Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie
Teoria Sterowania i Techniki Regulacji
Wydział: EAIiE
Temat ćwiczenia: Opis UAR w przestrzeni stanu
Data wykonania:

1. Wstęp teoretyczny:

Wielowymiarowy układ sterowania opisują następujące własności:

-wektor sygnałów wejściowych, składający się z wektora sygnałów sterujących, oraz wektora sygnałów zakłócających

-wektor stanu

-wektor sygnałów wyjściowych

Stan układu- minimalna ilość informacji wymaganych, do całkowitego określenia zachowania się układu przy danym sterowaniu.

Równanie stanu: reprezentuje istotne zjawiska dynamiczne zachodzące w opisywanym procesie, pod wpływem oddziaływań zewnętrznych i nagromadzonych w układzie masy i energii; wyraża przyczynowy charakter tych zjawisk.

$$\dot{x} = A*x + B*u$$

Równanie wyjścia: zależy od wyboru zmiennych, na podstawie których będziemy oceniać zachowanie danego układu. Określa ono związek zmiennych wyjściowych ze zmiennymi stanu i zmiennymi wejściowymi

y = C * y + D * u

Gdzie:

$\dot{x} = \dot{x}\left( t \right) = \frac{dx(t)}{\text{dt}}$ y = y(t)   u = u(t)

Oznaczenia:

Sygnał	Wektor	Wymiar
x	wektor stanu	[nx1]
u	wektor sterowania	[rX2]
y	wektor wyjścia	[mx1]
Oznaczenie	Macierz	Wymiar
A	macierz stanu	[nxn]
B	macierz wejścia (sterowanie)	[nxr]
C	macierz wyjścia	[mxn]
D	macierz przejścia	[mxr]

Opis poleceń programu MATLAB wykorzystywany w ćwiczeniu:

- [Ac,Bc,Cc,Dc] = tf2ss(numG,denG); Funkcja służąca do zamiany modelu obiektu w postaci transmitancji na równania stanu.

- [zG,bG,wG] = tf2zp(numG,denG) Funkcja znajduje zera, bieguny i wzmocnienia dla modelu obiektu w postaci transmitancji

- [zss,bss,wss] = ss2zp(Ac,Bc,Cc,Dc) Funkcja służąca do zamiany modelu obiektu w postaci równań stanu na transmitancję w postaci zer, biegunów i wzmocnień.

- eigAc = eig(Ac)

- [M,Ad] = eig(Ac)

- sysG = tf(numG,denG) Funkcja służąca do tworzenia modelu obiektu w postaci transmitancji.

- sysc = ss(Ac,Bc,Cc,Dc) Funkcja służąca do tworzenia modelu obiektu w postaci zmiennych stanu

- [Ass,Bss,Css,Dss] = ssdata(sysc)

- [lG,mG] = tfdata(sysG,'v')

1. Ćwiczenia:

Dany jest układ dynamiczny III rzędu, opisany transmitancją operatorową oraz równaniem stanu wraz z równaniem wyjścia w przestrzeni stanu:

$$G\left( s \right) = \frac{2s^{2} + 8}{s^{3} + 8.2s^{2} + 18.4s + 12}$$

Ćwiczenie 1.

Transformacja z opisu transmitancyjnego układu do opisu w przestrzeni stanu tf2ss()

$Ac = \begin{matrix} - 8.2 & - 18.4 & - 12 \\ 1.0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix}$ $Bc = \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix}$ Cc=$\begin{matrix} 2 & 0 & 8 \\ \end{matrix}$    Dc = 0

Transformacja z opisu układu w przestrzeni stanu do opisu transmitancyjnego ss2tf()

(gdzie num i den to macierze współczynników odpowiednio licznika i mianownika transmitancji G(s)):

numGc =$\begin{matrix} 0 & 2 & \begin{matrix} 0 & 8 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$ denGc =$\begin{matrix} 1 & 8.2 & \begin{matrix} 18.4 & 12 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$

$$G\left( s \right) = \frac{2s^{2} - 3.553e^{- 015} + 8}{s^{3} + 8.2s^{2} + 18.4s + 12}$$

Ćwiczenie 2.

Zera i bieguny transmitancji układu do opisu w przestrzeni stanu ft2ss():

Zera: Bieguny: Wzmocnienie:

$z = \begin{matrix} 0 + 2i \\ 0 - 2i \\ \end{matrix}$ $b = \begin{matrix} - 5 \\ - 2 \\ - 1 \\ \end{matrix}$   w = 2

Zera i bieguny transmitancji z układu w przestrzeni stanu do opisu transmitancyjnego ss2tf():

Zera: Bieguny: Wzmocnienie:

$zGc = \begin{matrix} 0 + 2i \\ 0 - 2i \\ \end{matrix}$ $bGc = \begin{matrix} - 5 \\ - 2 \\ - 1 \\ \end{matrix}$   wGc = 2

Wartości własne macierzy A:

$egiAc = \begin{matrix} - 5 \\ - 2 \\ - 1 \\ \end{matrix}$ $Mww = \begin{matrix} - 0.9798 & 0.8729 & 0.6778 \\ 0.1960 & - 0.4364 & - 0.5648 \\ - 0.0392 & 0.2182 & 0.4707 \\ \end{matrix}$

Ćwiczenie 3.

