Zdania kategoryczne

Zdanie kategoryczne ma
jedną z czterech
następujących postaci:



Każde S jest P

Każde S jest P

– ogólno-twierdzące

– ogólno-twierdzące



Pewne S jest P

Pewne S jest P

– szczegółowo-twierdzące

– szczegółowo-twierdzące



Żadne S nie jest P

Żadne S nie jest P

– ogólno-przeczące

– ogólno-przeczące



Pewne S nie jest P

Pewne S nie jest P

– szczegółowo-przeczące

– szczegółowo-przeczące

gdzie

gdzie

S

S

i

i

P

P

to dowolne nazwy generalne

to dowolne nazwy generalne

Przykłady zdań ogólno-
twierdzących



Każdy człowiek jest ssakiem

Każdy człowiek jest ssakiem



Każdy Polak jest Europejczykiem

Każdy Polak jest Europejczykiem



Każdy ptak jest gadem

Każdy ptak jest gadem



Każdy samochód jest czerwony

Każdy samochód jest czerwony



Wszystkie wróble są ptakami

Wszystkie wróble są ptakami



Wszystkie kobiety to kury domowe

Wszystkie kobiety to kury domowe

Przykłady zdań
szczegółowo-twierdzących



Pewien aktor jest muzykiem

Pewien aktor jest muzykiem



Pewne kobiety są blondynkami

Pewne kobiety są blondynkami



Pewne ptaki są wróblami

Pewne ptaki są wróblami



Niektóre książki są powieściami

Niektóre książki są powieściami



Niektórzy matematycy są filozofami

Niektórzy matematycy są filozofami



Istnieją mężczyźni, którzy są

Istnieją mężczyźni, którzy są

przedszkolankami

przedszkolankami

Przykłady zdań ogólno-
przeczących



Żaden wieloryb nie jest rybą

Żaden wieloryb nie jest rybą



Żadna kobieta nie jest

Żadna kobieta nie jest

matematykiem

matematykiem



Żaden pies nie jest kotem

Żaden pies nie jest kotem



Żaden kruk nie jest biały

Żaden kruk nie jest biały



Żaden student nie jest nauczycielem

Żaden student nie jest nauczycielem



Żadna kura nie jest kogutem

Żadna kura nie jest kogutem

Przykłady zdań
szczegółowo-przeczących



Pewien człowiek nie jest studentem

Pewien człowiek nie jest studentem



Pewien matematyk nie jest

Pewien matematyk nie jest

nauczycielem

nauczycielem



Pewne ssaki nie są ptakami

Pewne ssaki nie są ptakami



Niektóre książki nie są podręcznikami

Niektóre książki nie są podręcznikami



Pewien wróbel nie jest ptakiem

Pewien wróbel nie jest ptakiem



Istnieją mężczyźni, którzy nie są

Istnieją mężczyźni, którzy nie są

politykami

politykami

Symboliczny zapis

Niech

Niech

S

S

i

i

P

P

będą niepustymi nazwami

będą niepustymi nazwami

generalnymi.

generalnymi.

