STATYSTYKA OPISOWA
WYKŁAD 2
WPROWADZENIE
Wyraz statystyka pochodzi od łacińskiego słowa status,
co oznacza stan, położenie. Statystyka to zbiór
metod służących pozyskiwaniu, prezentacji i analizie
danych oraz wyciąganiu wniosków . Inna definicja:
statystyka to nauka traktująca o metodach
ilościowych badania zjawisk masowych. Zjawisko
masowe
to
takie
zjawisko,
które badane w dużej masie zdarzeń wskazuje
właściwą sobie prawidłowość, jakiej nie można
zaobserwować
w pojedynczym przypadku. Przykłady zjawisk
masowych: spożycie pewnych artykułów na 1
mieszkańca,
urodzenia,
leczenie,
mierzenie
temperatury, ciśnienia itp.
Statystyka:
a) umożliwia dokładniejszy sposób opisu interesującej
nas rzeczywistości,
b) zmusza nas do dokładności i śmiałości w działaniu
i rozumowaniu,
c) umożliwia formułowanie uogólnień na podstawie
uzyskanych wyników analizy,
d) pozwala na przewidywanie rozwoju zjawisk
w przyszłości, czyli pobudzanie do prognoz,
e) dostarcza narzędzi do porządkowania informacji
o zjawiskach – a przez to pozwala na budowę ich
ogólnego obrazu,
f) dostarcza narzędzi do prowadzenia analizy
przyczyn kształtujących badane zjawiska i procesy,
a więc umożliwia dokonanie ich klasyfikacji na
czynniki systematyczne i przypadkowe.
Powstaje pytanie: dlaczego w zbiorze wielu zdarzeń
zachodzą prawidłowości statystyczne podczas, gdy
poszczególne zdarzenia są zróżnicowane? Otóż
każde
zjawisko
(ekonomicznej,
przyrodnicze,
socjologiczne itp.) kształtuje się pod wpływem
dwojakiego rodzaju przyczyn:
1.
głównych
(podstawowych,
typowych,
systematycznych).
2.
ubocznych (przypadkowych, indywidualne).
Ad 1) Przyczyny główne oddziałują na każde zjawisko
w sposób jednakowy, mają charakter wewnętrzny,
ich istota wypływa z charakteru zjawiska – działają w
ściśle określonym kierunku. Przyczyny te są wspólne
dla wszystkich jednostek badanej zbiorowości
zdarzeń (wpływ czynników głównych).
Ad 2) Przyczyny uboczne działają na każde
zjawisko w sposób odmienny. Wyrażają
zróżnicowanie osobnicze (wpływ czynnika losowego).
Ostatecznym celem stosowania tych
metod jest otrzymanie użytecznych
informacji na temat zjawiska, którego
dotyczą. Istotne jest, aby badania
statystyczne
były
zaplanowane
w sposób nie budzący zastrzeżeń. Ich
cel powinien być określony zrozumiale
i szczegółowo. Materiał statystyczne
powinien zaś być wiarygodny i
przejrzysty.
Cel badania jest możliwy do osiągnięcia
wówczas, gdy jednostki statystyczne
są precyzyjnie określone pod
względem:
- rzeczowym (przedmiot badań),
- przestrzennym (miejsce badań),
- czasowym (okres badań).
ZBIOROWOŚĆ I CECHY
STATYSTYCZNE
Zbiorowość statystyczna (populacja)
to zbiór dowolnych elementów
objętych badaniem statystycznym.
Wyodrębniona część zbiorowości nosi
nazwę próby statystycznej.
Elementy badanej zbiorowości
określane są mianem jednostek
statystycznych. Właściwości tych
jednostek nazywane są cechami
statystycznymi.
CECHY STATYSTYCZNE:
I.
STAŁE (wspólne wszystkim
jednostkom badanej zbiorowości).
Nie podlegają badaniu a jedynie
decydują o zaliczeniu jednostek do
określonej zbiorowości.
