Elementy teorii relacji.

Własności relacji.

Logika – wykład 5

dr Tomasz Kowalski

Slajd  

2/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Iloczyn kartezjański 

zbiorów

Iloczynem kartezjańskim

 niepustych zbiorów A i B 

nazywamy zbiór:

AB ={(x,y

):

xA   

yB }

Slajd  

3/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład

A = {0,1},   B = {a, b, c}

A  B =

Wyznaczyć zbiór kartezjański zbiorów:

{                                            
       }

(0,a
), 

(0,b
), 

(0,c
), 

(1,a
), 

(1,b
), 

(1,c
) 

Slajd  

4/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Kwadrat kartezjański zbioru

Kwadratem kartezjańskim

 niepustego zbioru A 

nazywamy zbiór:

AA =

{(x,y
):

xA   

yA }

A

2 

=

Slajd  

5/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Kwadrat kartezjański zbioru - 

przykłady

Wyznaczyć kwadrat kartezjański zbioru:

A = { 1 }.

A

2

  = {       

    }

(1, 

1)

Slajd  

6/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Kwadrat kartezjański zbioru - 

przykłady

Wyznaczyć kwadrat kartezjański zbioru:

A = { 1, 2 
}.

A

2

  = {                                       

  }.

(1, 
1),

(1, 
2),

(2, 
1),

(2, 

2)

Slajd  

7/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Relacja – definicja 

formalna

Dowolny podzbiór  iloczynu kartezjańskiego  X 
 Y nazywamy relacją i oznaczamy symbolem R. 

Relacja jest zbiorem pewnych par, utworzonych 
nie na zasadzie: każdy z każdym, ale najczęściej 
według pewnego przepisu utożsamianego z 
relacją.

R   X  Y . 

Slajd  

8/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład relacji 

Niech

W tym wypadku relacja jest zbiorem par:

X = {0, 1},   Y = {0, 1, 2}

X  Y = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), 

(1,1), (1,2)}.

R = { 

(0, 1), (0, 2), 

(1, 2)

 }

R = {(x, y)  X  Y ; x < 

y }.

X  Y = {(0,0), 

(0,1)

, 

(0,2)

, (1,0), 

(1,1), 

(1,2)

}.

Slajd  

9/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Relacja w zbiorze

Jeżeli R  jest podzbiorem  zbioru  X 

x 

X (czyli, 

gdy poprzedniki i następniki par pochodzą z 
tego samego zbioru X),  to mówimy, że relacja 
określona jest w zbiorze X. 

W ramach tego wykładu rozpatrywać będziemy 
przede wszystkim relacje takiego właśnie typu. 

Slajd  

10/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Relacja w zbiorze

To, że elementy x i y są ze sobą w relacji 
R (tworząc umowną parę) zapisywać 
możemy jako:

R(x,y) – zapis najczęściej stosowany w rachunku 
predykatów,

(x,y)R – taki zapis najbardziej odpowiada definicji 

formalnej,

xRy  –  zapis taki stosowany jest najczęściej w 
teorii relacji, 

będziemy go też stosować w 

dalszej części wykładu.

Slajd  

11/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Kwantyfikatory

Kwantyfikatory to wyrażenia określające ilość 
przedmiotów, o których jest mowa. 

W logice mamy do czynienia z dwoma 
kwantyfikatorami. 

Slajd  

12/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Kwantyfikator ogólny

Pierwszy z kwantyfikatorów odpowiada wyrażeniu:

 

Dla każdego

… 

i jest oznaczany symbolem 



. 

Kwantyfikator ten nazywany jest też „dużym 
kwantyfikatorem” lub „kwantyfikatorem ogólnym”. 

Slajd  

13/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Kwantyfikator szczegółowy

Drugi z kwantyfikatorów odpowiada wyrażeniu:

 

Istnieje 

(

przynajmniej jedno

) …

i jest oznaczany symbolem 



 . 

Kwantyfikator ten nazywany jest też „małym 
kwantyfikatorem”, „kwantyfikatorem szczegółowym” 
lub „kwantyfikatorem egzystencjalnym”. 

