Atom wodoru w mechanice

kwantowej

1. Hipoteza Louisa de Broglie’a – 1924

2. Zasada nieokreśloności Wernera

Heisenberga – 1927

3. Równanie Erwina Schrödingera – 1926

4. Serie widmowe atomu wodoru

Hipoteza Louisa de

Louisa de

Broglie’a

Broglie’a

- 1924

Ruch każdej cząstki jest

związany z procesem falowym o

długości fali λ

Dualizm falowo-korpuskularny cechuje nie

tylko zjawiska optyczne ale ma znaczenie
uniwersalne i w konsekwencji materialne

cząstki oprócz własności korpuskularnych

mają także i falowe.

p

h





i częstości ν

h

E





Zasada nieokreśloności

Wernera Heisenberga

Wernera Heisenberga

- 1927

Dla wielkości A i B kanonicznie

sprzężonych, iloczyn nieokreśloności ich

wartości nie może być mniejszy niż h/

(4π)

Przykład

p

h







Kąt

φ

określa położenie

pierwszego minimum

dyfrakcyjnego

Równanie Erwina

Erwina

Schr

Schr

ö

ö

dingera

dingera

- 1926

Stan mikrocząstki opisuje funkcja

falowa Ψ

U – funkcja r i t, której gradient wzięty ze

znakiem ujemnym, określa siłę F działającą na

cząstkę, F = -U.

Równanie Schrödingera

bez czasu (U nie zależy w

sposób jawny od czasu)

Sens fizyczny funkcji

falowej

M. Born

M. Born

- 1926

F.

unormowana

Stan niezależny od

czasu

Rozwiązania równania

Schrödingera

bez czasu - energia

Widmo
dyskretne

Rozwiązanie – funkcje własne i wartości własne

operatora energii, w istotny sposób zależy od

postaci funkcji U (energia potencjalna) czyli

działającej siły (F = -U)

Rozwiązania równania

Schrödingera

bez czasu – moment pędu

Wartości własne

operatora momentu

pędu i jego rzutu na

wyróżniony

kierunek

Wartości liczby

kwantowej momentu

pędu będącego sumą

dwóch momentów

składowych

Atom wodoru

Wartości
własne
operatora
energii

Funkcje własne

operatora energii

zależą nie tylko od n

ale także od l i m

czyli poziomy

energetyczne atomu

wodoru są (bardzo)
zdegenerowane – n

2

-

krotnie.

Z = 1 dla H

n

wartości

2l+1

wartości

Krotność degeneracji poziomu

energetycznego jest 2 razy większa
jeżeli uwzględni się fakt posiadania

przez elektron własnego momentu

własnego momentu

pędu (spinu)

pędu (spinu)

o liczbie kwantowej

m

s

=1/2.

Serie widmowe

Spin fotonu

Spin fotonu

=

1

(liczba spinowa

fotonu )

Lymana

Balmer

a

np → 2s

Wynik przejść między stanami o różnych energiach oraz

liczbach orbitalnego momentach pędu różniących się o 1

Absorpcja

Emisja

Funkcje własne

Prawdopodobieństwo

znalezienia się elektronu w

warstwie sferycznej o

promieniu r i grubości dr

r [promień 1-szej orbity bohrowskiej

]

Funkcje własne

operatora kwadratu

momentu pędu

Spin elektronu, subtelna

struktura energetyczna

atomu.

1. Widma metali alkalicznych

2. Spin elektronu – S. Goudsmit i G.

Uhlenbeck - 1925

3. Struktura subtelna widm metali

alkalicznych

Widma metali

alkalicznych

Li, Na, K, Rb, Cs,

Fr

Rydberg,
defekt
kwantowy

N
a

Spin elektronu –

S. Goudsmit i G. Uhlenbeck - 1925

μ

B

– magneton

Bohra

g

s

= 2 s =

1/2

Liczba kwantowa s spinu elektronu czyli jego

własnego momentu pędu M

s

wynosi ½. Z kolei

wartość spinu elektronu

Rzut spinu elektronu na wyróżniony

kierunek

Spinowy moment magnetyczny elektronu

μ

s

jest wprost proporcjonalny do jego spinu M

s

elektron

wirująca kula

Struktura subtelna widm metali

alkalicznych

(oddziaływanie spin-orbita)