II. ZMIENNE (podlegają badaniom).
Cechy statystycznie zmienne:
ilościowe jakościowe
skokowe ciągłe
Badania statystyczne:
pełne częściowe
spisy rejestracja bieżąca
sprawozdawczość
Badania statystyczne:
ciągłe okresowe
doraźne
Metody prezentacji danych
statystycznych:
1. Szeregi statystyczne.
2. Tablice statystyczne.
3. Wykresy statystyczne.
Szeregi statystyczne
(ze względu na budowę):
proste szczegółowe
rozdzielcze
Przykład szeregu rozdzielczego
Obliczone wskaźniki struktury i liczebności kumulowane
Nr klasy
Czas
reakcji na
lek
(w
minutach)
Liczebnoś
ć
(n
i
)
Wskaźnik
struktury
(%)
Liczebnoś
ć
kumulowa
na
1
2
3
4
5
6
7
8-12
13-17
18-22
23-27
28-32
33-37
38-42
4
29
38
80
35
9
5
2,0
14.9
19,0
40,0
17,5
4,5
2,5
4
33
71
151
186
195
200
Razem
200
100,0
WYKRESY STATYSTYCZNE:
LINIOWY
Ceny akcji spółki Kęty
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
140,00
160,00
1k
w
2k
w
3k
w
4k
w
1k
w
2k
w
3k
w
4k
w
1k
w
2k
w
3k
w
4k
w
1k
w
2k
w
3k
w
4k
w
1k
w
2k
w
3k
w
4k
w
2000
2001
2002
2003
2004
kwartały
ce
n
a
WYKRESY STATYSTYCZNE:
BRYŁOWY
434
481
576
768
1130
0
200
400
600
800
1000
1200
wartość
(mln PLN)
2000
2001
2002
2003
2004
lata
Przychody ze sprzedaży
WYKRESY STATYSTYCZNE:
SŁUPKOWY
Przychody ze sprzedaży
434
481
576
768
1130
0
200
400
600
800
1000
1200
2000
2001
2002
2003
2004
lata
wartość
(mln PLN)
WYKRESY STATYSTYCZNE:
KOŁOWY
Udziały w rynku
27%
33%
15%
25%
Spółka A
Spólka B
Spółka C
Spółka D
WYKRESY STATYSTYCZNE:
PUNKTOWY
Przychody ze sprzedaży
434
481
576
768
1130
0
200
400
600
800
1000
1200
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
lata
wartość
(mln PLN)
WYKRESY STATYSTYCZNE:
WARTSTWOWY
Przychody ze sprzedaży
434
481
576
768
1130
0
200
400
600
800
1000
1200
2000
2001
2002
2003
2004
lata
wartość
(mln PLN)
WYKRESY STATYSTYCZNE:
PIERŚCIENIOWY
Przychody ze sprzedaży
434
481
576
768
1130
8%
72%
4%
6%
10%
Panna
Mężatka
Żyjąca w separacji
Po rozwodzie
Wdowa
Stan cywilny badanej grupy (diagram
kołowy)
Struktura wiekowa
badanej grupy
(histogram)
0
10
20
30
40
23 - 40 r.ż
41 - 50 r.ż
51 - 62 r.ż.
ANALIZA STRUKTURY ZJAWISK
MASOWYCH
Rozkładem empirycznym określa się
przyporządkowanie poszczególnym
wartościom zmiennej x
i
odpowiadających im liczebności n
i
. W
określaniu rozkładu empirycznego zamiast
liczebności n
i
stosuje się częstości
względne określone wzorem:
przy czym:
n
n
w
i
i
n
n
k
i
i
1
TYPY ROZKŁADÓW
EMPIRYCZNYCH
n
i
x
i
Rozkład jednomodalny
n
i
x
i
Rozkład bimodalny
n
i
x
i
Rozkład wielomodalny
n
i
x
i
Rozkład skrajnie asymetryczny
n
i
x
i
Rozkład siodłowy
n
i
x
i
Rozkład umiarkowanie asymetryczny
n
i
x
i
Rozkład symetryczny
n
i
x
i
Rozkład spłaszczony
n
i
x
i
Rozkład wysmukły
OPISOWE CHARAKTERYSTYKI
ROZKŁADÓW
Przeprowadzając analizę struktury
zjawisk masowych należy zbadać:
1. tendencję centralną, czyli tzw. przeciętny
poziom
2. Zróżnicowanie wartości, czyli tzw.
dyspersję (zmienność, rozproszenie)
3. asymetrię rozkładu (skośność)
4. koncentrację.
Do przeprowadzenia tych badań
wykorzystuje się charakterystyki
nazywane parametrami. Charakterystyki
opisowe to liczby (wielkości), które
pozwalają w sposób syntetyczny określić
właściwości badanych rozkładów.
MIARY ŚREDNIE (PRZECIĘTNE)
Miary średnie pozwalają określić
tendencję centralną. Służą do
określania tej wartości zmiennej,
wokół której kupiają się wszystkie
pozostałe zmienne.