Slajd  

14/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Oznaczenia 

kwantyfikatorów

Oznaczenia kwantyfikatorów wywodzą się z języka 
angielskiego:

kwantyfikator ogólny 



– odwrócona litera „A” od słowa 

A

ll (wszystkie),

kwantyfikator szczegółowy 



– odwrócone „E” od słowa 

E

xists (istnieje). 

Slajd  

15/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Uwagi notacyjne

Po kwantyfikatorach znajdują się (bez nawiasów), 
symbole elementów, do których dany kwantyfikator 
się odnosi.

Na przykład:

x

 – oznacza 

dla 

każdego x

,  

y

 – oznacza 

istnieje y

.

Slajd  

16/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Dziedzina relacji

W każdej relacji możemy określić:

dziedzinę lewostronną, nazywaną czasem po prostu 
dziedziną, 

dziedzinę prawostronną, nazywaną również 
przeciwdziedziną,

pole relacji. 

Slajd  

17/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Dziedzina lewostronna 

relacji

Dziedzina lewostronna relacji R oznaczana 
symbolem D

L

(R),  to zbiór takich przedmiotów, które 

pozostają w relacji R do jakiegoś (przynajmniej 
jednego) przedmiotu. 

Symbolicznie: 

D

L

(R) = {x: y (xRy)}.

Gdy relacja określona jest przez pewien warunek, to 
dziedzina lewostronna jest zbiorem wszystkich 
elementów stanowiących podmiot warunku 
opisującego relację.

Slajd  

18/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Dziedzina prawostronna 

relacji

Dziedzina prawostronna (przeciwdziedzina) relacji 
R oznaczana symbolem D

L

(R), to zbiór tych 

przedmiotów, do których jakiś przedmiot pozostaje 
w relacji R. 

Symbolicznie: 

D

P

(R) = {y: x (xRy)}.

 

Gdy relacja określona jest przez pewien warunek, to 
dziedzina prawostronna jest zbiorem wszystkich 
elementów stanowiących orzecznik warunku 
opisującego relację.

Slajd  

19/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Pole relacji

Pole relacji to suma dziedziny lewostronnej i 
prawostronnej. 

Symbolicznie: 

P(R) = D

P

(R)  D

L

(R).

 

Slajd  

20/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład – relacja i jej 

dziedziny

P(R) =

X  = { a, b, c, d }

R = { (a, a), (a, b), (c, b), (d, d) }

D

L

(R) =

D

P

(R) =

{ a, c, d }

{ a, b, d }

{ a, b, c, d }

Slajd  

21/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład – relacja i jej 

dziedziny

P(R) =

X = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 
12 }

xRy  – x jest dzielnikiem właściwym y

D

L

(R) =

D

P

(R) =

{ 2, 3, 4, 5, 6 }

{ 4, 6, 8, 9, 10, 12 }

{ 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 }

Slajd  

22/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład – relacja i jej 

dziedziny

P(R) – 

X – zbiór ludzi

xRy  – x jest żoną y

D

L

(R) – 

D

P

(R) – 

zbiór wszystkich 
mężatek

zbiór wszystkich żonatych 
mężczyzn

zbiór ludzi pozostających w związkach 
małżeńskich (będących żoną lub 
mających żonę). 

Slajd  

23/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Graf (diagram) relacji

W przypadku, gdy zbiory X i Y są skończone relację  R  

 X  Y można ilustrować w postaci grafu (diagramu).

Jeżeli xRy, to od x 
do y prowadzimy 
strzałkę.

R = {                                   }

(a, d), 

(a, e), 

(b,d), 

(c,e)

Slajd  

24/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Graf (diagram) relacji

W szczególności w podobny sposób może być 
interpretowana relacja  R   X  X  gdy X jest zbiorem 

skończonym.

R = 
{                                      }

(

a, 

a

), 

(

a, 

b

), 

(

b, 

a

), 

(

a, 

c

) 

Slajd  

25/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład

Naszkicować diagram relacji określonej 
w zbiorze:

Jeżeli xR y ( x jest 
dzielnikiem  y) , to od x do 
y prowadzimy strzałkę).

