mikroekonomia5-Funkcje kosztów, Administracja, I ROK, Mikroekonomia


Funkcje kosztów

1. Minimalizacja kosztów

2. Elastyczność substytucji

3. Funkcje kosztów w długim okresie (LR)

4. Funkcje kosztów w długim okresie (LR) i korzyści

skali

☺ Przykład: Wykorzystanie funkcji Cobb-Douglas'a

do estymacji funkcji kosztów w długim okresie

(LR)

5. Koszty w krótkim okresie (SR) przy jednym

zmiennym czynniku

6. Koszty w krótkim okresie (SR) przy dwóch lub

więcej zmiennych czynnikach

7. Zależność między kosztami w długim okresie (LR) i

krótkim okresie (SR)

Minimalizacja kosztów

Funkcja kosztów: najniższe ekonomiczne koszty do produkcji każdego możliwego poziomu produktu.

Zał.: funkcję produkcji reprezentują izokwanty wypukłe względem początku układu współrzędnych; płace i renty są parametrami.

Minimalizacja kosztów - rys. 11.1: linie izokosztów reprezentują poziomy powierzchni funkcji celu dla danego stosunku płac, rent. Izokwanta, 0x01 graphic
, przedstawia ograniczenie produkcji. Kombinacja czynników prowadząca do minimalizacji kosztów (K*, L*) osiągana jest w punkcie styczności izokwanty i linią izokosztów, TC*.

0x01 graphic

Warunek styczności można interpretować:

nachylenie izokwanty = dK/dL = -w/r = nachylenie linii izokosztów

MRTS = - (dK/dL) = w/r = MPL/MPK.

Powyższe równanie minimalizacji kosztów oznacza, że firma dostosowuje kombinację zatrudnionych czynników aż technicznie wyznaczona MRTS zrówna się ze stosunkiem cen wyznaczonym przez rynek.

Wyprowadzenie:

Funkcja celu: minimalizacja kosztów:

C = r1x1 + r2x2 + b gdzie: x1 i x2 ≥ 0

p.w.: q0 = f(x1, x2) gdzie: q0 to zadany poziom produkcji, a f(x1, x2) jest ciągła i ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu.

Funkcja Lagrange'a:

F = r1x1 + r2x2 + b + λ[q0 - f(x1, x2)]

Pochodne pierwszego rzędu przyrównujemy do zera:

0x01 graphic

Otrzymujemy z nich:

0x01 graphic
i 0x01 graphic

Co jest równoważne:

0x01 graphic

Alternatywnie można zapisać:

0x01 graphic

Warunki drugiego rzędu:

0x01 graphic

W naszym przypadku powyższy wyznacznik przyjmuje postać:

0x01 graphic

Po przekształceniu:

0x01 graphic

co jest równoważne:

0x01 graphic

Z 0x01 graphic
wiemy, że 0x01 graphic
. Ponieważ licznik i mianownik są dodatnie, λ też jest dodatnia.

Możemy więc powyższą nierówność podzielić przez λ bez zmiany znaku:

0x01 graphic

Jest to warunek drugiego rzędu, który musi być spełniony wraz z warunkami pierwszego rzędu.

Przykład:

Funkcja produkcji: x = K1/2L1/2

Minimalizujemy koszty przy: 0x01 graphic
.

0x01 graphic

0x01 graphic

Funkcja Lagrange'a:

0x01 graphic

Warunki pierwszego rzędu:

0x01 graphic

0x01 graphic

Po zrównaniu wartości λ* otrzymujemy:

0x01 graphic

Po przekształceniach:

0x01 graphic

Wstawiając powyższe równanie do trzeciego warunku pierwszego rzędu:

0x01 graphic

Rozwiązując dla L*:

0x01 graphic
: optymalne zatrudnienie pracy do produkcji 0x01 graphic

Po wstawieniu 0x01 graphic
do 0x01 graphic
:

0x01 graphic
: optymalne zatrudnienie kapitału do produkcji 0x01 graphic

Po wstawieniu 0x01 graphic
i 0x01 graphic
do funkcji celu:

0x01 graphic
: minimalny koszt wyprodukowania 0x01 graphic
.

(Pomijamy warunek drugiego rzędu.)

Elastyczność substytucji

W długim okresie firma może dostosowywać kombinację zatrudnienia czynników w odpowiedzi na zmiany stosunku cen rynkowych. Zakres tych dostosowań zależy od techniki produkcji zawartej w izokwantach. Miarą możliwości dostosowań jest elastyczność substytucji wzdłuż izokwanty. Pokazuje ona reakcje minimalizującego koszty stosunku kapitału i pracy na zmiany stosunku cen tych czynników w LR.

