$

"

Logika - wykład

4

Wynikanie logiczne. Wnioskowania

dr Tomasz Kowalski

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 2 / 39

$

"

Przykład 1

Co mają wspólnego ze sobą zdania:

W czasie tegorocznych wakacji byłem
w Warszawie i w Krakowie.

A:

W czasie tegorocznych wakacji byłem w
Warszawie.

B:

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 3 / 39

$

"

Przykład 1

Co mają wspólnego ze sobą zdania:

Jan jest młodszy od Kazimierza.

A:

Kazimierz jest starszy od Jana.

B:

W obu przykładach można
powiedzieć, że zdanie B
wynika ze zdania A.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 4 / 39

$

"

Wynikanie logiczne

można zdefiniować na dwa sposoby:

Ze zdania A wynika zdanie B, gdy nie
jest możliwa sytuacja, aby zdanie A
było prawdziwe, a jednocześnie zdanie
B - fałszywe.

1.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 5 / 39

$

"

Wynikanie logiczne

można zdefiniować na dwa sposoby:

Ze zdania A wynika zdanie B, gdy
prawdziwa jest implikacja:

Jeżeli A, to B.

2.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 6 / 39

$

"

Badanie wynikania logicznego -

procedura

schemat zdania A

––––––––––––––

schemat zdania B

Aby sprawdzić w praktyce, czy z jednego zdania
wynika logicznie drugie zdanie, musimy najpierw
napisać schematy obu zdań.
Schematy te piszemy (na ogół) w specjalnej formie
– schemat pierwszego nad kreską, a pod kreską
schemat drugiego:

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 7 / 39

$

"

Badanie wynikania logicznego -

procedura

Następnie sprawdzamy, czy jest możliwa sytuacja,
aby zdanie A było prawdziwe, a B fałszywe.

Wyciągamy z takich założeń wszelkie konsekwencje –
podobnie jak to czyniliśmy przy badaniu tautologii i
kontrtautologii.

schemat zdania A

––––––––––––––

schemat zdania B

1

0

Gdy taka sytuacja

jest

możliwa – zdanie B

nie

wynika

logicznie ze zdania

A.

Gdy taka sytuacja

nie jest

możliwa – zdanie B

wynika

logicznie ze zdania A.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 8 / 39

$

"

Przykład – wynikanie

logiczne

Czy ze zdania:

Jeśli człowiek ma ważny cel w życiu, to jest
szczęśliwy.

wynika zdanie:
Jeśli człowiek nie ma ważnego celu w życiu, to nie jest
szczęśliwy.

p: Człowiek ma ważny cel w
życiu.

q: Człowiek jest
szczęśliwy.

p  q

~ p  ~ q

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 9 / 39

$

"

Przykład – wynikanie

logiczne

Sprawdzimy, czy jest możliwa sytuacja, że

zdanie „znad kreski” jest prawdziwe, a zdanie

„spod kreski” - fałszywe

Brak sprzeczności oznacza, że możliwa jest sytuacja,
aby pierwsze zdanie było prawdziwe, a drugie
fałszywe.

0

1

1

0

0

1

0

1

p  q

~ p  ~ q

Tym samym w tym przypadku zdanie drugie nie
wynika logicznie ze zdania pierwszego.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 10 / 39

$

"

Przykład – wynikanie

logiczne

p  q

p  ~ q

Sprawdzimy, czy jest możliwa sytuacja, że

zdanie „znad kreski” jest prawdziwe, a zdanie

„spod kreski” - fałszywe

0

1

0

1

0

0

1

Brak sprzeczności oznacza, że możliwa jest sytuacja,
aby pierwsze zdanie było prawdziwe, a drugie
fałszywe.

Tym samym w tym przypadku zdanie drugie nie
wynika logicznie ze zdania pierwszego.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 11 / 39

$

"

Przykład – wynikanie

logiczne

Sprawdzimy, czy ze zdania:
Jeżeli świadek mówi prawdę, to oskarżony nie jest
winny.

wynika zdanie:
Świadek nie mówi prawdy lub oskarżony nie jest
winny.

p: Świadek mówi
prawdę.

q: Oskarżony jest
winny.

p  ~ q

~ p  ~ q

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 12 / 39

$

"

Ćwiczenie – wynikanie

logiczne

Sprawdzimy, czy jest możliwa sytuacja, że

zdanie górne jest prawdziwe, a zdanie

dolne fałszywe.

