Wykład III

Podstawowe 
pojęcia 
doświadczalnict
wa

Analiza 
wariancji

Układy 
doświadczeń 
jednoczynnikow
ych

Podstawowe pojęcia 
doświadczalnictwa

Doświadczenie - – zainicjowanie i obserwowanie 

pewnego zjawiska w warunkach kontrolowanych

Czynnik – zmienna przyczyna kształtowania się 

przebiegu zjawisk i procesów w doświadczeniu

Obiekt – konkretna, wybrana wartość danego 

czynnika (poziom, wariant) 

Replikacja (powtórzenie) – n-krotne wystąpienie 

danego obiektu w doświadczeniu

Jednostka doświadczalna – najmniejsza część 

doświadczenia względem której stosowane są 

obiekty doświadczalne

Podstawowe pojęcia 
doświadczalnictwa

Badana cecha – określana w doświadczeniu 
właściwość badanego materiału
Kombinacja – wzajemny układ obiektów 
badanych czynników (min. 2)
Losowanie (randomizacja) – sposób 
przyporządkowywania obiektów do jednostek 
doświadczalnych
Błąd doświadczalny – zmienność wywołana 
przez czynniki które istnieją, ale których nie 
znamy lub nie możemy dokładnie określić 
Układ doświadczalny – sposób 
rozmieszczenia obiektów w doświadczeniu

Podstawowe pojęcia 
doświadczalnictwa

W doświadczaniu wazonowym 
porównano wpływ 4 dawek 
azotu (0,1, 2, 3 g/wazon) na 
plon ziarna z wazonu, wschody 
roślin i masę 1000 ziaren 2 
odmian żyta ozimego (Nawid i 
Warko). Liczba replikacji n= 5

Analiza wariancji

Analiza wariancji jest testem 
istotności. Służy do oceny tego czy 
dwie lub więcej średnich z prób różni 
się pod względem wartości średnich 
prawdziwych populacji z których 
pochodzą. Polega na podziale 
wariancji ogółem na części składowe.
Często oznaczana jest ona skrótem 
ANOVA pochodzącym od angielskiej 
nazwy metody – Analysis of Variance

Założenia podziału analizy 
wariancji

xxx

Wariancja 

wewnątrz

grup

Wariancja

między

grupami

Wymagania dotyczące 
danych

Aby wyniki uzyskane przy pomocy analizy wariancji 
były wiarygodne dane na podstawie których jest 
wyliczana ANOVA muszą być:

-

addytywne,

-

homogeniczne,

-

„normalne”.

Tabela analizy wariancji

Rodzaj 
zmienności.

L.s.s

Suma 
kw. 

odch.

Średni 
kwadrat
S

2

F

emp

F

0,05

Obiekty

k-1

nS

2

ob.

nS

2

ob            

(S

2

ob

)

k-1

S

2

ob

S

2

e

Błąd

k(n-1)

nS

2

e

nS

2

e               

(S

2

e

)

k(n-1)

Ogółem

kn-1

nS

2

og.

B

A

H







:

0

B

A

np

H







.

:

1

Hipotezy statystyczne

Tablice wartości krytycznych 
testu F

              F

1

F

2

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

1 

161  200  216  225  230  234  237  239  241  242 

2 

18,

5 

19,

0 

19,

2 

19,

2 

19,

3 

19,

3 

19,

4 

19,

4 

19,

4 

19,

4 

3 

10,

1 

9,5

5 

9,2

8 

9,1

2 

9,0

1

8,9

4 

8,8

9 

8,8

5 

8,8

1 

0,7

9 

4 

7,7

1 

6,9

4 

6,5

9 

6,3

9 

6,2

6 

6,1

6 

6,0

9 

6,0

4 

6,0

0 

5,9

6 

5 

6,6

1 

5,7

9 

5,4

1 

5,1

9 

5,0

5 

4,9

5 

4,8

8 

4,8

2 

4,7

7 

4,7

4 

……

….

…

…

…

…

….

…

…

….

…

16 

4,4

9 

3,6

3 

3,2

4 

3,0

1 

2,8

5 

2,7

4 

2,6

6 

2,5

9 

2,5

4 

2,4

9 

Poziom istotności 0,05 

Wnioskowanie w analizie 
wariancji

Podobnie jak w innych testach istotności na 
podstawie analizy wariancji można odrzucić H

0

 lub 

stwierdzić brak podstaw do jej odrzucenia. 
Oznacza to, że wnioski mogą w zależności od 
wartości Femp być tylko dwóch rodzajów:
Ponieważ Femp > F

0,05

 (F

0,01

) dlatego odrzucam 

H

0

 na korzyść H

1

 i z prawdopodobieństwem 

popełnienia błędu mniejszym niż 5 % (1 %) 
stwierdzam, że istnieją istotne (wysoce istotne) 
różnice pomiędzy badanymi obiektami (oznacza 
to, że w śród badanych średnich są co najmniej 
dwie, które na 95 % (99 %) różnią się.
Ponieważ Femp ≤ F

0,05

 dlatego brak jest podstaw 

do odrzucenia H

0

. Oznacza to, że nie mamy 

przynajmniej 95 % pewności, że istnieją co 
najmniej dwie średnie, które się różnią.