1

5

2

3

4

X = { 1, 2, 3, 4, 5 
},

xRy  x jest dzielnikiem y.

poprzez warunek:

Slajd  

26/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Tabelka relacji

W przypadku, gdy zbiór  X  jest zbiorem 
skończonym, relację określoną w tym zbiorze 
można ilustrować za pomocą tabelki.

Jeżeli xR y (tu x | y) 
, to   na przecięciu 
wiersza  x        z 
kolumną y postawimy 
1,         w przeciwnym 
razie postawimy 0.

X = { 1, 2, 3, 4, 5 
}

xRy  x jest dzielnikiem y

x

  

y

1

2

3

4

5

1
2
3
4
5

Slajd  

27/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Tabelka relacji

W przypadku, gdy zbiór  X  jest zbiorem 
skończonym, relację określoną w tym zbiorze 
można ilustrować za pomocą tabelki.

Jeżeli xR y (tu x | y) 
, to   na przecięciu 
wiersza  x        z 
kolumną y postawimy 
1,         w przeciwnym 
razie postawimy 0.

X = { 1, 2, 3, 4, 5 
}

xRy  x jest dzielnikiem y

x

  

y

1

2

3

4

5

1
2
3
4
5

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

Slajd  

28/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Ćwiczenie

W zbiorze X = {1, 2 3, 4} definiujemy relację R 
wzorem:.

Jeżeli xRy (czyli, gdy x + y 
jest parzyste) , to na 
przecięciu wiersza x z 
kolumną y postawimy 1,         
       w przeciwnym razie 
postawimy 0.

Sporządzić tabelkę tej relacji.

xRy  x + y  jest liczbą 

parzystą.

x

  

y

1

2

3

4

1
2
3
4

Slajd  

29/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Ćwiczenie

W zbiorze X = {1, 2 3, 4} definiujemy relację R 
wzorem:.

Jeżeli xR y (czyli, gdy x + y 
jest parzyste) , to na 
przecięciu wiersza x z 
kolumną y postawimy 1,         
       w przeciwnym razie 
postawimy 0.

Sporządzić tabelkę tej relacji.

xRy  x + y  jest liczbą 

parzystą.

x

  

y

1

2

3

4

1
2
3
4

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

1

Slajd  

30/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Działania na relacjach

Ponieważ relacje są zbiorami (zbiorami par), możemy 
wykonywać na nich działania, jakie wykonywaliśmy 
na „zwykłych” zbiorach: tj. możemy obliczyć ich 
sumę, iloczyn, różnicę i dopełnienie. 

Slajd  

31/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład

W zbiorze X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } dane są relacje:

xRy  x = 2y, 

xSy  x = y + 1.

Wyznaczyć:

R  S

R  S

R \ S

S \ R

R = { (2, 1), (4, 2), (6, 3) 
}S = { (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5) }

= { (2, 
1)}

= { (2, 1), (4, 2), (6, 3), (3, 2), (4, 3), (5, 
4), (6, 5) }

= { (4, 2), (6, 3) }

= { (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5) }

Slajd  

32/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład

Dane są relacje:

xRy  x jest bratem y, 

xTy  x jest  

rówieśnikiem y,

 xSy  x jest rodzeństwem y, 

 xQy  x jest 

siostrą y.

Wyznaczyć:

R  T

Iloczyn relacji bycia bratem i bycia rówieśnikiem 
to relacja zawierająca pary należące zarówno do T 
jaki i R, a zatem relacja bycia bratem 
rówieśnikiem (bratem bliźniakiem) (x jest bratem 
bliźniakiem y).

Slajd  

33/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład

Dane są relacje:

xRy  x jest bratem y, 

xTy  x jest  

rówieśnikiem y,

 xSy  x jest rodzeństwem y, 

 xQy  x jest 

siostrą y.

Wyznaczyć:

S \ R

Gdy od relacji bycia rodzeństwem odejmiemy 
relację bycia bratem, otrzymamy relację bycia 
siostrą (x jest siostrą y).

Slajd  

34/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład

Dane są relacje:

xRy  x jest bratem y, 

xTy  x jest  

rówieśnikiem y,

 xSy  x jest rodzeństwem y, 

 xQy  x jest 

siostrą y.