S

S

a

a

P

P

– zdanie postaci

– zdanie postaci

Każde S jest P

Każde S jest P

S

S

i

i

P –

P –

zdanie postaci

zdanie postaci

Pewne S jest P

Pewne S jest P

S

S

e

e

P

P

– zdanie postaci

– zdanie postaci

Żadne S nie jest P

Żadne S nie jest P

S

S

o

o

P

P

– zdanie postaci

– zdanie postaci

Pewne S nie jest P

Pewne S nie jest P

Związki logiczne w
obrębie czterech zdań
kategorycznych

Niech

Niech

S

S

oraz

oraz

P

P

będą dowolnymi niepustymi

będą dowolnymi niepustymi

nazwami generalnymi. W obrębie zdań

nazwami generalnymi. W obrębie zdań

S

S

a

a

P

P

,

,

S

S

i

i

P

P

,

,

S

S

e

e

P

P

oraz

oraz

S

S

o

o

P

P

o identycznych podmiotach, jak

o identycznych podmiotach, jak

również identycznych orzecznikach, zachodzą

również identycznych orzecznikach, zachodzą

następujące relacje

następujące relacje



Podporządkowanie

Podporządkowanie



Wykluczanie

Wykluczanie



Dopełnianie

Dopełnianie



Sprzeczność

Sprzeczność

Podporządkowanie

Każde zdanie o postaci

Każde zdanie o postaci

S

S

i

i

P

P

podporządkowane

podporządkowane

jest

jest

zdaniu

zdaniu

S

S

a

a

P

P

(ważne: o ile zdania te posiadają

(ważne: o ile zdania te posiadają

identyczne podmioty, jak również identyczne

identyczne podmioty, jak również identyczne

orzeczniki!).

orzeczniki!).

Ponadto:

Ponadto:

Każde zdanie o postaci

Każde zdanie o postaci

S

S

o

o

P

P

podporządkowane

podporządkowane

jest

jest

zdaniu

zdaniu

S

S

e

e

P.

P.

To znaczy

Jeśli prawdziwe jest zdanie

Jeśli prawdziwe jest zdanie

S

S

a

a

P

P

, to

, to

prawdziwe

prawdziwe

musi być również zdanie z takim samym

musi być również zdanie z takim samym

podmiotem oraz orzecznikiem o postaci

podmiotem oraz orzecznikiem o postaci

S

S

i

i

P

P

. I

. I

tak samo prawdziwość zdania

tak samo prawdziwość zdania

S

S

e

e

P

P

gwarantuje

gwarantuje

prawdziwość zdania

prawdziwość zdania

S

S

o

o

P

P

.

.

Wykluczanie

Zdania

Zdania

wykluczają się

wykluczają się

, jeśli nie mogą

, jeśli nie mogą

być

być

jednocześnie prawdziwe, choć mogą być

jednocześnie prawdziwe, choć mogą być

jednocześnie fałszywe.

jednocześnie fałszywe.

Para zdań wykluczających się:

Para zdań wykluczających się:

S

S

a

a

P

P

oraz

oraz

S

S

e

e

P

P

Przykład

Zdania

Zdania

Każdy flimon jest dziubdziakiem

Każdy flimon jest dziubdziakiem

Żaden flimon nie jest dziubdziakiem

Żaden flimon nie jest dziubdziakiem

nie mogą być jednocześnie

nie mogą być jednocześnie

prawdziwe, ale

prawdziwe, ale

mogą być jednocześnie fałszywe!

mogą być jednocześnie fałszywe!

Dopełnianie

Zdania

Zdania

dopełniają się

dopełniają się

, jeśli nie mogą

, jeśli nie mogą

być

być

jednocześnie fałszywe, choć mogą być

jednocześnie fałszywe, choć mogą być

jednocześnie prawdziwe.

jednocześnie prawdziwe.

Para zdań dopełniających się:

Para zdań dopełniających się:

SiP

SiP

oraz

oraz

SoP

SoP

Przykład

Zdania

Zdania

Pewien Kowalski jest łysy

Pewien Kowalski jest łysy

Pewien Kowalski nie jest łysy

Pewien Kowalski nie jest łysy

nie mogą być jednocześnie fałszywe: w

nie mogą być jednocześnie fałszywe: w

odniesieniu do każdego Kowalskiego prawdą

odniesieniu do każdego Kowalskiego prawdą

jest, że

jest, że

albo jest on łysy, albo łysy nie jest; tak więc

albo jest on łysy, albo łysy nie jest; tak więc

co

co

najmniej jedno z tych dwóch zdań musi być

najmniej jedno z tych dwóch zdań musi być

prawdziwe

prawdziwe

.

.

Ale może być tak, że

Zdania

Zdania

Pewien Kowalski jest łysy

Pewien Kowalski jest łysy

Pewien Kowalski nie jest łysy

Pewien Kowalski nie jest łysy

będą jednocześnie prawdziwe: to znaczy,

będą jednocześnie prawdziwe: to znaczy,

jeśli

jeśli

wśród Kowalskich są zarówno łysi, jak i

wśród Kowalskich są zarówno łysi, jak i

ci,

ci,

którzy łysi nie są.

którzy łysi nie są.