Podział średnich:
1. Średnie klasyczne.
2. Średnie pozycyjne.
Do średnich klasycznych zalicza się średnie:
1. arytmetyczną
2. geometryczną
3. harmoniczną.
Średnia arytmetyczna to suma
wartości zmiennej wszystkich
jednostek badanej zbiorowości
podzielona przez liczbę tych
jednostek:
gdzie:
x
i
– wartość cechy,
n – liczebność próby
n
i
i
n
x
n
n
x
x
x
x
1
2
1
1
...
Jeżeli wartości zmiennej
występują z różną częstotliwością,
wówczas wylicza się średnią
arytmetyczną ważoną (wagami są
liczebności odpowiadające
poszczególnym wartościom):
gdzie:
k
i
i
i
k
k
n
x
n
n
n
x
n
x
n
x
x
1
2
2
1
1
1
...
k
i
i
n
n
1
W przypadku danych zgrupowanych w
szereg rozdzielczy przedziałowy wzór
na średnią arytmetyczną jest
następujący:
gdzie:
- środek i-tego przedziału
klasowego.
Jeżeli zamiast liczebności
wykorzystywane są częstości w
i ,
wzór
na średnią arytmetyczną przyjmuje
postać:
k
i
i
i
k
k
n
x
n
n
n
x
n
x
n
x
x
1
0
0
2
0
2
1
0
1
1
...
0
i
x
k
i
i
i
w
x
x
1
Średnia arytmetyczna jest miarą prawidłową
jedynie w odniesieniu do zbiorowości
jednorodnych, o niewielkim zróżnicowaniu
wartości zmiennej. Średniej tej nie należy
stosować w przypadku rozkładów skrajnie
asymetrycznych, bimodalnych i
wielomodalnych. Nie oblicza się jej
również w przypadkach, gdy w
zbiorowości występują wartości skrajne.
Ponadto, średniej arytmetycznej nie należy
stosować dla szeregu o otwartych
przedziałach, jeżeli przedziały te
charakteryzują się dużą liczebnością.
Średnia harmoniczna jest
odwrotnością średniej arytmetycznej z
odwrotności wartości zmiennych. W
przypadku szeregów
szczegółowych (wyliczających) średnią
harmoniczną liczy się ze wzoru:
n
i
i
h
x
n
x
1
1
Dla szeregów rozdzielczych
punktowych średnią harmoniczną liczy
się z uwzględnieniem wag, tzn:
n
i
i
i
h
n
x
n
x
1
1
Dla szeregów rozdzielczych
przedziałowych średnią harmoniczną
liczy się następująco:
Średnią harmoniczną stosuje się
wówczas, gdy wartości zmiennej
podane są w jednostkach względnych.
n
i
i
i
h
n
x
n
x
1
0
1
Średnia geometryczna jest
pierwiastkiem n-tego stopnia z
iloczynu n zmiennych:
gdzie:
- znak iloczynu.
n
n
i
i
n
n
g
x
x
x
x
x
1
2
1
...
W przypadku, gdy wartości zmiennej
występują z różną częstotliwością,
średnią geometryczną wylicza się z
wykorzystaniem następującej formuły:
gdzie:
n
k
i
n
i
n
n
k
n
n
g
i
k
x
x
x
x
x
1
2
1
...
2
1
n
n
n
n
k
...
2
1
Średnią geometryczną stosuje się w
przypadkach, gdy wartości zmiennej tworzą postęp
geometryczny lub w przypadku rozkładu skrajnie
asymetrycznego.
Średnia ta ma zastosowanie przy badaniu
średniego tempa zmian.
Średniej geometrycznej nie należy stosować,
jeżeli którakolwiek z wartości zmiennej jest ujemna
lub równa zeru!!!
ŚREDNIE POZYCYJNE
Najczęściej wykorzystywanymi
średnimi pozycyjnymi są:
dominanta (moda, wartość
najczęstsza) oraz mediana
(wartość środkowa).
Dominantą nazywa się taką
wartość zmiennej, nie będącą ani
najmniejsza ani największą, która
w danym rozkładzie empirycznym
występuje najczęściej.
W szeregach rozdzielczych punktowych
jest tą wartością cechy, której odpowiada
największa liczebność.
W szeregach rozdzielczych przedziałowych
bezpośrednio można wyznaczyć wyłącznie
przedział zwany przedziałem dominanty
(jest to przedział o największej liczebności).