0x01 graphic

Możemy uprościć zapis formułując nowe funkcje:

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
.

Po wstawieniu powyższych funkcji do definicji otrzymujemy:

0x01 graphic
.

Funkcja 0x01 graphic
została wyprowadzona z warunku styczności, MRTS = w/r. Na przykład jeżeli x = K1/2L1/2, to:

MRTS = K/L = w/r ⇒ 0x01 graphic

A więc:

0x01 graphic
: dla tej funkcji produkcji elastyczność substytucji wynosi 1.

Cechą uogólnionej postaci funkcji produkcji Cobba - Douglasa jest stała jednostkowa elastyczność substytucji. Wyprowadzenie tego wyniku (np. Chiang, str. 425 - 6) nie jest związane z założeniem α + β = 1.

Funkcje CES (constant elasticity of substitution)

Istnieje inna postać funkcji produkcji o stałej elastyczności substytucji, która daje 0x01 graphic
. Równanie tej funkcji zwanej funkcją produkcji CES:

0x01 graphic

(A > 0; 0 < 0x01 graphic
< 1 ; -1 < 0x01 graphic
0x01 graphic
)

gdzie: K i L to czynniki produkcji

A, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
to trzy parametry.

A - parametr efektywności - odgrywa taką samą rolę jak współczynnik A w funkcji Cobba - Douglasa (Q = AK αLβ). Wielkość A będzie proporcjonalnie zwiększać poziom Q.

A : służy jako wskaźnik poziomu technologii.

0x01 graphic
- parametr podziału - dotyczy (jak α w funkcji Cobba - Douglasa) względnego udziału czynników w produkcji.

0x01 graphic
- parametr substytucji - określa wartość, jaką przyjmie (stała) elastyczność substytucji.

Graniczne przypadki elastyczności substytucji

(Rys. 11.2):

0x01 graphic

0x01 graphic
: stałe proporcje czynników (Technologia Leontiefa);

0x01 graphic
: przy zmianie stosunku cen zmienia się stosunek K*/L* minimalizujący koszty;

0x01 graphic
: jeżeli nachylenie izokwanty jest takie samo jak linii izokosztów, to kombinacja K/L minimalizująca koszty jest nieokreślona i najmniejsza zmiana nachylenia linii izokosztów zmienia optymalną kombinację czynników z jednej osi do drugiej.

Funkcje kosztów w długim okresie

Ścieżka rozwoju w długim okresie

Konstruujemy funkcję: ścieżkę rozwoju w długim okresie z punktów styczności izokwant i linii izokosztów (rys. 11.3):

0x01 graphic
(odpowiednik krzywej ekspansji dochodowej)

0x01 graphic

Z minimalizacji kosztów wiemy, że dla funkcji: x = K1/2L1/2 otrzymujemy:

0x01 graphic
: a jest to ścieżka rozwoju firmy w długim okresie.

Koszty całkowite w długim okresie

Z otrzymanej ścieżki można wyprowadzić funkcje opisujące optymalne czynniki dla każdego poziomu produkcji:

0x01 graphic
i 0x01 graphic

oraz minimalne koszty wytworzenia każdego poziomu produkcji (po wstawieniu powyższych funkcji do 0x01 graphic
0x01 graphic
):

0x01 graphic
: koszty całkowite w długim okresie jako funkcja produktu.

(Rys. 11.4 : minimalne koszty wytworzenia każdego poziomu produktu przy wszystkich czynnikach zmiennych: minimalne koszty wytworzenia x1 wynoszą TC*1, itd., te koszty całkowite są oznaczone na osi pionowej, a odpowiadające im wielkości produkcji - na poziomej).

0x01 graphic

Dla x = K1/2L1/2 wyznaczyliśmy już optymalną kombinację czynników dla każdego poziomu produkcji, 0x01 graphic
:

- 0x01 graphic
: optymalne zatrudnienie pracy do produkcji 0x01 graphic
,

- 0x01 graphic
: optymalne zatrudnienie kapitału do

produkcji 0x01 graphic
,

i kosztu całkowitego dla każdego poziomu produkcji:

- 0x01 graphic
: minimalny koszt

wyprodukowania 0x01 graphic
.

Jeżeli więc pozwolimy x zmieniać się, to mamy funkcje optymalnej kombinacji czynników:

- 0x01 graphic

- 0x01 graphic

i kosztu całkowitego dla każdego poziomu produkcji:

- 0x01 graphic
.

Jeżeli teraz pozwolimy w i r zmieniać się, te wyrażenia na L* i K* staną się uogólnionymi funkcjami popytu na czynniki w długim okresie, które zależą od wielkości produkcji. Dlatego nazywamy je funkcjami warunkowymi (conditional).

