Geometria wykreślna 
i grafika komputerowa

Wykład 2

 

 

Wzajemne położenie

 

 

Proste przecinające się

Twierdzenie. 

Warunkiem koniecznym 

i wystarczającym

 na to by dwie proste 

a

 i 

b

 

przecinały się, z których żadna nie jest ani 
równoległa, ani prostopadła do rzutni jest, 
aby proste 

a’

 i 

b’

 przecinały się w punkcie, 

mającym tę samą cechę na obu prostych, 
oraz aby proste łączące punkty prostych 

a’

 

i 

b’

 o tych samych cechach były równoległe.

 

 

Proste przecinające się i 
skośne

A’(2,5)

 

 

Równoległość prostych

Twierdzenie. 

Wkw

 równoległości dwóch 

prostych 

a

 i 

b

, z których żadna nie jest 

ani równoległa, ani prostopadła do rzutni 
jest, aby:

•

proste 

a’

 i 

b’

 miały ten sam kierunek





a

=



b

•

zwroty prostych 

a’

 i 

b’,

 określone 

cechami punktów leżących na nich, były 
zgodne

•

rzuty punktów głównych o tych samych 

cechach były różnymi punktami

 

 

Równoległość prostych

 

 

Równoległość płaszczyzny i prostej

Prosta a jest równoległa do płaszczyzny 



, jeśli 

istnieje prosta 

b

 taka, że 

b||a

. 

 

 

Równoległość płaszczyzny i prostej

Prosta 

a

 jest równoległa do płaszczyzny 



, jeśli 

istnieje prosta 

b

 taka, że 

b||a

. 

 

 

Równoległość płaszczyzn

Jeżeli w płaszczyźnie  



  istnieją dwie różne 

proste 

a 

i 

b

  równoległe do płaszczyzny  



, to 

płaszczyzny 

 

i 



 są równoległe

 

 

 

Równoległość płaszczyzn

Twierdzenie . Dwie płaszczyzny są równoległe, 
jeżeli posiadają: 

•

  równoległe rzuty linii największego spadu

•

  zgodne zwroty na rzutach tych linii

•

  równe moduły

 

 

Krawędź dwóch płaszczyzn

 

 

Krawędź dwóch płaszczyzn

Elementem wspólnym dwóch płaszczyzn jest 
prosta nazywana 

krawędzią

. Wystarczy określić 

dwa dowolne punkty tej krawędzi, aby była ona 
jednoznacznie określona. Weźmy pod uwagę 
warstwice obu płaszczyzn o tej samej cesze. 
Punkt przecięcia warstwic jednoimiennych jest 
punktem należącym do obu płaszczyzn 
jednocześnie. Wszystkie jednoimienne warstwice 
przecinają się w punktach krawędzi , a więc 
wystarczy określić dwa punkty i opisać prostą w 
sposób typowy dla rzutu cechowanego.

 

 

Krawędź płaszczyzn

Trzy krawędzie 

k, a, b

 płaszczyzn 

, , 

 

przecinają się w jednym punkcie 

P

.

 

 

 

Zadanie

Dane są rzuty cechowane płaszczyzn 

α i β i punktu A. Przez punkt A 
poprowadzić prostą i równoległą do 
obu płaszczyzn .

 

 

Punkt przebicia płaszczyzny 
prostą

Jeżeli prosta  

a

  i płaszczyzna    nie są do 

siebie równoległe, posiadają wówczas 
wspólny punkt 

P

, zwany 

punktem 

przebicia płaszczyzny prostą

 lub 

punktem przecięcia prostej 
płaszczyzną

.  

Aby wyznaczyć ten punkt należy:

•

przez prostą  

a

  przeprowadzić dowolną 

płaszczyznę   

•

wyznaczyć krawędź płaszczyzn    i  

•

znaleźć  punkt przecięcia się krawędzi  

k

  

i prostej  

a

, który jest szukanym punktem  

P

  

przebicia.

 

 

Punkt przebicia płaszczyzny 
prostą

 

 

Punkt przebicia płaszczyzny 
prostą