Wartość dominanty wyznacza się ze wzoru:
gdzie:
- dominanta
- dolna granica przedziału dominanty
- liczebność przedziału dominanty
- liczebność przedziału poprzedzającego przedział
dominanty
- liczebność przedziału następującego po przedziale
dominanty
- interwał (rozpiętość) przedziału dominanty.
D
D
D
D
D
D
D
D
i
n
n
n
n
n
n
x
D
1
1
1
D
D
x
D
n
1
D
n
1
D
n
D
i
Dla szeregów rozdzielczych przedziałowych
dominantę można również wyznaczyć metodą graficzną,
która polega na wykreśleniu histogramu liczebności z
trzech przedziałów klasowych: przedziału dominanty oraz
dwóch przedziałów sąsiednich.
Wyznaczanie dominanty jest uzasadnione wówczas,
gdy szereg spełnia następujące warunki:
rozkład empiryczny jest rozkładem jednomodalnym,
asymetria rozkładu jest umiarkowana,
przedział dominanty i przedziały sąsiednie mają jednakowe
rozpiętości.
Medianą określa się taką
wartość cechy, że co najmniej połowa
jednostek ma wartość cechy nie
większą niż i co
najmniej połowa ma wartość nie
mniejszą niż .
Medianą jest wartość cechy, którą
posiada środkowa jednostka w
uporządkowanym rosnąco ciągu
elementów zbiorowości.
Me
x
Me
i
Me
x
Me
i
Zatem:
parzystego
n
dla
x
x
ego
nieparzyst
n
dla
x
Me
n
n
n
2
1
2
2
2
1
W przypadku szeregu
rozdzielczego przedziałowego medianę
wyznacza się metodą graficzną lub
rachunkową. W metodzie graficznej
wykorzystuje się wykres krzywej
liczebności skumulowanej.
Jeżeli dane są przedstawione za
pomocą szeregu rozdzielczego
punktowego (cecha skokowa) –
medianą jest pierwsza wartość,
której odpowiada co najmniej
połowa skumulowanej liczebności.
Jeżeli mamy do czynienia z szeregiem rozdzielczym
klasowym (dla cechy ciągłej) medianę można wyznaczyć
wykorzystując wzór:
gdzie:
- liczebność i-tej klasy
- liczebność zbiorowości (próby)
- numer klasy zawierającej medianę
- dolna granica przedziału, w którym znajduje się
mediana
- interwał (rozpiętość) przedziału mediany
- liczebność przedziału mediany.
1
1
2
m
i
i
m
m
om
n
n
n
i
x
Me
i
n
n
m
om
x
m
i
m
n
Medianą wyliczoną na podstawie powyższego
wzoru dla czasu reakcji na lek w oparciu o
poniższe dane wynosi:
Nr klasy
Czas reakcji na
lek
(w minutach)
Liczebność
(n
i
)
Liczebność
kumulowana
1
2
3
4
5
6
7
8-12
13-17
18-22
23-27
28-32
33-37
38-42
4
29
38
80
35
9
5
4
33
71
151
186
195
200
Razem
200
71
2
200
80
5
23
Me
71
2
200
80
5
23
Me
MIARY ZMIENNOŚCI
Na zjawiska masowe oddziałują
dwa rodzaje przyczyn:
1.
Główne (wywołujące zmienność
systematyczną)
2.
Uboczne (wywołujące zmienność
przypadkową)
Przybliżonym miernikiem
składnika systematycznego zbiorowości
są miary przeciętne (średnie).
Odchylenia wartości poszczególnych
jednostek zbiorowości od wartości
średniej powstają pod wpływem
przyczyn przypadkowych (ubocznych).
Do pomiaru tych odchyleń
wykorzystuje się miary zmienności
(zróżnicowania, dyspersji,
rozproszenia).
Dyspersja to zróżnicowanie jednostek
badanej zbiorowości ze względu na
wartość badanej cechy statystycznej. Siłę
dyspersji można oceniać
za pomocą miar:
1. Klasycznych
2. Pozycyjnych.
Punktem odniesienia w miarach
klasycznych jest średnia arytmetyczna,
zaś miary pozycyjne wyznaczane są
przede wszystkim na podstawie kwartyli.
Miary klasyczne:
1. Wariancja
2. Odchylenie standardowe
3. Odchylenie przeciętne (dewiata)
4. Współczynnik zmienności*.
* - jeśli do jego wyliczenia
wykorzystywana jest średnia
arytmetyczna oraz odchylenie
standardowe)
Miary pozycyjne:
1. Empiryczny obszar zmienności
(rozstęp, amplituda wahań, pole
rozsiania)
2. Odchylenie ćwiartkowe
3. Współczynnik zmienności**.
** - jeśli do jego wyliczenia
wykorzystywana jest mediana oraz
odchylenie ćwiartkowe)
Najczęściej stosowane miary
rozproszenia:
1. Obszar zmienności
2. Odchylenie przeciętne
3. Wariancja
4. Odchylenie standardowe
5. Współczynnik zmienności.
Obszarem zmienności określa się
różnicę pomiędzy największą a najmniejszą
wartością zmiennej, tzn.:
Miara ta ma niewielką wartość
poznawczą, gdyż obszar zmienności
uzależniony jest
od wartości skrajnych, które często różnią
się istotnie od wszystkich pozostałych
wartości zmiennej. Na obszar zmienności
wpływają tylko wartości skrajne,
pozostałe zaś nie mają żadnego
wpływu na wynik. Obszar zmienności
wykorzystywany jest jedynie przy
wstępnej ocenie rozproszenia.
min
max
x
x
R
Odchyleniem przeciętnym d nazywa
się średnią arytmetyczną z
bezwzględnych odchyleń wartości zmiennej
x od średniej arytmetycznej.
Odchylenie przeciętne wyznaczamy z
następujących wzorów:
- dla szeregu szczegółowego:
gdzie:
n - liczebność badanej zbiorowości
- wartości przyjmowane przez cechę mierzalną
- średnia arytmetyczna badanej zbiorowości
n
i
i
x
x
n
d
1
1
i
x
x
-
dla szeregu rozdzielczego punktowego:
-
dla szeregu rozdzielczego
przedziałowego:
gdzie:
- środek i-tego przedziału klasowego
i
k
i
i
n
x
x
n
d
1
1
i
k
i
i
n
x
x
n
d
1
0
1
i
x
0
Wariancją określa się średnią
arytmetyczną z sumy kwadratów
odchyleń poszczególnych wartości
cechy statystycznej od średniej
arytmetycznej całej zbiorowości
statystycznej. Wariancję wyznacza
się z następujących wzorów:
- dla szeregu szczegółowego:
n
i
i
x
x
n
s
1
2
2
1
2
s
- dla szeregu rozdzielczego
punktowego:
- dla szeregu rozdzielczego
przedziałowego:
i
n
i
i
n
x
x
n
s
1
2
2
1
i
n
i
i
n
x
x
n
s
1
2
0
2
1
Podstawowe właściwości wariancji:
1. Jest zawsze liczbą nieujemną
2. Jest zawsze wielkością
mianowaną, tzn. wyrażoną w
jednostkach badanej cechy
statystycznej. Miano wariancji
zawsze jest kwadratem jednostki
fizycznej, w jakiej mierzona jest
badana cecha
3. Im zbiorowość statystyczna jest
bardziej zróżnicowana, tym wartość
wariancji jest wyższa
4.
Wariancja, jako miara dyspersji
wykorzystywana dla szeregów
rozdzielczych przedziałowych, daje
zawsze wartości zawyżone. Przyczyna
zawyżenia wartości wynika z
faktu, iż w przypadku szeregów
rozdzielczych przedziałowych korzysta
się ze środków przedziałów. W
celu zmniejszenia popełnionego błędu,
przy obliczaniu wariancji w przypadku
przedziałów o zbyt dużej rozpiętości (i),
stosuje się tzw. poprawkę Shepparda.
Wzór na wariancję przyjmuje wówczas
postać:
2
2
2
12
1
i
s
s
pop
Odchylenie standardowe jest
pierwiastkiem kwadratowym z
wariancji:
gdzie:
- odchylenie standardowe
- wariancja.
Odchylenie standardowe określa,
o ile wszystkie jednostki
statystyczne danej zbiorowości różnią
się średnio od wartości średniej
arytmetycznej badanej zmiennej.
2
s
s
s
2
s
W statystyce odchylenie
standardowe wykorzystywane jest do
tworzenia typowego obszaru zmienności
statystycznej. W obszarze takim mieści
się około 2/3 wszystkich jednostek
badanej zbiorowości statystycznej.
Typowy obszar zmienności określa wzór:
Użyteczność kategorii typowego
obszaru zmienności sprowadza się przede
wszystkim do rozdziału jednostek
statystycznych
na typowe (tzn. występujące
stosunkowo często) i nietypowe (tzn.
występujące stosunkowo rzadko).
s
x
x
s
x
typ
Z odchyleniem standardowym
łączy się pojęcie zmiennej
standaryzowanej (unormowanej)
dla rozkładu empirycznego cechy
mierzalnej :
is
x
s
x
x
x
i
is
Miary dyspersji (rozproszenia),
jak i wartości średnie są liczbami
mianowanymi. Fakt ten
umożliwia bezpośrednie
porównywania miar dyspersji
obliczonych dla różnych szeregów.
Jeżeli badane zjawisko mierzone
jest w różnych jednostkach miary lub
kształtuje się na niejednakowym
poziomie, wówczas do oceny
rozproszenia należy stosować
współczynnik zmienności.
Współczynnik zmienności jest ilorazem
odchylenia przeciętnego lub odchylenia
standardowego oraz średniej:
lub
(zamiast może być inna średnia, np.
mediana)
Współczynnik zmienności może
być wyrażony w procentach.
Współczynnik ten zastępuje
bezwzględne miary dyspersji.
x
s
V
x
d
V
x
Współczynnik zmienności
pozwala porównywać różne
szeregi lub szeregi tego
samego typu, ale o różnej
strukturze. Umożliwia on
dokonanie analiz zmienności w
czasie i przestrzeni.
Współczynnik zmienności (obok
odchylenia standardowego)
wykorzystywany jest jako miara
ryzyka finansowego.
MIARY ASYMETRII (SKOŚNOŚCI)
Szczegółowa analiza statystyczna
powinna zawierać nie tylko
poziom przeciętny i wewnętrzne
zróżnicowanie zbiorowości. Istotne
jest również określenie, czy
przeważająca liczba jednostek
znajduje się powyżej czy poniżej
przeciętnego poziomu badanej cechy.
Należy dokonać zatem oceny
asymetrii rozkładu. W związku z
tym określa się charakter (kierunek)
oraz natężenie (rozmiar) skośności.
W zjawiskach społeczno-
gospodarczych zwykle spotyka się
skośność dodatnią (prawostronną).
Skośność ta często występuje w
badaniach:
- dochodów,
- wykonania norm pracy, planów pracy,
- absencji w pracy,
- wkładów oszczędnościowych,
- odległości przewozów osób, czy
towarów.
Skośność dodatnia
(prawostronna) ma miejsce
wówczas, gdy dłuższe ramię krzywej
charakteryzującej rozkład
liczebności szeregu znajduje się
po prawej stronie średniej.
Jeżeli dłuższe ramię krzywej
znajduje się po lewej stronie
średniej, wówczas można mówić o
skośności ujemnej (lewostronnej).
Inaczej: jeśli spełniona jest
nierówność:
to rozkład
charakteryzuje się asymetrią
prawostronną. Jeżeli natomiast:
to można
wówczas mówić o asymetrii
lewostronnej.
D
Me
x
D
Me
x
n
i
x Me D x
i
n
i
D Me x x
i
Charakter asymetrii można
również określać na podstawie
punktów wyznaczonych przez
dominantę, medianę i średnią
arytmetyczną.
W szeregu symetrycznym wszystkie
miary pozycyjne są sobie równe.
W szeregu asymetrycznym
miary te kształtują się na
różnym poziomie: im większa
skośność, tym większe są różnice
pomiędzy dominantą, medianą i
średnią arytmetyczną.
Jednym z mierników skośności jest
wskaźnik skośności (inaczej:
bezwzględna miara skośności):
Wskaźnik ten jest bezwzględną
miarą asymetrii posiadającą miano
badanej cechy. Z tego względu
ma on ograniczone zastosowanie
w analizie porównawczej. Poza tym,
wskaźnik skośności określa jedynie
kierunek asymetrii (prawo-, czy
lewostronna) nie wskazując jej siły.
D
x
Ws
Miarą określającą zarówno
kierunek jak i siłę asymetrii jest
współczynnik skośności:
Współczynnik ten przyjmuje
zazwyczaj wartości z przedziału:
<-1;1>. Jedynie przy bardzo silnej
asymetrii wartość współczynnika
może wykroczyć poza w/w
przedział.
s
D
x
As
Jeżeli dany rozkład jest symetryczny,
wówczas .
W przypadku asymetrii
prawostronnej:
.
Dla rozkładu o asymetrii
lewostronnej:
.
Im silniejsza jest asymetria
rozkładu, tym wartość bezwzględna
współczynnika skośności jest wyższa.