Uogólniona funkcja kosztu całkowitego w długim okresie wyprowadzona jest więc z uogólnionych funkcji popytu na czynniki:

- 0x01 graphic
: uogólniona, warunkowa funkcja popytu na pracę w

długim okresie;

- 0x01 graphic
: uogólniona, warunkowa funkcja popytu na kapitał

w długim okresie;

- 0x01 graphic
: uogólniona funkcja kosztu całkowitego

w długim okresie.

*****

Porównanie minimalizacji kosztów z minimalizacją wydatków:

Minimalizacja kosztów jest matematycznie identyczna do problemu dualnego konsumenta:

Problem dualny konsumenta:

Min M = pxx +pyy

p.w.: U = U(x, y)

Minimalizacja kosztów:

Min TC = wL + rK

p.w.: x = x(K, L)

Popyty skompensowane:

uogólnione funkcje popytu:

0x01 graphic

Warunkowe popyty:

K* =K*(w, r, x)

L* = L*( w, r, x)

Rozwiązanie:

M* (px, py, U) = pxxc* +pyyc*

Rozwiązanie:

TC*(w, r, x) = wL* + rK*

Koszty przeciętne i krańcowe w LR

Mając uogólnione funkcje kosztów całkowitych w LR możemy wyprowadzić koszty przeciętne i krańcowe w LR:

TC* = LRTC

LRAC = LRTC/x

LRMC = d(LRTC)/dx

Dla: x = K1/2L1/2 mamy więc:

LRTC = 2(wr)1/2x

LRAC = LRMC = 2(wr)1/2 .

Funkcje kosztów w LR i korzyści skali

Równania: LRTC = 2(wr)1/2x i LRAC = LRMC = 2(wr)1/2 ilustrują ważną cechę funkcji kosztów w LR z funkcjami produkcji ze stałymi korzyściami skali (homogeniczność stopnia 1). Jeżeli x = K1/2L1/2 , to funkcja kosztów całkowitych w LR jest liniową funkcją produktu, funkcje LRAC i LRMC są równe sobie i stałe niezależnie od wielkości produkcji. Zawsze tak się dzieje, gdy funkcja produkcji charakteryzują stałe korzyści skali.

Zauważ, że LRTC jako funkcja kapitału i pracy jest zawsze homogeniczna stopnia 1. Innymi słowy LRTC i czynniki zawsze rosną w tym samym stosunku:

w(αL) + r(αK) = α(wL + rK).

Z powyższego równania i z: x (ΘK, ΘL) = (ΘK)α(ΘL)β = Θα+β KαLβ wiemy, że kiedy zatrudnienie czynników jest zwiększane o ten sam mnożnik, to koszty i produkcja zwiększają się o ten sam (dodatni) mnożnik. Zmiany kosztów są proporcjonalne do zmian produktu:

ΔLRTC = b(Δx), gdzie b to stały czynnik proporcjonalności.

Po przekształceniu:

ΔLRTC

-------- = b.

Δx

Tak więc:

0x01 graphic
.

Z powyższego równania wynika, że LRTC musi być funkcją liniową. Jej nachylenie, LRMC, jest stałe. Ponieważ koszt wytworzenia 0 jednostek produktu wynosi 0 w LR, to LRTC musi przechodzić przez początek układu współrzędnych:

LRTC = bx i LRMC = LRAC = b. (rys. 11.5)

0x01 graphic

Rosnące korzyści skali

Z: f(αx, αy) = αk f (x, y), k > 1 wiemy, że kiedy funkcja produkcji jest homogeniczna, to pomnożenie wszystkich czynników przez α > 1 mnoży produkt przez więcej niż α:

x(αK, αL) = αkx(K, L) > αx(K, L) dla α, k > 1.

Ale koszty są zawsze proporcjonalne do czynników

(w(αL) + r(αK) = α(wL + rK)). Jeżeli więc czynniki są pomnożone przez dodatnią stałą, to koszty są pomnożone przez tą samą stałą, ale produkcja jest pomnożona przez więcej niż wynosi stała. To oznacza, że produkcja rośnie szybciej niż koszty i:

ΔLRTC

-------- ≈ 0x01 graphic

Δx

muszą maleć. Co więcej, jeżeli funkcja LRMC jest malejąca, to funkcja LRTC musi być wklęsła. I ponieważ zero czynników oznacza zero produktu i zero kosztów, to funkcja LRTC musi być wklęsła od początku układu współrzędnych. Z tego wynika, że funkcja LRAC musi maleć i musi być większa od funkcji LRMC dla każdej wielkości produktu. (rys. 11.6: funkcje kosztów dla funkcji produkcji z rosnącymi korzyściami skali. LRMC maleje implikując wklęsłość LRTC funkcji. Wklęsłość od początku układu implikuje, że LRAC funkcja maleje i jej nachylenie jest większe od nachylenia funkcji LRMC dla każdego poziomu produktu.)

