AKADEMIA GÓRNICZO - HUTNICZA W KRAKOWIE			Grupa B Rafał Szemraj
EAIiE	2001/2002		Rok II Semestr IV	Elektrotechnika		Rok B Grupa 8
Temat: Reprezentacja stacjonarnych układów liniowych w przestrzeni stanu.
Data wykonania: 2002-04-27		Data zaliczenia:			Ocena:

1. Wstęp teoretyczny:

Reprezentacja układu w przestrzeni stanu jest operacją, która pozwala na badanie zjawisk zachodzących w czasie działania danego obiektu. Możliwość „monitorowania” zachodzących procesów umożliwia ocenę obserwowalności i sterowalności danego obiektu.

Stan układu to najmniejsza liczba wielkości spośród wszystkich opisujących dany układ umożliwiająca w jednoznaczny sposób określić dynamikę danego układu. Zbiór tych wielkości, nazywany często wektorem stanu (w macierzowym formalizmie zapisu równań stanu) jest zbiorem wielkości liniowo niezależnych. Określenie wartości zmiennych stanu w chwili t=0 i znajomość sygnałów sterujących obiektem u(t) pozwala na określenie stanu układu dla t>0.

Stan układu określany jest za pomocą dwóch równań:

Równanie stanu jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu, które uzależnia stan układu (wartości zmiennych stanu) w zależności od stanu układu w chwili t=0, sygnałów wejściowych (sterowania i zakłóceń) oraz od zmiennych parametrów samego układu. Gdy parametry układu pozostają stałe w czasie mówimy o układach stacjonarnych. W przypadku gdy opisywany obiekt jest układem n-tego rzędu, to równanie stanu będzie układem n równań różniczkowych pierwszego rzędu i każde z tych równań będzie charakteryzować jedną z n zmiennych stanu danego układu. Ogólnie postać równania stanu można zapisać jako:

Równanie wyjścia, którego postać zależy od doboru wielkości traktowanych jako sygnały wyjściowe jest opisem zależności sygnałów wyjściowych od sygnałów wejścia i zmiennych stanu. Równanie wyjść:

Równania stanu i wyjścia, opisujące stan układu, można zapisać w następujący sposób:

W powyższym zapisie:

• 
  i-ta zmienna stanu układu n-tego rzędu.

• m. - ilość wejść układu.

• k - ilość wyjść układu.

Ze względu na możliwą dużą liczbę wyjść i wejść układu, jak również liczbę zmiennych stanu, przyjęto ogólnie zapis tych równań w postaci macierzowej:

czyli

x - wektor stanu

u - wektor wejść

y - wektor wyjść

A,B,C,D - macierze parametrów układu (gdy układ jest stacjonarny parametry te nie zależą od czasu).

Liczba współrzędnych wektora stanu x nazywana jest wymiarem stanu ukladu. Przestrzeń n - wymiarowa (gdzie n jest liczbą współrzędnych wektora x), w której przedstawiamy zmiany położenia wektora x w czasie nazywamy przestrzenią stanu. Tor jaki zakreśla w przestrzeni stanu wektor stanu zmieniający się w czasie nazywamy trajektorią stanu.

Jak wspomniałem na początku opis układu w przestrzeni stanu znacznie ułatwia określenie właściwości obiektu pod względem obserwowalności i sterowalności.

Zgodnie z definicją:

„Układ nazywamy całkowicie sterowalnym (sterowalnym) jeżeli stosując ograniczone przedziałami ciągłe sterowanie można go przeprowadzić w skończonym czasie z dowolnego początkowego stanu x₀ do końcowego stanu x_k .(dobiera się x_k = 0).”

Twierdzenie mówi natomiast że układ liniowy stacjonarny równaniami stanu jest sterowalny wtedy i tylko wtedy gdy:

gdzie A i B to macierze równania stanu a n - rząd macierzy A, r - rząd macierzy B.

Definicja obserwowalności:

„Proces będziemy nazywać całkowicie obserwowalnym jeżeli istnieje taka skończona chwila t_k , że na podstawie znajomości sterowania (od t₀ do t_k) i odpowiedzi y(t₀,t_k] można wyznaczyć stan początkowy x₀(t₀).”

Twierdzenie: Układ liniowy stacjonarny opisany równaniami stanu jest obserwowlany wtedy i tylko wtedy gdy:

gdzie A i C są macierzami równań stanu n- rzędem macierzy A a r - rzędem macierzy C.

2. Zadanie do ćwiczenia:

Dana transmitancja

Wyznaczyć:

1. Opis obiektu w przestrzeni stanu w postaci fazowych zmiennych stanu. Przedstawić odpowiednie równania w postaci macierzowej.

Zgodnie z równaniem transmitancji:
gdzie

Stąd
. Otrzymujemy następujące równanie różniczkowe 3-go rzędu:

podstawiając następujące zmienne fazowe

otrzymujemy następujący układ trzech równań różniczkowych pierwszego rzędu:

Ponieważ
to mamy następujące równanie wyjścia:

Ogólnie równania stanu w postaci macierzowej mają następującą postać:

Mamy
,
,
,

2. Narysuj schemat blokowy obiektu na podstawie równania stanu i równania wyjścia.

3. Przeprowadzić analizę zadanego obiektu w programie MATLAB.

clc, clear

% ----------------------------------------------

% Deklaracja macierzy Af,Bf,Cf,Df

%-----------------------------------------------

Af=[0 1 0;0 0 1;-12 -16.55 -7.2];

Bf=[0; 0; 1];

Cf=[1 2 0];

Df=0;

%-----------------------------------------------

% Deklaracja postaci transmitancyjnej

%-----------------------------------------------

L=[0 0 2 1];

M=[1 7.2 16.55 12];

printsys(L,M), pause

%-----------------------------------------------

% Konwersja postaci transmitancyjnej na postać

% rownan stanu

%-----------------------------------------------

[As,Bs,Cs,Ds]=tf2ss(L,M), pause

% Macierze zwracane przez matlaba mają takie same wartości co te wyliczone

% wcześniej. Róznica polega na tym, że matlab przyjmuje inny wektor stanu:

% Jeżeli xs - wektor matlaba, a xf - nasz wektor to: x1f == x3s

% x2f == x2s

% x3f == x1s

[wekAf,warAf]=eig(Af), pause

[wekAs,warAs]=eig(As), pause

%-------------------------------------------------

% sprawdzenie definicji wektora i wartości własnej

% A*wekAf=warAf*wekAf (dla każdego wektora i jego

% wartości własnej).

%-------------------------------------------------

for i=1:3

Lewa=Af*wekAf(1:3,i)

Prawa=warAf(i,i)*wekAf(1:3,i), pause

end

%--------------------------------------------------

% Transformacja SS ==> TF i porównanie uzyskanej

% transmitancji z transmitancją wyjściową

%--------------------------------------------------

[Ls,Ms]=ss2tf(As,Bs,Cs,Ds)

disp('G(s) wyliczone')

printsys(L,M)

disp('G(s) wyjściowe') %Bardzo mały (~10^15) współczynnik przy s^2

%w liczniku - wynik operacji komputerowych

printsys(Ls,Ms), pause

%---------------------------------------------------

% Porównanie odpowiedzi na wymuszenie skokowe układu

% opisanego transmitancją i równaniami stanu.

%---------------------------------------------------

t=[0:0.01:10];

y=step(L,M,t);

[yf,xf]=step(Af,Bf,Cf,Df,1,t);

figure(1)

plot(t,y,'r'), grid, pause

plot(t,yf,'g'), grid % Wykresy pokrywają się

title('We - skok, WyTF == WySS')

%----------------------------------------------------

% Obserwacja dynamiki układu - wykres zmiennych stanu

%-----------------------------------------------------

figure(2)

plot(t,xf(:,1),'r',t,xf(:,2),'g',t,xf(:,3),'b'), grid, pause

title('Zmienne stanu x1, x2, x3 ') %x1 - czerwony, x2 - zielony, x3 - niebieski

%---------------------------------------------------

% Sprawdzenie sterowalności układu zgodnie z twier -

% dzeniem zawartym w sprawozdaniu tj. sprawdzenie

% czy rzadG=[B,AB,A*AB]= rzadAf

%---------------------------------------------------

rzadAf=rank(Af)

rzadBf=rank(Bf)

% rzadAf-rzadBf = 1 a wiec macierz G ma postac:

disp('G=[Bf,Af*Bf,Af*Af*Bf]')

G=[Bf,Af*Bf,Af*Af*Bf]

rzadG=rank(G)

if rzadAf == rzadG disp('Uklad sterowalny')

else disp('Uklad nie jest sterowalny')

end

pause

%----------------------------------------------------

% Sprawdzenie obserwowalności układu na podstawie

% twierdzenia ze sprawozdania.

%----------------------------------------------------

rzadCf=rank(Cf)

% rzadAf-rzadCf = 1 wiec macierz H ma postać

disp('H=[Cf;Cf*Af;Cf*Af*Af]')

H=[Cf;Cf*Af;Cf*Af*Af]

rzadH=rank(H)

if rzadAf == rzadH disp('Układ jest obserwowlany')

else disp('układ nie jest obserwowalny')

end

end

Wykresy odpowiedzi układu na wymuszenie skokowe (powyżej) i wykresy przebiegu zmiennych stanu.

3. Wnioski:

• Układ posiada pierwiastki leżące w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny Gaussa jest więc układem stabilnym co potwierdza wykres odpowiedzi układu na wymuszenie skokowe.

• Użyta w programie funkcja eig prawidłowo wylicza wartości i wektory własne macierzy, co zostało sprawdzone dla macierzy A_f.

• Na podstawie przytoczonych kryteriów układ został oceniony jako całkowicie sterowalny i obserwowalny.

• Funkcja tf2ss poprawnie wylicza macierze równania stanu i wyjścia. W tym ćwiczeniu macierze były „odwrócone” co było spowodowane przyjęciem przez MATLAB-a innego ułożenia zmiennych stanu w wektorze stanu.

int

We

U

Wy

Y

+

+

+

+

C

B

A

D

x

x'

---