1

FUNKCJE FALOWE ELEKTRONU

W ATOMIE WODORU Z

UWZGLĘDNIENIEM SPINU;

SKŁADANIE MOMENTÓW PĘDU

2

Funkcje falowe elektronu w atomie

wodoru z uwzględnieniem spinu

Jak uwzględnić spin?

Amplituda prawdopodobieństwa

znalezienia elektronu w stanie

przestrzennym |ℓ,m>, w punkcie

, bez informacji o kierunku spinu



,

,

r

Spin to moment pędu

o stałej wartości:





 

















,

Y

r

R

,

,

r

m

,

l

l

,

n

m

,

l

,

n

2

2

1

2

1

2

1

S













 



i rzucie na oś z:



2

1



3

możemy przedstawić jako:

 

 

 

 























r

h

r

g

r

f

r

W











Pole wektorowe:

   

 

 

k

r

h

j

r

g

i

r

f

r

W























4

lub, w szczególnym przypadku, gdy

orientacja wektora jest taka sama w

każdym punkcie przestrzeni:

 

 

























c

b

a

r

f

r

W







gdzie a, b i c określają orientację

wektora w przestrzeni

1

c

b

a

2

2

2







przy czym:

5

Przez analogię możemy opisać stan

elektronu wprowadzając następujący

zapis:

gdzie współczynniki a i b to

amplitudy prawdopodobieństwa, że

elektron ma spin „do góry” i do

„dołu”.

Dla m

s

=

+1/2





;

b

a

,

,

r

l

m

,

l

,

n











































0

1

l

l

m

,

l

,

n

2

1

,

m

,

l

,

n

Dla m

s

=

-1/2





















1

0

l

l

m

,

l

,

n

2

1

,

m

,

l

,

n

1

b

a

2

2





6

lub, przyjmując, że:

















0

1

















1

0

i

możemy zapisać:































2

1

m

2

1

m

s

m

,

l

,

n

s

m

,

l

,

n

m

,

m

,

l

,

n

l

l

s

l

otrzymując pełną funkcję falową

przedstawiającą amplitudę

prawdopodobieństwa znalezienia

elektronu w stanie |ℓ,m> i w punkcie

r,θ, φ, ze spinem +1/2 lub – 1/2

7

SPINORY, to obiekty podobne do

wektorów, transformujące się w

odpowiedni sposób po obrocie układu

współrzędnych:



























































i

,

h

,

g

f

,

e

,

d

c

,

b

,

a

'

,

'

,

'























2

i

2

i

e

,

0

0

,

e

Obrót o kąt φ wokół osi

z:

Obrót o kąt θ wokół osi

y:





























2

cos

,

2

sin

2

sin

,

2

cos

J = 1, m = 0, ±1

transformuje się

jak wektor

Dla j = 1/2, m = ±1/2:

8

Składanie momentów

pędu:

2

1

2

1

J

J

J

J

J









2

1

J

J

J











2

1

M

M

M





JM

J

J

M

M

J

J

M

M

J

J

JM

J

J

2

1

M

M

M

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1











współczynniki rozwinięcia:

współczynniki Clebscha – Gordana

jeden z kalkulatorów dostępnych na

internecie:

http://personal.ph.surrey.ac.uk/~phs3ps/cgjava.

html

9

Dla atomu wodoru:

2

1

J

...

3

2,

1,

,

0

J

2

1





wszystkie potrzebne współczynniki

rozwinięcia, czyli

współczynniki Clebscha – Gordana,

możemy otrzymać korzystając z

następującej tabeli:

orbitalny moment pędu, s,

p, d, f

własny moment pędu

elektronu

10

Współczynniki Clebscha - Gordana; J

2

=

1/2:

2

1

M

2



2

1

M

2





2

1

J

1



1

J

2

2

1

M

J

1

1







1

J

2

2

1

M

J

1

1







2

1

J

1



1

J

2

2

1

M

J

1

1









1

J

2

2

1

M

J

1

1







J

11

Przykład:

Wyraź funkcję falową odpowiadającą

stanowi 4f

5/2

dla M = 3/2, poprzez funkcje

.

s

l

m

,

m

,

l

,

n



2

5

J 

2

3

M

Na rzut wypadkowego

momentu pędu na oś z o

wartości:

składają się tylko dwie pary

M

1

i M

2

:

(1, 1/2) oraz (2, -1/2)

Dla:

mamy 6 składowych o

różnych wartościach M

12

3

J

1



2

5

J 

2

3

M

dla M

2

= +1/2

mamy:

J = J

1

– 1/2,

zatem korzystamy z

dolnego wiersza w tabeli

7

2

1

J

2

2

1

M

J

1

1













a dla M

2

= -1/2:

7

5

1

J

2

2

1

M

J

1

1









13





























































2

,

3

,

4

1

,

3

,

4

2

,

3

,

4

1

,

3

,

4

7

5

7

2

1

0

7

5

0

1

7

2

2

3

,

2

5

,

2

1

,

3

,

,

,

r

2

1

,

2

,

2

1

,

3

2

1

,

2

,

2

1

,

3

2

3

,

2

5

,

2

1

,

3

2

1

,

1

,

2

1

,

3

2

1

,

1

,

2

1

,

3

2

3

,

2

5

,

2

1

,

3

2

3

,

2

5

,

2

1

,

3