0x01 graphic

Malejące korzyści skali

Jeżeli funkcję produkcji charakteryzują malejące korzyści skali, to z: f(αx, αy) = αk f (x, y), 0 < k < 1 wiemy, że

x(αK, αL) = αkx(K, L) < αx(K, L) dla α > 1 i k <1.

Ponownie koszty są proporcjonalne do czynników

(w(αL) + r(αK) = α(wL + rK)). Jeżeli więc czynniki są pomnożone przez dodatnią stałą, to koszty są pomnożone przez tą samą stałą, ale produkcja jest pomnożona przez mniej niż wynosi stała. To oznacza, że produkcja rośnie wolniej niż koszty i:

ΔLRTC

-------- ≈ 0x01 graphic

Δx

muszą rosnąć. Co więcej, jeżeli funkcja LRMC jest rosnąca od początku, to funkcja LRTC musi być wypukła od początku. Funkcja LRAC musi rosnąć i musi być mniejsza od funkcji LRMC dla każdej wielkości produktu. (rys. 11.7:

0x01 graphic

funkcje kosztów dla funkcji produkcji z malejącymi korzyściami skali. LRMC rośnie implikując wypukłość LRTC funkcji. Wypukłość od początku układu implikuje, że LRAC funkcja rośnie i jej nachylenie od początku układu współrzędnych jest mniejsze od nachylenia funkcji LRMC dla każdego poziomu produktu.)

Funkcje kosztów przeciętnych o kształcie U i korzyści skali

Przyjęcie funkcji LRAC o kształcie U implikuje założenie, że funkcję produkcji charakteryzują najpierw rosnące, a potem malejące korzyści skali.

Wynika to z faktu, że przy produkcji pewnych dóbr (przy procesie produkcji minimalizującym koszty) dla małej ilości jednostek produktu, koszty jednostkowe (przeciętne) są znacznie wyższe niż koszty wytworzenia większej ilości produktu. (Np. jeśli firma decyduje się produkować tylko niewiele samochodów przy wykorzystaniu linii produkcyjnej, to nie będzie metoda minimalizująca koszty. Pomimo że linia ta pozwala znacznie obniżyć koszty jednostkowe. Linię produkcyjną charakteryzują „economies of scale” korzyści skali oznaczające, że oszczędności na kosztach przeciętnych są możliwe tylko przy wysokich poziomach produkcji.)

Wynikają z tego dwa możliwe kształty dla krzywych LRAC. Z jednej strony LRAC jako funkcja produktu mogą najpierw maleć przy wzroście produkcji, potem być stałe, gdy zakład jest „powielany” i w końcu rosnąć. Z drugiej strony, LRAC krzywa może maleć do punktu minimum i potem rosnąć. Kiedy mówimy o kształcie U, to odnosimy się do drugiego przypadku. Rys. 11.8: funkcja LRTC najpierw jest wklęsła, a potem wypukła odzwierciedlając rosnące korzyści skali, po których następują malejące korzyści skali. LRAC (nachylenie od początku) maleje przy wzroście produkcji, osiąga minimum, 0x01 graphic
, w punkcie styczności promienia, a potem rośnie.

0x01 graphic

LRMC jako funkcja produkcji maleje do punktu przegięcia, xin, i dalej rośnie. LRMC równa się LRAC w 0x01 graphic
.

Przykład

Wyprowadziliśmy funkcje kosztów w LR dla prostej funkcji produkcji: x = K1/2L1/2 . Trudniej jest wyprowadzić funkcje kosztów dla uogólnionej postaci x = AKαLβ ale jest to korzystniejsze w sytuacjach, kiedy nie znana jest bezpośrednia zależność między L i K, można ją jednak obliczyć na podstawie danych empirycznych. Wykazaliśmy, że obliczenia α i β stanowią bezpośrednie określenie korzyści skali w procesie produkcyjnym. Modelowanie z wykładnikami sumującymi się do 1 implikuje stałe korzyści skali .... .