Wyznaczyć:

S  R

Dodając do relacji bycia rodzeństwem relację bycia 
bratem, nie dodajemy do S w istocie niczego 
nowego.

Zatem wynikiem działania jest S, czyli relacja bycia 
rodzeństwem (x jest rodzeństwem y). 

Slajd  

35/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład

Wyznaczyć:

T 

/

Dopełnienie relacji T to zbiór par, które do T nie 
należą, a zatem jest to relacja bycia w innym wieku 
(x jest w innym wieku niż y lub: x nie jest 
rówieśnikiem y).

Dane są relacje:

xRy  x jest bratem y, 

xTy  x jest  

rówieśnikiem y,

 xSy  x jest rodzeństwem y, 

 xQy  x jest 

siostrą y.

Slajd  

36/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład

Wyznaczyć:

Q 

/

  S

Dopełnienie relacji Q, to relacja nie-bycia siostrą. 

Dane są relacje:

xRy  x jest bratem y, 

xTy  x jest  

rówieśnikiem y,

 xSy  x jest rodzeństwem y, 

 xQy  x jest 

siostrą y.

Cześć wspólna tej relacji z relacją bycia 
rodzeństwem to relacja bycia bratem (x jest bratem 
y).

Slajd  

37/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Konwers relacji

Konwers relacji R nazywany jest relacją 
odwrotną do R i bywa oznaczany symbolicznie R

-

1.

. 

Konwers relacji R, jest to relacja zachodząca 
pomiędzy elementami y i x wtedy i tylko 
wtedy, gdy pomiędzy x i y zachodzi R. 

Symbolicznie:

 yR

-1

x  xRy. 

Slajd  

38/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład – relacja i relacja 

odwrotna

X  = { a, b, c, d }

R = { (a, a), (a, b), (c, b), (d, d) }

R

-1

 = { (a, a), (b, a), (b, c), 

(d, d) }

P(R) =

D

L

(R) =

D

P

(R) =

{ a, c, d }

{ a, b, d }

{ a, b, c, d }

= D

P

(R

-1

)

= D

L

(R

-1

)

= P(R

-1

)

Wyznaczyć relację odwrotną. Podać zależności między 
dziedzinami jednostronnymi obu relacji.

Slajd  

39/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Konwers relacji – 

przykłady

Konwersem relacji bycia rodzicem, jest relacja bycia

(Ponieważ 

y jest dzieckiem x 

wtedy i tylko wtedy, gdy 

x jest rodzicem y).

dzieckiem 
.

Slajd  

40/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Konwers relacji – 

przykłady

Konwersem relacji bycia młodszym jest relacja 
bycia

starszy
m.

Slajd  

41/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Konwers relacji – 

przykłady

Konwersem pewnej relacji może być też czasem ta 
sama relacja .

Konwersem relacji bycia w tym samym wieku jest ta 
sama relacja bycia w tym samym wieku. 

Slajd  

42/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Graf i tabelka relacji 

odwrotnej

Graf relacji odwrotnej powstaje przez odwrócenie 
zwrotu wszystkich strzałek występujących w tym 
grafie.

Tabelka relacji odwrotnej powstaje przez 
symetryczne odbicie tabelki relacji względem 
głównej przekątnej.

Slajd  

43/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Uwaga

Rozpatrywane relacje dotyczą zawsze jakiegoś 
konkretnego uniwersum. 

Relacja posiadająca daną własność w jednym 
uniwersum, może nie posiadać jej w innym.

We wzorach dotyczących relacji wyrażenia: x oraz  x 

powinny przybierać formę  

xX

 oraz 

xX

. 

Aby zbytnio wzorów nie komplikować, nie będziemy tak 
jednak pisać, domyślnie przyjmując, że każdorazowo 
chodzi nam jedynie o elementy z danego uniwersum.

Slajd  

44/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Relacja zwrotna

Mówimy, że relacja jest zwrotna, gdy każdy 
element uniwersum jest w tej relacji do siebie 
samego. 

