Analiza przemieszczeń punktów
reprezentujących badany obiekt
Analiza przemieszczeń punktów
reprezentujących badany obiekt
z
yz
zx
yz
y
xy
zx
xy
x
T
yz
zx
yz
xy
zx
xy
T
T
zo
yo
xo
T
z
y
x
dz
dy
dx
0
0
0
dz
dy
dx
u
u
u
u
u
u
Występująca we wzorze ostatnia macierz zawierająca parametry
odkształceń ε i γ nosi nazwę tensora odkształceń
Jeżeli składowe obrotu są funkcjami położenia punktu to składowe
te tworzą pole elementarnych obrotów
y
x
z
zx
yz
xy
,
,
,
,
Pochodne cząstkowe wektorowego pola obrotów przyjmą postać:
zz
yz
xz
zy
yy
xy
zx
yx
xx
z
z
x
z
y
x
x
x
x
z
z
z
y
y
y
x
x
x
Wielkości:
dz
d
z
dy
d
y
dx
d
x
z
z
zz
y
y
yy
x
x
xx
Wyrażają stosunek przyrostu składowej obrotu do długości
odcinka na której ten przyrost nastąpił
Dlatego też składowe Θ
xx
, Θ
yy
, Θ
zz
nazywa się
jednostkowymi skręceniami
Jeżeli np. Θ
xx
będzie dodatnie, to skręcenie następuje w płaszczyźnie
y, z w kierunku od osi y do osi z.
Geometryczna interpretacja pochodnych różnowskaźnikowych
np. Θ
xy
dy
d
y
x
x
xy
Zależność wyraża stosunek przyrostu składowej obrotu elementów
położonych w płaszczyźnie obrotu (x, y) na linii współrzędnych y
do długości odcinka dy, na którym ten przyrost nastąpił.
Składowa ta określa jednostkowe ugięcie
Ugięcie wypadkowe dla punktów uszeregowanych wzdłuż linii
współrzędnych y wyraża się wzorem
2
zy
2
xy
y
2
yz
2
xz
z
2
zx
2
yx
x
Analogicznie wzdłuż linii x i z:
x
x
x
u
z
z
z
u
y
y
y
u
yx
xy
x
y
y
u
x
u
2
1
zy
yz
y
z
z
u
y
u
2
1
zx
xz
z
x
x
u
z
u
2
1
xy
x
y
y
u
x
u
2
1
yz
y
z
z
u
y
u
2
1
xz
z
x
x
u
z
u
2
1
Odkształcenia linioweOdkształcenia postaciowe Składowe obrotu
Jednostkowe skręceniaJednostkowe ugięcia
2
zy
2
xy
y
2
yz
2
xz
z
2
zx
2
yx
x
dz
d
z
dy
d
y
dx
d
x
z
z
zz
y
y
yy
x
x
xx
Zakładając, że składowe wektorowego pola przemieszczeń
reprezentowane są przez funkcje liniowe
z
c
y
c
x
c
c
u
z
b
y
b
x
b
b
u
z
a
y
a
x
a
a
u
3
2
1
0
z
3
2
1
0
y
3
2
1
0
x
Składowe wektora translacji obiektu wyznacza się poprzez
wydzielenie ze współrzędnych wektorowego pola przemieszczeń
wartości niezależnych od położenia punktu
o
o
o
o
c
,
b
,
a
u
Składowe odkształcenia wyznaczamy za pomocą wzorów:
1
x
x
a
x
u
3
z
z
c
z
u
2
y
y
b
y
u
)
a
b
(
2
1
y
u
x
u
2
1
2
1
x
y
yx
xy
3
2
y
z
zy
yz
b
c
2
1
z
u
y
u
2
1
)
c
a
(
2
1
x
u
z
u
2
1
1
3
z
x
zx
xz
Składowe obrotu wyznaczamy ze wzorów:
2
1
x
y
xy
a
b
2
1
y
u
x
u
2
1
3
2
y
z
yz
b
c
2
1
z
u
y
u
2
1
1
3
z
x
xz
c
a
2
1
x
u
z
u
2
1