Wyprowadzenie matematyczne

Aby znaleźć warunkowe popyty na czynniki i funkcje kosztów w LR dla uogólnionej funkcji produkcji typu Cobb-Douglas'a formułujemy problem minimalizacji kosztów firmy przy ograniczeniu produkcyjnym w postaci funkcji Cobb-Douglas'a:

min TC = wL + rK

p.w.: x = AKαLβ

Lagrangian:

0x01 graphic

Warunek pierwszego rzędu:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Przekształcając dla λ*:

0x01 graphic
= 0x01 graphic

Rozwiązując dla K*:

0x01 graphic

Wstawiając rozwiązanie dla K* do trzeciego warunku koniecznego:

0x01 graphic

Rozwiązując dla L*:

0x01 graphic
: warunkowy popyt na (czynnik) L

Wstawiając L* do 0x01 graphic
:

0x01 graphic
: warunkowy popyt na (czynnik) K

Wstawiając rozwiązanie dla L* i dla K* do funkcji celu:

TC* = wL* + rK* =

0x01 graphic

Otrzymane wyrażenie można przedstawić w postaci logarytmicznej:

0x01 graphic
0x01 graphic

Powyższe równanie wykorzystywane jest do obliczeń.

Koszty w krótkim okresie (SR) przy jednym zmiennym czynniku

Zał.: K - stały, L- zmienna.

Koszty całkowite w SR

SRTC można wyprowadzić ze ścieżki rozwoju firmy w SR - rys. 11.9:

0x01 graphic

0x01 graphic

SRTC są rozkładane na koszty stałe - FC i koszty zmienne - VC:

SRVC = wL

FC = r0x01 graphic

SRTC = wL + r0x01 graphic

Aby wyprowadzić SRVC skorzystamy z funkcji produktu całkowitego pracy: 0x01 graphic
. Odwrotność jej: 0x01 graphic
- rys. 11.10.

0x01 graphic

Funkcja SRVC jest proporcjonalna do 0x01 graphic
gdyż SRVC = wL =w0x01 graphic
. Rys. 11.11 przedstawia zależność między 0x01 graphic
i w0x01 graphic
. SRVC =0 dla L=0. Aby otrzymać SRTC dodajemy SRVC i FC - rys.11.12.

0x01 graphic

0x01 graphic

SRAC i SRMC

SRAVC = SRVC/x = wL(x)/x

AFC = FC/x = r0x01 graphic
/x

SRATC = SRTC/x = wL(x)/x + r0x01 graphic
/x

SRMVC = 0x01 graphic

SRMC = 0x01 graphic

Graficzne i matematyczne wyprowadzenie kosztów w SR

Dla funkcji produkcji 0x01 graphic
:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Rys.11.13 (komentarz do kształtu i przebiegu)

0x01 graphic

Dla funkcji: x = K1/2L1/2 można wykazać, że MC = min ATC w SR. Minimalizujemy SRATC i pokazujemy, że dla tej wielkości produkcji te koszty są równe:

0x01 graphic

0x01 graphic

Rozwiązując dla x:

0x01 graphic

Wstawiając otrzymany wynik do SRATC:

0x01 graphic

Wstawiając rozwiązanie dla x do SRMC:

0x01 graphic

Należy spostrzec, że dla tej funkcji produkcji w minSRATV te dwie funkcje kosztów, SRMC i SRATC, są równe AC i MC w LR. Okazuje się, że ta zależność sprawdza się dla wszystkich funkcji produkcji charakteryzujących się stałymi korzyściami skali.

Skutki malejących przychodów

Przy jednym zmiennym czynniku istnieją trzy ważne cechy funkcji kosztów w SR wynikające z przyjęcia założenia o malejących przychodach z czynnika. Co więcej, ponieważ stałe i malejące korzyści skali również implikują malejące przychody zmiennego czynnika, to te cechy wynikają również ze stałych i malejących korzyści skali:

  1. Funkcja SRMC rośnie wraz ze wzrostem produkcji.

Aby wykazać, że ta cecha jest prawdziwa pamiętamy, że SRMC = 0x01 graphic
. Po przekształceniu:

0x01 graphic

Jeżeli MPL maleje i w jest stałe, to funkcja SRMC musi rosnąć.

  1. Funkcja SRAVC w końcu musi rosnąc.

Z rys. 10.7 pamiętamy, że jeżeli MPL maleje, to APL w końcu również maleje. Dzieje się tak dlatego, że MP = AP w maksimum AP. Dalej funkcja AP musi maleć. Aby spostrzec, w jaki sposób funkcja AP jest związana z funkcją AVC pamiętamy że SRAVC = SRVC/x = wL(x)/x. Po przekształceniu:

0x01 graphic
.

Jeżeli funkcja APL maleje, to funkcja AVC musi rosnąć.

  1. Funkcja SRATC ma kształt U.

Z cechy 1) wynika, że funkcja SRMC w końcu rośnie. Jeżeli SRMC jest rosnąca, to funkcja SRAC jest wypukła i funkcja SRTC leży wyżej niż SRVC o FC - rys.11.14.

