Mikroeko: minimalizacja 

kosztów i produkcja w wielu 

fabrykach

Bartek Wasilewski 

www.ego.riki.pl

 

 

Izokoszty

• Krótko: izokoszta to te punkty, które oznaczają ten sam TC, przy różnych 

kombinacjach czynników K,L  

• TC=rK+wL

• Jak zastąpić kapitał pracą, bez zmiany TC?

• Dla nas ważne jest nachylenie izokoszty równe w przypadku powyższym: 

-w/r

 

 

Jak zminimalizować koszty przy 

danej izokoszcie?

• Graficznie

• Szukamy takiej izokwanty (jednakowych poziomów produkcji) aby miała 

ona punkt styczny z jak najniższą izokosztą lub odwrotnie – takiej izokoszty, 
która jest styczna do najwyższej izokwanty w praktyce – szukamy punktów 
styczności dwóch izo. 

• Warunek: MRTS

LK

= -w/r ważna: MRTS(LK)! czyli (MP(L)/w)=(MP(K)/r) 

albo MP(L)/MP(K) = w/r

• Pamiętajmy, że MP(L) możemy obniżyć zwiększając L, a MP(K) podwyższyć 

zmniejszając (K) zgodnie z prawem malejącej produktywności. To oznacza, 
że producent wybierze taką kombinację czynników, że MP(K)=MP(L) o ile 
może je sobie substytuować – więc w f. liniowej lub C-D więc: rosnący koszt 
pracy spowoduje mniejsze zużycie L, a większe K.

• Uwaga, to się myli! MP(L) nie zależy w żadnym stopniu od ceny L, bo jest to 

po prostu pochodna z funkcji produkcji po L!

 

 

Minimalizacja analitycznie

• Bardziej się przyda na egzaminie

• Mnożniki Lagranża – jedyne co człowiek ogarnia na analu 
• Funkcją minimalizowaną są koszty. Ograniczeniem jest produkcja. 
• Przykład: TC(K,L,w,r)=rK+wL=2K+10L; g=Q=K^0,2L^0,8
• Chcemy wyprodukować 100=q a więc mamy daną f produkcji (izokwanta)
• Ż(L,K,ą)=2K+10L-ą(K^0,2L^0,8-100)
• Dalej jak na analu. Nie zapiszę, bo straszne piętrusy to są. 

 

 

Popyt na czynniki produkcji

• Popyt na czynniki produkcji w C-D: K=(aw/br)L L=(br/aw)K w naszym 

przykładzie (slajd wyżej) K=(2/1,6)L

• Można też powiązać popyt na czynniki z q co jest często przydatniejsze, ale 

to też straszny piętrus :/ lepiej zobaczyć u Czajkowskiego – wykład b.4 slajd 
nr.20 wyprowadza się to z warunku MP(L)/w=MP(K)/r pamiętając czym jest 
MP 

• Co ro jest ścieżka ekspansji? To najtańsze kombinacje K,L pozwalające na 

osiągnięcie danej produkcji.

 

 

Rozwiązania brzegowe

• Graficzne rozwiązanie minimalizacji kosztów

• Może być graniczne tylko, gdy żaden czynnik nie jest niezbędny. Czyli, gdy 

mamy do czynienia z (prawie) doskonałą substytucją, inaczej mówiąc, gdy 
elastyczność substytucji>1 (patrz moje slajdy o funkcjach produkcji slajd 6)

• Jeżeli MP(L)/w>MP(K)/r to firma zatrudni tylko L. 
• Dla funkcji f(K,L)=aK+bL L=Q/b K=0 koszt TC=wL=(w/b)Q
• Dla funkcji f(K,L)=min{aK,bL} to popyt na K=Q/a a na L=Q/b

 

 

Produkcja w wielu zakładach

• Generalnie sprawa jest prosta: MC w pierwszej fabryce =MC w drugiej = 

MC w trzeciej itd…

• Ale mogą być wredne przykłady, kiedy:
• Nie opłaca się odpalać jednej fabryki nigdy – ze względu na duże koszty 

quasi-stałe albo po prostu wtedy, kiedy MC nigdy nie równają się sobie (są 
stałe i różne od siebie)