1

FUNKCJA FALOWA UKŁADU

IDENTYCZNYCH CZĄSTEK;

ZAKAZ PAULIEGO.

ATOM HELU

2

1. Prawdopodobieństwo zdarzenia jest

dane przez kwadrat modułu zespolonej

liczby Φ nazywanej amplitudą

prawdopodobieństwa.

P = prawdopodobieństwo

Φ = amplituda prawdopodobieństwa

P = |Φ|

2

!!PRZYPOMNIENIE!!

PODSTAWOWE ZASADY MECHANIKI

KWANTOWEJ

Zdarzenie: znalezienie elektronu w

punkcie r w atomie.

Amplituda prawdopodobieństwa dla

elektronu w układzie atomowym to funkcja

falowa

3

2. Jeśli zdarzenie może zajść na kilka

alternatywnych sposobów to całkowita

amplituda dla tego zdarzenia jest sumą

amplitud prawdopodobieństwa dla

każdego z tych sposobów na jaki może

ono zajść.

Przy dwóch sposobach mamy:

Φ = Φ

1

+ Φ

2

P = |Φ

1

+ Φ

2

|

2

= |Φ

1

|

2

+|Φ

2

|

2

+ 2|Φ

1

| |Φ

2

|

cosφ

Występuje interferencja co tłumaczy

wynik doświadczeń pokazujących falowe

własności cząstek materialnych.

P = (Φ

1

+Φ

2

)·(Φ

1

+Φ

2

)

*

=Φ

1

·Φ

2

*+Φ

2

·Φ

2

*

+Φ

1

·Φ

2

*

+Φ

2

·Φ

1

*

=

|Φ

1

|

2

+|Φ

2

|

2

+|Φ

1

||Φ

2

|·(e

i(φ1-φ2)

+e

i(φ2-φ1)

)= |Φ

1

|

2

+|Φ

2

|

2

+2|Φ

1

| |

Φ

2

|cosφ

4

3. Jeśli jesteśmy w stanie określić, który z

alternatywnych sposobów zachodzi

(sprawdzamy przez który z otworów

przechodzi elektron) to

prawdopodobieństwo zdarzenia jest sumą

prawdopodobieństw dla każdego z tych

alternatywnych sposobów. Nie występuje

interferencja i wówczas:

P = | Φ

1

|

2

+ |Φ

2

|

2

= P

1

+ P

2

nawet wtedy jeśli w rzeczywistości nie

sprawdzamy która z alternatyw była

zrealizowana (wystarczy, że taka

informacja jest w układzie fizycznym).

Przypadek ten występuje w omawianym

przez Feynmana (rozdz. 3.3 t. III)

rozpraszaniu neutronów.

5

Rozważymy kwantowo-mechaniczne

amplitudy prawdopodobieństwa dla

dwóch identycznych cząstek

rozpatrując zjawisko wzajemnego

rozpraszania dwóch cząstek w układzie

środka masy (Feynman tom III, rozdz.

3 i 4)

6

7

Niech amplituda prawdopodobieństwa

zdarzenia polegającego na

zarejestrowaniu cząstki a w detektorze 1

i cząstki b w detektorze 2 wynosi:

 



f

b

,

a

2

,

1

Prawdopodobieństwo tego zdarzenia

wyniesie zatem:

 

2

f 

Prawdopodobieństwo innego zdarzenia, o

amplitudzie:

a

,

b

2

,

1

, cząstka a w 2, a cząstka b w 1

(wymiana)





2

f







wyniesie w takim

razie:

8

Jeśli detektory nie są w stanie rozróżnić

cząstki a od b (choć w rzeczywistości są

to różne cząstki), to

prawdopodobieństwo zarejestrowania

obu cząstek w wyniku rozproszenia

wyniesie:

Dla szczególnego przypadku,

gdy:

 

 





2

2

f

f

P















2















2

2

f

2

2

P







czyli będzie sumą prawdopodobieństw

(różne cząstki).

9

A jak będzie dla cząstek identycznych

(nierozróżnialnych)?

Ponieważ zdarzenie może zajść na dwa

sposoby, więc:

a także, że:

Wiemy, że:

 



f

b

,

a

2

,

1

a

,

b

2

,

1

b

,

a

2

,

1

calkowita

Amplituda









2

2

f

a

,

b

2

,

1

























f

e

a

,

b

2

,

1

i

czyli:

10

Dla podwójnej wymiany:

A więc:

  



















f

f

a

,

b

2

,

1

b

,

a

2

,

1

calkowita

Amplituda

 

































f

e

e

b

,

a

2

,

1

f

i

i

a zatem musi być: exp(iα) = ±1













 f

a

,

b

2

,

1

i:

 

  



2

f

f

P















ze znakiem plus lub minus składowej z

wymianą.