0x01 graphic

Funkcja SRAVC może być wypukła od początku układu współrzędnych bez osiągania minimum. Ale po dodaniu FC do funkcji VC, funkcja SRTC ma punkt przecięcia z osią pionową równy FC. Z tego wynika, że z początku układu można wyprowadzić promień, który będzie styczny do funkcji SRTC i funkcja SRATC będzie miała minimum. Funkcja SRATC ma kształt U.

Koszty w SR przy dwóch (lub więcej) zmiennych czynnikach

Przy dwóch (lub) więcej zmiennych czynnikach analiza się nieco komplikuje i wyniki nie są tak klarowne, jak przy jednym zmiennym czynniku.

Załóżmy, że: w SR kapitał (zakład i maszyny) jest stały, ale zatrudnienie pracy i surowców może się zmieniać. Tym sposobem analiza krótkookresowa upodabnia się do długookresowej.

Oznaczenia:

0x01 graphic
- stała wielkość kapitału,

m - wielkość zmiennych surowców,

pm - cena zmiennych surowców.

A więc:

wL + pmm = SRVC

x = x(L, m; 0x01 graphic
) - funkcja produkcji

Problem minimalizacji kosztów:

min SRTC = wL + pmm + r0x01 graphic

p.w.: x = x(L, m; 0x01 graphic
)

Lagrangian:

0x01 graphic

Pierwsze dwa warunki konieczne:

0x01 graphic

0x01 graphic

Rozwiązując dla λ:

0x01 graphic
.

Z powyższego równania wynika, że ten problem jest równoważny wyborowi kombinacji pracy i surowców minimalizującej SRVC przy ograniczeniu produkcyjnym - rys.11.16: linia izokosztów jest SRVC, a izokwanta określona jest przez stały czynnik.

0x01 graphic

Przy stałym czynniku firma zatrudnia kombinację pracy i surowców minimalizującą SRVC. Ale LRTC nie muszą być zminimalizowane, gdyż firma nie może optymalizować zatrudnienia kapitału. Z ostatniego równania wynika, że firma wybierze taką kombinację pracy i surowców, przy której stosunek produktów krańcowych równa się stosunkowi cen czynników, jak w LR.

Malejące przychody ze wszystkich czynników zmiennych

Jeżeli więcej niż jeden czynnik jest zmienny, to malejące produkty krańcowe poszczególnych czynników już nie są warunkami koniecznymi i wystarczającymi do wzrostu funkcji SRMC i przyjmowania kształtu U przez funkcje SRATC. Zamiast tego funkcje produkcji muszą charakteryzować się malejącymi przychodami ze wszystkich zmiennych czynników przy pewnych czynnikach stałych - rys. 11.17. Jeżeli zatrudnienie pracy i surowców zostaje podwojone, przy stałym zatrudnieniu kapitału, to produkt zwiększa się tylko o 50%. Ponieważ VC podwajają się przy podwojeniu

0x01 graphic

zatrudnienia zmiennych czynników, to VC rosną szybciej od produkcji i MC rosną. Jeśli MC rosną, to funkcja SRATC ma kształt U (zgodnie z tym, co zostało powiedziane przy rys.11.14).

Zależność między kosztami w LR i SR

Wracamy do firmy zatrudniającej jeden zmienny czynnik do wytworzenia jednego produktu. Na podstawie wcześniej wyprowadzonych równań:

- 0x01 graphic

- 0x01 graphic

- 0x01 graphic

stwierdziliśmy, że dla: x = K1/2L1/2 SRMC i SRATC są równe LRMC i LRAC w minimum SRATC. Z tych równań wynikają dwie ważne cechy funkcji kosztów w SR i LR:

  1. Funkcje LRTC są obwiedniami funkcji SRTC

Dla danej ilości kapitału (np. 0x01 graphic
) minimalizowane są koszty pewnej wielkości produkcji w LR. Innymi słowy 0x01 graphic
= K* dla tej wielkości produkcji. Dla każdej innej wielkości produkcji firma nie może minimalizować kosztów - rys. 11.3. Zawsze, gdy stały kapitał nie równa się K*, firma nie znajduje się w punkcie styczności izokwanty z linią izokosztów. Gdy 0x01 graphic
≠ K*, to SRTC są większe od LRTC. Gdy 0x01 graphic
= K*, to te koszt są sobie równe. Tak więc funkcja SRTC jest styczna do LRTC, gdy 0x01 graphic
= K* i LRTC tworzy obwiednię „od dołu” dla SRTC - rys.11.18.