Sprzeczność

Zdania są

Zdania są

sprzeczne

sprzeczne

, jeśli nie mogą być

, jeśli nie mogą być

ani

ani

prawdziwe ani fałszywe jednocześnie. To

prawdziwe ani fałszywe jednocześnie. To

znaczy zawsze mają przeciwne wartości

znaczy zawsze mają przeciwne wartości

logiczne.

logiczne.

Pary zdań sprzecznych:

Pary zdań sprzecznych:



S

S

a

a

P

P

oraz

oraz

S

S

o

o

P

P



S

S

e

e

P

P

oraz

oraz

S

S

i

i

P

P

Przykład

Sprzecznymi są pary zdań:

Sprzecznymi są pary zdań:

Każdy polityk to kłamca

Każdy polityk to kłamca

Pewien polityk nie jest kłamcą

Pewien polityk nie jest kłamcą

Prawdziwość jednego z tych zdań implikuje

Prawdziwość jednego z tych zdań implikuje

fałszywość drugiego. I odwrotnie, fałszywość

fałszywość drugiego. I odwrotnie, fałszywość

jednego implikuje prawdziwość drugiego.

jednego implikuje prawdziwość drugiego.

Sprzeczne są również:



Żaden polityk nie jest uczciwy

Żaden polityk nie jest uczciwy

oraz

oraz

Pewien polityk jest uczciwy

Pewien polityk jest uczciwy



Każdy matematyk jest mężczyzną

Każdy matematyk jest mężczyzną

oraz

oraz

Pewien matematyk nie jest mężczyzną.

Pewien matematyk nie jest mężczyzną.



Żadna kobieta nie jest dobrym

Żadna kobieta nie jest dobrym

kierowcą

kierowcą

oraz

oraz

Pewna kobieta jest

Pewna kobieta jest

dobrym kierowcą.

dobrym kierowcą.

Operacje na zdaniach
kategorycznych



Konwersja

Konwersja



Kontrapozycja

Kontrapozycja



Obwersja

Obwersja

Konwersja

Konwersją

Konwersją

zdania kategorycznego nazywamy

zdania kategorycznego nazywamy

zdanie, które powstaje z tego zdania w

zdanie, które powstaje z tego zdania w

wyniku zamiany podmiotu z orzecznikiem.

wyniku zamiany podmiotu z orzecznikiem.

S

S

a

a

P

P

po konwersji ma postać

po konwersji ma postać

P

P

a

a

S

S

S

S

i

i

P

P

po konwersji ma postać

po konwersji ma postać

P

P

i

i

S

S

S

S

e

e

P

P

po konwersji ma postać

po konwersji ma postać

P

P

e

e

S

S

S

S

o

o

P

P

po konwersji ma postać

po konwersji ma postać

P

P

o

o

S

S

Przykłady

Konwersją zdania

Konwersją zdania

Każdy mężczyzna jest dobrym

Każdy mężczyzna jest dobrym

mężem

mężem

jest zdanie

jest zdanie

Każdy dobry mąż jest

Każdy dobry mąż jest

mężczyzną

mężczyzną

.

.

Konwersją zdania

Konwersją zdania

Pewien uczeń jest analfabetą

Pewien uczeń jest analfabetą

jest

jest

zdanie

zdanie

Pewien analfabeta jest uczniem

Pewien analfabeta jest uczniem

.

.

Konwersją zdania

Konwersją zdania

Żadna modelka nie jest blondynką

Żadna modelka nie jest blondynką

jest zdanie

jest zdanie

Żadna blondynka nie jest modelką

Żadna blondynka nie jest modelką

.

.

Kontrapozycja

Kontrapozycją

Kontrapozycją

zdania kategorycznego

zdania kategorycznego

nazywamy

nazywamy

zdanie, które powstaje z tego zdania w

zdanie, które powstaje z tego zdania w

wyniku przestawienia i zanegowania obu jego

wyniku przestawienia i zanegowania obu jego

terminów.

terminów.