0

1

0

0

1

1

1

1

p  ~ q

~ p  ~ q

0

Sprzeczność.

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że przedstawione
wynikanie jest logicznie poprawne.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 13 / 39

$

"

Przykład – wynikanie

logiczne

Czy ze zdania:
Brutus zabił Cezara:
wynika logicznie zdanie
Brutus zabił Cezara lub Kasjusz zabił Cezara.

p: Brutus zabił Cezara.

q: Kasjusz zabił Cezara.

Schemat
wynikania:

p

p  q

Sprawdzimy, czy jest możliwa
sytuacja, że zdanie górne jest
prawdziwe, a zdanie dolne
fałszywe.

1

0

1

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że przedstawione
wynikanie jest logicznie poprawne.

Sprzeczność.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 14 / 39

$

"

Przykład – wynikanie

logiczne

Czy ze zdania:
Brutus zabił Cezara:
wynika logicznie zdanie
Jeżeli Brutus zabił Cezara, to Kasjusz nie zabił
Cezara.

p: Brutus zabił Cezara.

q: Kasjusz zabił Cezara.

Schemat
wynikania:

p

p  ~ q

Sprawdzimy, czy jest możliwa
sytuacja, że zdanie górne jest
prawdziwe, a zdanie dolne
fałszywe.

1

0

1

Ponieważ jest możliwa sytuacja, że zdanie „znad kreski”
jest prawdzi-we, a zdanie „spod kreski”- fałszywe, to
wynikanie nie jest poprawne.

0

1

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 15 / 39

$

"

Twierdzenie o dedukcji

Do sprawdzania, czy z jednego zdania wynika
logicznie drugie zdanie, wykorzystać można
drugą definicję i pojęcie tautologii.

Ze zdania A wynika logicznie zdanie B wtedy i
tylko wtedy, gdy formuła A  B jest tautologią.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 16 / 39

$

"

Wykorzystanie tautologii w wynikaniu

logicznym

Jeśli formuła jest tautologią, to oznacza to,
iż ze zdania pierwszego wynika logicznie
zdanie drugie; jeśli formuła tautologią nie
jest, wynikanie nie zachodzi.

W tym przypadku, aby sprawdzić czy z jednego
zdania wynika drugie, musimy:

1. napisać schematy tych
zdań,

2. połączyć je spójnikiem
implikacji,

3. sprawdzić, czy tak zbudowana formuła jest
tautologią.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 17 / 39

$

"

Przykład – wynikanie

logiczne

Sprawdzić, czy ze zdania:

Gospodarka rozwija się dobrze wtedy i tylko wtedy,
gdy podatki nie są wysokie,

wynika logicznie zdanie:

Jeżeli podatki są wysokie, to gospodarka nie rozwija
się dobrze.

p: Gospodarka rozwija się
dobrze,

q: Podatki są
wysokie.

p  ~ q

q  ~ p

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 18 / 39

$

"

Przykład – wynikanie

logiczne

p  ~ q

q  ~ p

Formuła powstała z połączenia implikacją
schematów zdań wygląda następująco:

( p  ~ q )



( q  ~

p )

Otrzymana sprzeczność świadczy, że formuła jest
tautologią, a więc, zgodnie z twierdzeniem o
dedukcji, ze zdania pierwszego wynika logicznie
zdanie drugie.

Sprawdzimy, czy formuła
może stać się schematem
zdania fałszywego tzn. czy
pod głównym spójnikiem
może pojawić się 0.

0

1

0

1

0

1

1

1

0

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 19 / 39

$

"

Przykład – wynikanie

logiczne

Sprawdzić, czy ze zdania:

Jeśli na imprezie był Zdzisiek i Wacek, to impreza się
nie udała,

wynika logicznie zdanie:

Jeśli impreza się nie udała, to był na niej Zdzisiek
lub Wacek. .

p: Zdzisiek był na imprezie.

q: Wacek był na
imprezie.

( p  q )  ~

r

~ r  ( p 

q )

r: Impreza udała
się.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 20 / 39

$

"

Przykład – wynikanie

logiczne

( p  q )  ~

r

~ r  ( p 

q )

Formuła powstała z połączenia implikacją
schematów zdań wygląda następująco:

[ ( p  q )  ~ r ]



[ ~ r  ( p  q )]

Brak sprzeczności świadczy, że formuła nie jest
tautologią. A zatem ze zdania pierwszego nie
wynika logicznie zdanie drugie.

