„Geometria jest sztuką

wyciągania prawidłowych

wniosków ze źle

sporządzonych rysunków.”

Niels Henrik Abel

WZAJEMNE POŁOŻENIE

DWÓCH OKRĘGÓW.

Dwa okręgi mogą być położone względem
siebie w różny sposób. Ze sposobu położenia
względem siebie dwóch okręgów wynikają
pewne zależności, które warto znać.

OKRĘGI ZEWNĘTRZNIE

STYCZNE.

Okręgi zewnętrznie styczne mają jeden

punkt wspólny a odległość ich środków jest

równa sumie długości promieni.

|O1 O2| = r1 + r2

OKRĘGI WEWNĘTRZNIE

STYCZNE.

Okręgi wewnętrznie styczne mają jeden

punkt wspólny a odległość ich środków jest

równa różnicy długości promieni.

|O1 O2| = r1 - r2

OKRĘGI ROZŁĄCZNE.

Okręgi rozłączne nie mają punktów

wspólnych a odległość ich środków może

być:

• większa od sumy ich promieni |O1 O2| > r1
+ r2

• mniejsza od różnicy ich promieni |O1 O2| <

r1 - r2

OKRĘGI PRZECINAJĄCE SIĘ.

Okręgi przecinające się mają dwa punkty

wspólne. Odległość ich środków jest większa

od różnicy długości promieni, a mniejsza od

sumy długości promieni.

r1 - r2 <|O1 O2| < r1 + r2

FAKT.

Prosta przechodząca przez środki dwóch

okręgów stycznych przechodzi także przez

punkt styczności.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1.

Określ jaka jest odległość między środkami

okręgów o promieniach 10 cm i 15 cm, gdy:
a)okręgi te są styczne zewnętrznie
b)okręgi są styczne wewnętrznie
c)mniejszy okrąg przechodzi przez środek

większego
d)większy okrąg przechodzi przez środek

mniejszego
W podpunktach a i b wystarczy skorzystać z

wyżej wymienionych własności. W podpunktach c

i d pomoże odrobina wyobraźni.
Oznaczmy: O

1

– środek większego okręgu, O

2

-środek mniejszego okręgu.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
a) gdy okręgi są styczne zewnętrznie mamy
|O

1

O

2

| = r

1

+ r

2

a więc:

|O

1

O

2

| = 15 cm + 10 cm = 25 cm

b) gdy okręgi są styczne zewnętrznie mamy
|O

1

O

2

| = r

1

- r

2

a więc:

|O

1

O

2

| = 15 cm - 10 cm = 5 cm

c) gdy mniejszy okrąg przechodzi przez środek
większego ich środki są oddalone od siebie o
długość promienia mniejszego okręgu, czyli |O

1

O

2

| = 10 cm

d) gdy większy okrąg przechodzi przez środek
mniejszego: |O

1

O

2

| = 15 cm

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2.
Okrąg o środku P ma promień długości 6 cm, a

okrąg o środku Q ma promień długości 8 cm.
Jakie jest wzajemne położenie tych okręgów
jeśli :
a) |PQ| < 2 cm ?
b) |PQ| = 14 cm ?

a) okręgi są rozłączne (zgodnie z wyżej podanymi

własnościami zachodzi to wtedy, gdy |O

1

O

2

| < r

1

-

r

2

)

b) Okręgi są styczne zewnętrznie (zgodnie z wyżej

podanymi własnościami zachodzi to wtedy, gdy |
O

1

O

2

| = r

1

+ r

2

)

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3.
Jak położone są względem siebie dwa okręgi,

jeśli jeden z nich ma środek w punkcie A = (-
3; 5) i promień długości 5, a drugi ma środek
w punkcie B = (9; 0) i promień długości 8?

Na początek obliczymy długość między

środkami okręgów. Dokładne zasady
obliczania odległości między dwoma punktami
w układzie współrzędnych znajdziesz w lekcji
„Trójkąty prostokątne w układzie
współrzędnych”.

a = |9 – (-3)| = 12
b = |0 – 5| = 5

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
a

2

+ b

2

= |AB|

2

|AB|

2

= 12

2

+ 5

2

= 144 + 25

|AB|

2

= 169

|AB| = = 13
r

1

= 5; r

2

= 8

|AB| = r

1

+ r

2

Okręgi te są styczne zewnętrznie.