S

S

a

a

P

P

po kontrapozycji ma postać

po kontrapozycji ma postać

nie-P

nie-P

a

a

nie-S

nie-S

S

S

i

i

P

P

po kontrapozycji ma postać

po kontrapozycji ma postać

nie-P

nie-P

i

i

nie-S

nie-S

S

S

e

e

P

P

po kontrapozycji ma postać

po kontrapozycji ma postać

nie-P

nie-P

e

e

nie-S

nie-S

S

S

o

o

P

P

po kontrapozycji ma postać

po kontrapozycji ma postać

nie-P

nie-P

o

o

nie-S

nie-S

Przykłady



Kontrapozycją zdania

Kontrapozycją zdania

Każdy profesor jest

Każdy profesor jest

poliglotą

poliglotą

jest

jest

Każdy nie-poliglota jest nie-

Każdy nie-poliglota jest nie-

profesorem

profesorem

.

.



Kontrapozycją zdania

Kontrapozycją zdania

Pewien robotnik jest

Pewien robotnik jest

sportowcem

sportowcem

jest

jest

Pewien nie-sportowiec jest nie-

Pewien nie-sportowiec jest nie-

robotnikiem.

robotnikiem.



Kontrapozycją zdania

Kontrapozycją zdania

Żaden sędzia nie jest

Żaden sędzia nie jest

adwokatem

adwokatem

jest Ż

jest Ż

aden nie-adwokat nie jest nie-

aden nie-adwokat nie jest nie-

sędzią.

sędzią.



Kontrapozycją zdania

Kontrapozycją zdania

Pewne pismo nie jest

Pewne pismo nie jest

dokumentem

dokumentem

jest

jest

Pewien nie-dokument nie jest

Pewien nie-dokument nie jest

nie-pismem.

nie-pismem.

Obwersja

Obwersją

Obwersją

zdania kategorycznego nazywamy

zdania kategorycznego nazywamy

zdanie, które powstaje z tego zdania w

zdanie, które powstaje z tego zdania w

wyniku zastąpienia orzecznika terminem do niego

wyniku zastąpienia orzecznika terminem do niego

negatywny oraz zamianę jakości tego zdania: z

negatywny oraz zamianę jakości tego zdania: z

twierdzącego na przeczące, a z przeczącego na

twierdzącego na przeczące, a z przeczącego na

twierdzące.

twierdzące.

S

S

a

a

P

P

po obwersji ma postać

po obwersji ma postać

S

S

e

e

nie-P

nie-P

S

S

i

i

P

P

po obwersji ma postać

po obwersji ma postać

S

S

o

o

nie-P

nie-P

S

S

e

e

P

P

po obwersji ma postać

po obwersji ma postać

S

S

a

a

nie-P

nie-P

S

S

o

o

P

P

po obwersji ma postać

po obwersji ma postać

S

S

i

i

nie-P

nie-P

Przykłady



Obwersją zdania

Obwersją zdania

Każdy polityk jest posłem

Każdy polityk jest posłem

jest zdanie

jest zdanie

Żaden polityk nie jest nie-posłem

Żaden polityk nie jest nie-posłem



Obwersją zdania

Obwersją zdania

Pewien student jest

Pewien student jest

aktorem

aktorem

jest zdanie

jest zdanie

Pewien student nie jest

Pewien student nie jest

nie-aktorem

nie-aktorem

.

.



Obwersją zdania

Obwersją zdania

Żaden mężczyzna nie jest

Żaden mężczyzna nie jest

szowinistą

szowinistą

jest zdanie

jest zdanie

Każdy mężczyzna jest

Każdy mężczyzna jest

nie-szowinistą.

nie-szowinistą.



Obwersją zdania

Obwersją zdania

Pewna kobieta nie jest

Pewna kobieta nie jest

gospodynią

gospodynią

jest zdanie

jest zdanie

Pewna kobieta jest

Pewna kobieta jest

nie-gospodynią.

nie-gospodynią.