej pod wpływem

dostarczonego ciepła:

d

A

=



A

dA



A



m

Ta masa pary niesie ze sobą ilość ciepła daną
równaniem bilansowym

:

d

p

= dm

A

i

Ag



Q

Ruch masy c.d.

Równoczesny ruch

ciepła

i

masy

c.d.

Równania ogólne kinetyki jednoczesnego wnikania

ciep

ciep

ł

ł

a

a

oraz

masy

masy

c.d.

gdzie: znak



wprowadzono, aby wzór był ogólny, obejmujący

przypadki kierunku ruchu masy w stosunku do ruchu ciepła; znak

+

to

dotychczas omawiany przypadek współprądowego ruchu ciepła i masy;
znak

-

to przypadek przeciwprądowego ruchu ciepła i masy (w suszeniu

znak

-

).

Dwa warianty równań
końcowych:

- od strony

ruchu

ruchu

ciep

ciep

ł

ł

a,

a,

T

i

A

Q

A



























1

d

d

Podstawiając oba równania dotyczące

masy

masy

do siebie

otrzymujemy

:

d

p

=



A

dA



A

i

Ag



Q

- od strony

ruchu

ruchu

masy

masy

.

A

A

A

A

i

A

m





























d

d

Teraz możemy zsumować oba strumienie cieplne otrzymując wzór
na

strumień

ciep

ciep

ł

ł

a

a

przy jednoczesnej

wymianie ciep

wymianie ciep

ł

ł

a

a

i

masy

masy

:

:

d

= d

T

+ d

p

= dA (





T 



A



A

i

Ag

)



Q



Q



Q

Ruch masy c.d.

Równoczesny ruch

ciepła

i

masy

c.d.

Równania ogólne kinetyki jednoczesnego wnikania

ciep

ciep

ł

ł

a

a

oraz

masy

masy

c.d.

Zbierzmy w nową stałą wszystkie parametry stałe
lub słabo zmienne:

Am

m

A

Y

i





















gdzie: patrz slajd nr 53 –
definicja



i porównaj z



2

m

*

Am

Am

m

T

m

R

L

i

r







Wprowadzając liczbę



m

do obu wariantów równań

końcowych otrzymamy:

- od strony

ruchu

ruchu

masy

masy

.

A

A

Am

m

A

A

i

Y

A

m



























1

1

d

d

- od strony

ruchu

ruchu

ciep

ciep

ł

ł

a,

a,





T

Y

A

Q

Am

m













1

d

d

W

końcu

oznaczmy:





















Am

m

*

Y

1

A

A

Am

m

A

*

A

Y





























1

1

i przedyskujmy powyższe
zależności:

dla Y

am

 0;



 1;



* 



dla Y

am





;



A

 1;



* 



Ruch masy c.d.

Równoczesny ruch

ciepła

i

masy

c.d.

Równania ogólne kinetyki jednoczesnego wnikania

ciep

ciep

ł

ł

a

a

oraz

masy

masy

c.d.

Siła napędowa



T



A





Z

A

Równanie kinetyczne

Moduł dla współczynnika

ciep

ciep

ł

ł

a

a

równoczesnego
wnikania
i

masy

masy

Nu* = Nu



Sh* = Sh



A

Moduły charakteryzujące

transporcie

transporcie

rolę

ruchu masy

ruchu masy

w

ciep

ciep

ł

ł

a

a

T

A

Q

*





d

d 



A

*

A

A

A

m







d

d









Am

m

Y







 1

















1

1

Am

m

A

Y





DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