Metoda Elementów

Skończonych

Element Prętowy

Podstawowe założenia:

•Małe deformacje -> zasada zesztywnienia

•Materiał liniowy i sprężysty

•Obciążenia wyłącznie statyczne

Przyjmijmy, że przemieszczenie zmienia się
liniowo wzdłuż długości elementu:

L

L

L

u

u

dx

du

i

j













L

L

E

E











L

k

L

L

EA

A

F

A

F



















Warunek równowagi w elemencie:

Macierz Sztywności – podejście

formalne

Energia wewnętrzna (sprężysta) zgromadzona w elemencie prętowym:





E

E

E

E

T

T

T

T

B

u

Bu

Bu















Praca sił węzłowych:

k

- macierz sztywności

Energia sprężysta:

Przykład

Dla statycznie niewyznaczalnego
układu prętowego, obciążonego
siłą P, obliczyć naprężenia

Macierz sztywności

dla elementu 1

Macierz sztywności

dla elementu 2

Agregacja macierzy sztywności

Warunki brzegowe

Usuwając pierwszy wiersz i kolumnę
oraz trzeci wiersz i kolumnę otrzymamy:

Naprężenie w elemencie 1

Naprężenie w elemencie 2

Element prętowy z obciążeniem

ciągłym

Równomiernie rozłożone obciążenie ciągłe, może być zastąpione siłami węzłowymi

Weryfikacja:

Praca sił węzłowych:

gdzie:

Z warunku U=W otrzymujemy:

Nowe siły węzłowe:

agregacja:

Element prętowy w przestrzeni

dwuwymiarowej

Zmienne

lokalne

Zmienne
globalne

Przemieszczenie prostopadłe do osi pręta
ν nie powoduje zmiany jego wymiaru

Transformacja

gdzie:

W formie macierzowej:

lub

gdzie

Macierz ortogonalna:

T

T

T

~

~

1





Dla elementu z dwoma węzłami:

Analogiczna transformacja dla sił węzłowych:

Macierz sztywności

dla elementu prętowego w przestrzeni

dwuwymiarowej

W układzie lokalnym:

Po powiększeniu powyższego równania

(uwzględniając składową prostopadłą do osi elementu):

W formie macierzowej (symbolicznie)

Wykorzystując:

oraz

Mnożąc obie strony równania przez i wykorzystując

Macierz sztywności elementu prętowego
w przestrzeni dwuwymiarowej w układzie globalnym

Jest to symetryczna macierz 4x4

Macierz sztywności elementu prętowego

w przestrzeni dwuwymiarowej w układzie globalnym

(explicite)

Naprężenie

Po przekształceniach:

Przykład

Płaska kratownica składa się z dwóch
identycznych prętów o długości L,
polu powierzchni przekroju A, oraz
module Younga E.
Kratownicę obciążono dwoma siłami
skupionymi P

1

i P

2

.

Obliczyć przemieszczenie węzła 2
oraz naprężenia w prętach.

W lokalnym układzie współrzędnych:

Macierze nie mogą być agregowane, albowiem są zapisane w różnych
układach współrzędnych. W celu agregacji należy je przetransformować do
globalnego układu współrzędnych.

Po agregacji:

Warunki brzegowe:

Wykorzystując:

Obliczamy naprężenia: