Teoria sterowania

Przestrzeń stanu

Wykład przygotowany przez pracownika

Instytutu Technik Wytwarzania PW Wojciecha

Kramarka

Klasyczna teoria sterowania

W celu uniknięcia problemów związanych z otwartymi

układami sterującymi w automatyce stworzono pojęcie
układów zamkniętych ze sprzężeniem zwrotnym, tworząc
układy regulacyjne. Regulator zastosowany w układzie
zamkniętym wykorzystuje informacje z pętli sprzężenia
zwrotnego aby wpływać na wyjścia systemu dynamicznego
w taki sposób, aby różnica pomiędzy stanem obiektu
określonym sygnałem sterującym a rzeczywistym stanem
była jak najmniejsza.

Porównanie zamkniętych i otwartych

systemów

Układy zamknięte (z pętlą sprzężenia zwrotnego) mają

następujące zalety w stosunku do układów otwartych:

-eliminacja wpływu zakłóceń,
-pewność poprawnego sterowania , nawet w sytuacjach

niepełnej znajomości prowadzonego procesu,
-możliwość stabilizowania procesu,
-zmniejszona wrażliwość na zmiany parametrów

obiektu.

W pewnych układach sterowania systemy zamknięte

oraz otwarte są stosowane równocześnie. Systemy te są

określane mianem systemów

feedforward

i służą do

polepszenia dokładności sterowania.

Typową architekturę zamkniętych systemów sterowania

(układów regulacyjnych) tworzą układy z regulatorami PID.

Metody opisu własności układu

dynamicznego

Układ dynamiczny jest typem układu, w którym sygnały czyli

przebiegi wielkości fizycznych związanych z tym układem,

rozpatruje się jako funkcje czasu.
Opis własności dynamicznych układu może być realizowany z

zastosowaniem równań różniczkowych (całkowych,

różnicowych).
Model układu wiążącego wejścia z wyjściami jest rozważany w

oparciu o:

– charakterystyki statyczne,

– charakterystyki dynamiczne:

• czasowe (odpowiedzi na wymuszenie skokowe i

impulsowe),

• częstotliwościowe (odpowiedzi na wymuszenia

harmoniczne).

Duże znaczenie przy analizie lub syntezie układów regulacji ma

pojęcie transmitancji operatorowej oraz widmowej

przedstawianych z zastosowaniem rachunku operatorowego.

Przebiegi czasowe i analiza widmowa

Przebiegi wielkości fizycznych podawane są zazwyczaj

w dziedzinie czasu. Alternatywnie można sygnały
przedstawiać w dziedzinie częstotliwości. Badanie własności
sygnałów w dziedzinie częstotliwości określa się mianem
analizy widmowej.

Przejście z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości

jest matematycznie opisane przez całkowe przekształcenie
Fouriera (1), a odtworzenie sygnału w dziedzinie czasu jest
możliwe przy wykorzystaniu transformaty odwrotnej (2).

Przekształcenie Fouriera

Dziedzina częstotliwości

Jeżeli sygnał w dziedzinie czasu jest okresowy to można

go przedstawić w postaci sumy funkcji trygonometrycznych
(szeregu Fouriera) (1). Z zależności tej wynika, że sygnał
okresowy można „rozłożyć” na elementy składowe w
postaci składowych harmonicznych o różnych amplitudach.
Częstotliwości harmonicznych są wielokrotnościami
częstotliwości podstawowej.

Istotne jest, że wiele zjawisk czy też właściwości

obiektów są lepiej identyfikowalne w dziedzinie
częstotliwości niż czasu. Jako przykład może służyć
problem jakości energii elektrycznej, a konkretnie
zniekształceń napięcia w sieci energetycznej.

Rozkład widmowy

Przejście z dziedziny czasu do dziedziny

częstotliwości

Widmo sygnału sinusoidalnego

Najprostszy sygnał sinusoidalny o jednostkowej

amplitudzie i okresie wynoszącym 0.02 (20 ms) jest w
dziedzinie częstotliwości reprezentowany przez pojedynczy
prążek usytuowany w punkcie odpowiadającym 50 Hz.

Widmo czystego sygnału

sinusoidalnego

Rozkład widmowy sygnału okresowego

Na rysunku następnym pokazano sygnał złożony z

czterech kolejnych harmonicznych nieparzystych o
amplitudach malejących zgodnie z rzędem harmonicznej. W
dziedzinie częstotliwości sygnał ten jest reprezentowany w
postaci czterech prążków, a w dziedzinie czasu „zbliża” się
kształtem do sygnału prostokątnego.

Rozkład widmowy sygnału

okresowego

Nowoczesna teoria sterowania i

regulacji

W przeciwieństwie do analizy częstotliwościowej, na

której opiera się klasyczna teoria regulacji, współczesna

teoria regulacji wykorzystuje usytuowaną w dziedzinie

czasu przestrzeń stanu.

Przestrzeń stanu jest modelem matematycznym

systemu fizycznego opisanego jako układ zmiennych

wejściowych, wyjściowych oraz zmiennych stanu. Zmienne

te są opisane przez układ równań różniczkowych

pierwszego rzędu. Aby oderwać się od liczby wejść , wyjść

oraz zmiennych stanu wielkości te są przedstawiane jako

wektory.

Równania różniczkowe i algebraiczne opisujące

rozważany układ są przedstawiane w postaci macierzowej.

Sytuacja taka jest możliwa tylko w przypadku układów

liniowych.

Zalety metody zmiennych stanu

Metoda zmiennych stanu, określana chwilami jako

analiza w dziedzinie czasu, jest wygodną i zwartą metodą

służącą do modelowania i analizowania układów o wielu

wejściach oraz wielu wyjściach.

W przeciwieństwie do analizy układów w dziedzinie

częstotliwości metodyka zmiennych stanu nie jest

zawężona do układów z liniowymi elementami oraz z

zerowymi warunkami początkowymi.

Metoda zmiennych stanu jako metoda analizy

układów dynamicznych

Metoda zmiennych stanu wprowadza następujące pojęcia:

-stan układu dynamicznego,
-przestrzeń stanu,
-wektor stanu,
-trajektoria stanu.
Pojęcia te są podstawą matematycznego modelu

przestrzeni stanów.

Pojęcie stanu układu dynamicznego

Trzy odmienne definicje stan układu:

1. najmniej liczny zbiór wielkości którego

znajomość w chwili początkowej t0 i znajomość wymuszeń
u(t) dla t> t0

w przedziale (t0 ,t] pozwalają wyznaczyć stan i

odpowiedź układu w dowolnej chwili t> t0,

2. najmniej liczny zbiór wielkości które pozwalają

na ocenę zachowania się obiektu (układu) w przyszłości, czyli
jednoznacznie określają zachowanie układu,

3. zbiór liniowo niezależnych wielkości, który:
-jednoznacznie określa skutki przeszłych oddziaływań na układ,
-jest wystarczający do wyznaczenia zachowania się układu

(procesu) w przyszłości

Model układu dynamicznego

Własności obiektów dynamicznych

Przebiegi sygnałów układu dynamicznego w czasie

zależą nie tylko od aktualnych wartości wymuszeń, ale

zależą także od wymuszeń, które były w przeszłości.

Aby układ był układem dynamicznym, muszą w nim

występować elementy magazynujące energię (cewki,

kondensatory, sprężyny, ruchome masy).

Układ elektryczny złożony z samych rezystorów nie

jest układem dynamicznym, bowiem jego stan zależy tylko

od stanów wejść, nie ma związku z przeszłością układu.

Aby układ był układem dynamicznym musi zawierać co

najmniej jedną zmienną stanu.

W pewnych sytuacjach do opisu układu dynamicznego

wystarczą opisy wejść i wyjść bez jawnego wprowadzenia

zmiennych stanu.

Przykład współrzędnych stanu

Dla układu mechanicznego współrzędnymi stanu może

być zbiór liniowo niezależnych wielkości takich jak:

– współrzędne położenia tego układu,

– pierwsza pochodna współrzędnych położenia (prędkość),

– druga pochodna współrzędnych położenia

(przyspieszenie).

W teorii obwodów elektrycznych jako zmienne stanu

najczęściej przyjmuje się prądy i1,i2,... w cewkach i

napięcia uC1,uC2... na kondensatorach. Liczba zmiennych

stanu obwodu elektrycznego jest równa na ogół liczbie

elementów reaktancyjnych obwodu, tzn. liczbie cewek i

kondensatorów w obwodzie.

Wybór zmiennych stanu nie jest jednoznaczny.
Wielkości charakteryzujące obiekt dynamiczny nie

muszą mieć sensu fizycznego, mogą być wielkościami

abstrakcyjnymi.

Przestrzeń stanów - definicja

Przestrzeń stanów, zbiór wszystkich stanów układu fizycznego (

stan układu kwantowego

stan termodynamiczny

Przestrzeń stanów – w

automatyce

, matematyczny model układu

fizycznego określonego przez wejścia U(t), wyjścia Y(t) i macierze stanu
A,B,C,D powiązane między sobą

równaniami różniczkowymi

pierwszego

rzędu, zwanymi

równaniami stanu

Typowy schemat w przestrzeni stanów dla układu opisanego

macierzami A, B, C i D pokazany jest poniżej.
A, B, C, D –macierze, s-zmienna zespolona

Model matematyczny przestrzeni

stanów

Rozpatrujemy dowolny, dynamiczny, ciągły, liniowy lub

nieliniowy układ tj. taki, który może być opisany równaniem

różniczkowym lub układem równań różniczkowych.
Istnieją przypadki, że równanie różniczkowe lub układ równań

różniczkowych można doprowadzić do postaci normalnej, czyli

do układu równań różniczkowych, zwyczajnych I rzędu.

– Równanie różniczkowe zwyczajne to związek funkcji jednej

zmiennej niezależnej i pochodnych tej funkcji.

– Rząd równania różniczkowego to rząd najwyższej pochodnej

występującej w danym równaniu.

– Równanie różniczkowe zwyczajne I rzędu to równanie o

postaci:

–

– W szczególnych przypadkach, gdy równanie różniczkowe

zwyczajne I rzędu daje się rozwiązać względem y', wtedy

równanie przybiera postać normalną:y'= f(t, y) a y = f(t).

Opis układu

Aby opisać układ dynamiczny ciągły przy pomocy

równań różniczkowych:

–

I stopnia, zwyczajnych, o postaci normalnej

wyróżnia się n-liniowo niezależnych wielkości fizycznych
lub abstrakcyjnych, oznaczając je odpowiednio:

Niech w chwili początkowej t=t0, istnieje stan początkowy
reprezentowany przez n - liczb:

Wyróżnione n - liniowo niezależne wielkości fizyczne lub

abstrakcyjne nazywają się współrzędnymi stanu lub
zmiennymi stanu.

Wektor stanu

Współrzędne stanu zapisuje się w postaci wektorowej:

Metoda zmiennych stanu

Wektor x, którego elementami są współrzędne stanu, nazywa

się wektorem stanu, a przestrzeń n-wymiarową o współrzędnych

xi(i=1,2,...,n) nosi nazwę przestrzeni stanu.

Zmiany wektora stanu z biegiem czasu tworzą w przestrzeni

stanu krzywą nazwaną trajektorią stanu

Układ równań różniczkowych pierwszego rzędu, rozwiązanych

względem pierwszych pochodnych, nazywamy równaniem stanu.

Sygnały y=y(t), które zjawiają się na wyjściu układu, są

pewnymi funkcjami współrzędnych stanu, mogą być również

zależne bezpośrednio (nie przez współrzędne stanu) od sygnałów

wejściowych u

Metoda analizy obwodu oparta na sformułowaniu, a następnie

rozwiązaniu układu równań różniczkowych pierwszego rzędu

(równań stanu) nazywamy metodą zmiennych stanu.

Dla układu zawierającego n zmiennych stanu można

sformułować n równań różniczkowych pierwszego rzędu lub jedno

równanie różniczkowe n-tego rzędu.

Kategorie zmiennych stanu

W przypadku opisu wektorem stanu, może zdarzyć się

tak, że przy dostępnym sterowaniu nie jesteśmy w stanie
wpływać na niektóre zmienne. Mówimy wtedy, że te
zmienne nie są sterowalne. Analogicznie niektóre zmienne
stanu mogą w ogóle nie wpływać na wyjście. Mówimy
wtedy, że te zmienne nie są obserwowalne. Ogólnie
zmienne stanu można podzielić na cztery kategorie:

a) sterowalne i obserwowalne,
b) niesterowalne i obserwowalne,
c) sterowalne i nieobserwowalne,
d) niesterowalne i nieobserwowalne.

Trajektoria stanu

Równania stanu i wyjścia

Stan dynamicznego układu liniowego i stacjonarnego określa

funkcyjny zapis wektorowy:

Sygnały wyjściowe dynamicznego układu liniowego i

stacjonarnego określa funkcyjny zapis wektorowy:

Równania stanu i wyjścia

Postać uproszczonego zapisu

U(t) - wektor
sygnałów,
wejściowych,

Y(t) - wektor
sygnałów wyjściowych

X(t) - wektor stanu,

Zasady doboru zmiennych stanu

wyboru zmiennych stanu można dokonać na podstawie:

– analizy zjawisk zachodzących w obiekcie (układzie, procesie)
– macierzy transmitancji

• na podstawie analizy zjawisk obiektu (układu, procesu) formułuje

się równania opisujące dynamikę układu, należy dążyć aby
zmiennym stanu przyporządkować sygnały występujące w
obiekcie,

• w przypadku, gdy znana jest macierz transmitancji G(s), szuka się

macierzy A, B i C spełniających równania:
G(s) = C (sI - A)-1 B oraz

należy jednak uwzględniać, że:

– macierz transmitancji nie dostarcza informacji o ilości

zmiennych stanu,

– ten sam układ może być opisany innymi zmiennymi stanu,

Zasady doboru zmiennych stanu

Wyboru zmiennych stanu można dokonać na podstawie:

– analizy zjawisk zachodzących w obiekcie (układzie,

procesie)

– macierzy transmitancji.

Należy dążyć aby zmiennym stanu przyporządkować sygnały

występujące w obiekcie.
W przypadku, gdy znana jest macierz transmitancji G(s),

szuka się macierzy A, B i C spełniających równania:

G(s) = C (sI - A)-1 B oraz

Należy uwzględniać, że:

– macierz transmitancji nie dostarcza informacji o ilości

zmiennych stanu,

– ten sam układ może być opisany innymi zmiennymi stanu.

Zasady doboru zmiennych stanu

W ogólnym przypadku, dobór zmiennych stanu powinien

uwzględniać:

-minimalizację liczby zmiennych stanu, czyli minimalny

rozmiar macierzy stanu A,
-wybrane zmienne stanu muszą spełniać warunek

niezależności liniowej,
-jeśli wybrano więcej niż jeden zestaw zmiennych stanu to

przejście od jednych współrzędnych do innych musi być

wzajemnie jednoznaczne,

Rodzaje zmiennych stanu:

-fizykalne,
-fazowe,
-kanoniczne.

Zmienne fizykalne oraz

zmienne fazowe

Zmienne fizykalne:

-wybiera się minimalną liczbę n -liniowo niezależnych

wielkości reprezentujących sygnały fizyczne,
-na podstawie relacji określających dynamikę zmian tych

wielkości układa się równania stanu,

Zmienne fazowe: dobór zmiennych fazowych następuje

przy następujących założeniach dotyczących układu

dynamicznego, układ dynamiczny jest:
-liniowy,
-stacjonarny,
-ciągły,
-jednowymiarowy.

Warunki takie spełnia następujące równanie

różniczkowe opisujące układ dynamiczny:

Własności fizykalnych i fazowych zmiennych

stanu

Fizykalne

• model matematyczny staje się modelem fizycznym,
• możliwość pomiaru wielkości fizycznych,
• można narysować schemat blokowy układu,
• możliwość syntezy układu sterowania w przypadku

sprzężenie zwrotnego uzależnionego od wektora stanu

Fazowe.

• zmienne fazowe mogą mieć znaczenie fizykalne,
• ułatwiają analizę dynamiki układów,
• ułatwiają analizę układów w stanach przejściowych

(nieustalonych),

• ułatwiają modelowanie analogowe, ponieważ przez

wprowadzenie elementów całkujących i proporcjonalnych

Zmienne stanu w obwodach

elektrycznych

Metoda analizy obwodu oparta na sformułowaniu, a

następnie rozwiązaniu układu równań różniczkowych

pierwszego rzędu (równań stanu) nazywamy metodą

zmiennych stanu.

W teorii obwodów elektrycznych jako zmienne stanu

najczęściej przyjmuje się prądy i1,i2,... w cewkach i

napięcia uC1,uC2... na kondensatorach. Wybór zmiennych

stanu nie jest jednak jednoznaczny.

Liczba zmiennych stanu obwodu elektrycznego jest

równa na ogół liczbie elementów reaktancyjnych obwodu,

tzn. liczbie cewek i kondensatorów w obwodzie.

Dla obwodu zawierającego n zmiennych stanu można

sformułować n równań różniczkowych pierwszego rzędu lub

jedno równanie różniczkowe n-tego rzędu.

Wektor stanu

Istotą metody zmiennych stanu jest rozwiązanie

sformułowanego układu n-równań różniczkowych

pierwszego rzędu. Jeśli zmienne stanu obwodu

elektrycznego oznaczymy x1(t), x2(t),..., xn(t), to wektor

stanu będący wektorem przestrzeni n-wymiarowej

oznaczymy w postaci

Zbiór wszystkich możliwych wartości wektora stanu x

(r) tworzy przestrzeń stanów.

Równanie stanu obwodu elektrycznego

Jeżeli dla danego obwodu napiszemy równania

różniczkowe zgodnie z prawami Kirchhoffa, to równania te

można tak przekształcić, aby otrzymać jedno równanie w

zapisie macierzowo-wektorowym o postaci

przy czym:

x(t)- wektor będący pochodną względem czasu wektora

stanu;

A - macierz obwodu (układu) o wymiarach n x n;

B - macierz wymuszeń o wymiarach n x p.

Równanie jest zwane równaniem stanu obwodu

elektrycznego. Macierze A i B w obwodzie liniowym mają

elementy stałe, stanowiące kombinację parametrów

obwodu.

Równanie odpowiedzi

Jeżeli chcemy wyznaczyć napięcie na rezystorach lub cewkach

i prądy ładowania kondensatorów, które są zależne od

zmiennych stanu, to formułujemy drugie równanie o postaci

przy czym

- wektor odpowiedzi;

C- macierz odpowiedzi o wymiarach q x n;

D -macierz transmisyjna układu o wymiarach q x p

Wektor wymuszeń

przy czym u

(t), u

(t),...,u

(t) - napięcia i prądy

źródłowe.

Wektor wymuszeń jest określony jako

Cechy zmiennych stanu

Metodę zmiennych stanu charakteryzuje:

- odrębny od dotychczasowego zapis matematyczny
równań obwodu elektrycznego, będący zapisem
uporządkowanym macierzowo-wektorowym;
- możliwość opisania obwodu układem równań, w których
występuje tylko pierwsza pochodna zmiennych stanu;
- ogólny charakter rozważań umożliwiający analizowanie
obwodów różnej klasy, a więc zarówno obwodów liniowych,
nieliniowych jak i niestacjonarnych;
- możliwość jednoczesnego wyznaczania zmienności w
czasie wielkości będących zmiennymi stanu w obwodzie;
- łatwość prowadzenia obliczeń przy użyciu komputerów.

Formułowanie równań stanu

Przystępując do analizy obwodu elektrycznego metodą

zmiennych stanu przede wszystkim wybieramy zmienne

stanu, a następnie formułujemy równania obwodu tak, aby

miały one postać znormalizowaną. Oznacza to, że po lewej

stronie wystąpią tylko pierwsze pochodne zmiennych stanu,

a po prawej stronie same zmienne oraz funkcje

wymuszające. Współczynniki tych równań są kombinacją

parametrów obwodu.

W przypadku obwodów prostych, zawierających kilka

elementów reaktancyjnych (cewek i kondensatorów) oraz

dla kilku wymuszeń napięciowych i prądowych, stosujemy

pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa dla wartości chwilowych.

Przykład

Przyjmiemy, że stan początkowy obwodu jest zerowy i że w

chwili
t = 0 zamykamy jednocześnie łączniki S1 i S2. W obwodzie
powstaje stan nieustalony. Rozpatrywany obwód jest obwodem
drugiego rzędu, ma jedną cewkę i jeden kondensator.