1

ATOM W POLU MAGNETYCZNYM cz.

1

(moment magnetyczny; przypomnienie,

magnetyczny moment dipolowy elektronu w atomie,

wypadkowy moment magnetyczny i moment pędu

elektronu w atomie, moment magnetyczny w

niejednorodnym polu magnetycznym, doświadczenie

Sterna – Gerlacha, wnioski z doświadczenia Sterna –

Gerlacha dla różnych atomów, żyroskop – precesja

momentu pędu; przypomnienie, precesja momentu

pędu i momentu magnetycznego w polu

magnetycznym, orbitalny (L) i spinowy (S) moment

pędu elektronu; składanie momentów pędu, słabe i

silne pole B; model wektorowy, urządzenie Sterna –

Gerlacha jako filtr stanów przestrzennych atomów

bez spinów, urządzenia Sterna – Gerlacha w

tandemie; obroty, funkcja falowa elektronu w atomie

bez spinu )

2

Moment magnetyczny; przypomnienie

Przewodnik z prądem w polu
magnetycznym B:

a) Prąd I = 0
b) Prąd I płynie „do góry”
c) Prąd I płynie „w dół”

B

i

L

B

v

q

F

e



















Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki,

Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA,

Warszawa 2003

Na elektrony w
przewodniku działa
siła Lorentza F =
q

e

vB, na przewodnik

będzie działała siła F
= LiB

3

Moment magnetyczny; przypomnienie

Prostokątna ramka o długości a
i szerokości b z prądem o
natężeniu I w jednorodnym
polu magnetycznym B:
a) widok „z góry”
b) widok „z boku z prawej
strony” (od strony boku 2)

Moment siły M obraca ramkę
zgodnie z ruchem wskazówek
zegara:

B

B

n

Iab

M

sin

IabB

M

IaB

F

;

IaB

F

2

b

sin

F

2

b

sin

F

M

3

1

3

1











































Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki,

Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA,

Warszawa 2003

a)

b)

n

S

I

;

B

M

























4

Moment magnetyczny;

przypomnienie

magnetyczny moment
dipolowy

 





B

E

cos

B

E

B

E

;

B

E

E

E

B

B

cos

B

d

sin

B

d

M

W

1

2

1

2

0

0

0











































































B

M













n

S

I













moment siły dąży do ustawienia momentu
magnetycznego równolegle do pola B, tak by osiągnąć
najniższą energię magnetycznego momentu dipolowego w
zewn polu B, E

1

. Wykonując pracę przeciw momentowi siły

(polu B) tak by magnetyczny moment dipolowy był
skierowany antyrównolegle do pola B osiągamy stan o
najwyższej energii E

2

w zewn polu B.

E

1

E

2

Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki,

Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA,

Warszawa 2003

moment

magnetyczny,

a magnetyczny

moment dipolowy

5

Magnetyczny moment dipolowy elektronu w

atomie

orb

e

e

e

orb

2

e

orb

L

m

2

q

m

2

mvr

q

2

vr

q

r

v

r

2

q

S

I





















orb

e

orb

L

m

2

q 









S

m

q

e

s











spinowy (własny) magnetyczny

moment

dipolowy i spinowy (S) moment

pędu

orbitalny magnetyczny moment
dipolowy
i orbitalny moment pędu

Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki,

Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA,

Warszawa 2003

bez

klasycznego

odpowiedni

ka

q

e

/2m - czynnik

żyromagnetyczny

6

Wypadkowy moment magnetyczny i moment pędu elektronu w

atomie

S

L

J











orb

e

orb

orb

L

m

2

q

g











S

m

2

q

g

e

s

s











orbitalny magnetyczny moment
dipolowy
i orbitalny moment pędu, czynnik
Landé’go
g

orb

= 1

spinowy magnetyczny moment
dipolowy i spinowy moment pędu
elektronu, czynnik Landé’go g

s

= 2

Całkowity moment pędu elektronu w

atomie

Ponieważ czynniki Landé’go dla
spinowego i orbitalnego momentu
magnetycznego elektronu są różne,
wypadkowy moment pędu i moment
magnetyczny mogą nie być
równoległe. Efektywny moment
magnetyczny będzie równoległy do
wypadkowego momentu pędu, średnia
w czasie ze składowej prostopadłej
będzie zero i 1 < g

ef

< 2

MODEL WEKTOROWY

Halliday, Resnick,

Walker, Podstawy

fizyki, Copyright ©

Wydawnictwo

Naukowe PWN SA,

Warszawa 2003

7

Wypadkowy moment magnetyczny i moment pędu elektronu w

atomie

Doświadczenie Einsteina –

de Haasa

Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki,

Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA,

Warszawa 2003

b) po włączeniu prądu w solenoidzie w walcu powstaje pole
magnetyczne, które ustawia momenty magnetyczne
atomów żelaza równolegle do pola magnetycznego.
Obserwujemy obrót walca z momentem pędu zgodnym z
kierunkiem wypadkowego momentu magnetycznego.

Z zasady zachowania momentu pędu wynika, że każdy atom
posiada moment pędu skierowany przeciwnie do jego
momentu magnetycznego

a) pole magnetyczne w
żelaznym nieruchomym
walcu jest równe zeru.
Rozkład momentów
magnetycznych jest
przypadkowy; żaden
kierunek nie jest
wyróżniony.

8

Moment magnetyczny w niejednorodnym polu

magnetycznym

a) elektron w atomie w
niejednorodnym
zewnętrznym polu magnetycznym;

pole B skierowane „do góry”
b) pole B „do góry”, µ „do góry”, F
„w dół”
c) pole B „do góry”, µ „w dół”, F
„do góry”

 

 

 

 

dz

z

dB

cos

F

cos

z

B

z

E

dz

z

dE

F

z

z





















dz

dB

F

z

z







Od orientacji µ względem pola B
będzie zależała siła działająca na
atom w kierunku „góra-dół”, jej
wielkość i zwrot

Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki,

Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA,

Warszawa 2003

9

Doświadczenie Sterna – Gerlacha

Układ doświadczalny Sterna –
Gerlacha. Wiązka atomów
srebra przechodzi przez magnes
z dużym gradientem pola i pada
na płytkę detektora

dz

dB

F

z

z







Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki,

Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA,

Warszawa 2003

dB/dz

Wynik współczesnej wersji
doświadczenia
Sterna – Gerlacha. Po włączeniu
magnesu
wiązka atomów cezu rozszczepia się
na dwie; jedna z równoległym, druga
z antyrównoległym ustawieniem
momentów magnetycznych

10

Wnioski z doświadczenia Sterna – Gerlacha dla

różnych atomów

Liczba równoodległych plamek na ekranie wynosi 2j + 1, co
sugeruje:

m = j, j-1, …,
-j+1, -j

przy czym 2j może być parzyste, lub nieparzyste (dla
parzystego 2j wystąpi m = 0, dla nieparzystego, nie).

Średnia wartość J

z

2

wyniesie:

a skąd, dla j = 1/2
(dla zera jest spełnione)

i dalej można wykazać,
że dla dowolonego j:

2

2

2

2

z

1

2

1

2

1

4

3

2

2

1

2

1

2

1

2

1

3

J

3

















 















 













 









m

g

m

2

q

J

g

m

2

q

e

e

z

e

e

z

















  

2

2

2

2

2

2

z

1

j

2

j

1

j

...

1

j

j

J



























2

2

1

j

j

J









2

z

2

z

2

y

2

x

2

J

3

J

J

J

J





























 





1

j

j

1

j

2

j

..

j

jesli

2

j

1

j

1

1

j

2

1

j

...

1

j

3

J

3

2

2

2

2

2

2

2

z







































kwadrat

kwanto

wy

Należy tylko udowodnić (np. przez indukcję), że:

11











1

L















1

m

2

q

e

e

orb









m

L

z



Dla orbitalnego momentu pędu:
,

a dla orbitalnego magnetycznego
momentu dipolowego:

Ani orbitalnego momentu pędu, ani
orbitalnego momentu
magnetycznego nie da się zmierzyć.
Zmierzyć można skwantowane
składowe „z” obu tych wektorów:

gdzie m = , -1, …,

ℓ ℓ

- +1, -

ℓ

ℓ

m

m

m

2

q

B

e

e

z















gdzie m = , -1, …, - +1, -

ℓ ℓ

ℓ

ℓ , a µ

B

to

magneton Bohra

Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki,

Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA,

Warszawa 2003

e

e

B

m

2

q 





12









4

3

1

s

s

S







S

m

q

e

e

s

















1

s

s

m

q

e

e

s







Dla spinu (własnego momentu pędu)
elektronu:

µ

S

też jest

skwantowane:

gdzie s =
1/2

s

B

s

e

e

z

,

s

s

z

m

2

m

m

2

q

2

m

S



















gdzie m

s

= +1/2 i -1/2, a µ

B

, jak

poprzednio, to magneton
Bohra

Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki,

Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA,

Warszawa 2003

a moment
magnetyczny:

Skwantowane są także
składowe „z”:

13







1

j

j

J











1

j

j

m

2

q

g

e

e

ef

ef









m

J

z



Dodając L i S otrzymujemy wypadkowy
moment pędu J:

a wypadkowy efektywny
magnetyczny moment dipolowy:

Skwantowane składowe „z” obu tych
wektorów:

gdzie m =j, j-1, …,
-j+1, -j

m

g

m

m

2

q

g

B

ef

e

e

ef

z















gdzie µ

B

to magneton

Bohra

Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki,

Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA,

Warszawa 2003

Dodatkowa energia elektronu w
polu magnetycznym:

daje skwantowane poziomy
energetyczne:

mB

g

B

m

m

2

q

g

B

E

B

ef

e

e

ef

z

m

















µ

z

µ

ef

B

E

ef













14

Copyright 2005 John Wiley and
Sons, Inc

Copyright 2005 John Wiley and
Sons, Inc

Żyroskop – precesja momentu pędu;

przypomnienie

a) nie obracający się żyroskop spada
wskutek działania momentu siły τ

b) szybko obracający się żyroskop
wykonuje precesję wokół osi z

c) zmiana momentu pędu wywołana
momentem siły powoduje rotację
momentu pędu L wokół punktu O





 

L

d

t

L

dt

t

L

dt

L

d

;

dt

L

d

g

m

r









































15

Precesja momentu pędu i momentu

magnetycznego w polu magnetycznym



















sin

L

dt

dL

sin

B

Ω

sin

L

Δt

θ

sin

L

t

L



















bo:

gdzie , to prędkość

kątowa precesji:

Ω

e

e

m

2

B

q





MODEL

WEKTOROWY

wyjaśnia, dlaczego
tylko składowa „z”

ma określoną wartość

Zachowana jest wartość
momentu pędu i momentu
magnetycznego jak i ich rzuty na
kierunek pola B („z”).

Jeśli pole B zmierza do zera, z
zasady zachowania momentu
pędu wynika, że zachowane będą
oba momenty jak i ich rzuty na
wybrany kierunek.

Precesja Larmora

16

Orbitalny (L) i spinowy (S)

moment pędu elektronu;

składanie momentów pędu

s

j

j

z

m

m

m

;

m

J











   

j

-

,

1

-

j

-

,

2

-

j

-

...

2,

-

j

1,

-

j

,

j

m

j







s

-

...

1,

-

s

,

s

j

;

1

j

j

J



















Zgodnie z mechaniką klasyczną
moment pędu jest wektorem, więc:

S

L

J











bez ograniczeń na względną orientację

obu wektorów

Wg. mechaniki kwantowej wszystkie trzy
momenty pędu i ich rzuty na wybraną oś
są skwantowane

17

Składanie momentów pędu elektronu w atomie,

słabe pole B

Sprzężenie L – S

wektory L i S precesują

wokół J tak by:

j = ℓ+s, … -s

ℓ

W słabym zewnętrznym

polu magnetycznym B

wektor J wykonuje

precesję wokół

pola B skierowanego

wzdłuż osi z

(m

j

= j, j-1, …, -j)

Nawet w zerowym polu

magnetycznym jest tak

samo tzn składowe x i y

wektora J są

nieokreślone. Określony

jest tylko rzut J na oś z

(tak jakby precesja wokół

osi z nadal zachodziła)

MODEL

WEKTOROWY

Copyright © 1972 by Addison-Wesley Publishing
Company, Inc, Introduction to Atomic Physics by
Harald A. Enge.© Copyright for the Polish edition by
Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983

z

18

W silnym

zewnętrznym polu

magnetycznym

sprzężenie pomiędzy

wektorami L i S jest

rozerwane, wektory L

i S niezależnie

precesują wokół pola

B skierowanego

wzdłuż osi z

m

ℓ

+ m

s

= m

j

MODEL

WEKTOROWY

Składanie momentów pędu elektronu w atomie,

silne pole B

Copyright © 1972 by Addison-Wesley Publishing Company, Inc, Introduction to Atomic
Physics by Harald A. Enge.
© Copyright for the Polish edition by Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa
1983

z

19

Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki,

Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA,

Warszawa 2003

dB/dz

o

|ℓ, ℓ>

o

|ℓ, ℓ-1>

…

…

o

|ℓ, -ℓ+1>

o

|ℓ, -ℓ>

Urządzenie Sterna – Gerlacha jako filtr stanów

przestrzennych atomów bez spinu

2 + 1 plamek na płytce

ℓ

detektora

2 + 1 stanów przestrzennych

ℓ

atomów o tej samej liczbie
kwantowej orbitalnego momentu
pędu , różniących się wartością

ℓ

magnetycznej liczby kwantowej
m.

Odpowiednia maska przepuszczająca tylko jedną z 2 + 1 wiązek,

ℓ

zmieni urządzenie S – G w filtr stanów przestrzennych atomów
wiązki; na ekranie pozostanie tylko jedna plamka. Wiązka
niespolaryzowana na wejściu urządzenia zmienia się w wiązkę
spolaryzowaną. Atomy w wiązce spolaryzowanej są w stanie
czystym tzn. | , m>

ℓ

Feynmana wykłady z fizyki, III tom.

20

Urządzenia Sterna – Gerlacha w tandemie, obroty

 

m

,

R

'

m

,

y













cos

P

m



Atomy z jednego z 2 + 1

ℓ

stanów urządzenia S mogą się
na ogół znaleźć w każdym z 2

ℓ

+ 1 stanów przestrzennych
obróconego urządzenia T.
Amplitudę
prawdopodobieństwa zajścia
takiego zdarzenia możemy
oznaczyć:

Będzie to pewna funkcja kąta
θ.

Feynman, Leighton, Sands,

Feynmana wykłady z fizyki,

Copyright © PWN, Warszawa

1972

W specjalnym przypadku gdy m’ = 0, funkcję taką zapisujemy:
i nazywamy stowarzyszoną funkcją Legendre’a. Jeśli także
m = 0 to funkcja ta to wielomian Legendre’a i zapisuje się ją:







cos

P



Dla obrotu wokół osi z o kąt :

   





 

















,

aY

cos

P

e

m

,

R

R

0

,

m

,

m

im

z

y









 

m

,

j

e

m

,

j

R

im

z







Amplituda prawdopodobieństwa:

gdzie Y

,m

ℓ

(θ,) to tzw. funkcja kulista, albo harmonika sferyczna.

Feynmana wykłady z fizyki, t. III

21

Funkcja falowa elektronu w atomie bez spinu

Niech elektron w atomie ma
orbitalny moment pędu opisany
liczbami kwantowymi i m, tzn.

ℓ

niech znajduje się w stanie
przestrzennym | ,m> (względem

ℓ

osi z).

Jaka będzie amplituda
prawdopodobieństwa znalezienia
elektronu w stanie przestrzennym |
ℓ,m> i w punkcie (r,θ,)?
Poprowadźmy przez punkt (r,θ,)

nową oś z’. Składowa z’ momentu
pędu elektronu znajdującego się na
osi z’ musi być równa zero; a więc
stan przestrzenny względem tej osi
musi być |ℓ,0>. Amplituda
znalezienia elektronu w stanie |
ℓ,0> na osi z’ w różnych
odległościach od początku układu
współrzędnych będzie jakąś funkcją
r, oznaczmy ją F

ℓ

(r).

Feynmana wykłady z fizyki t. III

Feynman, Leighton, Sands, Feynmana

wykłady z fizyki, Copyright © PWN,

Warszawa 1972

22

Funkcja falowa elektronu w atomie bez spinu

Jeśli założymy, że znamy F

ℓ

(r) to

możemy zapisać amplitudę
znalezienia elektronu w stanie
przestrzennym |ℓ,m> i w punkcie
(r,θ,). Amplituda ta będzie

iloczynem amplitudy
prawdopodobieństwa przejścia ze
stanu przestrzennego |ℓ,m>
określonego w układzie x,y,z do
stanu |ℓ,0> określonego w układzie
x’,y’,z’ i funkcji F

ℓ

(r).

Przejście z jednego do drugiego
układu współrzędnych wymaga
obrotów; najpierw wokół osi z o kąt
, potem wokół osi y’ o kąt θ.
Ostatecznie mamy:

Feynmana wykłady z fizyki t. III

Feynman, Leighton, Sands, Feynmana

wykłady z fizyki, Copyright © PWN,

Warszawa 1972

 

 

   

   

r

F

,

aY

m

,

R

R

0

,

r

F

r

m

,

,

,

r

m

,

z

y

m

,



