A

prawdopodobieństw

o:

11

Dla: mamy:

Czyli zliczeń będzie albo dwa razy

więcej niż dla cząstek rozróżnialnych,

albo 0;

interferencja konstruktywna (bozony)

albo destruktywna (fermiony)

2















2

2

f

4

2

P







albo:





0

2

P





1

e

i





1

e

i







bozony

fermiony

Bozony: fotony, cząstki α, inne o spinie

całkowitym

Fermiony: elektrony, neutrony, protony,

inne cząstki o spinie połówkowym

12

Funkcja falowa elektronu w atomie

wodoru:

Amplituda prawdopodobieństwa

znalezienia elektronu w punkcie

,

przy czym rzut orbitalnego i własnego

momentu pędu elektronu na oś z są

określone.



,

,

r





 





 

































,

Y

r

R

,

Y

r

R

,

,

r

m

,

m

,

l

,

n

r

m

,

l

l

,

n

m

,

l

l

,

n

s

m

,

m

,

l

,

n

s



Atom helu, jądro z dwoma protonami (Z

= 2) i dwa elektrony. Jak będzie

wyglądała funkcja falowa?

Co to jest funkcja falowa jednego

elektronu ?

13

Zatem wydaje się, że moglibyśmy

napisać:

b

,

a

r

,

r

2

1





Funkcja falowa dwóch elektronów to

amplituda znalezienia elektronu a w

punkcie r

1

i elektronu b w punkcie r

2

:

b

r

a

r

b

,

a

r

,

r

2

1

2

1











czyli, że amplituda dla dwóch

elektronów byłaby iloczynem

amplitud dla pojedynczych

elektronów.

CO Z WYMIANĄ???

14





k

1

n

2

k

2

n

1

2

1

2

1

r

r

r

r

r

,

r

r

,

r





































Uwzględnimy wymianę, jeśli

napiszemy:

,

k

n





to stany obu elektronów

n, k – zbiory liczb kwantowych

opisujących te stany

 

n

1

1

n

r

r











 

k

2

2

k

r

r











to jednoelektronowe funkcje falowe –

amplitudy

Funkcje te otrzymamy z rozwiązania

równania Schrődingera









1

2

2

1

r

,

r

r

,

r

















co oznacza, że:

15

Równanie Schrődingera dla atomu

He:









2

1

2

1

12

2

2

2

2

2

e

2

1

2

2

1

e

2

r

,

r

E

r

,

r

r

e

r

Ze

m

2

h

r

Ze

m

2

h























































2

1

2

2

1

2

2

1

2

12

z

z

y

y

x

x

r













gdzie:

Z = 2 (atom helu)

16

Jeśli pominiemy oddziaływanie

elektronów:

to równanie dla atomu He przyjmie

postać:

gdzie:

 

12

2

12

12

r

e

r

V















E

H

H

2

1

2

2

2

2

e

2

2

1

2

2

1

e

2

1

r

Ze

m

2

h

H

r

Ze

m

2

h

H

















17

Równanie takie można łatwo

rozseparować biorąc:

bez członu z wymianą, który

uwzględnimy później.

Po podstawieniu otrzymamy:





   

2

k

1

n

2

1

r

r

r

,

r

















 

 

 

 

E

r

H

r

1

r

H

r

1

2

k

2

2

k

1

n

1

1

n





















 

 

 

 

2

2

k

2

2

k

1

1

n

1

1

n

E

r

H

r

1

;

E

r

H

r

1





















2

1

E

E

E





18

Mamy zatem dwa równania:

których rozwiązania, ze względu na:

 

 

 

 

2

k

2

2

k

2

1

n

1

1

n

1

r

E

r

H

r

E

r

H





















2

2

2

2

e

2

2

1

2

2

1

e

2

1

r

Ze

m

2

h

H

r

Ze

m

2

h

H

















będą rozwiązaniami dla atomu

wodoropodobnego.

19

Energia E wyniesie:

czyli:

stan podstawowy (1s)

2

: – 108.8 eV

najniższy stan wzbudzony (1s2s,

1s2p): – 68 eV

występuje degeneracja 4x (bez oddz.

spin-orbita)

Jak wypada porównanie z

eksperymentem?

2

1

E

E

E



























2

2

2

1

2

4

2

e

n

1

n

1

h

e

Z

m

E

]

eV

[

n

1

n

1

6

.