Układ kompletnej 
randomizacji
(układ całkowicie losowy)

A

C

D

D 

B

D

E

B

C

A

A

B

C

A

E

C

D

E

B

E

Liczba obiektów k=5, liczba replikacji 
n=4

Układ kompletnej 
randomizacji
(układ całkowicie losowy)

Umożliwia porównanie k 
średnich w n replikacjach 
(liczba replikacji nie musi 
być równa)
Obiekty rozmieszczane są 
losowo w całym 
doświadczeniu
Jednostki eksperymentalne 
muszą być wyrównane
Nadaje się do doświadczeń 
laboratoryjnych, 
wazonowych i innych, w 
których jednostki 
eksperymentalne są 
wyrównane 

Rodzaj 
zmienności.

L.s.s

Obiekty

k-1

Błąd

k(n-1)

Ogółem

kn-1

ANOVA

Układ

 bloków kompletnie 

zrandomizowanych (układ bloków 
losowych)

A

C

D

E 

B

D

E

B

C

A

A

B

C

D

E

C

D

A

B

E

Liczba obiektów k=5, liczba replikacji 
n=4

Zmienność 
glebowa

pH  +

pH  -

Układ

 bloków kompletnie 

zrandomizowanych (układ bloków 
losowych)

Eliminuje zmienność 
przebiegającą w jednym 
kierunku

W doświadczeniach polowych 
umożliwia porównanie 
ograniczonej liczby obiektów 
(16-24)

Liczba replikacji musi być 
taka sama dla wszystkich 
obiektów

Jest bardziej efektywny od 
układu kompletnej 
randomizacji jeśli występuje 
zmienność jednokierunkowa 

Rodzaj 
zmienności

L.s.s

Bloki

n-1

Obiekty

k-1

Błąd

(k-1)(n-

1)

Ogółem

kn-1

ANOVA

Układ kwadratu łacińskiego

C

B

D 

E 

A

E

A

C

B

D

B

C

A

D

E

D

E

B

A

C

A

D

E

C

B

Liczba obiektów k=5, liczba kolumn=5, liczba 
rzędów=5

pH  -

pH +

Mg +

Mg -

Układ kwadratu łacińskiego

Eliminuje zmienność 

przebiegającą w dwóch 

kierunkach
Umożliwia porównanie 

ograniczonej liczby 

obiektów (5-12)
Liczba replikacji jest 

równa liczbie obiektów
Jest bardziej efektywny 

jeśli zmienność jest 

dwukierunkowa

Rodzaj 
zmienności

L.s.s

Kolumny

k-1

Rzędy

k-1

Obiekty

k-1

Błąd

(k-1)(k-2)

Ogółem

k

2

 -1

ANOVA

Brakujące wyniki (bloki 
losowe)

)

1

)(

1

(











k

n

Y

kO

nB

z

A

C

D

E 

D

E

B

C

A

A

B

C

D

E

C

D

A

B

E

Z- brakujący wynik

B – suma wyników w bloku w 
którym wystąpił brakujący 
wynik

O - suma wyników w obiekcie, 
w którym wystąpił brakujący 
wynik

Y – suma wszystkich wyników 

n - liczba replikacji

K – liczba obiektów

Brakujące wyniki (bloki 
losowe

)

1

(

]

)

1

(

[

2









k

k

z

k

B

H

H – poprawka do 
zmniejszenia sumy 
kwadratów odchyleń 
dla obiektów

Liczba stopni 
swobody dla błędu i 
ogółem – liczba 
brakujących wyników

Rodzaj 
zmien
ności.

L.s.s

Suma kw. 
odch.

Bloki

n-1

nS

2

bl

Obiekt

y

k-1

nS

2

ob. 

 -H

Błąd

k(n-1) -1 nS

2

e

Ogółe

m

kn-1-1

nS

2

og.

Brakujące wyniki (kwadrat 
łaciński)

 

)

2

)(

1

(

2

)

(













k

k

Y

O

R

K

k

z

2

2

2

)

2

(

)

1

(

]

)

1

(

[















k

k

O

k

R

K

Y

H

Z- brakujący wynik
K – suma wyników w kolumnie w którym wystąpił brakujący wynik
R- suma wyników w rzędzie w którym wystąpił brakujący wynik
O - suma wyników w obiekcie, w którym wystąpił brakujący wynik
Y – suma wszystkich wyników 
k= liczba replikacji

Ocena ścisłości 
doświadczenia 

Oceną wariancji losowej jest średni kwadrat błędu z 
analizy wariancji. Im doświadczanie jest dokładniej 
wykonane (prawidłowo wybrany układ doświadczalny, 
dokładny zbiór, ważenie)  tym mniejsza jest ta wartość.
Ocenę ścisłości doświadczenia stanowi

x

S

W

e

2

% 

Jeśli W jest mniejsze od 10% to można uznać, że 
doświadczenie zostało wykonane prawidłowo