Wypadkowy
moment pędu
elektronu

2s+1 (krotność termu (poziomu) gdy l>=s,
czyli l>=1/2)
Orbitalna liczba kwantowa - l
Liczba kwantowa całkowitego momentu pędu
- j

Wartości liczby

kwantowej momentu

pędu będącego sumą

dwóch momentów

składowych

2S+1

L

J

Poziomy

struktury

subtelnej Na

Cs

Odległość między poziomami struktury subtelnej
atomu wodoru, uwarunkowana spinem elektronu
(efekt relatywistyczny):

E

i

– energia jonizacji (dla M

j

= )

Bezwymiarowa stała α - stała struktury
subtelnej:

Atomy
wieloelektronowe

1. Moment pędu.

2. Moment magnetyczny.

Moment pędu atomu

wieloelektronowego

(

suma momentów orbitalnych i spinowych wszystkich

elektronów)

- uwarunkowany oddziaływaniem momentów

magnetycznych

1. Sprzężenie Russela-Saundersa lub

sprzężenie L-S (

występuje najczęściej

).

J = Σl

i

+ Σs

i

, L = Σl

i

, S = Σs

i

,

(J = L+S)

2. Sprzężenie j-j (

ciężkie

atomy

).

J = Σ(l

i

+ s

i

),

j

i

=

l

i

+ s

i

Wektory momentu pędu:

orbitalnego – L (M

L

), własnego – S (M

S

),

całkowitego – J (M

J

).

M

J

= ΣM

l

+ ΣM

s

, M

L

= ΣM

l

, M

S

= ΣM

s

,

(M

J

= M

L

+M

S

)

M

J

= Σ(M

l

+ M

s

), M

j

= M

l

+ M

s

i i i i

i i i i
i

Sprzężenie Russela-

Saundersa

J = L+S, L+S–1, ... , |L–S|

2S+1 (S<L) lub 2L+1 (L<S) wartości całkowitych lub

połówkowych (decyduje wartość S, L zawsze całkowite)

Symbol termu
atomowego

Liczby kwantowe:
S - spinowa
L – orbitalna,
J - całkowitego momentu
pędu

L = S (

L=0

), P (

L=1

), D (

L=2

), F

(

L=3

), itd.

Przykład.
S = 1
(2S+1=3)
L = 1,
J = 0, 1, 2

Moment magnetyczny atomu

orbitaln

y

spinow

y

całkowi

ty

Magneton
Bohra

Czynnik

Landégo

μ

Sz

= – 2 μ

B

m

S

Rzuty μ na wyróżnioną oś

(

z

)

(m

L

= – L, – L+1, ..., L

– 1, L)

(m

S

= – S, – S+1, ..., S

– 1, S)

Czynnik

Landégo

Wektorowy model

atomu

1. Jeżeli znany jest moment pędu M i jedna
z jego składowych M

z

(wzdłuż osi z) to

wektor M wykonuje ruch precesyjny wokół
osi z (dwie pozostałe jego składowe M

x

i M

y

są w tym przypadku nieokreślone).

2. Jeżeli moment pędu M jest
wypadkowym wektorem dwóch momentów
pędu M

1

i M

2

, oddziaływujących ze sobą za

pośrednictwem momentów magnetycznych
μ

1

i μ

2

, to M

1

i M

2

wykonują ruch

precesyjny wokół kierunku wektora M z
częstością proporcjonalną do energii
oddziaływania między μ

1

i μ

2

.

Jeżeli jednocześnie znany jest moment
pędu M i jedna z jego składowych M

z

to

wektor M wykonuje z kolei ruch
precesyjny wokół osi z (patrz pkt.1).

Atom w polu
magnetycznym.

1. Zjawisko Zeemana (1896) – normalne i
anomalne.

2. Zjawisko Paschena – Backa.

Pole magnetyczne B
wzdłuż osi z

1. Słabe pole B – oddziaływanie
momentów magnetycznych ze
sobą większe od oddziaływania
każdego z nich z polem
magnetycznym.

2. Silne pole B – oddziaływanie
momentów magnetycznych ze
sobą mniejsze od oddziaływania
każdego z nich z polem
magnetycznym.

Czynnik

Landégo

Spinowy i orbitalny czynnik

Landégo elektronu nie są

jednakowe.

g

s

= 2g

l

(g

s

=2, g

l

=1)

W konsekwencji

μ

j

i M

j

nie są współliniowe.

