„Geometria jest sztuką 

wyciągania prawidłowych 

wniosków ze źle 

sporządzonych rysunków.”

Niels Henrik Abel

WZAJEMNE POŁOŻENIE 

DWÓCH OKRĘGÓW.

Dwa okręgi mogą być położone względem 
siebie w różny sposób. Ze sposobu położenia 
względem siebie dwóch okręgów wynikają 
pewne zależności, które warto znać.

OKRĘGI ZEWNĘTRZNIE 

STYCZNE.

Okręgi zewnętrznie styczne mają jeden 

punkt wspólny a odległość ich środków jest 

równa sumie długości promieni.

|O1 O2| = r1 + r2

OKRĘGI WEWNĘTRZNIE 

STYCZNE.

Okręgi wewnętrznie styczne mają jeden 

punkt wspólny a odległość ich środków jest 

równa różnicy długości promieni.

|O1 O2| = r1 - r2

OKRĘGI ROZŁĄCZNE.

Okręgi rozłączne nie mają punktów 

wspólnych a odległość ich środków może 

być:

• większa od sumy ich promieni |O1 O2| > r1 
+ r2

• mniejsza od różnicy ich promieni |O1 O2| < 

r1 - r2

OKRĘGI PRZECINAJĄCE SIĘ.

Okręgi przecinające się mają dwa punkty 

wspólne. Odległość ich środków jest większa 

od różnicy długości promieni, a mniejsza od 

sumy długości promieni.

 r1 - r2 <|O1 O2| < r1 + r2

FAKT.

Prosta przechodząca przez środki dwóch 

okręgów stycznych przechodzi także przez 

punkt styczności.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1.

Określ jaka jest odległość między środkami 

okręgów o promieniach 10 cm i 15 cm, gdy:
a)okręgi te są styczne zewnętrznie
b)okręgi są styczne wewnętrznie
c)mniejszy okrąg przechodzi przez środek 

większego
d)większy okrąg przechodzi przez środek 

mniejszego
W podpunktach a i b wystarczy skorzystać z 

wyżej wymienionych własności. W podpunktach c 

i d pomoże odrobina wyobraźni. 
Oznaczmy: O

1

 – środek większego okręgu, O

2 

-środek mniejszego okręgu.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
a) gdy okręgi są styczne zewnętrznie  mamy 
|O

1

 O

2

| = r

1

 + r

2 

a więc:

|O

1

 O

2

| = 15 cm + 10 cm = 25 cm

b) gdy okręgi są styczne zewnętrznie  mamy 
|O

1

 O

2

| = r

1

 - r

2 

a więc:

|O

1

 O

2

| = 15 cm - 10 cm = 5 cm

c) gdy mniejszy okrąg przechodzi przez środek 
większego ich środki są oddalone od siebie o 
długość promienia mniejszego okręgu, czyli |O

1

 

O

2

| = 10 cm

d) gdy większy okrąg przechodzi przez środek 
mniejszego: |O

1

 O

2

| = 15 cm

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2.
Okrąg o środku P ma promień długości 6 cm, a 

okrąg o środku Q ma promień długości 8 cm. 
Jakie jest wzajemne położenie tych okręgów 
jeśli : 
a) |PQ| < 2 cm ?
b) |PQ| = 14 cm ?

a) okręgi są rozłączne (zgodnie z wyżej podanymi 

własnościami zachodzi to wtedy, gdy |O

1

O

2

| < r

1

 - 

r

2

)

b) Okręgi są styczne zewnętrznie (zgodnie z wyżej 

podanymi własnościami zachodzi to wtedy, gdy |
O

1

O

2

| = r

1

 + r

2

)

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3.
Jak położone są względem siebie dwa okręgi, 

jeśli jeden z nich ma środek w punkcie A = (-
3; 5) i promień długości 5, a drugi ma środek 
w punkcie B = (9; 0) i promień długości 8?

Na początek obliczymy długość między 

środkami okręgów. Dokładne zasady 
obliczania odległości między dwoma punktami 
w układzie współrzędnych znajdziesz w lekcji 
„Trójkąty prostokątne w układzie 
współrzędnych”.

a = |9 – (-3)| = 12
b = |0 – 5| = 5

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
a

2

 + b

2

 = |AB|

2

|AB|

2

 = 12

2

 + 5

2

 = 144 + 25

|AB|

2

 = 169

|AB| =            = 13
r

1

 = 5; r

2

 = 8

|AB| = r

1

 + r

2

Okręgi te są styczne zewnętrznie.