0
As
0
As
0
As
ANALIZA WSPÓŁZALEŻNOŚCI
Analiza struktury zjawisk dotyczyła
jednej cechy. W praktyce jednak bywa
tak, że badane jednostki statystyczne
charakteryzowane są przez kilka cech.
Cechy te nie są od siebie odizolowane,
mają na siebie wpływ oraz
posiadają wzajemne uwarunkowania.
Dlatego często zachodzi
potrzeba badania współzależności
między tymi cechami.
Przeprowadzając analizę można spotkać
dwa rodzaje współzależności zmiennych:
1. Współzależność funkcyjną, polegającą na
tym, że zmiana wartości jednej zmiennej
pociąga określoną zmianę wartości drugiej
zmiennej.
2. Współzależność stochastyczną
(probabilistyczną), polegającą na tym, że
wraz ze zmianą jednej zmiennej zmienia
się rozkład prawdopodobieństwa drugiej
zmiennej. Szczególnym przypadkiem
zależności stochastycznej jest
zależność korelacyjna.
Zależności korelacyjne zachodzą
wówczas, gdy określonym
wartościom jednej zmiennej
odpowiadają ściśle określone
średnie wartości drugiej zmiennej.
Zdarzają się jednak sytuacje, w
których nie istnieje
współzależność (korelacja) ale ma
miejsce zbieżność występowania
zjawisk. Taką zbieżność określa się
mianem korelacji pozornej.
Najczęściej spotykanymi
metodami wykrywania związków
korelacyjnych są:
1. Metoda porównywania
przebiegu szeregów
statystycznych.
2. Metoda graficzna.
y
i
0 x
i
y
i
0 x
i
•
X
Y
Brak związku
X
Y
Związek silny
X
Y
X
Y
Związek dodatni
(wzrost
wartościchy X
indukuje wzrost
wartości cechy Y
Cechę dwuwymiarową oznacza
się jako uporządkowaną parę
(X,Y). Składowymi mogą być
zarówno cechy ilościowe jak i
jakościowe. To od tego, z jakimi
cechami mamy do czynienia zależy
wybór sposobu opisu współzależności.
Podstawą analizy jest zbiorowość
jednostek scharakteryzowanych
parą własności, gdzie i=1,2,...,n.
Badając zbiorowość jednostek pod
względem
wyróżnionych cech otrzymuje
się ciąg par wartości:
.
,
,...,
,
,
,
2
2
1
1
n
n
y
x
y
x
y
x
i
i
y
x ,
MIARY WSPÓŁZALEŻNOŚCI
Do badania zależności między
zmiennymi X i Y wykorzystuje się
najczęściej współczynnik korelacji
liniowej Pearsona, będący miarą siły
związku prostoliniowego między
dwiema cechami mierzalnymi.
Współczynnik ten wylicza się ze wzoru:
gdzie:
cov(x,y) - kowariancja zmiennych X i Y
s - odchylenie standardowe.
y
s
x
s
y
x
r
xy
,
cov
Kowariancja jest średnią arytmetyczną
iloczynu odchyleń zmiennych X i Y od
ich średnich arytmetycznych:
Rozpatrując kowariancję uzyskać
można następujące informacje o
istniejącym związku pomiędzy
zmiennymi X i Y:
1.
Jeżeli cov(x,y)>0 – dodatnia korelacja
2.
Jeżeli cov(x,y)<0 – ujmena korelacja
3.
Jeżeli cov(x,y)=0 – brak korelacji
n
i
i
i
y
y
x
x
n
y
x
1
1
,
cov
Kowariancji nie można
stosować do bezpośrednich
porównań. Dlatego jest ona
standaryzowana przez odchylenia
standardowe, dzięki czemu otrzymuje
się współczynnik korelacji liniowej
Pearsona.
Właściwości współczynnika korelacji:
1. Przyjmuje wartości z przedziału <-1;1>
2. Dodatni znak świadczy o dodatnim, zaś
ujemny o ujemnym związku korelacyjnym
3. Im tym związek
korelacyjny jest silniejszy.
0
xy
r
Sposoby komentowania współczynnika korelacji:
a) - współzależność nie występuje,
b) - słaby stopień współzależności,
c) - umiarkowany (średni) stopień
współzależności,
d) - znaczny stopień współzależności,
e) - wysoki stopień współzależności,
f) - bardzo wysoki stopień
współzależności,
g) - całkowita (ścisła) współzależność
(zależność funkcyjna
pomiędzy
badanymi cechami).
