Mikroekonomia: Funkcje

produkcji

Bartek Wasilewski

www.ego.riki.pl

MP, i TRS

• Marginal productivity MP

• To po prostu pochodna funkcji produkcji f(K,L) po danym czynniku (K, L) np.

df(K,L)/dK to krańcowa produktywność kapitału.

• W krótkim okresie (SR) prawdziwe jest prawo malejącej produktywności

krańcowej, czyli faktu, że kolejne dawki kapitału (pracy) dają coraz
mniejszy przyrost produkcji. Czasem zdarza się, że jest on wręcz ujemny, a
wtedy możemy łatwo znaleźć produkcje maksymalną – jest to miejsce
zerowania się MP (pochodnej f)

• Warto zapamiętać, ze dla funkcji C-D: MP

K:

Aa(L)^b/K^1-a gdzie a-alfa b-

beta

• TRS

• Technical Rate of Substitution – najkrócej: ile jednostek kapitału można

zastąpić pracą, aby pozostać na tej samej izokwancie (ten sam poziom
produkcji). TRS kapitału pracą TRS

kl

= przyrost L/przyrost K (zawsze

ujemna).

MRTS

• MRTS

• Czyli marginal rate of technical substitution. Bardzo bliska pojęciu TRS ale co

najważniejsze jest dokładnie (a nie jak TRS w przybliżeniu) równa
nachyleniu izokwanty

• Wzór: MRTS

KL

= pochodna z f(K,L) po K/pochodna z f(K,L) po L = (-1)

(MP

K

/MP

L

)

• W praktyce można stosować TRS=MRTS  ale i tak wzór na MRTS jest

wygodniejszy

• MRTS też jest malejące (oczywiście, gdy zastosujemy wartość bezwzględną –

bo MRTS z natury zawsze jest ujemny i jeśli funkcja prod. Jest wypukła)

• Warto zamapiętać, że dla funkcji C-D: MRTS

KL

= - aL/bK (a-alfa, b-beta)

uwaga! Myli się: jeśli jest MRTS

LK

= -aK/bL (o ile f. prod= (L^a)(K^b)) czyli:

zawsze na odwrót – jeśli jest indeks KL to na górze jest K, jeśli LK to L, a
zawsze jest a/b 

• Dla substytutów \ L skraca się z K (MRTS=const.) (-a/b)
• UWAGA! Oczywiście w przypadku funkcji Leontiefa, jako że nie występuje tam

żadna substytucja, MRTS po prostu nie istnieje! (MP

L

=0!)

Przychody skali (RtS)

• Returns to Scale

• Pytanie, czy proporcjonalnie zwiększane czynniki zwiększają

proporcjonalnie produkcję?

• Badamy równanie (nierówność)

f(tK,tL)=(constant),>(increasing),<(decreasing) tf(K,L)

• Graficznie wygląda to tak: jeśli increasing, to izokwanty są coraz gęstsze (w

kierunku NW)

• Cobb-Douglas jest meczący w liczeniu, więc zapamiętaj, że:
• a+b=1 constant, a+b>1 increasing a+b<1 decreasing 

• Pomijam homogeniczność i homotetyczność funkcji, bo z tego co

pamiętam, nie było takich zadań  a i Varian to olewa

• UWAGA! Możliwe jest, że MP obu czynników jest malejąca, a mimo to

występuje IRS! –

myślę, że wynika to z faktu, iż MP odnosi się do SR, a RS to LR 

Elastyczność popytu

• Elastyczność cenowa popytu

• Czyli o ile spadnie popyt, jeśli zwiększymy cenę? (elastyczność cenowa

popytu zawsze ujemna)

• Wzór: pochodna z q=f(p) po p (czyli pochodna z popytu po cenie) razy p/q

czyli: (df(p)/dp)(p/q)

Funkcja CES

• Czajkowski dużo miejsca poświęca wyprowadzaniu elastyczności

technicznej substytucji czynników, jeśli ktoś chce się w to bawić to niech
zobaczy slajdy B2. Ja dziękuję :P

• Funkcja CES

• Istotny jak sądzę jest jedynie przypadek funkcji o stałej elastyczności TRS

czyli CES ma ona postać: (K^p + L^p)^1/p (w uproszczeniu) elastyczność
substytucji tej funkcji to e=(1/1-p)

• Dla liniowej f. produkcji: e=nieskończoności (bo p=1)
• Leontief: dr aksman wyprowadzila, że e=0, a C-D: e=1

Funkcje produkcji

• Co jeszcze wiemy o nich?
• Funkcja TP ma punkt przegięcia w maksimum MP
• MP przecina AP (TP/q) w jego maksimum
• Kiedy MP=O to TP jest w maksimum

Granica możliwości

produkcyjnych

• Jeszcze jedna wartość krańcowa: MRT (marginal Rate of Transsormation)

wyznacza ile trzeba poświęcić dobra x1 aby dostać więcej x2

• MRT= (-1)(przyrost x2/przyrost x1)
• Wystepuje tu analogia z MRTS jeśli dobro 1 potraktujemy tutaj jak czynnik1

itd…

• To by było na tyle jeśli chodzi o funkcje produkcji. W Varianie jest mniej i

krócej, ale mam wrażenie, że Czajkowski i Aksman poświęcili temu więcej
miejsca – wniosek jest oczywisty w kontekście egzaminu 