0x01 graphic

Lewy wykres pokazuje ścieżki rozwoju w SR i LR. (W LR: x1 przy TC*1 i x2 przy TC*2.) Jeśli firma zatrudnia 0x01 graphic
, to może minimalizować koszty wyłącznie dla x2. Aby produkować x1 lub x3 przy 0x01 graphic
firma zatrudnia L'1 lub L'3 jednostek pracy przy SRTC1 i SRTC3. SRTC1 jest większy od TC*1 i SRTC3 > TC*3.

Prawy wykres łączy SR i LR TC jako funkcje wielkości produkcji. W x2 koszty w SR i LR są sobie równe, ale w x1 i w x3 koszty w SR są większe.

(Oznaczmy wielkość produkcji dla 0x01 graphic
= K* jako 0x01 graphic
)

Ponieważ funkcja LRTC jest obwiednią funkcji SRTC, to również musi być prawdą, że funkcja LRATC jest obwiednią funkcji SRATC. Kiedy LRTC = SRTC (w 0x01 graphic
), to LRATC = SRATC, gdyż dzielimy obie TC przez 0x01 graphic
aby uzyskać AC. W każdym innym punkcie dla równych wielkości produkcji SRATC są większe, gdyż SRTC są większe.

Dodatkowo, ponieważ SRTC i LRTC są styczne w 0x01 graphic
, to SRMC = LRMC w tym punkcie. Jeżeli x < 0x01 graphic
, to SRMC < LRMC. Jeżeli x > 0x01 graphic
, to SRMC > LRMC. (Zanim zilustrujemy to stwierdzenie przejdziemy do 2) cechy.)

  1. Jeżeli funkcja produkcji charakteryzuje się stałymi korzyściami skali, to punkt styczności między funkcjami kosztów w SR i LR jest zawsze minimum SRATC. W tym punkcie wszystkie cztery funkcje przeciętne i krańcowe są sobie równe: LRAC = LRMC = SRMC =minSRATC

Stałe linie LRAC i LRMC tworzą obwiednię „od dołu” styczną do każdej SRATC w jej minimum. Wynika to z równań:

- 0x01 graphic

- 0x01 graphic

- 0x01 graphic
.

Rys.11.19 przedstawia cechę 2). Liniowa funkcja LRTC jest linią prostą wychodząca z początku układu współrzędnych i styczną do każdej SRTC w 0x01 graphic
. Wiemy, że jeżeli promień wychodzący z początku układu współrzędnych jest styczny do funkcji całkowitych, to funkcje przeciętne osiągają minimum lub maksimum i funkcje krańcowe są równe funkcjom przeciętnym w tym punkcie.

0x01 graphic

Jeśli więc liniowa funkcja LRC jest styczna do funkcji SRTC, to SRAC osiąga minimum i SRAC = SRMC. Co więcej ponieważ ten punkt jest punktem styczności, to SRAC = LRAC i SRMC = LRMC.

Malejące korzyści skali

Jeżeli funkcja produkcji wykazuje rosnące lub malejące korzyści skali, to min SRATC nie jest osiągane w 0x01 graphic
(w punkcie styczności funkcji kosztów w LR i SR). Dla malejących korzyści skali jest to pokazane na rys.11.20. Ponieważ funkcja LRTC jest ściśle wypukła od początku układu współrzędnych, to nachylenie linii wychodzącej z początku układu współrzędnych zawsze będzie inne niż nachylenie funkcji. Ponieważ funkcja SRTC posiada punkt przecięcia z osią pionową o wartości FC, to osiąga minimum. Ale nigdy nie osiąga go w punkcie styczności funkcji LRTC i SRTC. W punkcie styczności, LRTC = SRTC, LRAC =SRAC i LRMC = SRMC. Ale SRMC nie równa się SRATC i LRMC nie równa się LRATC w tym punkcie. Co więcej, minimum SRATC osiągane jest zawsze w x < 0x01 graphic
dla każdego zbioru funkcji w SR.

0x01 graphic

Rosnące korzyści skali

Z odwrotną sytuacją mamy do czynienia przy rosnących korzyściach skali. Minimum SRATC zawsze jest osiągane w x > 0x01 graphic
dla każdego zbioru funkcji w SR - rys. 11.21. ponownie, linia wychodząca z początku układu współrzędnych określa minimum SRATC i punkt, w którym SRMC = SRATC. Co więcej, 0x01 graphic
< x czyli wartość określająca minimum SRATC. W punkcie styczności LRTC = SRTC, LRAC =SRAC i LRMC = SRMC. Ale te cztery funkcje przeciętne i krańcowe nie równają się sobie wzajemnie.