Sprawdzimy, czy formuła
może stać się schematem
zdania fałszywego tzn. czy
pod głównym spójnikiem
może pojawić się 0.

0

1

0

1

0

0

0

0

0 0

0

0

1

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 21 / 39

$

"

Wnioskowanie logiczne

Przypomnijmy: logika zajmuje się dowodzeniem.
Nie w sensie militarnym, lecz dowodzeniem
rozumianym jako uzasadnianie rozumowań i
wnioskowań.

Wnioskowanie jest to proces myślowy, podczas
którego na podstawie uznania za prawdziwe
pewnych zdań (przesłanek) dochodzimy do uznania
za prawdziwe kolejnego zdania (wniosku).

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 22 / 39

$

"

Uzasadnienia nielogiczne

Nie są prawomocne np. uzasadnienia odwołujące sie
do:

1. autorytetu lub powszechnych mniemań,

2. myślenia życzeniowego,

3. ustaleń na drodze demokratycznych
wyborów,

4. przemocy, pochlebstwa, itp.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 23 / 39

$

"

Przykład wnioskowania

1. Jeśli jaskółki rano nisko latają, to po
południu będzie deszcz.

2. Dziś rano jaskółki nisko latają.

Dziś po południu będzie
padać.

Wniosek:

Przesłanki:

Jest to wnioskowanie wg tzw. reguły
odrywania.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 24 / 39

$

"

Przykład wnioskowania

1. Jeśli jest wypłata, to Jan wraca do domu
pijany.

2. Dziś Jan wrócił z pracy trzeźwy.

Dziś nie było wypłaty.

Wniosek:

Przesłanki:

Jest to wnioskowanie wg tzw. reguły modus
tollendo tollens.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 25 / 39

$

"

Reguła wnioskowania

Sprawdzenie poprawności wnioskowania
rozpoczynamy od napisania schematów wszystkich
zdań wchodzących w jego skład.

Taki układ schematów nazywamy regułą
wnioskowania .

schematy przesłanek

––––––––––––––

schemat wniosku

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 26 / 39

$

"

Reguły dedukcyjne i

niededukcyjne

Wśród reguł wyróżniamy:

1.reguły dedukcyjne (inaczej mówiąc

niezawodne),

2.reguły niededukcyjne (zawodne).

Reguła dedukcyjna (niezawodna) jest to
taka reguła, w której wniosek wynika
logicznie z przesłanek.

Reguła niededukcyjna (zawodna) -
wniosek nie wynika logicznie z
przesłanek.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 27 / 39

$

"

Badanie dedukcyjności

reguły

Badanie dedukcyjności reguły przeprowadzamy
sprawdzając, czy możliwa jest sytuacja, aby
wszystkie przesłanki były prawdziwe, a
jednocześnie wniosek fałszywy.

schematy przesłanek

––––––––––––––

schemat wniosku

1

0

Gdy taka sytuacja

jest

możliwa –wnioskowanie

nie

jest

poprawne.

Gdy taka sytuacja

nie jest

możliwa – wnioskowanie

jest

poprawne.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 28 / 39

$

"

Przykład - wnioskowanie

dedukcyjne

Sprawdzić, czy następujące wnioskowanie jest
dedukcyjne:

Jeśli będę pracować całą noc, to rozwiążę
wszystkie zadania.
Gdy rozwiążę wszystkie zadania, zrozumiem
materiał.
Zatem: Jeśli będę pracować całą, noc, to
zrozumiem materiał i rozwiążę wszystkie zadania.

q: Rozwiążę wszystkie
zadania.

p: Będę pracować całą
noc.

r: Zrozumiem materiał.

p  q

q  r

p  ( r  q )

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 29 / 39

$

"

Przykład - wnioskowanie

dedukcyjne

Sprawdzimy, czy jest możliwa sytuacja, że

wszystkie przesłanki są prawdziwe, ale

wniosek jest fałszywy.

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że wnioskowanie
jest poprawne.

p  q,

p  ( r  q )

q  r

1

1

0

1

0

1

1

1 1

1 1

Sprzeczność.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 30 / 39

$

"

Przykład - badanie

niezawodności reguły

Sprawdzić, czy następujące wnioskowanie jest

dedukcyjne:

Jeśli Kubuś wyjadł miodek, to o ile miodek był
w dzbanku, to Kubuś ubrudził sobie łapki.