2

Czynnik Landégo c.d.

Czynnik Landégo

c.d.

Zjawisko Zeemana - 1896

rozszczepienie poziomów energetycznych atomu

(i w konsekwencji linii widmowych)

pod wpływem zewnętrznego, słabego pola

magnetycznego

(rozszczepienie magnetyczne mniejsze od

multipletowego)

ΔE = -μ

J

•B = -μ

J

B

cos(μ

J

,B)

Pole magnetyczne zdejmuje degeneracje stanów o różnej liczbie

kwantowej m

J

Normalne zjawisko Zeemana

– rozszczepienie magnetyczne

singletów

(linie widmowe nie mające struktury subtelnej –

wynik przejść między poziomami z S=0 czyli g=1)

Jednakowa odległość między kolejnymi

podpoziomami

Rozszczepienie zawsze tylko na 3

linie

Przesunięcie normalne

Anomalne zjawisko Zeemana

– rozszczepienie magnetyczne

multipletów

(linie widmowe mające strukturę subtelną)

Przesunięcie

normalne

Rozszczepienie żółtego

dubletu sodu w słabym polu

magnetycznym

Magneton
Bohra

Rozszczepienie żółtego

dubletu sodu w słabym polu

magnetycznym – linia o

mniejszej energii

Rozszczepienie żółtego

dubletu sodu w słabym polu

magnetycznym – linia o

większej energii

2

P

1/2

–

2

S

1/2

2

P

3/2

–

2

S

1/2

Rozszczepienie żółtego

dubletu sodu w słabym polu

magnetycznym

Zjawisko Paschena-Backa

rozszczepienie poziomów energetycznych atomu

(i w konsekwencji linii widmowych)

pod wpływem zewnętrznego, silnego pola

magnetycznego

(rozszczepienie magnetyczne większe od

multipletowego)

Rozszczepienie

żółtego dubletu

sodu w silnym polu

magnetycznym

Normalny

tryplet

zeemanowski

Rozszczepienie żółtego dubletu sodu (a) w słabym (b) i silnym (c) polu

magnetycznym

Normalny tryplet

zeemanowski

Konfiguracja elektronowa

atomu

1. Charakterystyki stanu elektronu.

2. Zakaz Pauliego.

3. Reguły Hunda

Stan każdego elektronu w atomie

charakteryzują cztery liczby

kwantowe:

Zakaz Pauliego:

W tym samym atomie nie może być dwóch

elektronów opisanych przez taki sam zbiór

czterech liczb kwantowych: n, l, m

l

i m

s

.

W stanach o danej wartości n
może być w atomie nie więcej
niż 2n

2

elektronów:

Powłoka: zbiór elektronów atomu o takiej samej wartości

liczby kwantowej n.

Podpowłoka: zbiór elektronów powłoki o takiej samej wartości
liczby kwantowej l.

Dla całkowicie zapełnionej

podpowłoki

jej sumaryczny spinowy moment

pędu S

i sumaryczny orbitalny moment

pędu L

są równe zeru tj.

S = 0

i

L = 0

stąd

J =

0.

Przy wyznaczaniu L i S

atomu można nie brać pod

uwagę zapełnionych

podpowłok.

Konfiguracja elektronowa atomu zapisywana jest

przez podanie symboli wszystkich stanów

elektronowych nl obsadzonych przez elektrony

począwszy od podstawowego 1s, wraz z liczbą

elektronów k w poszczególnych stanach – ciąg

symboli nl

k

;

np. konfigurację elektronową atomu litu zapisujemy

w postaci: 1s

2

2s

1

.

Informacja o wartościach S, L i J dla danego

stanu elektronów atomu zawarta jest w symbolu

termu tego stanu:

2S+1

L

J

;

np. term podstawowego stanu atomu litu ma

postać:

2

S

1/2

.

Reguły Hunda

1. Spośród termów odpowiadających danej
konfiguracji elektronowej najmniejszą energię ma
term o największej możliwej wartości S oraz o
największej wartości L możliwej przy takim S.

2. Multiplety utworzone przez elektrony równoważne
(takie samo nl) są regularne (ze wzrostem J rośnie
energia stanu), jeżeli zapełniona jest nie więcej niż
połowa podpowłoki, natomiast jeżeli zapełnienie
przekracza połowę podpowłoki to multiplety są
odwrócone (ze wzrostem J energia stanu maleje).