Symbolicznie:

R jest zwrotna  x (xRx).

Slajd  

45/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład relacji zwrotnej

Warunek jest spełniony, ponieważ każdy człowiek 
jest w takim samym wieku w stosunku do siebie 
samego.

X – zbiór ludzi

xRy  x jest w tym samym wieku 

co y.

R jest zwrotna  x (xRx).

Slajd  

46/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład relacji zwrotnej

X – zbiór liczb naturalnych

xRy  x jest 

dzielnikiem y.

Warunek jest spełniony, ponieważ każda liczba 
jest swoim własnym dzielnikiem.

R jest zwrotna  x (xRx).

Slajd  

47/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Relacja przeciwzwrotna

Relacja jest przeciwzwrotna, gdy żaden element 
uniwersum nie jest w relacji do siebie samego. 

Symbolicznie:

R jest przeciwzwrotna  x ~ (xRx).

Slajd  

48/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład relacji 

przeciwzwrotnej

Warunek jest spełniony, ponieważ żaden człowiek 
nie jest swoim rodzicem.

X – zbiór ludzi

xRy  x jest rodzicem y.

R jest przeciwzwrotna  x ~ (xRx).

Slajd  

49/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład relacji 

przeciwzwrotnej

Warunek jest spełniony, ponieważ żaden człowiek 
nie jest starszy od siebie samego.

X – zbiór ludzi

xRy  x jest starszy niż y.

R jest przeciwzwrotna  x ~ (xRx).

Slajd  

50/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład relacji 

przeciwzwrotnej

Warunek jest spełniony, ponieważ żadna liczba 
rzeczywista nie jest większa od siebie samej.

– zbiór liczb rzeczywistych

xRy  x >  y.

R jest przeciwzwrotna  x ~ (xRx).

Slajd  

51/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Relacja symetryczna

Mówimy, że relacja jest symetryczna, gdy jest tak, 
że jeśli relacja zachodzi pomiędzy dwoma 
elementami w jedną stronę, to zachodzi i w drugą 
(jeśli zachodzi pomiędzy x i y, to zachodzi też 
pomiędzy y i x). 

Symbolicznie:

R jest symetryczna  xy (xRy  yRx).

Slajd  

52/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład relacji 

symetrycznej

Warunek jest spełniony.
 Gdy o jednej osobie można powiedzieć, że jest tej 
samej płci co druga, to o drugiej osobie w 
odniesieniu do pierwszej można powiedzieć to 
samo. 

U– zbiór ludzi

xRy  x jest tej samej płci, co y.

R jest symetryczna  xy (xRy  yRx).

Slajd  

53/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład relacji 

symetrycznej

Warunek jest spełniony.
 Gdy o jednej osobie można powiedzieć, że jest innej 
płci niż druga, to o drugiej osobie w odniesieniu do 
pierwszej można powiedzieć to samo. 

X – zbiór ludzi

xRy  x jest innej samej płci, co y.

R jest symetryczna  xy (xRy  yRx).

Slajd  

54/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład relacji 

symetrycznej

Warunek jest spełniony.
 Gdy o jednej figurze można powiedzieć, że jest 
podobna do drugiej, to o drugiej figurze w 
odniesieniu do pierwszej można powiedzieć to 
samo. 

X – zbiór figur 
geometrycznych

xRy  x jest podobna do y.

R jest symetryczna  xy (xRy  yRx).

Slajd  

55/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Relacja asymetryczna

Relacja jest asymetryczna (antysymetryczna, 
przeciwsymetryczna), gdy jest tak, że jeśli zachodzi 
w jedną stronę, to nie zachodzi w drugą. 

Symbolicznie:

R jest asymetryczna  xy (xRy  ~ yRx).

Slajd  

56/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład relacji 

asymetrycznej

Warunek jest spełniony.
 Gdy o jednej osobie można powiedzieć, że jest 
ojcem drugiej, to o drugiej osobie w odniesieniu do 
pierwszej nigdy nie da się już tak powiedzieć. 

X – zbiór ludzi

xRy  x jest ojcem  y.

R jest asymetryczna  xy (xRy  ~ yRx).