13

4

E

2

2

2

1

























20

Struktura elektronowa atomu He,

przybliżenie zerowe i eksperyment

21

Jak poprawić wynik?

1. Poprawić funkcję falową (wymiana)

2. Uwzględnić oddziaływanie

elektronów V

12

Musimy zbudować antysymetryczne

funkcje dwuelektronowe:









1

2

2

1

,

n

,

,

k

,

k

,

,

n

















gdzie pierwsze dwa wskaźniki to liczby

kwantowe dla 1 elektronu, a kolejne

dwa, dla drugiego.

22

Mamy do dyspozycji następujące

funkcje:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 











































2

1

α

2

βψ

1

ψ

:

4

2

1

2

1

:

3

2

1

2

1

:

2

2

1

2

1

:

1

n

k

k

n

n

k

k

n

n

k

k

n

n

k

k

n

Dla n = k może być tylko opcja 3 lub/i

4

gdyż dla opcji 1 i 2 otrzymujemy

Ψ(1,2) ≡ 0

ZAKAZ PAULIEGO !!!

Jeśli bierzemy funkcję z lewej kolumny to

musimy wziąć funkcję z prawej z

przeciwnym znakiem (wymiana)

23

 

 

 

 

 

 

 

 



















2

1

α

2

βψ

1

ψ

:

4

2

1

2

1

:

3

n

n

n

n

n

n

n

n

Opcja 3 daje:

    















2

1

:

3

n

n

a opcja 4:

    















2

1

:

4

n

n

Obie opcje są całkowicie równoważne, a ich

kombinacja da albo Ψ(1,2) ≡ 0, albo:

24

 

   



















2

1

2

1

2

,

1

n

n

singlet

,

0

M

,

0

S

S





gdzie orbitalna część będzie

symetryczna ze względu na wymianę

elektronów, a część spinowa będzie

antysymetryczna.

Podsumowując, dla n = k

dwuelektronowa funkcja falowa przyjmie

postać:

 

   



















2

1

2

1

2

,

1

n

n

Odpowiada to:

25

W przeciwieństwie do opcji 3 i 4, opcje 1 i

2 są fizycznie różne (gdyby było pole

magnetyczne będą się różnić energią,

między sobą, a także z opcjami 3 i 4).

Otrzymamy z nich:

Dla: n ≠ k z czterech opcji wybierzemy

odpowiednie kombinacje tak, by

otrzymać cztery fizycznie różne stany

bazy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 











































2

1

α

2

βψ

1

ψ

:

4

2

1

2

1

:

3

2

1

2

1

:

2

2

1

2

1

:

1

n

k

k

n

n

k

k

n

n

k

k

n

n

k

k

n

26

i:

 

   

   





















2

1

2

1

1,2

:

2

n

k

k

n

 

   

   





















2

1

2

1

1,2

:

1

n

k

k

n

 

 

 

 

 

 

 

 



















2

1

α

2

βψ

1

ψ

:

4

2

1

2

1

:

3

n

k

k

n

n

k

k

n

Z opcji 3 i 4:

tworzymy kombinacje symetryczne i

antysymetryczne otrzymując:

S = 1, M

S

=

+1

S = 1, M

S

=

-1

27

dla kombinacji ze znakiem plus:

 

   

   





























2

1

2

1

1,2

:

4

3

n

k

k

n

 

   

   





























2

1

2

1

1,2

:

4

3

n

k

k

n

 

 

 

 

 

 

 

 



















2

1

α

2

βψ

1

ψ

:

4

2

1

2

1

:

3

n

k

k

n

n

k

k

n

i dla kombinacji ze znakiem minus:

S = 1,

M

S

=

0

S = 0,

M

S

=

0

podobnie jak dla przypadku n = k

28

   

   





   

   



 



   

   





TRYPLET

1,

S

1

m

,

2

1

2

1

2

1

0

m

,

2

1

2

1

2

1

1

m

,

2

1

2

1

2

1

S

n

k

k

n

S

n

k

k

n

S

n

k

k

n















































































antysymetryczna część orbitalna,

symetryczna część spinowa

dwuelektronowej funkcji falowej

Podsumowując, dla: n ≠ k

   

   



























2

1

2

1

n

k

k

n

S = 0, m

S

=

0

29

Składanie dwóch spinów, model

wektorowy

S = 0, m

= 0

S = 1, m

= 1

S = 1, m

= 0

S = 1, m =

-1

Copyright © 1972 by Addison-Wesley Publishing Company, Inc, Introduction to Atomic
Physics by Harald A. Enge.
© Copyright for the Polish edition by Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa
1983

30

Jakie będą energie?