Wynika stąd, że dla multipletów regularnych J = |L-S| a
dla odwróconych J = L+S.

Liczba niesparowanych elektronów na podpowłokach
(nl) powinna być jak największa.

Promieniowanie

rentgenowskie

1. Generowanie.

2. Charakterystyczne promieniowanie
rentgenowskie.

3. Prawo H. Moseleya – 1913

Charakterystyczne promieniowanie

rentgenowskie

- powstaje wówczas gdy wyrwany zostaje jakiś

elektron

z wewnętrznej powłoki atomu.

1. Charakterystyczne widma rentgenowskie składają się z
kilku serii oznaczonych literami K, L, M, N i O.
2. Liczba linii w każdej serii jest niewielka; oznaczone są one
w kolejności wzrostu częstości za pomocą greckich liter α, β,
γ, ... , np..: K

α

, K

β

, K

γ

, ... .

3. Widma różnych pierwiastków mają podobny charakter.
4. Ze wzrostem liczby atomowej Z pierwiastka jego widmo
rentgenowskie przesuwa się w stronę fal krótszych (wyższych
częstości).

Prawo H. Moseleya – 1913

Wiąże liczbę atomową Z pierwiastka z częstością linii

emitowanego przezeń rentgenowskiego promieniowania

charakterystycznego.

R – stała
Rytberga

σ – stała ekranowania jądra przez
elektrony

Dziękuję za uwagę

Wymuszona emisja fotonów

Einstein – 1918

Zarówno przejścia absorpcyjne jak i emisyjne
atomu mogą być wywoływane przez
promieniowanie elektromagnetyczne.

Tego typu przejścia nazywamy wymuszonymi.

Promieniowanie emitowane w wyniku takich
przejść to promieniowanie wymuszone.

Promieniowania (fotony) wymuszające i
wymuszone mają taki sam kierunek rozchodzenia
się, częstość, fazę i polaryzację a zatem są
spójne.

Lasery

(wzmacniacze światła za pomocą emisji wymuszonej)

1953 – MASER

(Microwave Amplification by Stimulated Emission

of Radiation)

1960 – LASER

(Light Amplification by Stimulated Emission

of Radiation)

W przypadku równowagi termodynamicznej liczbę atomów

N

i

, które w temperaturze T znajdują się w stanie o energii

E

i

opisuje prawo Boltzmana:

gdzie N jest całkowita liczbą
atomów.

Liczba przejść między dwoma poziomami jest
proporcjonalna do obsadzenia poziomu wyjściowego więc
dla atomów w równowadze termodynamicznej
pochłanianie padających fotonów przeważa nad emisją
wymuszoną i spada natężenie wiązki fotonów podczas ich
przechodzenia przez materię (w równowadze
termodynamicznej).

Wzmocnienie promieniowania padającego za pomocą
emisji wymuszonej w danym zespole atomów wymaga
wystąpienia w nim inwersji obsadzeń – sytuacji, w której
w stanie o większej energii E

n

jest więcej atomów niż w

stanie o mniejszej energii E

m

.

Opis takiej sytuacji (N

n

>N

m

gdy E

n

>E

m

) za pomocą

rozkładu Boltzmana wymaga by T miało wartość ujemną
stąd stany z inwersją obsadzeń nazywane są niekiedy
stanami z ujemną temperaturą.

W substancji z inwersją obsadzeń, emisja
wymuszona może przewyższać pochłanianie światła
przez atomy na skutek czego padająca wiązka może
być wzmacniana przez tą substancję.

Opis takiej sytuacji za pomocą związku dla
ośrodka pochłaniającego światło wymaga
przyjęcia, że współczynnik pochłaniania ma
wartość ujemną.

Laser rubinowy

(Al

2

O

3

, niektóre atomy Al zastąpione przez Cr

+++)

Cr

+++)

τ

2

=

~10

-3

s

1960 – T.H. Maiman
(USA)

walec,
Φ = 1 cm, l = 5
cm

1KV

ksenono
wa

τ

3

=

~10

-8

s

1961 – laser gazowy
He i N

2

1963 – lasery
półprzewodnikowe

Ag

100
%

8%

Dziękuję za uwagę