Slajd  

57/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład relacji 

asymetrycznej

Warunek xy (xRy  ~ yRx) jest spełniony.

 Gdy o jednej osobie można powiedzieć, że jest 
starsza od drugiej, to o drugiej osobie w odniesieniu 
do pierwszej nigdy nie da się już tak powiedzieć. 

X – zbiór ludzi

xRy  x jest starszy od  y.

R jest asymetryczna  xy (xRy  ~ yRx).

Slajd  

58/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład relacji 

asymetrycznej

Warunek jest spełniony.
 Gdy pierwsza z liczb jest większa od 
drugiej, to druga od pierwszej - nie.

X – zbiór liczb naturalnych

xRy  x > y.

R jest asymetryczna  xy (xRy  ~ yRx).

Slajd  

59/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Relacja przechodnia

Relacja jest przechodnia, jeśli zachodząc pomiędzy 
jakimś elementem x i y, a także elementem y i 
elementem z, zachodzi również pomiędzy x i z. 

Symbolicznie:

R jest przechodnia   xyz [(xRy  yRz)  xRz].

Slajd  

60/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład relacji 

przechodniej

Warunek jest spełniony.
 
Jeśli jedna osoba jest starsza od drugiej, a druga od 
trzeciej, to na pewno pierwsza jest również starsza 
od trzeciej.

X – zbiór ludzi

xRy  x jest starszy niż y.

R jest przechodnia   xyz [(xRy  yRz)  xRz].

Slajd  

61/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład relacji 

przechodniej

Warunek jest spełniony.
 
Jeśli pierwsza liczba jest dzielnikiem drugiej, a druga 
jest dzielnikiem trzeciej, to na pewno pierwsza jest 
również dzielnikiem trzeciej.

X – zbiór liczb naturalnych

xRy  x jest dzielnikiem y.

R jest przechodnia   xyz [(xRy  yRz)  xRz].

Slajd  

62/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Relacja spójna

Relacja jest spójna, jeśli dla dowolnych dwóch 
różnych elementów uniwersum zachodzi ona 
przynajmniej w jedną stronę, czyli x jest w relacji do 
y lub y do x. 

Symbolicznie:

R jest spójna  xy [x 



 y  (xRy  yRx)].

Slajd  

63/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Przykład relacji spójnej

Warunek jest spełniony.
 
Jeśli weźmiemy dwie różne liczby, to na pewno jedna 
będzie mniejsza od drugiej albo druga od pierwszej. 

X – zbiór liczb

xRy  x < y.

R jest spójna  xy [x 



 y  (xRy  yRx)].

Slajd  

64/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Studenckie przechwałki 

W akademickiej stołówce rozmawia trzech 
studentów:

- Ja Sylwestra spędziłem na Kanarach, mówię 
wam, super laseczki, kąpiel w morzu, drinki z 
parasolkami, cudo - zagaja pierwszy.

- A ja - przechwala się drugi - byłem w Alpach.   
          Narty, dziewczyny zarumienione od 
mrozu, grzane wino do łóżka, coś wspaniałego.

- A co ty robiłeś? - pytają trzeciego.

- A ja siedziałem razem z wami w pokoju, tylko 
nie paliłem tego świństwa! 

Slajd  

65/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.

Studenckie problemy 

Student weterynarii „pływał” na egzaminie. 

W końcu dostał Pytanie Ostatniej Szansy:

- "Czy krowie można zrobić aborcję?"

Niestety, nie wiedział, więc wyleciał z dwóją.

Zmartwiony poszedł do baru, usiadł w kącie i 
powoli upija się na smutno rozmyślając o 
pytaniu.

- Nie mam pojęcia, ale coś mi się widzi, że 
nieźle sobie pan życie skomplikował... 

Barman co jakiś czas na niego zerka, w końcu 
podchodzi i zagaduje:

- Coś niewyraźnie Pan wygląda, jakieś kłopoty?

- Niech mi pan powie, czy krowie można zrobić 
aborcję?

Slajd  

66/66

 T.Kowalski- Logika – wykład 5: Elementy teorii relacji. Własności relacji.