0x01 graphic

Funkcje kosztów w LR w kształcie U

Przy funkcjach LRAC o kształcie U, wszystkie trzy typy zależności między LR i SR można spostrzec - rys.11.22.

W części z rosnącymi korzyściami skali (na lewo od 0x01 graphic
) minimum SRATC osiągane jest w x > 0x01 graphic
. Czyli x1 > 0x01 graphic
.

W 0x01 graphic
promień wyprowadzony z początku układu współrzędnych jest styczny zarówno do SRTC, jak i do LRTC. Tak więc wszystkie warunki stałych korzyści skali: LRAC = LRMC = SRMC = SRATC , są spełnione w tym punkcie. Co więcej, wszystkie te funkcje również są równe minimum LRAC i minimum SRATC w tym punkcie. Czyli x2 = 0x01 graphic
2 = 0x01 graphic
. Na koniec, w części malejących korzyści skali (na prawo od 0x01 graphic
), minimum SRATC jest osiągane dla x < 0x01 graphic
. Czyli x3 jest mniejsze od 0x01 graphic
3.

0x01 graphic

Aby zrozumieć powyższe zależności należy wziąć pod uwagę, co oznacza dla firmy, że ma stałe, rosnące lub malejące korzyści skali. Przy stałych korzyściach skali, minimum ATC jest takie samo niezależnie od rozmiarów firmy zarówno w SR, jak i w LR. Przy rosnących korzyściach skali, przy wielkości produkcji minimalizującej SRATC dla danej ilości stałego czynnika, LRAC zawsze są mniejsze od SRAC. Na rys.11.22 jeśli firma produkuje przy minimum SRATC1, to może ona zawsze zmniejszyć AC zwiększając zatrudnienie stałego czynnika. Przy malejących korzyściach skali, wielkość produkcji minimalizująca SRATC dla danej ilości stałego czynnika, LRAC również są mniejsze od SRAC. W tym przypadku firma zmniejsza AC zmniejszając zatrudnienie stałego czynnika. Na rys. 11.22 jeśli firma produkuje przy minimum SRATC3, to może zmniejszyć koszty ograniczając zatrudnienie stałych czynników.

Jeśli LRAC ma kształt U, to firma zmniejsza AC rozwijając się aż osiągnie minimum LRAC w 0x01 graphic
. W tym punkcie firma minimalizuje AC zarówno w LR, jak i w SR. Co więcej firma nie ma bodźców aby dalej się rozwijać, gdyż zwiększanie zatrudnienia kapitału jedynie zwiększa koszty.

28



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Funkcje parlamentu, Administracja, I ROK, Konstytucja
mikroekonomia2-Funkcje popytu skompensowanego, Administracja, I ROK, Mikroekonomia
Rola państwa w gospodarce, administracja, I ROK, makro i mikroekonomia, MAKRO-ekonomia
Bilans płatniczy, administracja, I ROK, makro i mikroekonomia, MAKRO-ekonomia
KRZYWA PHILLIPSA, administracja, I ROK, makro i mikroekonomia, MAKRO-ekonomia
Odpowiedzi[2] - pytania wykładowcy, administracja, I ROK, makro i mikroekonomia, MAKRO-ekonomia
referat-PKB, administracja, I ROK, makro i mikroekonomia, MAKRO-ekonomia
czynniki wzrostu PKB w ujęciu Solowa, administracja, I ROK, makro i mikroekonomia, MAKRO-ekonomia
Międzynarodowy System Finansowy, administracja, I ROK, makro i mikroekonomia, MAKRO-ekonomia
pytania z wykładów - kolokwium II, administracja, I ROK, makro i mikroekonomia, MAKRO-ekonomia
pytania z wykładów - kolos1, administracja, I ROK, makro i mikroekonomia, MAKRO-ekonomia
ekonomia - PKB, administracja, I ROK, makro i mikroekonomia, MAKRO-ekonomia
pytania - kolokwium1, administracja, I ROK, makro i mikroekonomia, MAKRO-ekonomia
system finansowy państwa, administracja, I ROK, makro i mikroekonomia, MAKRO-ekonomia
Międzynarodowy System Finansowy2, administracja, I ROK, makro i mikroekonomia, MAKRO-ekonomia
Mikroekonomia - Wyklad I i II, ADMINISTRACJA, I rok I semestr, Ekonomia
mikroekonomia10, Administracja, I ROK, Mikroekonomia
Makroekonomia, administracja, I ROK, makro i mikroekonomia, MAKROEKONOMIA
zadania makro, administracja, I ROK, makro i mikroekonomia, MAKRO-ekonomia, jakieś zadania - kolos1

więcej podobnych podstron