Kubuś nie ubrudził sobie
łapek.

Zatem: Kubuś nie wyjadł miodku lub miodku nie
było w dzbanku

p: Kubuś wyjadł
miodek.

q: Miodek był w
dzbanku.

r: Kubuś ubrudził sobie
łapki.

p  ( q  r )

~ r

~ p  ~

q

Dokonamy symbolizacji zdań

występujących jako przesłanki i

wniosek.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 31 / 39

$

"

Przykład - badanie

niezawodności reguły

p  ( q  r ),

~ r

~ p  ~

q

Sprawdzimy, czy jest możliwa sytuacja, że

wszystkie przesłanki są prawdziwe, ale

wniosek jest fałszywy.

1

1

0 0 0

1

1

0

0

1

0

1

Sprzeczność.

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że wnioskowanie jest
poprawne.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 32 / 39

$

"

Przykład - badanie

niezawodności reguły

Argumentacje kalifa Omara na temat konieczności
spalenia Biblioteki Aleksandryjskiej:

Jeżeli wasze książki są zgodne z Koranem, to one są
zbyteczne.
Jeżeli wasze książki nie są zgodne z Koranem, to one
są szkodliwe.
Szkodliwe lub zbyteczne książki muszą być zniszczone.
_________________________________________
Wasze książki muszą być zniszczone.

p: Książki są zgodne z
Koranem.

q: Książki są zbyteczne.

r: Książki są szkodliwe.
s: Książki muszą być
zniszczone.

p  q

~ p  r

s

( q  r ) 

s

Dokonamy symbolizacji zdań

występujących jako przesłanki i

wniosek.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 33 / 39

$

"

Przykład - badanie

niezawodności reguły

p  q,

~ p  r

,

s

( q  r ) 

s

Sprawdzimy, czy jest możliwa sytuacja, że

wszystkie przesłanki są prawdziwe, ale

wniosek jest fałszywy.

1

1

1

0

0

0

0 0

0

0

0

0

1

Sprzeczność.

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że badana reguła
jest niezawodna, a wnioskowanie poprawne.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 34 / 39

$

"

Do dyskusji

p  q
~ p  ~ q

[Jeśli] jest człowiek, [to] jest problem.

[Jeśli] nie ma człowieka, [to] nie ma
problemu.

Czy ze zdania pierwszego wynika logicznie zdanie
drugie:

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 35 / 39

$

"

Do dyskusji

p  q
~ q  ~ p

[Jeśli] jest człowiek, [to] jest problem.

[Jeśli] nie ma problemu, [to] nie ma
człowieka.

Poprawne wynikanie:

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 36 / 39

$

"

Zadanie

W pokoju jest pięciu mężczyzn. Każdy z nich jest albo
kłamcą (zawsze kłamie),  albo prawdomównym
(zawsze mówi prawdę).

Każdemu z tych mężczyzn zadano pytanie:
"Ilu kłamców jest wśród was?"

Padły odpowiedzi: "jeden", "dwóch", "trzech",
"czterech", "pięciu".

Ilu kłamców jest w tym pokoju?

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 37 / 39

$

"

Wykładowcy

Korytarzem szkolnym zmierza na zajęcia dwóch
nauczycieli akademickich.

Jeden, młody dźwiga pod pachami pomoce
naukowe, książki, konspekty, a drugi - starszy już,
doktor idzie tylko z małym notesem w dłoni...

Młody podsumowuje tę sytuację:

- Kolega to ma dobrze, kolega to wszystko ma już w
głowie!

Na to odpowiada ten drugi:

- Znacznie niżej drogi kolego, znacznie niżej.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 38 / 39

$

"

Wnioskowanie dedukcyjne

Przychodzi synek do mamusi i pyta:

- Mamusiu, to prawda, że dzieci przynosi bocian?

- Tak synku.

- To mamusiu po co właściwie trzymamy tatę?

- A Święty Mikołaj przynosi prezenty?

- Tak kochanie.

- A Ty gotujesz, sprzątasz i robisz zakupy?

- Tak skarbie.

Tomasz Kowalski – Logika. Wykład 4: Wynikanie logiczne.

Wnioskowania

Slajd nr 39 / 39

$

"