(jak uwzględnić V

12

)

Singlet dla (1s)

2

stan podstawowy

Singlet i tryplet dla (1s, 2s) i dla (1s,

2p)













d

V

*

E

12

Pierwszy rząd rachunku zaburzeń,

funkcje przybliżenia zerowego (ψ) i

zaburzenie V

12

(nieuwzględniona część

hamiltonianu)

31

Dla stanu podstawowego (1s)

2

   

   

1

12

2

2

1

n

n

12

2

n

n

1

r

e

d

d

2

2

*

r

e

1

1

*

E























Przyjmując,

że:

0

12

a

r  otrzymamy: ΔE

1

≈ 27

eV

,

r

2

e

v

m

2

1

E

2

2

e

K





,

r

e

E

2

P





r

2

e

E

E

E

2

K

P









Dla atomu wodoru w stanie

podstawowym:

E = –13.6 eV; zatem E

P

= –27.2 eV

Rzeczywista wartość ΔE

1

≈ 29.8 eV,

energia jonizacji He wyniesie zatem ok.

24.6 eV

32

Dla stanów wzbudzonych (1s, 2s) i (1s,

2p) mamy dwa rodzaje funkcji

przestrzennych; symetryczną (singlet) i

antysymetryczną (tryplet)

 

 

 

 





   

   

















































2

1

n

k

k

n

12

n

k

k

n

2

d

d

2

1

2

1

r

1

2

*

1

*

2

*

1

*

2

e

tryplet

glet

sin

E

33

   

   

   

   

2

1

n

n

12

k

k

2

2

1

k

k

12

n

n

2

d

d

2

2

*

r

1

1

1

*

2

e

d

d

2

2

*

r

1

1

1

*

2

e

































   

   

   

   



































2

1

n

k

12

k

n

2

2

1

k

n

12

n

k

2

d

d

2

2

*

r

1

1

1

*

2

e

d

d

2

2

*

r

1

1

1

*

2

e

34

   

   

   

   



































2

1

k

n

12

n

k

2

2

1

k

k

12

n

n

2

d

d

2

2

*

r

1

1

1

*

e

d

d

2

2

*

r

1

1

1

*

e

wym

12

E

V





35

Schemat energetyczny najniższych

poziomów He

36

Oznaczenia stanów He

(1s)

2

0

l

,

0

l

2

1





S = 0 (musi być);

Pauli

0

l

l

L

l

l

0

2

1

2

1













L = 0

Jedyny dozwolony term

1

S

0

1s2s

0

l

,

0

l

2

1





S = 0

0

l

l

L

l

l

0

2

1

2

1













L = 0

symetryczna przestrzenna funkcja

falowa;

1

S

0

37

Ale ponieważ różne n może być S = 1:

symetryczna funkcja spinowa (S =

1) i antysymetryczna funkcja

przestrzenna

Zatem, choć L = 0, J = 1 i dozwolony

term będzie

3

S

1

tryplet a nie singlet

nie ma rozszczepienia spin – orbita

ale w polu magnetycznym (pokażemy to

później)

będą trzy, a nie dwie składowe

1s2

s

0

l

l

L

l

l

0

2

1

2

1













L = 0

38

Nie ma ograniczeń na S; dozwolony

singlet i tryplet

zatem mamy

1

P i

3

P

Dozwolone wartości J wyznaczamy z:

1s2p

1

l

l

L

l

l

1

2

1

2

1













L = 1

1

l

,

0

l

2

1





S

L

J

S

L









Ostatecznie mamy:

1

P

1

i

3

P

0,1,2

jedyny term ze strukturą subtelną to

3

P

J

39

Schemat

energetyczny

poziomów He,

energia He

1+

w

stanie

podstawowym

(1s) poziomem

odniesienia

Przejścia

jednoelektrono

we zgodne z

regułami

wyboru

Para- i ortohel

Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and
Hans Christoph Wolf
Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

40

Kolejność poziomów zależy od znaku i

wielkości wyrazu związanego z

wymianą.

1. Niżej leżą termy o wyższej

multipletowości; większa wartość S

bardziej symetryczna funkcja spinowa,

bardziej antysymetryczna przestrzenna

funkcja falowa, większa wartość całki

wymiennej.

2. Wśród termów o tej samej

multipletowości niżej leżą termy o

większej wartości L; bardziej

antysymetryczna przestrzenna funkcja

falowa.

Kolejność poziomów; reguła

Hunda