Macierze – forma zmiennej fazowej:

$a = \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - 12 & - 18.4 & - 8.2 \\ \end{matrix}$ $b = \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix}$ $c = \begin{matrix} 8 & 0 & 2 \\ \end{matrix}$ d = 0

Opis układu w przestrzeni stanu w postaci macierzowej:

$a = \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \\ \ \ x1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} x1 \\ 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} x2 \\ 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} x3 \\ 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} x2 & 0 \\ \end{matrix} & 0 & 1 \\ \begin{matrix} x3 & - 12 \\ \end{matrix} & - 18.4 & - 8.2 \\ \end{matrix}$ $b = \begin{matrix} \begin{matrix} \\ x1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} u1 \\ 0 \\ \end{matrix} \\ x2 & 0 \\ x3 & 1 \\ \end{matrix}$ c= $\begin{matrix} \begin{matrix} & x1 \\ \end{matrix} & x2 & x3 \\ \begin{matrix} y1 & 8 \\ \end{matrix} & 0 & 2 \\ \end{matrix}$ $\ \ d = \begin{matrix} & u1 \\ y1 & 0 \\ \end{matrix}$

Opis układu w postaci równań algebraiczno-różniczkowych:

$$G\left( s \right) = \frac{2s^{2} + 8}{s^{3} + 8.2s^{2} + 18.4s + 12} = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{L(s)}{M(s)}$$

$$W\left( s \right) = \frac{1}{M(s)}\mathbf{*}U\left( s \right)\ \Rightarrow U\left( s \right) = W\left( s \right)*M(s)$$

s³W(s) + 8.2s²W(s) + 18.4sW(s) + 12W(s) = U(s)

w^‴ + 8.2w^″ + 18.4w^′ + 12w = U

Ćwiczenie 4.

Ogólny schemat blokowy dla przestrzeni stanu:

Kod w programie MATLAB, na podstawie którego wykonaliśmy ćwiczenia od 1-2

Ćwiczenie 5.

Charakterystyki dynamiczne układu sterowania w odpowiedzi na skok jednostkowy:

Dla warunków początkowych X₀ = [0,  0,  0]^Toraz X₀ = [0.5,  0,  1]^T

Ćwiczenie 6.

Opis układu w przestrzeni stanu w różnych postaciach:

- postać kanoniczna( gdzie macierz Am zawiera tylko elementy rzeczywiste):

$Am = \begin{matrix} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 1.2 \\ \end{matrix}$ $Bm = \begin{matrix} - 5.7895 \\ - 10 \\ 6.2105 \\ \end{matrix}$ $Cm = \begin{matrix} - 0.8788 & 0.6667 & 0.5763 \\ \end{matrix}$ Dm = 0

-postać kanoniczna obserwowalna:

$Am = \begin{matrix} 0 & 0 & 12 \\ 1 & 0 & - 18.4 \\ 0 & 1 & - 8.2 \\ \end{matrix}$ $Bm = \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix}$ $Cm = \begin{matrix} 2 & - 16.4 & 105.68 \\ \end{matrix}$      Dm = 0

Ćwiczenie 7.

Opis układu w nowym układzie współrzędnych po zastosowaniu liniowej transformacji:

$Ad = \begin{matrix} - 1.2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 \\ \end{matrix}$ $Bd = \begin{matrix} 0.6989 \\ - 1.9094 \\ 2.2381 \\ \end{matrix}$ $Cd = \begin{matrix} 5.1211 & 3.4915 & 2.2732 \\ \end{matrix}$ Dd = 0

$$G(s) = \frac{2s^{2} + 8}{s^{3} + 8.2s^{2} + 18.4s + 12}$$

Ćwiczenie 8.

Badanie sterowalności i obserwowalności układu:

Aby otrzymać macierz sterowania użyje polecenia CO = CTRB(A,B), natomiast dla macierzy obserwowalności OB = OBSV(A,C)

$sterowalnosc = \begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 8.2 \\ 1 & - 8.2 & 48.84 \\ \end{matrix}$ $obserwowalnosc = \begin{matrix} 8 & 0 & 2 \\ - 24 & - 28.8 & - 16.4 \\ 196.8 & 277.76 & 105.68 \\ \end{matrix}$

1. Wnioski:

Ćwiczenie 1. Po transmitancji z opisu transmitancyjnego układu do opisu w przestrzeni stanu możemy zauważyć że mianownik pozostaje bez zmian, natomiast w liczniku pojawiają się nowe wyrazy, związane jest to spowodowane tym, że program Maltab dokonał obliczenia w postaci numerycznej, co niesie z sobą ryzyko, popełniania niewielkiego błędu. Aby wyeliminować błąd i dostać po transmitancji taką samą wartość, należy użyć funkcji zaokrąglij, która wyeliminuje małą wartość przypisując jej wartość 0.

Ćwiczenie2. Zaobserwowałem iż zera oraz bieguny w obu przypadkach, opisie przestrzeni stanu oraz opisie transmitancyjnym są takie same.

Ćwiczenie 3,4. W ćwiczeniu 4 przedstawiony został schemat blokowy dla opisu w przestrzeni stanu, natomiast pod nim znajduje się schemat układu sterowania dla naszego przypadku. Wartości x odznaczone na schemacie odpowiadają wartością z macierzy wyznaczonej w Ćwiczeniu3.

Ćwiczenie7. W naszym przypadku uzyskaliśmy identyczną transmitancje jak transmitancje wejściową, zatem opis układu nie zmienia się.