0
XY
r
3
,
0
0
XY
r
5
,
0
3
,
0
XY
r
7
,
0
5
,
0
XY
r
9
,
0
7
,
0
XY
r
1
9
,
0
XY
r
1
XY
r
Analizę współzależności należy
uzupełnić o współczynnik
determinacji, będący kwadratem
współczynnika korelacji liniowej
Pearsona ( ).
Współczynnik determinacji informuje,
jaka część zmiennej objaśnianej jest
wyjaśniona przez zmienną objaśniającą.
Przy pomocy tego współczynnika można
wnioskować, czy na zmienną
objaśniającą wpływają również inne
czynniki, nie podlegające badaniu.
2
xy
r
W sytuacji, gdy obserwacje
statystyczne dotyczące badanych
zmiennych są liczne, bazowanie na
wartościach szczegółowych może być
uciążliwe. W celu zapewnienia
przejrzystości zebranych danych sporządza
się wówczas tablicę korelacyjną.
Na skrzyżowaniu kolumn z
wierszami wpisuje się liczebności
jednostek zbiorowości statystycznej, u
których zaobserwowano jednoczesne
występowanie określonych wartości
i .
i
x
i
y
Schemat tablicy korelacyjnej:
x
i
y
j
y
1
y
2
...
y
t
i
t
i
ij
n
n
1
x
1
x
2
.
.
.
x
k
n
11
n
21
.
.
.
n
k1
n
12
n
22
.
.
.
n
k2
.
.
.
.
.
.
n
1t
n
2t
.
.
.
n
kt
n
1
n
2
.
.
.
n
k
j
k
i
ij
n
n
1
n
.1
n
.2
…
n
.t
n
W tablicy korelacyjnej zawarte są
rozkłady brzegowe i warunkowe.
Rozkład brzegowy (por. ostatnia
kolumna określa rozkład brzegowy
cechy X, ostatni wiersz – rozkład
brzegowy cechy Y) prezentuje
strukturę wartości jednej zmiennej (X
lub Y) bez względu na kształtowanie
się wartości drugiej zmiennej.
Rozkłady brzegowe i warunkowe
mogą być scharakteryzowane pewnymi
sumarycznymi wielkościami (najczęściej
są to średnie arytmetyczne)
Średnie arytmetyczne z
rozkładów brzegowych wyznacza
się ze wzorów:
Średnie arytmetyczne z
rozkładów warunkowych oblicza
się następująco:
i
k
i
i
n
x
n
x
1
1
j
t
i
j
n
y
n
y
1
1
ij
k
i
i
j
j
n
x
n
x
1
.
1
ij
t
i
j
i
i
n
y
n
y
1
.
1
W sytuacji, gdy wraz ze
wzrostem (spadkiem) wartości
jednej zmiennej następuje wzrost
(spadek) warunkowych średnich
drugiej zmiennej, wówczas można
stwierdzić istnienie korelacji
dodatniej między zmiennymi. W
sytuacji, kiedy występuje
przeciwny kierunek zmian,
można mówić o korelacji ujemnej.
Jeżeli różnice pomiędzy średnimi
są takie same, tzn.:
wówczas związek między
zmiennymi jest liniowy.
1
2
3
1
2
...
t
t
x
x
x
x
x
x
1
2
3
1
2
...
k
k
y
y
y
y
y
y
Innym miernikiem korelacyjnego związku
cech jest współczynnik korelacji rang
Spearmana. Współczynnik ten stosowany
jest głównie do badania
współzależności cech niemierzalnych, bądź
cechy mierzalnej i niemierzalnej. Może być
on również stosowany w badaniu
związku korelacyjnego pomiędzy cechami
mierzalnymi (szczególnie w przypadku małej
próby).
Konstrukcja współczynnika korelacji
rang opiera się na zgodności pozycji, którą
zajmuje każda z odpowiadających sobie
wielkości we wzrastającym lub
malejącym szeregu wartości cechy.
Współczynnik korelacji rang
Spearmana (Q) wylicza się w
oparciu o wyznaczone różnice rang
( ) oraz liczby par obserwacji (n):
przy czym:
gdzie:
- rangi zmiennej X oraz Y
(i=1,2,...n)
i
d
n
n
d
Q
n
i
i
3
1
2
6
1
i
i
y
x
i
v
v
d
i
i
y
x
v
v ,
gdy
Współczynnik korelacji rang
przyjmuje wartości z przedziału
, a jego interpretacja
jest analogiczna do
współczynnika korelacji
Pearsona.
1
Q
0
1
2
n
i
i
d
1
1
Q